2.1.1 椭圆及其标准方程
【选题明细表】
知识点、方法
题号
椭圆的定义
1,2
求椭圆的标准方程
4,7
由椭圆的标准方程求参数或范围
3,8
与椭圆有关的轨迹问题
5,10,12
椭圆定义的应用
6,9,11,13
【基础巩固】
1.平面内一动点M到两定点F1,F2距离之和为常数2a,则点M的轨迹为( D )
(A)椭圆 (B)圆
(C)无轨迹 (D)椭圆或线段或无轨迹
解析:当2a>|F1F2|时,轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹为线段;当2a<|F1F2|时,轨迹不存在.故选D.
2.设P是椭圆+=1上的任意一点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( A )
(A)10 (B)8 (C)5 (D)4
解析:因为椭圆中a2=25,
所以2a=10.
由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.
故选A.
3.已知椭圆+=1过点(-2,),则其焦距为( D )
(A)8 (B)12 (C)2 (D)4
解析:把点(-2,)代入+=1,得b2=4,
所以c2=a2-b2=12.
所以c=2,
所以2c=4.
故选D.
4.方程+=10化简的结果是( B )
(A)+=1 (B)+=1
(C)+=1 (D)+=1
解析:由方程形式知是到(2,0)和(-2,0)两定点距离和为10的点的轨迹方程.
c=2,2a=10,
所以a=5.
所以b2=a2-c2=21.
所以所求方程为+=1.
故选B.
5.(2018·衡阳周测)若△ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为( D )
(A)+=1 (B)+=1(y≠0)
(C)+=1(y≠0) (D)+=1(y≠0)
解析:因为|AB|=8,△ABC的周长为18,
所以|AC|+|BC|=10>|AB|,
故点C轨迹为椭圆且两焦点为A,B,
又因为C点的纵坐标不能为零,故D正确.
故选D.
6.(2018·大连双基检测)F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为( C )
(A)7 (B) (C) (D)
解析:由已知得a=3,c=.
设|AF1|=m,则|AF2|=6-m,
所以(6-m)2=m2+(2)2-2m·2cos 45°,
解得m=.
所以=××2sin 45°=.
故选C.
7.以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程为 .?
解析:9x2+5y2=45化为标准方程形式为+=1,焦点为(0,±2),
所以c=2,
设所求方程为+=1,
代入(2,),解得a2=12.
所以方程为+=1.
答案:+=1
8.(2018·许昌高二月考)若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是 .?
解析:将原方程整理,得+=1.
根据题意得
解得0
答案:(0,1)
【能力提升】
9.(2018·上饶质检)已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:由·=0,得MF1⊥MF2,
可设||=m,||=n,
在△F1MF2中,
由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,
根据椭圆的定义有m+n=2a,
所以2mn=4a2-4c2,
所以mn=2b2,
即mn=2,
所以=mn=1.
设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,
又|F1F2|=2,
所以h=.
10.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得PQ=PF2,那么动点Q的轨迹是 .?
解析:因为|PF1|+|PF2|=2a,
|PQ|=|PF2|,
所以|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,
即|F1Q|=2a.
所以动点Q到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.
答案:圆
11.(2018·成都诊断)如图,把椭圆+=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= .?
解析:设椭圆右焦点为F′,由椭圆的对称性知,
|P1F|=|P7F′|,|P2F|=|P6F′|,|P3F|=|P5F′|,
所以原式=(|P7F|+|P7F′|)+(|P6F|+|P6F′|)+(|P5F|+|P5F′|)+(|P4F|+|P4F′|)=7a=35.
答案:35
12.△ABC中底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.
解:以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,
BC的垂直平分线为y轴,建立坐标系,
则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,
则|BD|+|CE|=30.
由重心性质可知|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20.
因为B,C是两个定点,G点到B,C距离和等于定值20,
且20>12,
所以G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点,
所以2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,
b2=a2-c2=102-62=64,
故G点的轨迹方程为+=1,
去掉(10,0),(-10,0)两点,
又设G(x′,y′),A(x,y),
则有+=1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为+=1.
即+=1,去掉(-30,0),(30,0)两点.
