1.1.1 命 题
【选题明细表】
知识点、方法
题号
命题的概念
1,2,6,8
命题的真假判断
3,4,9,10,11
命题的条件与结构
5,12
综合问题
7,13
【基础巩固】
1.下列语句中是命题的是( B )
(A)周期函数的和是周期函数吗?
(B)sin 45°=1
(C)x2+2x-1>0
(D)梯形是不是平面图形呢?
解析:A,C,D都不能判断真假,不是命题.
2.下列语句中命题的个数是( D )
①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①③④是命题;②不能判断真假,不是命题.
3.下列命题为真命题的是( A )
(A)若=,则x=y
(B)若x2=1,则x=1
(C)若x=y,则=
(D)若x
解析:很明显A正确;B中,由x2=1,得x=±1,所以B是假命题;C中,当x=y<0时,结论不成立,所以C是假命题;D中,当x=-1,y=1时,结论不成立,所以D是假命题.
4.(2017·济南高二月考)下列命题中错误的是( C )
(A)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(B)平行四边形的对边相等
(C)对角线相等的四边形是矩形
(D)矩形的对角线相等
解析:C,比如等腰梯形的对角线相等,可判断C错.
5.命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( D )
(A)两个平面
(B)一条直线
(C)垂直
(D)两个平面垂直于同一条直线
解析:把命题改为“若p则q”的形式为若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行,则条件为“两个平面垂直于同一条直线”.
6.下列语句:
①是无限循环小数;
②x2-3x+2=0;
③当x=4时,2x>0;
④把门关上!
其中不是命题的是 .?
解析:①是命题;②不是命题,因为语句中含有变量x,在没给变量x赋值的情况下,无法判断语句的真假;③是命题;④是祈使句,不是命题.
答案:②④
7.已知命题“f(x)=cos2ωx-sin2ωx的最小正周期是π”是真命题,则实数ω的值为 .?
解析:f(x)=cos2ωx-sin2ωx=cos 2ωx,
所以||=π,
解得ω=±1.
答案:±1
【能力提升】
8.“红豆生南国,春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》,在这四句诗中,可作为命题的是( A )
(A)红豆生南国 (B)春来发几枝
(C)愿君多采撷 (D)此物最相思
解析:A为可判断真假的陈述句,所以是命题;而B为疑问句,C为祈使句,D为感叹句,所以均不是命题.
9.(2017·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中,所有正确命题的个数为( C )
①函数y=x2-3x+1的图象关于x=对称;
②若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;
③若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B.
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)0个
解析:①由y=(x-)2-知①正确,②表示平面直角坐标系中(x,y)与(-2,0)两点所在直线的斜率,由数形结合知②正确,③由三角形中的性质知A+B>,A>-B,sin A>sin(-B),sin A>cos B,③正确.故选C.
10.(2018·绵阳高二检测)设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:
①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;
②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;
③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;
④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.
其中真命题的个数是 .?
解析:因为垂直于同一直线的两条直线不一定平行,
所以命题①不正确;
因为与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面,也可以异面,所以命题②不正确;
因为与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交,也可以平行或异面,所以命题③不正确;
因为当两平面的相交直线为直线b时,两平面内分别可以作出直线a与c,即直线a与c不一定共面,所以命题④不正确.
综上所述,真命题的个数为0.
答案:0
11.下列语句中是命题的有 ,其中是真命题的有 .
(填序号)?
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗?”
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?”
③“一个数不是正数就是负数”;
④“在一个三角形中,大角所对的边大于小角所对的边”;
⑤“若x+y为有理数,则x,y都是有理数”;
⑥作一个三角形.
解析:①通过反义疑问句(即反问句)对等边三角形是等腰三角形作出判断,是真命题.
②疑问句,没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题.
③是假命题,数0既不是正数也不是负数.
④是真命题,在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边.
⑤是假命题,如x=,y=-.
⑥祈使句,不是命题.
答案:①③④⑤ ①④
12.指出下列命题中的条件p和结论q,并判断各命题的真假:
(1)若b2=ac,则a,b,c成等比数列;
(2)正角的正弦值是正数;
(3)函数f(x)=2|x|的图象关于y轴对称;
(4)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
解:(1)命题的条件p为“b2=ac”,结论q为“a,b,c成等比数列”,若a=b=0时,a,b,c不成等比数列,所以是假命题.
