3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
3.1.3 导数的几何意义
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数的平均变化率
1,2,6
函数的导数
3,7
导数的几何意义
4,9,12,13
导数在物理中的应用
5
综合问题
8,10,11
【基础巩固】
1.设函数y=f(x),当自变量由x0变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy为( D )
(A)f(x0+Δx) (B)f(x0)+Δx
(C)f(x0)Δx (D)f(x0+Δx)-f(x0)
解析:函数值的改变量为f(x0+Δx)-f(x0),
所以Δy=f(x0+Δx)-f(x0).故选D.
2.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是( A )
(A)(5+Δt)(m/s) (B)[5+(Δt)2](m/s)
(C)[5(Δt)2+Δt](m/s) (D)5(Δt)2(m/s)
解析:因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是==Δt+5.故选A.
3.(2018·延安高二月考)函数f(x)在x0处可导,则
( B )
(A)与x0,h都有关
(B)仅与x0有关,而与h无关
(C)仅与h有关,而与x0无关
(D)与x0,h均无关
解析:因为f′(x0)=,
所以f′(x0)仅与x0有关,与h无关.故选B.
4.(2018·徐州高二检测)曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为( A )
(A)y=5x-1 (B)y=-5x+1
(C)y=x+1 (D)y=-x-1
解析:k==5.f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.故选A.
5.(2018·长春高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( D )
(A)-3 (B)3 (C)6 (D)-6
解析:当Δt趋近于0时,-3Δt-6趋近于-6,
即t=1时该质点的瞬时速度是-6.故选D.
6.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是 .?
解析:=
==-1.
答案:-1
7.已知f′(x0)=,f(3)=2,f′(3)=-2,则的值是 .?
解析:=
=
=-3+
=-3f′(3)+
=-3f′(3)+2
=8.
答案:8
8.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程.
(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.
解:(1)y′=
=
=(2x+Δx+1)=2x+1.
y′x=1=2×1+1=3,
所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),
则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.
因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.
所以直线l2的方程为y=-x-.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为(,-).
l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),(-,0).
所以所求三角形的面积S=××-=.
【能力提升】
9.(2018·杭州高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围是[0,],则点P横坐标的取值范围为( A )
(A)[-1,-] (B)[-1,0]
(C)[0,1] (D)[,1]
解析:设点P(x0,y0),则
f′(x0)=
=
=
=(2x0+2+Δx)=2x0+2.
结合导数的几何意义可知0≤2x0+2≤1,
解得-1≤x0≤-.故选A.
10.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列{}的前n项和为Sn,则S2 018的值为( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k==2b,
由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,
所以b=.
因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),
所以=-,故数列{}的前n项和为Sn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-,所以S2 018=1-=.故选A.
11.(2018·甘肃质检)若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .?
解析:由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,设P(x0,),由导数的几何意义知y′==2x0=1,得x0=,
所以P(,),
故点P到直线y=x-2的最小距离
d==.
答案:
12.已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程;
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?
解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,
所以切点为P(1,1).
因为y′==
=
=[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2,
所以y′=3.
所以过P点的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)由
可得(x-1)(x2+x-2)=(x-1)2(x+2)=0,
解得x1=1,x2=-2.
从而求得公共点为(1,1)或(-2,-8).
说明切线与曲线C的公共点除了切点P外,还有另外的点(-2,-8).
【探究创新】
13.(2018·银川高二月考)设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a的值为 .?
解析:设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),
因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1- (+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,
所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9.
即f′(x0)=3+2ax0-9.
所以f′(x0)=3(x0+)2-9-.
当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.
因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,
所以该切线斜率为-12.
所以-9-=-12.
解得a=±3.
又a<0,所以a=-3.
答案:-3
3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
【选题明细表】
知识点、方法
题号
常用函数的导数
1,3,8
导数的计算
2,7
导数的几何意义
4,5,10
综合问题
6,9,11,12,13
【基础巩固】
1.下列结论
①(sin x)′=-cos x;②()′=;③(log3x)′=;④(ln x)′=.