【探究创新】
13.(2018·甘肃质检)设P(x,y)是椭圆+=1上的点且P的纵坐标y≠0,点A(-5,0),B(5,0),试判断kPA·kPB是否为定值?若是定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
解:因为点P在椭圆+=1上,
所以y2=16×(1-)=16×.①
因为点P的纵坐标y≠0,
所以x≠±5.
所以kPA=,kPB=.
所以kPA·kPB=·=.②
把①代入②,得kPA·kPB==-.
所以kPA·kPB为定值,这个定值是-.
第一课时 椭圆的简单几何性质
【选题明细表】
知识点、方法
题号
椭圆的简单几何性质
1,2
求椭圆的标准方程
3,9
椭圆的离心率
4,7,10
综合问题
5,6,8,11,12,13
【基础巩固】
1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是( D )
(A)(-1,0),(1,0) (B)(-6,0),(6,0)
(C)(-,0),(,0) (D)(0,-),(0,)
解析:因为椭圆的焦点在y轴上,且a2=6,
所以长轴的两个端点坐标为(0,-),(0,).
故选D.
2.椭圆+=1和+=k(k>0)具有( D )
(A)相同的长轴 (B)相同的焦点
(C)相同的顶点 (D)相同的离心率
解析:椭圆+=1和+=k(k>0)中,
不妨设a>b,椭圆+=1的离心率e1=,
椭圆+=1(k>0)的离心率e2==.
故选D.
3.已知椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是( B )
(A)+=1
(B)+=1或+=1
(C)+=1
(D)+=1或+=1
解析:因为a=4,e=,
所以c=3.
所以b2=a2-c2=16-9=7.
所以椭圆的标准方程是+=1或+=1.
故选B.
4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为2x2+3y2=m(m>0)?+=1,
所以c2=-=.
所以e2=.
故选B.
5.(2018·衡水周测)若AB为过椭圆+=1中心的线段,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为( B )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)48
解析:如图,=+=2.
又因为OF1=c=3为定值,
所以点A与(0,4)重合时,OF1边上的高最大,
此时△AOF1的面积最大为×4×3=6.
所以的最大值为12.
故选B.
6.(2018·昆明质检)椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是( D )
(A)3 (B) (C)2 (D)
解析:设与直线x+2y-=0平行的直线为x+2y+m=0与椭圆联立得,
(-2y-m)2+4y2-16=0,
即4y2+4my+4y2-16+m2=0得
2y2+my-4+=0.
Δ=m2-8（-4）=0,
即-m2+32=0,
所以m=±4.
所以两直线间距离最大是当m=4时,
dmax==.
故选D.
7.(2016·上饶高二期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l为圆O:
x2+y2=b2的一条切线,若直线l的倾斜角为,且恰好经过椭圆的右顶点,则椭圆离心率为 .?
解析:直线l的倾斜角为,且过椭圆的右顶点(a,0),
则直线l:y=tan(x-a),
即y=(x-a),直线l为圆O:x2+y2=b2的一条切线,
则=b,
即b=a,c===a,
则e==.
答案:
8.(2018·许昌高二月考)若F1,F2是椭圆C:+=1的焦点,则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为 .?
解析:因为椭圆C:+=1,
所以c=2.
所以F1(-2,0),F2(2,0),其短轴的端点为
B(0,2),A(0,-2),
所以∠F1BF2=∠F1AF2=90°.
又短轴端点与F1,F2连线所成的角是椭圆上动点P与F1,F2连线所成角中的最大角,
所以在C上满足PF1⊥PF2的点有2个.
答案:2
【能力提升】
9.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( A )
(A)+=1 (B)+y2=1
(C)+=1 (D)+=1
解析:e==,
又△AF1B的周长为4,
所以4a=4,
所以a=,
所以c=1.
所以b2=a2-c2=2.
故C的方程为+=1.
故选A.
10.(2018·上饶质检)已知圆C1:x2+2cx+y2=0,圆C2:x2-2cx+y2=0,椭圆C:+=1(a>b>0),半焦距为c,若圆C1,C2都在椭圆内,则椭圆离心率的取值范围是( B )
(A)[,1) (B)(0,)
(C)[,1) (D)(0,]
解析:圆C1,C2都在椭圆内等价于(2c,0),(c,c)在椭圆内部,
所以只需2c即椭圆离心率的取值范围是(0,).