(2)命题的条件p为“一个角是正角”,结论q为“它的正弦值是正数”,由于sin π=0,所以是假命题.
(3)命题的条件p为“f(x)=2|x|”,结论q为“该函数的图象关于y轴对称”.由于f(-x)=f(x)=2|x|,
所以f(x)=2|x|是偶函数,所以函数的图象关于y轴对称,是真命题.
(4)命题的条件p为“两个正数”,结论q为“它们的算术平均数不小于它们的几何平均数”.基本不等式≥(a>0,b>0)一定成立,而表示两个正数的算术平均数,表示两个正数的几何平均数,所以此命题是真命题.
【探究创新】
13.(2018·张掖高二检测)已知集A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0}.
若A∩B=是假命题,求实数m的取值范围.
解:设全集U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0}=(m|m≤-1或m≥).
若设方程x2-4mx+2m+6=0的两根分别为x1,x2,当两根均为非负实根时,有
解得m≥.
因为(m|m≥)关于U的补集是{m|m≤-1},
所以实数m的取值范围是{m|m≤-1}.
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
【选题明细表】
知识点、方法
题号
四种命题的概念
1,2,3,6,9
四种命题的真假判断
4,5,7,10,12
等价命题的应用
8
综合应用
11,13
【基础巩固】
1.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( D )
(A)若a≠-b,则|a|≠|b|
(B)若a=-b,则|a|≠|b|
(C)若|a|≠|b|,则a≠-b
(D)若|a|=|b|,则a=-b
解析:将原命题的条件改为结论,结论改为条件,即得原命题的逆命题.故选D.
2.命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是( A )
(A)若A∪B≠A,则A∩B≠B
(B)若A∩B=B,则A∪B=A
(C)若A∩B≠B,则A∪B≠A
(D)若A∪B≠A,则A∩B=B
解析:命题“若p,则q”的否命题为“若非p,则非q”,故A正确.
3.(2018·贵阳高二月考)命题:“若x2<1,则-1(A)若x2≥1,则x≥1,或x≤-1
(B)若-1(C)若x>1,或x<-1,则x2>1
(D)若x≥1,或x≤-1,则x2≥1
解析:-14.(2018·大连高二期中)命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:易知原命题为真命题,从而逆否命题为真命题.
因为逆命题为“若a>-6,则a>-3”,所以逆命题为假命题,所以否命题为假命题.从而真命题的个数是2.故选B.
5.(2017·马鞍山二中期末)下列说法中正确的是( D )
(A)一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真
(B)“|a|>|b|”与“a2>b2”不等价
(C)“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”
(D)一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真
解析:对于A.一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真,但是逆否命题不能判断真假,所以A不正确;
对于B.“|a|>|b|”与“a2>b2”是等价不等式,所以B不正确;
对于C.“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b不全为0,则a2+b2≠0”,不是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”,所以C不正确;
对于D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真,满足四种命题的真假关系,正确.
故选D.
6.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题是 .?
解析:“若p,则q”的否命题为“若?p,则?q”.
答案:若a≤b,则2a≤2b-1
7.(2017·吉安高二检测)有下列四个命题,其中真命题有 (只填序号).?
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题;
④“若a>b,则ac2>bc2”的逆否命题.
解析:①中逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题.
②的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”,是假命题.
③的逆命题为“若x2+2x+q=0有实根,则q≤1”,为真命题,由Δ=4-4q≥0,得q≤1,
④中当c=0时,原命题不正确,因此逆否命题是假命题.
综上可知①③是真命题.
答案:①③
【能力提升】
8.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等价命题是( C )
(A)如果x(B)如果x≥2ab,那么x≥a2+b2
(C)如果x<2ab,那么x(D)如果x≥a2+b2,那么x<2ab
解析:原命题的等价命题是它的逆否命题.故选C.
9.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,p的逆命题为t,则s是t的( C )
(A)逆否命题 (B)逆命题
(C)否命题 (D)原命题
解析:法一 特例:在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,
p:若∠A=∠B,则a=b,
r:若∠A≠∠B,则a≠b;
s:若a≠b,则∠A≠∠B;
t.若a=b,则∠A=∠B.
故s是t的否命题.
法二 如图可知,s与t互否.选C.
