第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中，正确的个数是( B )
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
2．下列说法中，不正确的是( D )
A．向量的长度与向量的长度相等
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
[解析] 很明显选项A，B，C正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D不正确．
3．下列命题中正确的个数为( B )
①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与共线，则A、B、C、D四点共线；
③若非零向量a与b共线，则a＝b；
④四边形ABCD是平行四边形，则必有||＝||；
⑤a∥b，则a、b方向相同或相反．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ①显然错误；②中与共线，只能说明AB、CD所在直线平行或在一条直线上，所以错；
③a与b共线，说明a与b方向相同或相反，a与b不一定相等，所以③错；
④对；
⑤a可能为零向量，则a∥b，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．
4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是( C )
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
[解析] 如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．
5．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( C )
A．恒成立 B．当a≠0时成立
C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立
6．下列说法正确的是( C )
A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反
B．若向量、满足||>||，且与同向，则>
C．若a≠b，则a与b可能是共线向量
D．若非零向量与平行，则A、B、C、D四点共线
[解析] A不正确．|a|＝|b|，但a与b方向可任意．B不正确，向量不能比较大小．C正确．D不正确.与平行，则直线AB与CD可能平行，可能重合，则A，B，C，D四点不一定共线，故选C．
二、填空题
7．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”、“相等”、“无关”)．
8．等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是 ||＝|| ．
三、解答题
9．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
[解析] (1)与相等的向量为、，与相等的向量为．
(2)，，．
10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
[解析] (1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2)与向量平行且模为的向量共有24个．
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
B级 素养提升
一、选择题
1．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( C )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
[解析] 由＝?BA∥CD且||＝||，又||＝||，故四边形ABCD为菱形.
2．下列说法中错误的是( C )
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
[解析] 长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C错误．
3．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是( D )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
[解析] 由相等向量的定义，显然＝．
4．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( B )
A．C?A B．A∩B＝{a}
C．C?B D．A∩B?{a}
[解析] 因为A∩B中还含有a方向相反的向量，所以B错．
二、填空题
5．如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有__2__对．
[解析] ＝，＝.其余不等．
6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__．
[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π．
三、解答题
7．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
(3)若||＝1.5，求||的大小．
[解析] (1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有，．
(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有，，，，，，．
(3)若||＝1.5，则||＝||＝||＋||＝2||＝3．
8．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
[解析] 如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，∴AC＝2000km．
又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，
∴△ACD为直角三角形，即AD＝1000km，∠CAD＝45°．
答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km．
C级 能力拔高
如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( C )
A．|＝|| B．与共线
C．＝ D．与共线
[解析] A一定成立，B一定成立，D因与一定不共线，故一定不成立，故选C．
第二章 2.2 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列等式中不正确的是( C )
A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b| D．＝＋＋
[解析] 当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|．
2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( D )
A． B．
C． D．
[解析] ＋＝．
3．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是共线向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
[解析] 当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|．
4．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] 连结CF，取CF中点O，连结OE，CE．
则＋＋＝(＋)＋＝．
5．在△ABC中，||＝||＝|＋|，则△ABC是( B )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ＋＝，则||＝||＝||，
则△ABC是等边三角形．
6．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( C )
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
[解析] ∵＋＝2，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴＋＝0.故选C．
二、填空题
7．化简下列各式：
(1)＋＋＝ ；
(2)＋＋＋＝ ；
(3)化简(＋)＋(＋)＋＝ ．
[解析] (1)＋＋＝＋＝0；
(2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝．
(3)．
8．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝ ．
[解析] ＋＋＝＋＋＝．
三、解答题
9．如图所示，求：
(1)a＋d；
(2)c＋b；
(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋b．
[解析] (1)a＋d＝d＋a＝＋＝；
(2)c＋b＝＋＝；
(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝；
(4)c＋f＋b＝＋＋＝．
10．如图，点D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1)＋＝＋；
(2)＋＋＝0．
[证明] (1)由向量加法的三角形法则，
∵＋＝，＋＝，
∴＋＝＋．
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝＋＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝0＋0＋0＝0．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( A )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
[解析] 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．
即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17．
2．向量a、b均为非零向量，下列说法中不正确的是( B )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
[解析] 当a与b反向，且|a|<|b|时，向量a＋b与b的方向相同．
3．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( C )
①a∥b ②a＋b＝a ③a＋b＝b ④|a＋b|<|a|＋|b| ⑤|a＋b|＝|a|＋|b| ⑥|a＋b|>|a|＋|b|
A．①②⑥ B．①③⑥