故选B.
11.(2017·全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( A )
(A)(0,1]∪[9,+∞) (B)(0,]∪[9,+∞)
(C)(0,1]∪[4,+∞) (D)(0,]∪[4,+∞)
解析:当点M为短轴的端点时,∠AMB最大;0A(-,0),B(,0),M(0,).
由题意可知∠AMO≥60°,
所以|OM|≤1.
≤1,所以0m>3时,A(0,-),B(0,),M(-,0).
由题意可知∠AMO≥60°,
所以|OA|≥3,|-|≥3,≥3,m≥9.故选A.
12.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB.
(1)解:由题设条件知,点M的坐标为(a,b),
又kOM=,
从而=.
进而得a=b,c==2b,故e==.
(2)证明:由N是线段AC的中点知,点N的坐标为(,-),可得=(,).
又=(-a,b),
从而有·=-a2+b2=(5b2-a2).
由(1)可知a2=5b2,
所以·=0,
故MN⊥AB.
【探究创新】
13.在直线l:x-y+9=0上任取一点P,过点P以椭圆+=1的焦点为焦点作椭圆.
(1)P点在何处时,所求椭圆的长轴最短?
(2)求长轴最短时的椭圆方程.
解:|PF1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是P到F1,F2两点的距离之和最小,因而问题转化为在直线l上求一点P,使|PF1|+|PF2|为最小.
(1)如图,连接PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点F2关于直线l:y=x+9的对称点F2′,则F2′(-9,12),那么F1F2′与直线l的交点即为所求的点P.
易知F1F′2的方程为2x+y+6=0.
与直线y=x+9联立,得P(-5,4).
(2)由(1)知2a=6,a=3,
所以b2=a2-c2=36,
此时,椭圆的方程为+=1.
第二课时 直线与椭圆的位置关系
【选题明细表】
知识点、方法
题号
直线与椭圆的位置关系
1,2
弦长问题
3,4,7
中点弦问题
6
最值问题
8
定值、定点问题
11
综合问题
5,9,10,12
【基础巩固】
1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( A )
(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不确定
解析:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.故选A.
2.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是( C )
(A)(-,)
(B)()∪(-)
(C)(-∞,-)∪(,+∞)
(D)(-∞,-)∪(-,)
解析:由可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,
当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.
故选C.
3.(2017·哈师大附中高三月考)已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于A,B,则△ABM的周长为( B )
(A)4 (B)8 (C)12 (D)16
解析:因为椭圆的焦点为(±,0),M为右焦点,直线过左焦点,
所以△ABM的周长为4a=4×2=8.
故选B.
4.(2018·杭州调研)已知椭圆+=1的上焦点为F,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A,B和C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|等于( D )
(A)2 (B)4 (C)4 (D)8
解析:如图,设F1为椭圆的下焦点,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,
所以|AF1|=|FD|,
同理|BF1|=|CF|,
所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=8.
故选D.
5.(2018·扬州高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .?
解析:由已知可得直线方程为y=2x-2,
联立方程得交点坐标,
不妨令A(0,-2),B(,),
所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=.
答案:
6.(2017·潜江高二期中)椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为 .?
解析:设以P(3,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),
因为P(3,2)为EF中点,
所以x1+x2=6,y1+y2=4,
把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆4x2+9y2=144,得
所以4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,
所以24(x1-x2)+36(y1-y2)=0,
所以k==-,
所以以P(3,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为
y-2=-(x-3),
整理,得2x+3y-12=0.
答案:2x+3y-12=0
7.已知椭圆C的对称轴为坐标轴,一个焦点为F(0,-),点M(1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:2x-y-2=0与椭圆C交于A,B两点,求|AB|.
解:(1)因为椭圆C的对称轴为坐标轴,一个焦点为F(0,-),
所以c=,
因为点M(1,)在椭圆C上,
所以2a=+=4,
a=2,b2=a2-c2=2,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)联立直线l与椭圆C的方程
解得
令A(0,-2),B(,),
则|AB|==.