10.(2017·邯郸高二期中)给出以下四个命题:
①若ab≤0,则a≤0或b≤0;
②若a>b,则am2>bm2;
③在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B;
④在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根.
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是 .?
解析:对于①,原命题是:若ab≤0,则a≤0或b≤0,是真命题,
逆命题是:若a≤0或b≤0,则ab≤0,是假命题,
否命题是:若ab>0,则a>0且b>0,是假命题,
逆否命题是:若a>0且b>0,则ab>0,是真命题;
对于②,原命题是:若a>b,则am2>bm2,是假命题,
逆命题是:若am2>bm2,则a>b,是真命题,
否命题是:若a≤b,则am2≤bm2,是真命题,
逆否命题是:若am2≤bm2,则a≤b,是假命题;
对于③,原命题是:在△ABC中,若sin A=sin B,则A=B,是真命题,
逆命题是:在△ABC中,若A=B,则sin A=sin B,是真命题,
否命题是:在△ABC中,若sin A≠sin B,则A≠B,是真命题,
逆否命题是:在△ABC中,若A≠B,则sin A≠sin B,是真命题;
对于④,原命题是:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根,是假命题,
逆命题是:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若方程有实数根,则b2-4ac
<0,是假命题,
否命题是:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac≥0,则方程无实数根,是假命题,
逆否命题是:在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若方程无实数根,则b2-4ac≥0,是假命题.
综上,以上命题中,原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是③.
答案:③
11.(2018·宜春高二月考)已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围为 .?
解析:因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,
解得m≥3;又p(2)是真命题,
所以4+4-m>0,
解得m<8.
故实数m的取值范围是[3,8).
答案:[3,8)
12.(2017·宣化区高二期中)写出命题“若x2-3x+2≠0,则x≠1且x≠2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
解:因为原命题是“若x2-3x+2≠0,则x≠1且x≠2”,
所以它的逆命题是:若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0,是真命题;
否命题是:若x2-3x+2=0,则x=1或x=2,是真命题;
逆否命题是:若x=1或x=2,则x2-3x+2=0,是真命题.
【探究创新】
13.(2018·衡中周测)在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题;
(2)判断这个命题的逆命题何时为假,何时为真,并给出证明.
解:(1)这个命题的逆命题是:在等比数列{an}中,
前n项和为Sn,若am,am+2,am+1成等差数列,
则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
否命题是:在等比数列{an}中,前n项和为Sn,
若Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列,
则am,am+2,am+1不成等差数列.
逆否命题是:在等比数列{an}中,前n项和为Sn,
若am,am+2,am+1不成等差数列,
则Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.
(2)设等比数列{an}的公比为q,则当q=1时,这个命题的逆命题为假,证明如下:
易知am=am+2=am+1=a1≠0,
若am,am+2,am+1成等差数列,
则Sm+2-Sm=2a1,Sm+1-Sm+2=-a1,
显然Sm+2-Sm≠Sm+1-Sm+2.
当q≠1时,这个命题的逆命题为真,证明如下:
因为am=a1qm-1,am+2=a1qm+1,am+1=a1qm,
若am,am+2,am+1成等差数列,
则a1qm-1+a1qm=2a1qm+1,
即1+q=2q2,q=-,
又Sm+2-Sm=-=
=a1(-)m,
Sm+1-Sm+2=-am+2=a1(-)m,
所以Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
【选题明细表】
知识点、方法
题号
充分、必要条件的判断
1,2,4,6,9,10
充分、必要条件的探求
3,5,7
由条件关系求参数值(或范围)
8,11
充要条件的求解与证明
12
【基础巩固】
1.(2017·汕头高二月考)已知A,B是非空集合,命题甲:A∪B=B,命题乙:AB,那么( B )
(A)甲是乙的充分不必要条件
(B)甲是乙的必要不充分条件
(C)甲是乙的充要条件
(D)甲是乙的既不充分也不必要条件
解析:因为命题甲:A∪B=B,命题乙:AB.A∪B=B?A?B,AB?A∪B=B.
所以甲是乙的必要不充分条件.
故选B.
2.(2018·昆明高二质检)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( B )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:l⊥m无法推出l∥α,因为l可能在平面内;l∥α可以推出l⊥m,因此“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B.