其中正确的有( B )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:在①中(sin x)′=cos x,在②中()′=-,在③中(log3x)′=,④正确.故选B.
2.已知f(x)=x2,则f′(3)等于( C )
(A)0 (B)2x (C)6 (D)9
解析:因为f(x)=x2,所以f′(x)=2x,所以f′(3)=6.
故选C.
3.函数y=x2sin x的导数为( A )
(A)y′=2xsin x+x2cos x
(B)y′=2xsin x-x2cos x
(C)y′=x2sin x+2xcos x
(D)y′=x2sin x-2xcos x
解析:因为y=x2sin x,
所以y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
故选A.
4.已知f(x)=x3的切线的斜率等于1,则其切线方程有( B )
(A)1个 (B)2个
(C)多于两个 (D)不能确定
解析:因为f′(x)=3x2,
所以令3x2=1,得x=±.
所以可得切点坐标为(,)和(-,-).
所以f(x)=x3有两条斜率为1的切线.故有两个切线方程.故选B.
5.(2018·大理高二检测)曲线y=在点(,)处切线的倾斜角为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:由于y=,所以y′=,于是y′=1,
所以曲线在点(,)处的切线的斜率等于1,倾斜角为.故选B.
6.(2018·葫芦岛高二检测)曲线y=ex在(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( D )
(A)e2 (B)2e2 (C)e2 (D)
解析:y′=ex,所以y′x=2=e2,
所以切线方程为y-e2=e2(x-2),
即y=e2x-e2.
当x=0时,y=-e2;当y=0时,x=1.
所以S三角形=×1×|-e2|=.故选D.
7.(2018·大连高二双基检测)已知f(x)=x3+3xf′(0),则f′(1)= .?
解析:由于f′(0)是一常数,
所以f′(x)=x2+3f′(0),
令x=0,则f′(0)=0,
所以f′(1)=12+3f′(0)=1.
答案:1
8.求下列函数的导数:
(1)y=-ln x;
(2)y=(x2+1)(x-1);
(3)y=;
(4)y=.
解:(1)y′=(-ln x)′=()′-(ln x)′=-.
(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′
=(x3)′-(x2)′+x′-1′
=3x2-2x+1.
(3)y′==.
(4)y′==.
【能力提升】
9.(2018·昆明高二质检)设f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,(x)=f′n(x),n∈N,则f2 018(x)等于( B )
(A)sin x (B)-sin x (C)cos x (D)-cos x
解析:因为f0(x)=sin x,
所以f1(x)=f′0(x)=(sin x)′=cos x,
f2(x)=f′1(x)=(cos x)′=-sin x,
f3(x)=f′2(x)=(-sin x)′=-cos x,
f4(x)=f′3(x)=(-cos x)′=sin x,
所以4为最小正周期,所以f2 018(x)=f2(x)=-sin x.
故选B.
10.(2018·桂林高二检测)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是( C )
(A)1 (B) (C)1或 (D)1或-
解析:因为(0,0)在f(x)上,当O(0,0)为f(x)的切点时,
因为k=f′(0)=2,所以l方程为y=2x,
又l与y=x2+a相切,所以x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,得a=1;当O(0,0)不是f(x)的切点时,
设切点为(x0,-3+2x0),则k=3-6x0+2,
所以=3-6x0+2,得x0=,
所以k=-,所以l:y=-x.由
得x2+x+a=0,由题意得Δ=-4a=0,所以a=.综上得a=1或a=.故选C.
11.已知f(x)=cos x,g(x)=x,则关于x的不等式f′(x)+g′(x)≤0的解集为 .?
解析:f′(x)+g′(x)=-sin x+1≤0,所以sin x≥1,
又sin x≤1,所以sin x=1,所以x=+2kπ,k∈Z.
答案:{xx=+2kπ,k∈Z}
12.(2018·银川高二月考)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
(1)解:f′(x)=a+.
因为点(2,f(2))在切线7x-4y-12=0上,
所以f(2)==.
又曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为
7x-4y-12=0,
所以??
所以f(x)的解析式为f(x)=x-.