【能力提升】
8.(2018·宜宾高二月考)若直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A,B两点,当t变化时,|AB|的最大值为( C )
(A)2 (B) (C) (D)
解析:将y=x+t代入+y2=1,
得5x2+8tx+4t2-4=0,
则x1+x2=-,x1x2=.
由|AB|=×=·,
当t=0时|AB|最大,最大值为×=.
故选C.
9.(2018·河北质检)已知直线l:y=kx+2过椭圆+=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L≥,则椭圆离心率e的取值范围是( B )
(A)(0,) (B)(0,)
(C)(0,) (D)(0,)
解析:依题意,知b=2,kc=2.
设圆心到直线l的距离为d,则L=2≥,
解得d2≤.
又因为d=,
所以≤,
解得k2≥.
于是e2===,
所以0解得0故选B.
10.(2018·成都诊断)过点M(-1,)的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0).直线OM的斜率为k2,则k1k2的值是 .?
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+2=2,①
+2=2,②
②-①得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0.
则=-,
所以k1==-=1,
而k2==-,
故k1k2=-.
答案:-
11.(2018·温州联考)已知椭圆+=1(a>b>0)过点(0,1),其长轴长、焦距和短轴长三者的平方成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足=λ1,=λ2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若λ1+λ2=-3,试证明直线l过定点并求此定点.
解:(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,
又a2=b2+c2,
所以a2=3.
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),
设l方程为x=t(y-m),
由=λ1知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),
所以y1-m=-y1λ1,由题意y1≠0,
所以λ1=-1.
同理由=λ2知λ2=-1.
因为λ1+λ2=-3,
所以y1y2+m(y1+y2)=0,①
联立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,
由题意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,②
且有y1+y2=,y1y2=,③
③代入①得t2m2-3+m·2mt2=0,
所以(mt)2=1,
由题意mt<0,
所以mt=-1,满足②,
得l方程为x=ty+1,过定点(1,0),即Q为定点.
【探究创新】
12.(2018·承德高二期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,则k= .?
解析:根据已知=,可得a2=c2,
则b2=c2,
故椭圆方程为+=1,
即3x2+12y2-4c2=0.
设直线的方程为x=my+c(m=),
代入椭圆方程得(3m2+12)y2+6mcy-c2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据=3,
得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2,
根据根与系数的关系得y1+y2=-,
y1y2=-,
把-y1=3y2代入得,y2=,=,
故9m2=m2+4,故m2=,
从而k2=2,k=±.
又k>0,故k=.
答案:
2.2.1 双曲线及其标准方程
【选题明细表】
知识点、方法
题号
双曲线的定义
1,2,11
双曲线的标准方程
3,4,5
与双曲线定义有关的轨迹问题
6,8
综合问题
7,9,10,12,13
【基础巩固】
1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是( C )
(A)双曲线 (B)双曲线左支
(C)一条射线 (D)双曲线右支
解析:因为|PM|-|PN|=4=|MN|,
所以动点P的轨迹是一条射线.
故选C.
2.双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为( A )
(A)22或2 (B)7
(C)22 (D)2
解析:因为a2=25,
所以a=5.由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,
由题意知|PF1|=12,
所以|PF1|-|PF2|=±10,
所以|PF2|=22或2.
故选A.
3.(2018·洛阳高二月考)已知方程-=1表示双曲线,则k的取值范围是( A )
(A)(-1,1) (B)(0,+∞)
(C)[0,+∞) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:由题意得(1+k)(1-k)>0,
所以(k-1)(k+1)<0,
所以-1故选A.
4.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是( D )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1(x≤-3) (D)-=1(x≥3)
解析:由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.
由c=5,a=3,知b2=16,
所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).
故选D.
5.(2018·大连双基检测)双曲线-=1的焦距是( C )
(A)4 (B)2 (C)8 (D)与m有关
解析:因为a2=m2+12,b2=4-m2,c2=a2+b2=16,
所以c=4,
所以焦距2c=8.
故选C.
6.(2017·龙泉驿区高二月考)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是( C )
(A)-=1(x≥2) (B)-=1(x≤2)
(C)-=1 (D)-=1
解析:由题知||PN|-|PM||=4,2a=4,2c=8,所以b=2,所以动圆圆心P的轨迹方程为-=1,故选C.