3.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是( A )
(A)若=,则x=y (B)若x2=1,则x=1
(C)若x=y,则= (D)若x解析:B项中,x2=1?x=1或x=-1;C项中,当x=y<0时,,无意义;D项中,当xy2,所以B,C,D中p不是q的充分条件.故选A.
4.(2018·福州高二月考)在下列3个结论中,正确的有( C )
①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;
②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;
③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.
(A)①② (B)②③ (C)①③ (D)①②③
解析:对于①,由x3<-8?x<-2?x2>4,但是x2>4?x>2或x<-2?x3>8或x3<-8,不一定有x3<-8,故①正确;对于②,当B=90°或C=90°时不能推出AB2+AC2=BC2,故②错;对于③,由a2+b2≠0?a,b不全为0,反之,由a,b不全为0?a2+b2≠0,故③正确.故选C.
5.(2017·成都高二诊断)函数f(x)=x2-2ax+1在(-∞,2]上是单调减函数的必要不充分条件是( C )
(A)a≥2 (B)a≥3 (C)a≥0 (D)a=6
解析:f(x)=x2-2ax+1在(-∞,2]上递减的充要条件是a≥2,则判断a≥0满足条件.
6.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的
条件.?
解析:当A∩B={4}时,m2=4,所以m=±2.
所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
答案:充分不必要
7.(2018·安阳高二期中)已知a,b为两个非零向量,有以下命题:
①a2=b2;②a·b=b2;③|a|=|b|且a∥b.其中可以作为a=b的必要不充分条件的命题是 .(将所有正确命题的序号填在题中横线上)?
解析:显然a=b时,①②③均成立,即必要性成立.
当a2=b2时,(a+b)·(a-b)=0,不一定有a=b;
当a·b=b2时,b·(a-b)=0,不一定有a=b;
当|a|=|b|且a∥b时,a=b或a=-b,
即①②③都不能推出a=b.
答案:①②③
8.是否存在实数p,使4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件?如果存在,求出p的取值范围;如果不存在,请说明理由.
解:由x2-x-2>0,解得x>2或x<-1,
令A={x|x>2或x<-1},
由4x+p<0,得B={x|x<-}.
当B?A时,即-≤-1.
即p≥4,
此时x<-≤-1?x2-x-2>0,所以当p≥4时,4x+p<0是x2-x-2>0的充分条件.
【能力提升】
9.(2018·永州高二检测)设{an}是等比数列,则“a1(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:若a10,则q>1,此时为递增数列,若a1<0,则010.(2018·周口高二质检)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( B )
(A)充分条件
(B)必要条件
(C)充分不必要条件
(D)既非充分也非必要条件
解析:根据等价命题,便宜?没好货,等价于,好货?不便宜.故选B.
11.(2018·黄石调研)命题p:|x|0),命题q:x2-x-6<0,若p是q的充分条件,则a的取值范围是 ,若p是q的必要条件,则a的取值范围是 .?
解析:p:-a若p是q的充分条件,则(-a,a)?(-2,3),
所以
所以0若p是q的必要条件,则(-2,3)?(-a,a),
所以所以a≥3.
答案:(0,2] [3,+∞)
12.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.
解:(1)a=0时适合.
(2)a≠0时显然方程没有零根.若方程有两异号的实根,则a<0;若方程有两个负的实根,则必须有
解得0综上知:若方程至少有一个负的实根,则a≤1;反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根.因此,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
【探究创新】
13.(2016·浙江卷)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( A )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:因为f(x)=x2+bx=(x+)2-,
当x=-时,f(x)min=-,
又f(f(x))=(f(x))2+bf(x)=(f(x)+)2-,
当f(x)=-时,f(f(x))min=-,
当-≥-时,f(f(x))可以取到最小值-,
即b2-2b≥0,解得b≤0或b≥2,
故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.选A.
1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)
1.3.3 非(not)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
含有逻辑联结词的命题的构成
1,4,5,7
含有逻辑联结词的命题的真假判断
2,8,9,11
由复合命题确定简单命题的真假
3
已知命题的真假求参数的范围
6,10,12,13
【基础巩固】
1.命题:“不等式(x-2)(x-3)<0的解为2(A)没有使用逻辑联结词
(B)使用了逻辑联结词“且”
(C)使用了逻辑联结词“或”
(D)使用了逻辑联结词“非”
解析:22且x<3,故B正确.