(2)证明:设(x0,x0-)为曲线y=f(x)上任意一点,
则切线斜率k=1+,切线方程为
y-(x0-)=(1+)(x-x0),
令x=0,得y=-.
由得
所以曲线y=f(x)上任意一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积S=|2x0|-=6,为定值.
【探究创新】
13.(2018·武夷山高二检测)已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧AOB上求一点P,使△ABP的面积最大,并求最大值.
解:设P(x0,y0),过点P作与AB平行的直线为l,
如图,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组,得
得x2-12x+16=0,x1+x2=12,
x1x2=16,
所以|AB|=|x1-x2|
=·=·=10,
要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,而P点是抛物 线的弧AOB上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的 切点,
由图知点P在x轴上方,y=,y′=,
由题意知kAB=.
所以kl==,即x0=1,
所以y0=1.所以P(1,1).
又点P到直线AB的距离d===,
所以S△PAB=×|AB|·d=×10×=5.
故所求点为P(1,1),△ABP的面积最大值为5.
3.3.2 函数的极值与导数
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数极值的定义
1
函数极值(点)的判断与求解
2,3,7
由函数极值求参数(或范围)
4,5
函数极值的应用
10
综合问题
6,8,9,11
【基础巩固】
1.下列关于函数的极值的说法正确的是( D )
(A)导数值为0的点一定是函数的极值点
(B)函数的极小值一定小于它的极大值
(C)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值
(D)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数
解析:由极值的概念可知只有D正确.
2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( A )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:极小值点应有先减后增的特点,即f′(x)<0→f′(x)=0→f′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点.故选A.
3.函数y=1+3x-x3有( D )
(A)极小值-1,极大值1
(B)极小值-2,极大值3
(C)极小值-2,极大值2
(D)极小值-1,极大值3
解析:f′(x)=-3x2+3,由f′(x)=0可得x1=1,x2=-1.
由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)=3,
极小值为f(-1)=1-3+1=-1.故选D.
4.(2018·太原高二检测)若函数f(x)=ax-ln x在x=处取得极值,则实数a的值为( A )
(A) (B) (C)2 (D)
解析:f′(x)=a-,令f′()=0,即a-=0,
解得a=.故选A.
5.(2017·河南高二月考)已知函数f(x)=ex-ax有两个零点x1
(A)a>e
(B)x1+x2>2
(C)x1x2>1
(D)有极小值点x0,且x1+x2<2x0
解析:因为f(x)=ex-ax,所以f′(x)=ex-a,
令f′(x)=ex-a>0,
①当a≤0时,f′(x)=ex-a>0在x∈R上恒成立,
所以f(x)在R上单调递增.
②当a>0时,因为f′(x)=ex-a>0,所以ex-a>0,
解得x>ln a,
所以f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.
因为函数f(x)=ex-ax有两个零点x1所以f(ln a)<0,a>0,
所以eln a-aln a<0,所以a>e,A正确;
x1+x2=ln(a2x1x2)=2ln a+ln(x1x2)>2+ln(x1x2),
取a=,f(2)=e2-2a=0,
所以x2=2,f(0)=1>0,所以0所以x1+x2>2,B正确;
f(0)=1>0,所以01不一定,C不正确;
f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增,所以有极小值点x0=ln a,且x1+x2<2x0=2ln a,D正确.故选C.
6.(2015·陕西卷)函数y=xex在其极值点处的切线方程为 .
解析:由y=xex可得y′=ex+xex=ex(x+1),
从而可得y=xex在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,
所以当x=-1时,y=xex取得极小值-e-1,
因为y′|x=-1=0,切点为(-1,-),
故切线方程为y=-e-1,
即y=-.
答案:y=-
7.(2018·宝鸡高二月考)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中正确的是
(把所有正确的说法序号都填上).?
①当x=时函数取得极小值;
②f(x)有两个极值点;
③当x=2时函数取得极小值;
④当x=1时函数取得极大值.
解析:从题中图象上可以看到:当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;
当x∈(1,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时函数取得极大值.只有①不正确.