7.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于 .?
解析:在△PF1F2中,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
即(2)2=22+|PF1|·|PF2|,
解得|PF1|·|PF2|=4.
答案:4
8.已知椭圆x2+2y2=32的左、右两个焦点分别为F1,F2,动点P满足|PF1|-|PF2|=4.求动点P的轨迹E的方程.
解:由椭圆的方程可化为+=1得
|F1F2|=2c=2=8,|PF1|-|PF2|=4<8.
所以动点P的轨迹E是以F1(-4,0),F2(4,0)为焦点,
2a=4,a=2的双曲线的右支,
由a=2,c=4得b2=c2-a2=16-4=12,
故轨迹E的方程为-=1(x≥2).
【能力提升】
9.(2018·成都诊断)已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( C )
(A)6 (B)8 (C)10 (D)12
解析:由双曲线的知识可知C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,
而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r2=1,r3=1,
所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.
故选C.
10.(2018·甘肃质检)已知m,n为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是( C )
解析:把直线方程和曲线方程分别化为y=mx+n,+=1.根据图形中直线的位置,判定斜率m和截距n的正负,从而断定曲线的形状.故选C.
11.(2018·贵阳高二检测)给出问题:F1,F2是双曲线-=1的焦点,点P在双曲线上,若点P到焦点F1的距离等于9,求点P到焦点F2的距离.
某学生的解答如下:
由||PF1|-|PF2||=2a=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1或|PF2|=17.
该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面横线上;若不正确,将正确答案填在下面横线上.
?
解析:在双曲线的定义中,||PF1|-|PF2||=2a,
即|PF1|-|PF2|=±2a,正负号的取舍取决于P点的位置是在左支上还是在右支上.
因右顶点到左焦点的距离为10>9,
所以点P只能在双曲线的左支上.
答案:|PF2|=17
12.设有双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;
(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少?
(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.
解:设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,
因为=r1r2sin θ=r1r2,
所以只要求r1r2即可,
因此考虑到双曲线定义及余弦定理可求出r1r2.
(1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=,
由双曲线定义,有|r1-r2|=2a=4,
两边平方得+-2r1r2=16,
又+=|F1F2|2,
即|F1F2|2-4=16,
也即52-16=4,
求得=9.
(2)若∠F1MF2=120°,在△MF1F2中,由余弦定理得,
|F1F2|2=+-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,
所以r1r2=12,
求得=r1r2sin 120°=3.
同理可求得若∠F1MF2=60°,=9.
(3)由以上结果可见,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小.
证明如下:=r1r2sin θ.
由双曲线定义及余弦定理,有
②-①得r1r2=,
所以==b2cot.
因为0<θ<π,所以0<<,
在（0,）内,cot是减函数.
因此当θ增大时,=b2cot减小.
【探究创新】
13.当0°≤α≤180°时,方程x2cos α+y2sin α=1表示的曲线如何变化?
解:(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.
(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.
①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.
②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.
③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.
(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.
(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.
(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.
2.2.2 双曲线的简单几何性质
【选题明细表】
知识点、方法
题号
双曲线的几何性质
1,3,5,8
双曲线的标准方程
4,7
双曲线的离心率
2,9
直线与双曲线的位置关系
6,13
综合应用
10,11,12
【基础巩固】
1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( C )
(A)2 (B)2 (C)4 (D)4
解析:双曲线2x2-y2=8化为标准形式为-=1,
所以a=2,
所以实轴长为2a=4.
故选C.
2.双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( C )
(A)2 (B) (C) (D)
解析:依题意()·(-)=-1,
所以a2=b2.
则e2===2,
所以e=.
故选C.
3.双曲线-=1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( C )
(A) (B)3 (C)4 (D)2
解析:双曲线-=1的一个焦点坐标是(5,0),一条渐近线y=x,此焦点到渐近线的距离d==4.故选C.
4.(2018·三亚高二月考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是( B )
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
解析:依题意c=3,又因为e==,
所以a=2,
所以b2=c2-a2=32-22=5,
所以C的方程为-=1.