C．①③⑤ D．②③④⑤
[解析] ∵a＝(＋)＋(＋)
＝＋＋＋＝＋＋
＝＋＝0，
∴①③⑤均正确．
4．若M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( C )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．3＋
[解析] 由三角形重心性质得＋＋＝0．
二、填空题
5．某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿__沿与水流方向成60°的(答案不唯一)__方向前进，速度为__8_km/h__．
[解析] ∵OB＝4，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°．
6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量||＝1，则|＋|＝__1__．
[解析] 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABC是等边三角形，则BD＝1，则|＋|＝||＝1．
三、解答题
7．如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋．
[解析] 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四这形OADB，由向量加法的平行四边形法则知＋＝．
由||＝||，∠AOB＝120°，
知∠BOD＝60°，||＝||．
又∠COB＝120°，且||＝||．
∴＋＝0，
故＋＋＝0．
8．如图所示，已知矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，试求|a＋b＋c|的大小．
[解析] 如图所示，过D作AC的平行线，交BC的延长线于点E．
∵DE∥AC，AD∥BE，
∴四边形ADEC为平行四边形，
∴＝，＝，
于是a＋b＋c＝＋＋
＝＋＝＋＝＝＋，
∴|a＋b＋c|＝|＋|＝8．
C级 能力拔高
如图，已知△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是__①②③④__．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③|＋|＝||；
④||2＋||2＝||2．
第二章 2.2 2.2.2 向量减法运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( C )
A．＝ B．＋＝
C．－＝ D．＋＝0
[解析] A项显然正确，由平行四边形法知B正确；C项中－＝，故C错误项中＋＝＋＝0，故选C．
2．化简以下各式：
①＋＋； ②－＋－；
③－＋； ④＋＋－．
结果为零向量的个数是( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①＋＋＝＋＝－＝0；
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0；
③－＋＝(＋)－＝－＝0；
④＋＋－＝＋＋＝－＝0．
3．四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( A )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
[解析] ＝＋＝－＋＝a－b＋c．
4．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( B )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
5．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是( C )
A．[3,8] B．(3,8)
C．[3,13] D．(3,13)
[解析] 由于＝－，则有||－||≤||≤||＋||，即3≤||≤13．
6．O是四边形ABCD所在平面上任一点，∥，且|－|＝|－|，则四边形ABCD一定为( D )
A．菱形 B．任意四边形
C．矩形 D．平行四边形
[解析] 由|－|＝|－|知||＝||，且∥故四边形ABCD是平行四边形．
二、填空题
7．若非零向量a与b互为相反向量，给出下列结论：①a∥b；②a≠b；③|a|≠|b|；④b＝－a.其中所有正确命题的序号为__①②④__．
[解析] 非零向量a、b互为相反向量时，模一定相等，因此③不正确．
8．若向量a、b方向相反，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝__2__．
三、解答题
9．已知||＝3，||＝4，∠BAC＝90°，求|－|．
[解析] ∵－＝，∠BAC＝90°，
∴||＝5，∴|－|＝5．
10．如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a－b＋a．
[解析] 作法：作向量＝a，向量＝b，则向量＝a－b．
如图所示；作向量＝a，则＝a－b＋a．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列说法错误的是( D )
A．若＋＝，则－＝
B．若＋＝，则＋＝
C．若＋＝，则－＝
D．若＋＝，则＋＝
[解析] 由向量的减法就是向量加法的逆运算可知：A，B，C都正确．由相反向量定量知，共＋＝，则＋＝－－＝－(＋)＝－，故D错误．
2．在平面上有A、B、C，三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有( C )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
[解析] 以，为邻边作平行四边形，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形，故选C．
3．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为( A )
A．0 B．
C． D．
[解析] ＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝0．
4．已知＝a，＝b，||＝5，||＝12，∠AOB＝90°，则|a－b|＝( C )
A．7 B．17
C．13 D．8
[解析] 如图，∵a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝＝13．
故选C．
二、填空题
5．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有__①__．
①；②；③；④；⑤＋；⑥－；⑦＋．
[解析] －＋＝＋＝；
＋＝＋＝≠；
－＝≠；
＋＝≠．
6．已知|a|＝7，|b|＝2，且a∥b，则|a－b|＝__5或9__．
[解析] 当a与b方向相同时，|a－b|＝|a|－|b|＝7－2＝5；
当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|＝7＋2＝9．
三、解答题
7．已知点B是?ACDE内一点，且＝a，＝b，＝c，试用a、b、c表示向量、、、及．
[解析] ∵四边形ACDE为平行四边形．
∴＝＝c；
＝－＝b－a；
＝－＝c－a；
＝－＝c－b；
＝＋＝b－a＋c．
8．如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)－；
(4)＋；
(5)－．
[解析] (1)＝－＝c－a；
(2)＝＋＝－＋＝－a＋d；
(3)－＝＝d－b；
(4)＋＝－＋＋＝b－a－c＋f；
(5)－＝－－(－)＝f－b－d＋b．
C级 能力拔高
设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( C )
A．8 B．4
C．2 D．1
[解析] 由|＋|＝|－|可知，与垂直，故△ABC为直角三角形，||即斜边BC的中线，所以||＝2．
第二章 2.2 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝( A )
A．λ(＋) λ∈(0,1) B．λ(＋) λ∈(0，)
C．λ(－) λ∈(0,1) D．λ(－) λ∈(0，)
[解析] 设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平分线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)．
2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] (方法一)：由＝2，
可得－＝2(－)?＝＋，
所以λ＝.故选A．
(方法二)：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A．
3．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( B )
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
[解析] ∵＝λ＋，∴－＝λ．
∴＝λ．
∴P、A、C三点共线．
∴点P一定在AC边所在的直线上．
4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于( C )
A．a＋b B．a＋b
C．(a＋b) D．a＋b
[解析] ＋＝＋＝＝2，
所以＝(a＋b)，故选C．
5．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( A )
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
[解析] ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，所以，A、B、D三点共线．
6．如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是( A )
A．r＝－p＋q B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q D．r＝－q＋2p
[解析] ∵＝＋，＝－3＝3，
∴＝．
∴＝＋＝＋(－)．
∴r＝q＋(r－p)．
∴r＝－p＋q．
二、填空题
7．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝ ；y＝ － ．
[解析] 由题中条件得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－．
8．(2016·潍坊高一检测)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 ．
[解析] 由已知＝－＝－
＝(－)＋＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，
从而λ1＋λ2＝．
三、解答题
9．已知?ABCD中，＝a，＝b，对角线AC、BD交于点O，用a、b表示，．