答案:②③④
8.(2017·咸阳高二期末)已知函数f(x)=x3+3x2-9x+3.求:
(1)f(x)的单调递增区间;
(2)f(x)的极值.
解:(1)f′(x)=3x2+6x-9,
解f′(x)≥0,得x≥1或x≤-3;
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-3],[1,+∞).
(2)x<-3时,f′(x)>0,-31时,f′(x)>0;
所以x=-3时f(x)取极大值30,
x=1时,f(x)取极小值-2.
【能力提升】
9.(2018·沈阳高二质检)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为( D )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)9
解析:f′(x)=12x2-2ax-2b,
则f′(1)=12-2a-2b=0,则a+b=6,
又a>0,b>0,则t=ab≤()2=9,当且仅当a=b=3时取等号.故选D.
10.(2018·成都高二诊断)函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是 .?
解析:令f′(x)=3x2-3a=0,得x=±,
则f(x),f′(x)随x的变化情况如表:
x
(-∞,-)
-
(-,)
(,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
从而
解得
所以f(x)的单调递减区间是(-1,1).
答案:(-1,1)
11.(2018·呼伦贝尔高二检测)设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4.
(1)求a,b,c的值;
(2)求函数的递减区间.
解:(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.又图象与x轴相切于点(0,0),且y′=3x2+2ax+b,
故0=3×02+2a×0+b,解得b=0.
所以y=x3+ax2,则y′=3x2+2ax.
令y′=0,解得x=0或x=-a,
即x=0和x=-a是极值点.
由图象知函数在x=0处取极大值,故在x=-a时取极小值.
当x=-a时,函数有极小值-4,
所以(-a)3+a(-)2=-4,
整理得a3=-27,解得a=-3.
故a=-3,b=0,c=0.
(2)由(1)得y=x3-3x2,则y′=3x2-6x,
令y′<0,即y′=3x2-6x<0,
解得0所以函数的递减区间是(0,2).
【探究创新】
12.(2017·南阳高二期末)已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c,函数f(x)在区间(0,1)内取极大值,在区间(1,2)内取极小值,则u=的取值范围是 .?
名师点拨:由函数在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取极小值,列出a,b所满足的约束条件,利用线性规划求解.
解析:f′(x)=x2+ax+2b,
因为函数f(x)在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取极小值.
所以即
作出点(a,b)所满足的可行域如图:
而u=可看作是平面区域内的点与点C(1,2)连线的斜率,
由可得A(-3,1),又B(-1,0)
所以kAC==,kBC==1,所以答案:(,1)
3.3.3 函数的最大(小)值与导数
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数极值与最值的关系
1
函数的最值
2,3,6,13
由函数最值求参数(或范围)
4,5,7,10
函数最值的应用
9,11
综合应用
8,12
【基础巩固】
1.下列说法正确的是( D )
(A)函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值
(B)闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值
(C)若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值
(D)若函数在给定区间上有最大(小)值,则有且仅有一个最大(小)值,但若有极值,则可有多个极值
解析:由极值与最值的区别知选D.
2.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( D )
(A)有最大值,但无最小值
(B)有最大值,也有最小值
(C)无最大值,但有最小值
(D)既无最大值,也无最小值
解析:f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),因为x∈(-1,1),
所以f′(x)<0,即函数在(-1,1)上是单调递减的,所以既无最大值,也无最小值.故选D.
3.函数f(x)=3x-x3(-≤x≤3)的最大值为( B )
(A)18 (B)2 (C)0 (D)-18
解析:f′(x)=3-3x2,令f′(x)=0,得x=±1,-≤x<-1时,f′(x)<0,
-10,1因为f(1)=2,f(-1)=-2,
又f(-)=0,f(3)=-18,所以[f(x)]max=2,[f(x)]min=-18.故选B.