故选B.
5.(2018·西安高二月考)若实数k满足0(A)实半轴长相等 (B)虚半轴长相等
(C)离心率相等 (D)焦距相等
解析:因为06.(2018·蚌埠高二检测)直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有( D )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±x,顶点(±2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点.故选D.
7.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为 .?
解析:设椭圆C1的方程为+=1(a1>b1>0),
由已知得
所以
所以焦距为2c1=10.
又因为8<10,
所以曲线C2是双曲线.
设其方程为-=1(a2>0,b2>0),
则a2=4,c2=5,
所以=52-42=32=9,
所以曲线C2的方程为-=1.
答案:-=1
8.(2017·银川校级高二月考)求双曲线25x2-y2=-25的实轴长、虚轴长、焦点和顶点坐标及离心率,渐近线方程.
解:因为双曲线方程25x2-y2=-25,
所以双曲线的标准方程为-x2=1,
所以a=5,b=1,c=,
所以该双曲线的实轴长为10,虚轴长为2,焦点坐标为(0,±),顶点坐标为(0,±5),离心率e=,渐近线方程为y=±5x.
【能力提升】
9.(2016·全国Ⅱ卷)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin ∠MF2F1=,则E的离心率为( A )
(A) (B) (C) (D)2
解析:由题不妨设|MF1|==1,|MF2|=3,
则c=,a=1,得e==.故选A.
10.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( A )
(A)(-,) (B)(-,)
(C)(-,) (D)(-,)
解析:由题意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨设F1(-,0),F2(,0),所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以·=-3+=3-1<0,所以-11.(2016·北京卷)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a= .?
解析:由题意a=b,c=2,所以a=2.
答案:2
12.(2018·银川高二检测)设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.
解:(1)由题意知a=2,
所以一条渐近线为y=x,即bx-2y=0,
所以=.
所以b2=3,
所以双曲线的方程为-=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),
则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,
则x1+x2=16,y1+y2=12.
所以
所以
由+=t,得(16,12)=(4t,3t),
所以t=4,点D的坐标为(4,3).
【探究创新】
13.(2018·合肥高二质检)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:-=1.设过点M(0,1)的直线l与双曲线C交于A,B两点.若=2,则直线l的斜率为 .?
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1.
又=2,=(-x1,1-y1),=(x2,y2-1).
所以即
代入双曲线方程联立解得或
所以A(4,3),B(-2,0)或A(-4,3),B(2,0),
故k==或k==-,
即直线l的斜率为±.
答案:±
2.3.1 抛物线及其标准方程
【选题明细表】
知识点、方法
题号
待定系数法求抛物线的标准方程
3,8
抛物线的焦点与准线
2
抛物线定义及其应用
1,4,5,6
抛物线的实际应用
7
综合应用
9,10,11,12,13
【基础巩固】
1.若A是定直线l外一定点,则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为( D )
(A)直线 (B)椭圆 (C)线段 (D)抛物线
解析:因为圆过点A,所以圆心到A的距离为圆的半径;又圆与直线相切,所以圆心到直线的距离也等于圆的半径,且点A是定直线l外一定点,故圆心的轨迹为抛物线.故选D.
2.如果抛物线y2=2px的准线是直线x=-2,那么它的焦点坐标为( B )
(A)(1,0) (B)(2,0) (C)(3,0) (D)(-1,0)
解析:因为准线方程为x=-2=-,
所以焦点为(,0),即(2,0).
故选B.
3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是( D )
(A)y=-3x2 (B)y2=9x
(C)y2=-9x或y=3x2 (D)y=-3x2或y2=9x
解析:由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=my,将(1,-3)代入得m=-,所以方程为y=-3x2.故选D.
4.(2018·南昌高二月考)已知P(8,a)在抛物线y2=4px上,且P到焦点的距离为10,则焦点到准线的距离为( B )
(A)2 (B)4 (C)8 (D)16
解析:根据题意可知,P点到准线的距离为8+p=10,可得p=2,所以焦点到准线的距离为2p=4,选B.
5.(2017·海南高二期中)过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是( D )
(A)y2=12x (B)y2=-12x
(C)x2=-12y (D)x2=12y
解析:由已知条件知动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.故选D.