[解析] ＝＝(＋)＝(－a－b)．
＝＝(－)＝(b－a)．
10．已知向量e1、e2是两个共线向量，若a＝e1－e2，b＝2e1＋2e2，求证：a∥b．
[证明] 若e1＝e2＝0，则a＝b＝0，
所以a与b共线，即a∥b；
若e1、e2中至少有一个不为零向量，不妨设e1≠0，则e2＝λe1(λ∈R)，且a＝(1－λ)e1，
b＝2(1＋λ)e1，所以a∥e1，b∥e1．
因为e1≠0，所以a∥b．
综上可知，a∥b．
B级 素养提升
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( C )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
[解析] A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a与λ2a的方向相同．故选C．
2．设e1、e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为( D )
A．0 B．－1
C．－2 D．－
[解析] ∵向量a与b共线，∴存在唯一实数u，使b＝ua成立．即e1＋λe2＝u(2e1－e2)＝2ue1－ue2.∴解得λ＝－．
3．在?ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若＝a，＝b，则＝( D )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
[解析] ＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋(b－a)＝a＋b．
4．在△ABC中，点D在BC边所在直线上．若＝4＝s－r，则s＋r等于( C )
A．0 B．
C． D．3
[解析] 由题意可得，＝－＝＋－＝＋－＝＋(－)－
＝－，
∴s＋r＝．
二、填空题
5．若2(x－a)－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝ a－b＋c ．
[解析] ∵2x－a－b－c＋x＋b＝0，
∴x＝a－b＋c.∴x＝a－b＋c．
6．如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝ (b－a) .(用a、b表示)．
[解析] ＝＋＋
＝－＋＋
＝－－＋(＋)＝－b－a＋(a＋b)
＝b－a＝(b－a)．
三、解答题
7．如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形．
[证明] 在△BCD中，
∵G，F分别是CD，CB的中点，
∴＝，＝．
∴＝－＝－
＝．
同理＝．
∴＝，即与共线．
又∵G、F、H、E四点不在同一条直线上，
∴GF∥HE，且GF＝HE．
∴四边形EFGH是平行四边形．
8．设两个不共线的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使
向量d＝λa＋μb与向量c共线？
[解析] ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝k·c，
即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2
＝2ke2－9ke2.由，
得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
C级 能力拔高
过△OAB的重心G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q，设＝h·，＝k，则＋＝__3__．
[解析] 延长OG交边AB于点M，则M为AB边的中点，
∴＝(＋)＝(＋)＝＋，
又＝，
∴＝＋．
∵P、Q、G三点共线，
且，是不共线的向量，
∴＋＝1，
即＋＝3．
第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是( B )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e1＋e2
[解析] 3e1－2e2与4e2－6e1是共线向量，不能作为一组基底．
2．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a、b的判断正确的是( B )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
[解析] 由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B．
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2＝，＝＋λ，则λ等于( A )
A． B．－
C． D．－
[解析] 方法一 由平面向量的三角形法则可知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝．
方法二 因为A，B，D三点共线，＝＋λ，所以＋λ＝1，所以λ＝．
4．(2018·湖南长沙市中学期末)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则( A )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
[解析] ＝＋＝－＋＝－×(＋)＋＝－．
5．已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角大小为( D )
A． B．π
C． D．π
[解析] 如图，∵c＝a＋b，c⊥a，
∴a、b、c的模构成一个直角三角形，且θ＝，所以可推知a与b的夹角为.故选D．
6．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是( C )
A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2可以不唯一
C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0
D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在
[解析] 选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1、λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．
二、填空题
7．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量＝ b＋a ．
[解析] ＝＋＝＋＝＋＝b＋a．
8．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝__0__．
[解析] ∵e1，e2不共线，∴，解得，∴x＋y＝0．
三、解答题
9．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底、表示．
[解析] ∵D是BC边的四等分点，
∴＝＝(－)，
∴＝＋＝＋(－)＝＋．
10．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点．若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、．
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
E、F分别是BC、DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，
＝＝＝－＝－a．
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a．
B级 素养提升
一、选择题
1．如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么( A )
A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数，m，n，使a＝me1＋ne2
[解析] 选项B中应为“平面内任一向量”，C中me1＋ne2一定在此平面上，选项D中，m，n应是唯一的，只有A正确．
2．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角为( B )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[解析] ∵|a|＝|b|＝|c|≠0，且a＋b＝c，
∴如图所示就是符合题设条件的向量，易知OACB是菱形，△OBC和△OAC都是等边三角形．
∴a与b的夹角为120°．
3．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( A )
A．＝－＋ B．＝－
C．＝＋ D．＝－
[解析] 由题意得＝＋＝＋＝＋－＝＋，故选A．
4．若＝a，＝b，＝λ，则＝( D )
A．a＋λb B．λa＋b
C．λa＋(1＋λ)b D．
[解析] ∵＝λ，
∴－＝λ(－)，
(1＋λ)＝λ＋，∴＝．
二、填空题
5．向量a与b的夹角为25°，则2a与－b的夹角θ＝__155°__．
[解析] 作＝a，＝b，则∠AOB＝25°，如图所示．
延长OA到C，使OA＝AC，则＝2a．
延长BO到D，使OD＝BO，则＝－b．
则θ＝∠DOA，又∠DOA＋∠AOB＝180°，则∠DOA＝180°－25°＝155°，则θ＝155°．
6．已知e1、e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝__－2__．
[解析] ∵a∥b，则2e1－e2＝λ(ke1＋e2)．
又∵e1、e2不共线．
∴解得：
三、解答题
7．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝2e1－3e2，，试用a，b表示c．
[解析] 设c＝xa＋yb，则2e1－3e2＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)，
即(3x－2y)e1＋(y－2x)e2＝2e1－3e2．
又e1，e2是平面内两个不共线的向量，所以解得所以c＝4a＋5b．
8．在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是、的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出下列向量在此基底下的分解式、、．
[解析] 如图所示，∵＝e2，且＝k，
∴＝k＝ke2，
又＋＋＋＝0，
∴＝－－－
＝－＋＋
＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2．
而＋＋＋＝0，
∴＝－－－＝＋－
＝＋e2－
＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2．
C级 能力拔高
如图，点L、M、M分别为△ABC的边BC、CA、AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0．