4.(2018·大同高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是( B )
(A)[0,1) (B)(0,1)
(C)(-1,1) (D)(0,)
解析:因为f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2有解,又因为x∈(0,1),所以05.(2017·东莞市高二期末)已知a∈R,若不等式ln x-+x-2>0对于任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值范围为( C )
(A)(-∞,2] (B)(-∞,1]
(C)(-∞,-1] (D)(-∞,0]
解析:由已知得,a令f(x)=xln x+x2-2x(x>1),则f′(x)=ln x+2x-1,
f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增,故f(x)>-1,故a≤-1.故选C.
6.函数f(x)=,x∈[-2,2]的最大值是 ,最小值是 .?
解析:因为y′==,
令y′=0可得x=1或-1.
又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,
所以最大值为2,最小值为-2.
答案:2 -2
7.(2018·包头高二月考)函数f(x)=x2+2ax+1在[0,1]上的最小值为f(1),则a的取值范围为 .?
解析:f′(x)=2x+2a,
f(x)在[0,1]上的最小值为f(1),说明f(x)在[0,1]上单调递减,所以x∈[0,1]时,f′(x)≤0恒成立,
f′(1)=2+2a≤0,所以a≤-1.
答案:(-∞,-1]
8.(2018·北海高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最 小值.
解:(1)f(x)定义域为R,
因为f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)由(1)及已知,f(x)在[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上是增函数,
因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,
f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
于是有22+a=20,所以a=-2.
所以f(x)=-x3+3x2+9x-2.
所以f(-1)=1+3-9-2=-7,
即f(x)最小值为-7.
【能力提升】
9.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且 f′(x)(A)f(a)-g(a) (B)f(b)-g(b)
(C)f(a)-g(b) (D)f(b)-g(a)
解析:[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)<0,
所以函数f(x)-g(x)在[a,b]上单调递减,
所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).故选A.
10.(2018·桂林高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为( D )
(A)1 (B) (C) (D)
解析:|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln x的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.
11.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是 .?
解析:函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,而g′(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在 (-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递减,因而g(x)=2x-ex的值域为 (-∞,2ln 2-2],所以要使函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,只需a≤2ln 2-2即可.
答案:(-∞,2ln 2-2]
12.(2018·郑州高二质检)已知函数f(x)=(a-)x2+ln x(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=x2+ln x,x>0,
f′(x)=x+=;
对于x∈[1,e],有f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,e]上为增函数,
所以f(x)max=f(e)=1+,
f(x)min=f(1)=.
(2)令g(x)=f(x)-2ax
=(a-)x2-2ax+ln x,
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立,
因为g′(x)=(2a-1)x-2a+==.
①若a>,
令g′(x)=0,得x1=1,x2=,
当x2>x1=1,即在(x2,+∞)上有g′(x)>0,
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,
当x→+∞时,有(a-)x2-2ax→+∞,ln x→+∞,
g(x)∈[g(x2),+∞),不合题意;
当x2≤x1=1,即a≥1时,
同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,
当x→+∞时,有(a-)x2-2ax→+∞,ln x→+∞,
g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意.
②若a≤,则2a-1≤0,
此时在区间(1,+∞)上恒有g′(x)<0,
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
要使g(x)<0在此区间上恒成立,
只须满足g(1)=-a-≤0,即a≥-,
所以-≤a≤.
综上所述,a的取值范围是[-,].
【探究创新】
13.(2018·张家口高二检测)已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.
解:因为f(x)=x2e-ax(a>0),
所以f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).
令f′(x)>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,
得0所以f(x)在(-∞,0),(,+∞)上是减函数,
在(0,)上是增函数.
当0<≤1,即a≥2时,f(x)在[1,2]上是减函数,
所以f(x)max=f(1)=e-a.
当1<<2,即1f(x)在(1,)上是增函数,
在(,2)上是减函数,
所以f(x)max=f()=e-2.
当≥2,即0所以f(x)max=f(2)=4e-2a.
综上所述,当0当1当a≥2时,f(x)的最大值为e-a.
3.4 生活中的优化问题举例
【选题明细表】
知识点、方法
题号
几何中的最值问题
1,4,10
用料最省、费用最省问题
6,8,11
利润最大问题
5,7,9
其他问题
2,3
【基础巩固】
1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)=x2()(0(A)30 (B)40 (C)50 (D)60
解析:V(x)=-x3+30x2,V′(x)=-x2+60x,
令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且当0V′(x)>0,当402.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是( C )
(A)8 (B) (C)-1 (D)-8
解析:原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.故选C.