2.若命题p:1不是质数,命题q:2是合数,则下列结论中正确的是( B )
(A)“p∨q”为假 (B)“p∨q”为真
(C)“p∧q”为真 (D)以上都不对
解析:命题p为真命题,命题q为假命题,故“p∨q”为真命题,“p∨q”为假命题.故选B.
3.若p,q是两个简单命题,“p或q”的否定是真命题,则必有( B )
(A)p真q真 (B)p假q假
(C)p真q假 (D)p假q真
解析:“p或q”的否定是:“?p且?q”是真命题,则?p,?q都是真命题,故p,q都是假命题.故选B.
4.(2017·临川高二月考)已知p:x∈A∪B,则p的否定是( A )
(A)x?A且x?B (B)x?A或x?B
(C)x?A∩B (D)x∈A∩B
解析:x∈A∪B即x∈A或x∈B,所以?p:x?A且x?B.故选A.
5.(2018·宁德高二月考)在一次篮球投篮比赛中,甲、乙两球员各投篮一次.设命题p:“甲球员投篮命中”;q:“乙球员投篮命中”,则命题“至少有一名球员投中”可表示为( A )
(A)p∨q (B)p∧(?q)
(C)(?p)∧(?q) (D)(?p)∨(?q)
解析:至少有一名球员投中为p∨q.故选A.
6.(2018·河南新乡周练)已知命题p:x2-4x+3<0与q:x2-6x+8<0;若“p且q”是不等式2x2-9x+a<0成立的充分条件,则实数a的取值范围是( C )
(A)(9,+∞) (B){0}
(C)(-∞,9] (D)(0,9]
解析:由x2-4x+3<0可得p:1?a≤9.故选C.
7.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空:
①“正弦函数既是奇函数又是周期函数”是 形式;?
②“负数的对数无意义”是 形式;?
③“e≥2”是 形式;?
④“△ABC是等腰直角三角形”是 形式.?
解析:①“正弦函数既是奇函数又是周期函数”是“正弦函数是奇函数且正弦函数是周期函数”,是p且q的形式;②“负数的对数无意义”是非p的形式;③“e≥2”即“e>2或e=2”,是p或q的形式;④“△ABC是等腰直角三角形”是“△ABC是等腰三角形且△ABC是直角三角形”,是p且q的形式.
答案:p且q 非p p或q p且q
8.(2018·衡水高二摸底联考)已知m,n是不同的直线,α,β是不重合的平面.
命题p:若α∥β,m?α,n?β,则m∥n;
命题q:若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;
下面的命题中:①p∨q;②p∧q;③p∨(?q);④(?p)∧q.真命题的序号是 (写出所有真命题的序号).?
解析:易知p是假命题,q是真命题.
所以?p为真 ?q为假,所以p∨q为真,p∧q为假,p∨(?q)为假,(?p)∧q为真.
答案:①④
【能力提升】
9.(2017·栖霞市高二月考)已知命题p:对任意x∈R,总有3x≤0;命题q:“x>2”是“x>4”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( B )
(A)p∧q (B)(?p)∧(?q)
(C)(?p)∧q (D)p∧(?q)
解析:对于命题p:对任意x∈R,总有3x>0,因此命题p是假命题;命题q:“x>2”是“x>4”的必要不充分条件,因此命题q是假命题.因此命题?p与?q都是真命题.则命题为真命题的是(?p)∧(?q).故选B.
10.(2018·郑州质量预测)已知命题p:m<0,命题q:x2+mx+1>0对一切实数x恒成立,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( D )
(A)(-∞,-2) (B)(2,+∞)
(C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-2,0)
解析:q:x2+mx+1>0对一切实数恒成立,
所以Δ=m2-4<0,所以-2p:m<0,因为p∧q为真命题,
所以p,q均为真命题,
所以,所以-211.(2018·沈阳质量监测)下列结论:
①若命题p:?x∈R,tan x=1;命题q:?x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧(-q)”是假命题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题:“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为 .?
解析:①中命题p为真命题,命题q为真命题,
所以p∧(-q)为假命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;
③正确.所以正确结论的序号为①③.
答案:①③
12.(2018·深圳高二检测)已知c>0,且c≠1,设p:函数y=cx在R上单调递减;q:函数f(x)=x2-2cx+1在(,+∞)上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围.
解:因为函数y=cx在R上单调递减,
所以0即p:00且c≠1,
所以?p:c>1.
又因为f(x)=x2-2cx+1在(,+∞)上为增函数,
所以c≤.
即q:00且c≠1,
所以?q:c>且c≠1.
又因为“p且q”为假,“p或q”为真,
所以p真q假或p假q真.
①当p真,q假时,
{c|0且c≠1}={c|②当p假,q真时,{c|c>1}∩(c|0综上所述,实数c的取值范围是(c|【探究创新】
13.(2018·驻马店月考)设命题p:函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,命题q:关于x的方程x2+2x+loga=0的解集只有一个子集.若“p或q”为真,“?p或?q”也为真,求实数a的取值范围.
解:当命题p是真命题时,应有a>1;
当命题q是真命题时,关于x的方程x2+2x+loga=0无解,
所以Δ=4-4loga<0,
解得1由于“p或q”为真,所以p和q中至少有一个为真,
又“?p或?q”也为真,
所以?p和?q中至少有一个为真,
即p和q中至少有一个为假,
故p和q中一真一假.
p假q真时,a无解;
p真q假时,a≥.
综上所述,实数a的取值范围是[,+∞).
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
【选题明细表】
知识点、方法
题号
全称命题与特称命题的判定
1,2
全称命题与特称命题的符号表示
7,8
全称命题与特称命题的真假判断
3,4,8,9
由全称命题与特称命题的真假求参数(或范围)
5,6
综合应用
10,11,12,13
【基础巩固】
1.下列命题中,不是全称命题的是( D )
(A)任何一个实数乘以0都等于0
(B)自然数都是正整数
(C)每一个向量都有大小
(D)一定存在没有最大值的二次函数
解析:D选项是特称命题.故选D.
2.下列命题中全称命题的个数为( C )
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
解析:①②是全称命题,③是特称命题.故选C.
3.(2017·河南许昌高二期末)下列命题中,真命题是( D )
(A)?x0∈R,使(B)对?x∈R,使2x>x2成立
(C)a+b=0的充要条件是=-1
(D)a>1,b>1是ab>1的充分条件
解析:对于A.画出函数y=ex和y=x+1的草图知,
ex≥x+1恒成立,故错误;
对于B.令x=-2,不成立,故错误;
对于C.=-1是a+b=0的充分不必要条件,错误.
选D.
4.下列命题中的假命题是( C )
(A)?x∈R,lg x=0 (B)?x∈R,tan x=1
(C)?x∈R,x3>0 (D)?x∈R,2x>0
解析:对于C,当x=-1时,x3=-1<0,故C为假命题.故选C.
5.(2017·泰州调研)若()<恒成立,则实数a的取值范围是( B )
(A)(0,1) (B)(,+∞)
(C)(0,) (D)(-∞,)
解析:由题意,得-x2+2ax<3x+a2,
即x2+(3-2a)x+a2>0恒成立,
所以Δ=(3-2a)2-4a2<0,
解得a>.
故选B.
6.(2018·肥城统考)已知命题p:?x∈R,mx2+1≤0,命题q:?x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( C )
(A)(-∞,-2) (B)[-2,0)
(C)(-2,0) (D)(0,2)
解析:p真:m<0.
q真:Δ=m2-4<0,
所以-2因为p∧q为真命题,
所以p,q均为真命题,
所以-27.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述为 .?
答案:?x0<0,使(1+x0)(1-9x0)>0
8.用量词符号“?”“?”表述下列命题,并判断真假.
(1)所有实数x都能使x2+x+1>0成立;
(2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;
(3)一定有整数x0,y0,使得3x0-2y0=10成立;
(4)所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数.
解:(1)?x∈R,x2+x+1>0;真命题.
(2)?a,b∈R,ax+b=0恰有一解;假命题.
(3)?x0,y0∈Z,3x0-2y0=10;真命题.
(4)?x∈Q,x2+x+1是有理数;真命题.
【能力提升】
9.(2018·浙江六校联考)已知命题p:?x∈R,2x<3x;命题q:?x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是( B )
(A)p∧q (B)(?p)∧q
(C)p∧(?q) (D)(?p)∧(?q)
解析:由20=30知p为假命题;
令h(x)=x3+x2-1,
则h(0)=-1<0,h(1)=1>0,
所以方程x3+x2-1=0在(-1,1)内有解,
所以q为真命题,
所以(?p)∧q为真命题,故选B.