求证：l＝m＝n．
[证明] 令＝a，＝b，＝c，
则由＝l得，＝lb；
由＝m得＝mc；
由＝n得＝na．
∵＋＋＝0，
∴(＋)＋(＋)＋(＋)＝0．
即(a＋lb)＋(b＋mc)＋(c＋na)＝0，
∴(1＋n)a＋(1＋l)b＋(1＋m)c＝0．
又∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，
∴(1＋n)(－b－c)＋(1＋l)b＋(1＋m)c＝0，
即(l－n)b＋(m－n)c＝0．
∵b与c不共线，
∴l－n＝0且m－n＝0，
∴l＝n且m＝n，
即l＝m＝n．
第二章 2.3 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知＝(2,3)，则点N位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
[解析] 因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．
2．设A(1,2)，B(4,3)，若向量a＝(x＋y，x－y)与相等，则( C )
A．x＝1，y＝2 B．x＝1，y＝1
C．x＝2，y＝1 D．x＝2，y＝2
[解析] ＝(3,1)与a＝(x＋y，x－y)相等，则.∴x＝2，y＝1．
3．向量＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点A在第四象限时，x的取值范围是( D )
A．x>0 B．x<1
C．x<0或x>1 D．0[解析] 由A点在第四象限，所以，解得04．已知向量a，b满足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( C )
A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)
C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)
[解析] 2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b＝(－1,3)．
5．已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] a＝＝－
＝，λa＝a＝，故选A．
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k、l的值为( D )
A．－2,3 B．－2，－3
C．2，－3 D．2,3
[解析] 利用相等向量的定义求解．
∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，
∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，
即，解得：k＝2，l＝3．
二、填空题
7．若O(0,0)、A(1,2)且＝2，则A′的坐标为__(2,4)__．
[解析] A′(x，y)，＝(x，y)，＝(1,2)，∴(x，y)＝2(1,2)＝(2,4)．
8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝__(－3，－5)__．
[解析] ∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
三、解答题
9．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°．
(1)求向量的坐标．
(2)若B(，－1)，求的坐标．
[解析] (1)设点A(x，y)，则x＝4cos60°＝2，y＝4sin60°＝6，即A(2，6)，
＝(2，6)．
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．
10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t．
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
[解析] (1)＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．
若点P在x轴上，则2＋3t＝0?t＝－；
若点P在y轴上，则1＋3t＝0?t＝－；
若点P在第二象限，则
解得－(2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)．
若四边形OABP为平行四边形，需＝，
于是此方程组无解．
故四边形OABP不能成为平行四边形．
B级 素养提升
一、选择题
1．若向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b满足( C )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限角的平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限角的平分线
[解析] ∵a＋b＝(0，x2＋1)，
∴向量a＋b满足平行于y轴．
2．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于( D )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，∴点A位于第四象限，故选D．
3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为( D )
A．(2,6) B．(－2,6)
C．(2，－6) D．(－2，－6)
[解析] 由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．
4．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为( C )
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4,2)
[解析] 由题意，知点G是△ABC的重心，设C(x，y)，则有解得故C(4，－2)．
二、填空题
5．已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足＝，则点P的坐标是 (－1，－) ．
[解析] 设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
＝(－8,1)．
∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)．
即，解得，∴P(－1，－)．
6．设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2＋＝(7,9)，且向量＝ ．
[解析] 设＝(m，n)，则＝(－n，m)，所以2＋＝(2m－n,2n＋m)＝(7,9)，即
解得因此，＝．
三、解答题
7．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)及＝＋λ(λ∈R)．
(1)λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？
(2)若点P在第三象限内，求λ的取值范围．
(3)四边形ABCD能成为平行四边形吗？若能，求出相应的λ的值；若不能，请说明理由．
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(3,1)，＝(5,7)．
∵＝＋λ，
∴(x－2，y－3)＝(3,1)＋λ(5,7)，
即
∴P(5λ＋5,7λ＋4)．
(1)当点P在第一、三象限的角平分线上时，由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝．
(2)当点P在第三象限时，由得λ<－1．
(3)＝(3,1)，＝(2－5λ，6－7λ)．
若四边形ABCP为平行四边形，需＝，
于是方程组无解，故四边形ABCP不能成为平行四边形．
8．已知点A(－1,2)，B(2,8)，及＝，＝－，求点C、D和的坐标．
[解析] 设点C、D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)，
即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝(1,2)．
∴∴
∴点C、D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
C级 能力拔高
已知向量u＝(x，y)与向量ν＝(y,2y－x)的对应关系用ν＝f(u)表示．
(1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标．
[解析] (1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2,2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．
∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．
(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)．
∴y＝p,2y－x＝q.∴x＝2p－q．
∴向量c＝(2p－q，p)．
第二章 2.3 2.3.4 平面向量基本定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( C )
A．－ B．
C．－或 D．0
[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等．由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－．
2．已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，则实数y的值为( C )
A．5 B．6
C．7 D．8
[解析] ＝(3，y－1)，又∥a，
所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7．
3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( A )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
[解析] 设C(x，y)，∵A(0,1)，＝(－4，－3)，
∴解得∴C(－4，－2)，又B(3,2)，∴＝(－7，－4)，选A．
4．已知向量a＝(，sinα)，b＝(sinα，)，若a∥b，则锐角α为( A )
A．30° B．60°
C．45° D．75°
[解析] ∵a∥b，∴sin2α＝×＝，
∴sinα＝±．
∵α为锐角，∴α＝30°．
5．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( B )
A．－6 B．6
C．2 D．－2
[解析] a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6．