3.将8分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为( B )
(A)2和6 (B)4和4
(C)3和5 (D)以上都不对
解析:设一个数为x,则另一个数为8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0≤x≤8,y′=48x-192.
令y′=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y′<0;当40,所以当x=4时,y取得极小值,也是最小值.故选B.
4.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为( A )
(A)()3π (B)()3π (C)()3π (D)()3π
解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,
则4r+2h=l,所以h=,
V=πr2h=πr2-2πr3(0令V′=0,得r=0或r=,而r>0,
所以r=是其唯一的极值点.所以当r=时,V取得最大值,最大值为()3π.故选A.
5.(2018·石家庄高二质检)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为( A )
(A)3.2% (B)2.4% (C)4% (D)3.6%
解析:依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0当00;当0.0326.如图所示,某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为 .?
解析:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为x米,则长为米,
因此新墙壁总长度L=2x+(x>0),
则L′=2-.
令L′=0,得x=±16.
因为x>0,所以x=16.
当x=16时,Lmin=64,此时堆料场的长为=32(米).
答案:32,16
7.(2018·长春高二月考)某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=1 200+x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产品件数定为 件时,总利润最大.?
解析:设产品的单价为p万元,根据已知,可设p2=,其中k为比例系数.
因为当x=100时,p=50,所以k=250 000,
所以p2=,p=,x>0.
设总利润为y万元,
则y=·x-1 200-x3=500-x3-1 200.
求导数得,y′=-x2.
令y′=0得x=25.
故当x<25时,y′>0;当x>25时,y′<0.
因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.
答案:25
8.(2018·南宁高二检测)现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6),其余费用为每小时960元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;
(2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?
解:(1)依题意得y=(960+0.6x2)=+300x,
且由题意知,函数的定义域为(0,35],
即y=+300x(0(2)由(1)知,y′=-+300,令y′=0,
解得x=40或x=-40(舍去).
因为函数的定义域为(0,35],所以函数在定义域内没有极值点.又当0所以y=+300x在(0,35]上单调递减,
故当x=35时,函数y=+300x取得最小值.
故为了使全程运输成本最低,轮船应以35海里/时的速度行驶.
【能力提升】
9.(2018·西安高二质检)某商场根据以往规律预计某种商品2018年第x月的销售量f(x)=-3x2+40x(x∈N*,1≤x≤12),该商品的进价q(x)与月份x的关系是q(x)=150+2x(x∈N*,1≤x≤12),该商品每件的售价为185元,若不考虑其他因素,则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是( B )
(A)3 120元 (B)3 125元 (C)2 417元 (D)2 416元
解析:该商场预计销售该商品的月利润为
g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)
=6x3-185x2+1 400x(x∈N*,1≤x≤12),
g′(x)=18x2-370x+1 400.
令g′(x)=0,解得x=5,x=(舍去).
当1≤x≤5时,g′(x)>0;当5所以当x=5时,g(x)max=g(5)=3 125(元).
综上,5月份的月利润最大,是3 125元.故选B.
10.(2018·杭州高二检测)在半径为r的半圆内有一内接梯形,其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,该梯形的上底长为( D )
(A) (B)r (C)r (D)r
解析:设梯形的上底长为2x(0因为h=,
所以S==(r+x)·.
所以S′=-=
=.
令S′=0,得x=(x=-r舍去),
则h=r.
当x∈(0,)时,S′>0;
当所以当x=时,S取极大值,也就是最大值.
所以当梯形的上底长为r时,它的面积最大.
【探究创新】
11.(2018·宁波高二检测)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.?
解析:设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1=,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,
于是由2=得k1=20;
由8=10k2得k2=.
所以两项费用之和为y=+(x>0),
y′=-+,令y′=0,
得x=5或x=-5(舍去).
当0当x>5时,y′>0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.
答案:5