10.(2018·宝鸡质检)已知命题p:?x0∈N,<;命题q:?a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0),则( A )
(A)p假q真 (B)p真q假
(C)p假q假 (D)p真q真
解析:由<,得(x0-1)<0,
解得x0<0或0所以命题p为假命题;
因为对任意的a∈(0,1)∪(1,+∞),均有f(2)=loga1=0,
所以命题q为真命题.
故选A.
11.(2017·枣庄一中高二月考)若“?x∈[-,],m≤tan x+1”为真命题,则实数m的最大值为 .?
解析:“?x∈[-,],m≤tan x+1”为真命题,
可得-1≤tan x≤1.
所以0≤tan x+1≤2,
实数m的最大值为0.
答案:0
12.(2017·会宁县一中高二期中)设p:不等式x2+(m-1)x+1>0的解集为R;q:?x∈(0,+∞),m≤x+恒成立,若“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求实数m的取值范围.
解:若p为真:判别式Δ<0,则(m-1)2-4<0,
所以-1若q为真:?x∈(0,+∞),x+≥2,当且仅当x=1时取“=”,所以m≤2.
由“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,可知p,q一真一假,
(1)当p为真q为假时,2(2)当q为真p为假时,m≤-1,
综上所述,m的取值范围为(-∞,-1]∪(2,3).
【探究创新】
13.若关于x的方程4x-(a+1)2x+9=0有实数解,求实数a的取值范围.
解:令t=2x,则t>0,
即将4x-(a+1)2x+9=0有实数解转化为t2-(a+1)t+9=0在(0,+∞)上有实数解.
设f(t)=t2-(a+1)t+9,
因为f(0)=9>0,
所以有
解得a≥5.
故所求的a的取值范围为[5,+∞).
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
【选题明细表】
知识点、方法
题号
全称命题与特称命题的否定
1,2,4,8
全称命题与特称命题的真假判断
3,8
全称命题与特称命题的应用
6,7,11
综合应用
5,9,10,12,13
【基础巩固】
1.命题“?x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是( A )
(A)?x0∈R,-2x0+1<0 (B)?x0∈R,-2x0+1≥0
(C)?x0∈R,-2x0+1≤0 (D)?x∈R,x2-2x+1<0
解析:由定义直接可得.故选A.
2.(2018·扬州高二检测)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( B )
(A)任意一个有理数,它的平方是有理数
(B)任意一个无理数,它的平方不是有理数
(C)存在一个有理数,它的平方是有理数
(D)存在一个无理数,它的平方不是有理数
解析:量词“存在”否定后为“任意”,结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”.故选B.
3.若函数f(x)=x2+(a∈R),则下列结论正确的是( C )
(A)?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数
(B)?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数
(C)?a∈R,f(x)是偶函数
(D)?a∈R,f(x)是奇函数
解析:对于A只有在a≤0时f(x)在(0,+∞)上是增函数,否则不满足;对于B,如果a≤0就不成立;对于D若a=0,则成为偶函数了,因此只有C是正确的,即对于a=0时有f(x)=x2是一个偶函数,因此存在这样的a,使f(x)是偶函数.故选C.
4.已知命题p:?x∈(0,),sin x=,则?p为( B )
(A)?x∈(0,),sin x=
(B)?x∈(0,),sin x≠
(C)?x∈(0,),sin x≠
(D)?x∈(0,),sin x>
解析: ?p表示命题p的否定,即否定命题p的结论,由“?x∈M,p(x)”的否定为“?x∈M,?p(x)”知选B.
5.(2018·九江七校联考)下列说法正确的是( A )
(A)“a>1”是“f(x)=logax(a>0,a≠1)在(0,+∞)上为增函数”的充要条件
(B)命题“?x∈R使得x2+2x+3<0”的否定是“?x∈R,x2+2x+3>0”
(C)“x=-1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件
(D)命题p:“?x∈R,sin x+cos x≤”,则?p是真命题
解析:a>1时,f(x)=logax为增函数,f(x)=logax(a>0且a≠1)为增函数时,a>1,所以A正确;“<”的否定为“≥”,故B错误;x=-1时,x2+2x+3≠0,x2+2x+3=0时,x无解,故C错误;因为sin x+cos x=sin(x+)≤恒成立,所以p为真命题,从而?p为假命题,所以D错误.