6．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( A )
A．－ B．
C．2 D．－2
[解析] 2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，
a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2)
∵(2a＋b)∥(a－mb)
∴－1＝(1＋3m)×2∴6m＝－3，解得m＝－
二、填空题
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为 ．
[解析] a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)
∵(a＋λb)∥c，
∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝．
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为__λ＝u__．
[解析] ∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．
又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，
∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0.∴λ＝u．
三、解答题
9．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k．
[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴解得
∴m＝，n＝．
(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．
又∵(a＋kc)∥(2b－a)，
∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0．
∴k＝－．
10．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件．
(2)若＝2，求x，y的值．
[解析] (1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－x，－3－y)得
＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x．
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0．
(2)＝(－x－1，－y)
由＝2得
(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
B级 素养提升
一、选择题
1．已知向量a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，则a和b的关系是( B )
A．共线且方向相同 B．共线且方向相反
C．是相反向量 D．不共线
[解析] 因为a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，所以a＝－b，由于λ＝－<0，故a和b共线且方向相反．
2．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( D )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
[解析] ∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共线，∴∴.∴c＝－d，∴c与d反向．
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( D )
A．－2 B．0
C．1 D．2
[解析] 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2．
4．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N＝( C )
A．{(1,1)} B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)} D．?
[解析] 设a∈M∩N，则存在实数λ和中μ，
使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ)．
∴解得
∴a＝(－2，－2)．
二、填空题
5．(北京高考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝__1__．
[解析] a－2b＝(，3)．因为a－2b与c共线，
所以＝，解得k＝1．
6．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||，则求点P的坐标为 (，) ．
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
由于点P在线段P1P2上，则有＝，
又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，
由题意得解得
∴点P的坐标为．
三、解答题
7．已知△AOB中，O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于M点，求点M的坐标．
[解析] ∵O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，
∴＝(0,5)，＝(4,3)．
∵＝(xC，yC)＝＝(0，)，
∴点C的坐标为(0，)．
同理可得点D的坐标为(2，)．
设点M(x，y)，则＝(x，y－5)，
则＝(2－0，－5)＝(2，－)．
∵A、M、D共线，∴与共线．
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
而＝(x，y－)，＝(4－0,3－)＝(4，)，
∵C、M、B共线，∴与共线．
∴x－4(y－)＝0，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2．
∴点M的坐标为(，2)．
8．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝．
(1)求E、F的坐标；
(2)判断与是否共线．
[解析] (1)设E(x1，y1)、F(x2，y2)，
依题意得＝(2,2)，＝(－2,3)．
由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，
即，解得，∴E(－，)．
由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)．
∴，解得
∴F(，0)，
即E点的坐标为(－，)，F点的坐标为(，0)．
(2)由(1)可知＝－＝(，0)－(－，)＝(，－)，(O为坐标原点)，
又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝，
即与共线．
C级 能力拔高
如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D、M、B三点共线．
[解析] 如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2．
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，
∴∥，即DE∥BC．
(2)∵M为EC的中点，∴M(0，)，
∴＝(－1,1)－(0，)＝(－1，)，
＝(1,0)－(0，)＝(1，－)．
∴＝－，∴∥．
又 MD与MB共点于M，
∴D，M，B三点共线．
第二章 2.4 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是( A )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．任意三角形
[解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．
2．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为( C )
A．2 B．
C．2 D．4
[解析] a在b方向上的投影为|a|cos?a，b?＝4×cos30°＝2，故选C．
3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( B )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[解析] A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．
4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( C )
A．2 B．4
C．6 D．12
[解析] ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72．
∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72．
∴|a|2－2|a|－24＝0.又∵|a|≥0，∴|a|＝6．
5．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cos?a，b?＝＝＝－，所以?a，b?＝，故选C．
6．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
二、填空题
7．(江苏高考)已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为 ．
[解析] 由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝．
8．已知向量a、b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝ 3 ．
[解析] |2a－b|＝?(2a－b)2＝10?4＋|b|2－4|b|cos45°＝10?|b|＝3．
三、解答题
9．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)(3a)·；
(3)(3b－2a)·(4a＋b)．
[解析] (1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60．
(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36．
(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968．
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
[解析] (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝
＝＝．
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b方向上的投影为
＝＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·四川绵阳期末)下列命题中错误的是( B )
A．对于任意向量a、b，有|a＋b|≤|a|＋|b|
B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
C．对于任意向量a·b，有|a·b|≤|a||b|
D．若a、b共线，则a·b＝±|a||b|
[解析] 当a⊥b时，a·b＝0也成立，故B错误．
2．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( B )
A．－8 B．8
C．－8或8 D．6
[解析] 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8．
3．若非零向量a、b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( A )
A． B．
C． D．π
[解析] 由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝|b|，所以a·b＝3·(|b|)2－2b2＝b2，所以cos?a，b?＝＝＝，所以?a，b?＝，故选A．
4．已知△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是( C )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[解析] 由2－·＝·＋·，
得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，
∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形，故选C．
二、填空题
5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为 － ．
[解析] ∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，
∴a·b＝－|b|2，
∴cos〈a·b〉＝＝＝－．
6．已知向量a、b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为 ；|2a－b|＝ 2 ．
[解析] 由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，
则a·b＝3．
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝．
因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，
所以|2a－b|＝2．
三、解答题
7．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，试问：当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
[解析] ∵(ka－b)⊥(a＋2b)，
∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，
即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，
∴k＝.∴当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．
8．设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解析] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得
cosθ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7＝0.解得－7当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则
∴
∴所求实数t的取值范围是(－7，－)∪(－，－)．
C级 能力拔高
若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是( A )
A．一次函数且是奇函数
B．一次函数但不是奇函数
C．二次函数且是偶函数
D．二次函数但不是偶函数
[解析] f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(|b2|－|a|2)x－a·b，由a⊥b，得a·b＝0，所以f(x)＝(|b|2－|a|2)x.由于|a|≠|b|，所以|b|2－|a|2≠0，即f(x)＝(|b|2－|a|2)x是一次函数，显然也是奇函数．
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] ∵＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0．
2．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，∴cosθ＝＝.∴a在b上的射影为|a|cosθ＝×＝．
3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝( C )
A． B．－
C． D．－
[解析] 由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0，
而ka＋b＝(2－k,3k－1)，
a－2b＝(－5,5)，
故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝．
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝( C )
A．1 B．
C．2 D．4
[解析] 由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，
即2a·b－b2＝0．
故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3．
所以，|a|＝＝＝2．
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( C )
A． B．
C．5 D．25
[解析] ∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5．
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( D )
A．(，) B．(－，－)
C．(，) D．(－，－)
[解析] 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故选D．
二、填空题
7．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝__2__．
[解析] 因为a＋b＝(－1，)，
所以|a＋b|＝＝2．
8．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝__1__．
[解析] cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍)．
三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值．
[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0．
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19．
10．已知a＝(，1)，b＝(2,2)．
(1)求a·b；
(2)求a与b的夹角θ．
[解析] (1)a·b＝2＋2＝4．
(2)cosθ＝
＝＝，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于( B )
A． B．
C． D．(1,0)
[解析] 方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则
将②代入①得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，
∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝?y＝．
方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B．
2．(2016·全国Ⅲ，文)已知向量＝(，)，＝(，)，则∠ABC＝( A )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[解析] 由题意得cos∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝30°，故选A．
3．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( B )
A． B．
C．2 D．10
[解析] 由a⊥c，得2x－4＝0 则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，
|a＋b|＝＝．
4．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为( A )
A．－θ B．θ－
C．＋θ D．θ
[解析] 由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上
(∵<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，
∴a与b的夹角为－θ．
二、填空题
5．已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__2__．
[解析] ∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a·b＝，|b|2＝1，
∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2．
6．△ABO三顶点坐标为A(1,0)、B(0,2)、O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为__3__．
[解析] ∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，
∴x≤1，∴－x≥－1，
∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2．
∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3．
三、解答题
7．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c．