6.(2016·泉州南安三中期中)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )
(A) (B)3 (C) (D)
解析:依题设P在抛物线准线的投影为P′,抛物线的焦点为F,则F(,0),
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d=|PF|+|PA|≥|AF|
==.
故选A.
7. (2018·贵阳高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.?
解析:以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系(图略),
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,
抛物线方程为x2=-2y.
当y=-3时,x2=6,解得x=±.
所以水面宽为2米.
答案:2
8.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m值;
(2)求抛物线的焦点和准线方程.
解:(1)因为点(-3,m)在y轴左侧,抛物线焦点在x轴上,所以抛物线开口向左.
设方程为y2=-2px(p>0),
因为M到焦点的距离为5,所以3+=5,
所以p=4.
所以抛物线的方程为y2=-8x.
把点M(-3,m)代入抛物线方程得m2=24.
所以m=±2.
(2)抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为x=2.
【能力提升】
9.(2018·杭州高二质检)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|等于( C )
(A) (B) (C)3 (D)2
解析:过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,
因为=4,
所以|PQ|∶|PF|=3∶4,
又焦点F到准线l的距离为4,
所以|QF|=|QQ′|=3.
故选C.
10.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值为( D )
(A)12 (B)24 (C)16 (D)32
解析:当直线的斜率不存在时,其方程为x=4,
由得y1=-4,y2=4,
所以+=32.
当直线的斜率存在时,设其方程为y=k(x-4),
由得ky2-4y-16k=0,
所以y1+y2=,y1y2=-16,
所以+=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32,
综上可知,+≥32.
所以+的最小值为32.
故选D.
11.(2018·成都诊断)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为 .?
解析:如图,过A作AH⊥l,AN垂直于抛物线的准线,
则|AH|+|AN|=m+n+1,
连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,
由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,
|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,
即=,
即m+n的最小值为-1.
答案:-1
12.(2017·孝感高二期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线是直线l:x=-2,焦点是F.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若l与x轴交于点A,点M在抛物线C上,且M到焦点F的距离为8,求△AFM的面积S.
解:(1)由已知得-=-2,所以p=4,
所以抛物线C的方程是y2=8x.
(2)由已知得A(-2,0),F(2,0),所以|AF|=4,
设抛物线上的点M(x0,y0),
由抛物线的定义知|MF|=x0+=x0+2=8,
所以x0=6,
代入y2=8x,得=8×6=48,所以|y0|=4,
所以S=|AF||y0|=×4×4=8.
【探究创新】
13.(2018·沈阳高二质检)已知抛物线y2=4x的准线与双曲线-=1
(a>0,b>0)交于A,B两点,点F为抛物线的焦点,若△FAB为直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是 .?
解析:抛物线焦点F(1,0),由题意0所以点(-1,2)在双曲线上,得-=1,
即b2==c2-a2,
即c2=+a2=,
所以e2===1+,
因为0所以e2>5,故e>.
答案:(,+∞)
2.3.2 抛物线的简单几何性质
【选题明细表】
知识点、方法
题号
抛物线的几何性质
8
直线与抛物线的位置关系
1,9
抛物线的焦点弦问题
2,3,7
抛物线中的最值问题
4,10,11,13
抛物线中的定值问题
12
综合应用
5,6
【基础巩固】
1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则( C )
(A)直线与抛物线有一个公共点
(B)直线与抛物线有两个公共点
(C)直线与抛物线有一个或两个公共点
(D)直线与抛物线可能没有公共点
解析:因为直线y=kx-k=k(x-1),
所以直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,
所以当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;
当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.
故选C.
2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( B )
(A)8 (B)16 (C)32 (D)64
解析:由题可知抛物线y2=8x的焦点为(2,0),
直线的方程为y=x-2,
代入y2=8x,得(x-2)2=8x,
即x2-12x+4=0,
所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.故选B.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( C )
(A)|FP1|+|FP2|=|FP3|
(B)|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
(C)|FP1|+|FP3|=2|FP2|
(D)|FP1|·|FP3|=|FP2|2
解析:由焦半径公式,知|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,
|FP3|=x3+.