6.(2018·唐山高二月考)若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R,则“f(x)(A)?x0∈R,使f(x0)(B)存在无数多个实数x,使得f(x)(C)?x∈R,都有f(x)+(D)不存在实数x,使得f(x)≥g(x)
解析:有题意可知D正确.
7.(2018·淮安高二期中)若“?x0∈[0,],sin x0+cos x0解析:令f(x)=sin x+cos x=2sin(x+),x∈[0,],
可知f(x)在[0,]上为增函数,在(,]上为减函数,
由于f(0)=,f()=2,f()=1,
所以1≤f(x)≤2,
由于“?x0∈[0,],sin x0+cos x0则其否定“?x∈[0,],sin x+cos x≥m”为真命题,
所以m≤f(x)min=1.
答案:(-∞,1]
8.判断下列命题是否为全称命题或特称命题,若是,用符号表示,并判断其真假.
(1)对任意实数α,有sin2α+cos2α=1;
(2)存在一条直线,其斜率不存在;
(3)存在实数x0,使得=2.
解:(1)是全称命题,用符号表示为“?α∈R,sin2α+cos2α=1”,是真命题.
(2)是特称命题,用符号表示为“?直线l,l的斜率不存在”,是真
命题.
(3)是特称命题,用符号表示为“?x0∈R,=2,”是假命题.
【能力提升】
9.(2018·南昌质检)已知命题p:?x∈R,2x2+2x+<0;命题q:?x∈R.sin x-cos x=.则下列判断正确的是( D )
(A)p是真命题 (B)q是假命题
(C)?p是假命题 (D)?q是假命题
解析:p中:因为Δ=4-4=0,所以p是假命题,
q中,当x=π时,sin x=,cos x=-时,是真命题,故?q是假命题.
故选D.
10.(2018·衡水周测)已知命题p:?b∈[0,+∞),f(x)=x2+bx+c在[0,+∞)上为增函数,命题q:?x0∈Z,使log2x0>0,则下列结论成立的是( D )
(A)(?p)∨(?q) (B)(?p)∧(?q)
(C)p∧(?q) (D)p∨(?q)
解析:f(x)=x2+bx+c=(x+)2+c-,
对称轴为x=-≤0,
解得b≥0,
所以命题p为真命题,?p为假命题,
令x0=4∈Z,则log2x0=2>0,
所以命题q是真命题, ?q为假命题,p∨(?q)为真命题.
故选D.
11.命题“?x∈R,使x2+ax+1<0”为真命题,则实数a的取值范围是
.?
解析:由于?x∈R,使x2+ax+1<0,
又二次函数f(x)=x2+ax+1开口向上,
故Δ=a2-4>0,
所以a>2或a<-2.
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
12.(2017·梁园区高二期中)已知p:?x∈R,cos 2x-sin x+2≤m;q:函数f(x)=()在[1,+∞)上单调递减.
(1)若p∧q为真命题,求m的取值范围;
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求m的取值范围.
解:若p为真,
令f(x)=cos 2x-sin x+2,则m≥f(x)min,
又f(x)=cos 2x-sin x+2=-2sin2x-sin x+3,
又-1≤sin x≤1,
所以sin x=1,f(x)min=0,
所以m≥0.
若q为真,
函数y=()在[1,+∞)上单调递减,
则≤1,所以m≤4.
(1)若p∧q为真,则p,q均为真,所以m∈[0,4].
(2)若p∨q为真,p∧q为假,则p,q一真一假,即
即m>4
或即m<0.
所以m的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞).
【探究创新】
13.(2018·常德高二检测)已知命题p:?a∈(0,b](b∈R且b>0),函数f(x)=sin(+)的周期不大于4π.
(1)写出?p;
(2)当?p是假命题时,求实数b的最大值.
解:(1)?p:?a0∈(0,b](b∈R,且b>0),
函数f(x)=sin(+)的周期大于4π.
(2)因为?p是假命题,
所以p是真命题,
所以?a∈(0,b],≤4π恒成立,
所以a≤2,
所以b≤2.
故实数b的最大值是2.