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．
[解析] (1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12．
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.∴y＝－3．
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，
设m，n的夹角为θ，则cosθ＝
＝＝＝－．
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝，即m，n的夹角为．
8．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．
[解析] 假设m、n的夹角能为60°，
则cos60°＝，
∴m·n＝|m||n|. ①
又∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，
∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0．
∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k， ②
|m||n|＝·＝k2＋1. ③
由①②③，得2k＝(k2＋1)．∴k2－4k＋1＝0．
∵该方程无整数解．
∴m、n的夹角不能为60°．
C级 能力拔高
设(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，其中mn≠0，
求证：＝．
[解析] 由题中所给式子联想到向量的夹角公式和模长公式，故可构造向量c＝(a，b)，d＝(m，n)，然后用向量知识求解．
方法一 设c＝(a，b)，d＝(m，n)，
则|c|2＝a2＋b2，|d|2＝m2＋n2，c·d＝am＋bn．
∵(a2＋b2)(m2＋n2)＝(am＋bn)2，
∴|c|2|d|2＝(c·d)2，即c·d＝±|c||d|，∴c∥d，
∴an－bm＝0，即an＝bm．
又mn≠0，∴＝．
方法二 设c＝(a，b)，d＝(m，n)，c与d的夹角为θ，则cos2θ＝()2．
由条件知＝1，
∴cos2θ＝1，即θ＝0°或θ＝180°，即c∥d，
于是有an－bm＝0．
又mn≠0，∴＝．
第二章 2.5 平面向量应用举例
A级 基础巩固
一、选择题
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力、，则|＋|为( C )
A．(5,0) B．(－5,0)
C． D．－
[解析] ∵＝(1,1)，＝(－3，－2)，
∴|＋|＝＝，故选C．
2．(2018·四川绵阳期末)△ABC中，设＝c，＝a，＝b，若c·(c＋a－b)<0，则△ABC是( C )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定其形状
[解析] 由已知，·(＋－)＝·2<0，
∴角A为钝角，故选C．
3．已知点A(－2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是( D )
A．x2＋y2＝1 B．x2－y2＝1
C．y2＝2x D．y2＝－2x
[解析] ＝(－2－x，－y)，＝(－x，－y)
则·＝(－2－x)(－x)＋y2＝x2，
∴y2＝－2x．
4．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是( A )
A．5 B．－5
C． D．－
[解析] 由题意，得＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．
∵∠C＝90°，∴⊥.∴·＝0．
∴2(2－k)＋3×2＝0.∴k＝5．
5．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( D )
A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
[解析] 由·＝·，
得·－·＝0，
∴·(－)＝0，即·＝0．
∴⊥.同理可证⊥，⊥．
∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点．
6．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( B )
A．40 N B．10N
C．20N D．40N
[解析] 如图，以F1、F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．
由题意，易知|F|＝|F1|，
|F|＝20 N，
∴|F1|＝|F2|＝10N．
当它们的夹角为120°时，以F1、F2为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，
此时|F合|＝|F1|＝10N．
二、填空题
7．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做功的是__－11__．
[解析] ∵W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11．
8．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是 [，π] ．
[解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，
所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈[，π]．
三、解答题
9．在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，用向量法证明CD＝AB．
[证明] 如图，设＝a，＝b，
则a与b的夹角为90°，
∴a·b＝0．
又＝b－a，＝(a＋b)，
∴||＝|a＋b|＝
＝＝，
||＝|b－a|＝
＝＝．
∴||＝||.∴CD＝AB．
10．某人骑车以akm/h的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2akm/h时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．
[解析] 设此人行驶速度为a，则|a|＝a，无风时此人感觉到风速为－a，又设实际风速为v，由题意知，此人所感到的从正北方向吹来的风速为v－a，
如图所示，令＝－a，＝－2a，
由于＋＝，故＝v－a．
又＋＝，故＝v－2a，即此人的速度是原来的2倍时所感到的风速，由题意得∠PBO＝45°，
PA⊥BO，BA＝AO，从而△BPO为等腰三角形，
∴PB＝PO，∠POA＝∠APO＝45°，
∴PO＝a，|v|＝akm/h．
故实际吹来的风是风速为akm/h的西北风．
B级 素养提升
一、选择题
1．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)( C )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
[解析] 5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．
2．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( C )
A． B．2
C．5 D．10
[解析] 本题考查向量的坐标运算，数量积、模等．
由题意知AC，BD为四边形对角线，
而·＝1×(－4)＋2×2＝0
∴AC⊥BD．
∴S四边形ABCD＝×||×||
＝××
＝××＝5．
3．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的( C )
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
[解析] 由||＝||＝||，已知点O为△ABC的外心，由＋＋＝0，知点N为△ABC的重心；由·＝·，得(－)·＝0，即·＝0，故⊥.同理，AP⊥BC，故P为△ABC的垂心，选C．
4．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( D )
A．2 B．4
C．5 D．10
[解析] 将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示，则
＝＝
＝
＝－6＝42－6＝10．
二、填空题
5．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30m到达点B，则此人的位移的大小是__60__m，方向是东偏北__60°__．
[解析] 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，
则||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°．
6．作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则F1＋F2的大小为 ．
[解析] |F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19，
所以|F1＋F2|＝．
7．已知：?ABCD中，AC＝BD，求证：四边形ABCD是矩形．
[证明] 设＝a，＝b，
由于四边形ABCD是平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
＝－＝b－a．
∵AC＝BD，∴|a＋b|＝|b－a|.∴|a＋b|2＝|b－a|2．
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝|b|2－2a·b＋|a|2．
∴a·b＝0.∴a⊥b，即⊥.∴AB⊥AD．
∴四边形ABCD是矩形．
8．如图所示，已知?ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝，求对角线AC和BD的长．
[解析] 设＝a，＝b，a与b的夹角为θ，
则|a|＝3，|b|＝1，θ＝．
∴a·b＝|a||b|cosθ＝．
又∵＝a＋b，＝a－b，
∴||＝＝
＝＝，
||＝＝
＝＝．
∴AC＝，DB＝．
C级 能力拔高
△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线的方程．
[解析] 向量＝(7,5)－(4,1)＝(3,4)，＝(－4,7)－(4,1)＝(－8,6)，从而∠A的平分线的一个方向向量为＋＝(，)＋(－，)＝(－，)，则∠A的平分线方程可设为x＋y＋m＝0，将点(4,1)的坐标代入，得m＝－，整理得7x＋y－29＝0，即∠A的平分线所在直线的方程为7x＋y－29＝0．
第二章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( D )
A．－＝ B．＋＝0
C．0·＝0 D．＋＋＝
[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0．