因为2x2=x1+x3,
所以2(x2+)=(x1+)+(x3+),
即2|FP2|=|FP1|+|FP3|.
故选C.
4.(2018·临川高二月考)抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )
(A) (B) (C) (D)3
解析:设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.故选A.
5.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k等于( D )
(A) (B)1 (C) (D)2
解析:由题知P(1,2),2=k.故选D.
6.(2018·郑州高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1等于( A )
(A)90° (B)45° (C)60° (D)120°
解析: 如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,
所以∠AA1F=∠AFA1,
又∠AA1F=∠A1FO,
所以∠AFA1=∠A1FO,
同理∠BFB1=∠B1FO,
于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.
故∠A1FB1=90°.
故选A.
7.(2018·兰州高二检测)在抛物线y2=16x内,过点(2,1)且被此点平分的弦AB所在直线的方程是 .?
解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-2),①
由
消去x得ky2-16y+16(1-2k)=0,
所以y1+y2==2(y1,y2分别是A,B的纵坐标),
所以k=8.代入①得y=8x-15.
答案:y=8x-15
8.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.
解: 如图,依题意可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),
则直线方程为y=-x+p.
设直线交抛物线于
A(x1,y1),B(x2,y2),
过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,
则由抛物线定义得
|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,
即x1+x2+p=8.①
又A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,
由
消去y得x2-3px+=0.
所以x1+x2=3p,②
将②代入①,得p=2.
所以所求的抛物线标准方程为y2=4x.
当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,
同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.
【能力提升】
9.(2017·高安市校级高二月考)已知直线y=2(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,点M(-1,m),若·=0,则m等于( B )
(A) (B) (C) (D)0
解析:由可得8x2-20x+8=0,
解得x=2或x=,
则A(2,2),B(,-),点M(-1,m),
由·=0,
可得(3,2-m)·(,--m)=0.
化简得2m2-2m+1=0,解得m=.故选B.
10.(2018·宜春高二月考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( B )
(A)2 (B)3 (C) (D)
解析:设点A的坐标为(a2,a),点B的坐标为(b2,b),
直线AB的方程为x=ty+m,与抛物线y2=x联立得y2-ty-m=0,
故ab=-m,
由·=2得a2b2+ab=2,
故ab=-2或ab=1(舍去),
所以m=2,
所以△ABO的面积等于m|a-b|=|a-b|=|a+|,
△AFO的面积等于×|a|=,
所以△ABO与△AFO的面积之和为|a+|+=
|a|+||≥2=3.当且仅当|a|=时,等号成立.
故选B.
11.(2018·云南质检)对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 .?
解析:设点Q的坐标为(,y0),
由|PQ|≥|a|,得+(-a)2≥a2,
整理得(+16-8a)≥0,
因为≥0,
所以+16-8a≥0,
即a≤2+恒成立.
而2+的最小值为2,
所以a≤2.
答案:(-∞,2]
12. (2018·湖南六校联考)如图所示,已知点M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,直线AM,BM的斜率互为相反数,且与抛物线另交于A,B两个不同的点.
(1)求点M到其准线的距离;
(2)求证:直线AB的斜率为定值.
(1)解:因为M(a,3)是抛物线y2=4x上一定点,
所以32=4a,a=,
所以M(,3).
因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,
所以点M到其准线的距离为-(-1)=.
(2)证明:由题知直线MA,MB的斜率存在且不为0,
设直线MA的方程为y-3=k(x-),
由得y2-y+-9=0.
所以yA+3=,
所以yA=-3.
因为直线AM,BM的斜率互为相反数,
所以直线BM的方程为y-3=-k(x-).
同理可得yB=-3.(只需将yA=-3中的k换为-k)
所以kAB=====-.
所以直线AB的斜率为定值-.
【探究创新】
13.(2018·枣庄高二月考)设点P在圆C:x2+(y-6)2=5上,点Q在抛物线x2=4y上,则|PQ|的最小值为 .?
解析:设Q(x,y),其中x2=4y.
又圆心C(0,6),
则|QC|==
=(y≥0).
当y=4时,|QC|min=2,
所以|PQ|min=|QC|min-r=2-=.
答案:
