1.3.2 奇偶性 精讲优练课型2

第2课时　
习题课——函数奇偶性的应用
【题型探究】
类型一　利用奇偶性求函数解析式
【典例】若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x+3,
求f(x)的解析式.
【解题探究】典例中函数的定义域是什么?
提示:据条件可知定义域为x∈R.
【解析】当x<0时,-x>0,
f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,
由于f(x)是奇函数,故f(x)=-f(-x),
所以f(x)=-x2-2x-3.即当x<0时,f(x)=-x2-2x-3.
【延伸探究】
1.(变换条件)若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,求当x<0时,f(x)的解析式.
【解析】当x<0时,-x>0,
f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3,
由于f(x)是偶函数,故f(x)=f(-x),
所以f(x)=x2+2x+3,即当x<0时,f(x)=x2+2x+3.
2.(改变问法)本例条件不变,求f(-2)的值.
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=-(22-2×2+3)=-3.
【方法技巧】利用奇偶性求函数解析式的思路及注意点
(1)思路:
①“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.
②利用已知区间的解析式代入.
③利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
(2)注意点:
若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必f(0)=0.
【补偿训练】若f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=1,则当x<0时,f(x)=　　　　　　.
【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=1,因为f(x)为偶函数,所以f(x)=1.
答案:1
类型二　函数单调性与奇偶性的综合
角度1:比较大小问题
【典例】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在[2,6]上是减函数,比较f(-5)与f(-3)的大小.
【解题探究】典例中如何将f(-5)转化为自变量在[2,6]上与之对应相等的函数值?
提示:利用函数的奇偶性,由于函数是偶函数,故f(-5)=f(5).
【解析】因为f(x)是偶函数,
所以f(-5)=f(5),f(-3)=f(3),
因为f(x)在[2,6]上是减函数,
所以f(5)【延伸探究】(变换条件)若把本例中的偶函数改为奇函数,其他条件不变,比较f(-5)与f(-3)的大小.
【解析】因为f(x)是奇函数,
所以f(-5)=-f(5),f(-3)=-f(3),
因为f(x)在[2,6]上是减函数,
所以f(5)-f(3).即f(-5)>f(-3).
角度2:解不等式问题
【典例】设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)【解题探究】典例中奇函数f(x)在[-2,2]上的单调区间是什么?怎样将抽象不等式f(1-m)提示:由于函数是奇函数,可得f(x)在[-2,0]上单调递减.故其在[-2,
2]上单调递减.借助函数的奇偶性及其单调区间,可将抽象不等式
f(1-m)【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上为减函数.
所以不等式f(1-m)【方法技巧】奇偶性与单调性综合问题的两种类型
(1)比较大小:
看自变量是否在同一单调区间上.
①在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
②不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
(2)解不等式:
①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)f(x2)的形式.
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.
【变式训练】1.已知函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且f(-4)A.f(-1)C.f(-3)f(1)
【解析】选D.因为函数f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(-4)f(1).
2.设f(x)在R上是偶函数,在(-∞,0)上递减,若f(a2-2a+3)>f(a2+a+1),求实数a的取值范围.
【解析】由题意知f(x)在(0,+∞)上是增函数.
又因为a2-2a+3=(a-1)2+2>0,
a2+a+1=
且f(a2-2a+3)>f(a2+a+1),
所以a2-2a+3>a2+a+1,即3a<2,解得a< .
规范解答 函数奇偶性与单调性的综合应用
【典例】(12分)已知函数f(x)= 是奇函数,且f(2)=
(1)求实数a,b的值.
(2)判断函数f(x)在(-∞,-1]上的单调性,并用定义证明.
【审题指导】利用两个条件建立关于a,b的方程求解,求出函数解析式,再利用单调性定义判断f(x)在(-∞,-1]上的单调性.
【规范解答】(1)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)．
…………………………………………………………1分

…………………………………………………………3分
因此b=-b，
解得b=0. ………………………………………………………4分
又因为f(2)= ，所以 解得a=2. …………………6分
(2)由(1)知f(x)= f(x)在(-∞,-1］上为增函数，
……………………………………………………………………7分
证明：设x1则f(x1)-f(x2)=
= (x1-x2)· …………………………………………9分
因为x11.
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(-∞,-1］上为增函数.
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【题后悟道】
1.用好奇、偶函数的定义
求参数的问题需要根据奇、偶函数的定义建立关于参数的恒等式,通过比较等式两边来确定关于参数的方程.解题时要挖掘隐含条件,具备式子变形能力.如本例由奇函数要挖掘出f(-x)=-f(x)这一隐含条件.
2.注意积累一些常用结论
形如f(x)=ax+ (a＞0,b＞0)的函数在(-∞,- )和( ,+∞)
上单调递增，在(- ,0)和(0, )上单调递减. 记住此结论对于解答这种类型的题目有着重要的作用.