2．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝( A )
A． B．
C．1 D．
[解析] 满足＋＝0，∴点P是线段AC的中点．
∵2＋＋＝，
∴2＝－－－＝2，
∴点Q是线段AB的中点，
∵||＝λ||，
∴λ＝．
3．如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( D )
A．a＝b B．a·b＝1
C．a＝－b D．|a|＝|b|
[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反，所以选项A、C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所以选项B不正确；|a|＝|b|＝1，则选项D正确．
4．如图，a－b等于( C )
A．2e1－4e2 B．－4e1－2e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
[解析] a－b＝e1－3e2．
5．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么＝( D )
A．＋ B．－－
C．－＋ D．－AD
[解析] ＝＝(－)．
6．(＋)·(－)等于( A )
A．0 B．λ1＋λ2
C．λ1－λ2 D．λ1λ2
[解析] ∵＝a0.(a0为a的单位向量)．
∴原式即(λ1a0＋λ1b0)(λ2a0－λ2b0)＝λ1·λ2(a－b)＝0．
7．已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．
由条件知＝(2,1)，＝(5,5)，·＝10＋5＝15．
||＝＝5，则在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝，故选A．
8．已知a、b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A、B、C三点共线应满足的条件是( D )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
[解析] A，B，C三点共线即存在实数k，使得＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以有λa＝ka，b＝kμb，即λ＝k,1＝kμ，得λμ＝1．
9．设a、b是两个非零向量( C )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
[解析] 利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a、b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a、b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
10．(山东高考)已知非零向量m、n满足4|m|＝3|n|，cos＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为
( B )
A．4 B．－4
C． D．－
[解析] 由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，则tm·n＋n2＝0，所以t＝－＝－＝
－＝－3×＝－3×＝－4.故选B．
11．(2018·天津理，8)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为( A )
A． B．
C． D．3
[解析] 如图，以D为坐标原点建立直角坐标系．
连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，则＝(－1，y)，＝，
∴ ·＝＋y2－y＝2＋，
∴ 当y＝时，·有最小值．
故选A．
12．已知点O为△ABC所在平面内一点，且2＋2＝2＋2＝2＋2，则点O一定为△ABC的( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] ∵2＋2＝2＋2，
∴2－2＝2－2，
∴(－)·(＋)＝(＋)·(－)，
∴·(＋)＝·(－)，
∴·(＋－＋)＝0，
∴·(＋＋)＝0，
∴·2＝0，
∴·＝0，
∴⊥．
同理可得：⊥，⊥．
∴O为△ABC的垂心．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则A、B、C、D四点中一定共线的三点是__A、B、D__．
[解析] ＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2．
14．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__．
[解析] 由于a⊥b，由此画出以a，b为邻边的矩形ABCD，如图所示，其中，＝a，＝b，∵a＋b＋c＝0，∴＝c，＝a－b．
∵(a－b)⊥c，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为正方形．
∴|a|＝|b|＝1，|c|＝，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4．
15．若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”．依此规定，能说明a1＝(1,2)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,10)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取__－4,2,1__(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)．
[解析] 由k1a1＋k2a2＋k3a3＝0得
?k1＝－4k3，k2＝2k3，
令k3＝c(c≠0)，则k1＝－4c，k2＝2c．
16．(2017天津理科)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为 ．
[解析] 由题意，知||＝3，||＝2，
·＝3×2×cos60°＝3，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴·＝(＋)·(λ－)＝·－2＋2
＝×3－×32＋×22
＝λ－5＝－4，解得λ＝．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)．
(1)若〈a，b〉为锐角，求x的范围；
(2)当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值．
[解析] (1)若〈a，b〉为锐角，则a·b>0且a、b不同向．
a·b＝x＋2>0，∴x>－2
当x＝时，a、b同向．
∴x>－2且x≠
(2)a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)
(2x＋1)(2－x)＋3×4＝0
即－2x2＋3x＋14＝0
解得：x＝或x＝－2．
18．(本题满分12分)如图，∠AOB＝，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点．
(1)用向量与表示向量．
(2)求向量的模．
[解析] (1)＝＋＋ ①，＝＋＋ ②
①＋②将＋＝2，所以＝(＋)；
(2)||2＝(2＋2·＋2)＝(1＋2×1×2×cos＋4)＝．
∴||＝．
19．(本题满分12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标．
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ．
[解析] (1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x ①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20 ②
由①②联立，
解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
又|a|＝，|c|＝，
解得a·c＝5，
所以cosθ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝．
20．(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．
(1)求t的值；
(2)已知a与b成45°角，求证：b与a＋tb(t∈R)垂直．
[解析] (1)设a与b的夹角为θ，则|a＋tb|2＝|a|2＋t2|b|2＋2t·a·b＝|a|2＋t2·|b|2＋2|a|·|b|·t·cosθ＝|b|2(t＋cosθ)2＋|a|2(1－cos2θ)．
∴当t＝－cosθ时，|a＋tb|取最小值|a|sinθ．
(2)∵a与b的夹角为45°，∴cosθ＝，从而t＝－·，b·(a＋tb)＝a·b＋t·|b|2＝|a|·|b|·－··|b|2＝0，所以b与a＋tb(t∈R)垂直，即原结论成立．
21．(本题满分12分)在△ABC中，设·＝·．
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈[，]，求·的取值范围．
[解析] (1)证明：∵·＝·，
∴·(－)＝0．
又＋＋＝0则＝－(＋)，
∴－(＋)·(－)＝0．
∴2－2＝0，
∴||2＝||2．
∴||＝||，即△ABC为等腰三角形．
(2)解：∵B∈[，]，∴cosB∈[－，]．
设||＝||＝a．
∵|＋|＝2，∴|＋|2＝4，则有a2＋a2＋2a2cosB＝4．
∴a2＝，则·＝a2cosB＝＝2－．
又cosB∈[－，]，
∴·∈[－2，]．
22．(本题满分12分)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝|a－kb|(k>0，k∈R)．
(1)求a·b关于k的解析式f(k)．
(2)若a∥b，求实数k的值．
(3)求向量a与b夹角的最大值．
[解析] (1)由已知|ka＋b|＝|a－kb|，
有|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，
k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2．
又因为|a|＝|b|＝1，
得8ka·b＝2k2＋2，
所以a·b＝，
即f(k)＝(k>0)．
(2)因为a∥b，k>0，
所以a·b＝>0，
则a与b同向．
因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝1，
即＝1，整理得k2－4k＋1＝0，
所以k＝2±，
所以当k＝2±时，a∥b．
(3)设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝a·b＝＝(k＋)＝[(－)2＋2]．
当＝，即k＝1时，
cosθ取最小值，此时θ＝．
