24.2直角三角形的性质教案
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文档简介
24．2 直角三角形的性质
【知识与技能】
1．理解掌握直角三角形性质定理(1)，(2)．
2．巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法．
3．掌握直角三角形性质定理(3)：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及由此证得的另一直角三角形性质定理：直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【过程与方法】
1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充．
2．培养学生用规范的数学语言进行表述的习惯和能力．
【情感态度】
1．引导学生对图形的观察、发现、激发学生的好奇心和求知欲．
2．在运用数学知识解答问题的活动中，鼓励学生积极参与数学活动，体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性．
【教学重点】
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用；含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．
【教学难点】
1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的证明思想方法．
2．含30°角的直角三角形性质的探索与证明．
3．引导学生全面、周到地思考问题．
一、创设情境，导入新知
在2014年两会召开期间，我市人大代表提出《水利建设如何“加速”》的提案已审议通过，但在实际建设中遇到了选址的问题，我们一起来帮帮他们吧！
涌泉镇将建造一个集中供水站，设计师设想把供水站设计建造在离三个镇距离相等的位置．而这三个镇的位置正好构成一个直角三角形．该怎么选址呢？
动一动 想一想 画一画(实验操作)
让学生以小组竞赛的方式看看哪一组最先找到符合要求的位置．
再让小组之间相互检查找到的这个点到这三个镇的距离是否符合要求．
通过以上的实验探究猜想：直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系？
所有的直角三角形是否都存在这样的规律呢？今天我们一起来共同探究，当一回设计师吧！
【教学说明】让学生感受到利用数学知识是解决实际生活问题的有效方法之一，这样的导入既关心了时事政治又可以激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．
二、合作探究，理解新知
让学生拿出已经准备好的一个矩形图片，把矩形图片的两条对角线画出来，沿着一条对角线剪去图形的一半，得到一个直角三角形．与你的同伴共同动手操作量一量斜边AC与中线BE的数量关系．从中你能发现什么规律？
【教学说明】通过学生动手操作感受到直角三角形的直角边和中线之间的关系是从矩形对角线而来的，为下一步证明性质定理做好铺垫，同时也启发了学生从实践中发现一些客观存在的规律．
提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
证明命题：教师引导，学生结合实验探究过程反向思维，构建矩形，共同完成证明过程．
结论归纳：直角三角形性质斜边上的中线等于斜边的一半．
你能用几何语言写出这一性质吗？
板书：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BE是斜边AC的中线，
∴ BE＝AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．
例题讲解
例1：如果直角三角形的两条直角边长分别为2 ＋1和2 －1，求斜边上中线的长．
解：∵三角形是直角三角形，∴斜边上的长＝＝，∴斜边上中线的长为.
【教学说明】让学生初步学会运用直角三角形性质(3)来解决某些与直角三角形有关的问题，加深学生对直角三角形的性质(3)的理解．
拓展应用
例2：探索30°角所对的直角边与斜边的关系．
用含30°角的直角三角尺是否能摆出一个等边三角形？由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
我们通过实践操作得到的结论还需证明，你能证明它吗？请根据图形写出已知、求证和证明过程．
已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.
求证：BC＝AB.
证明：作斜边AB上的中线CD，则CD＝AB＝AD＝BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．
∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△CBD是等边三角形．∴BC＝BD＝AB.
【教学说明】让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明，从而得到直角三角形性质(3)推论，同时也让学生知道证明一个命题的方法和过程．
板书：直角三角形性质(3)推论．
如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
三、尝试练习，掌握新知
1.小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200 m，山的高度是______m.
2．若一个等腰三角形的底角是15°，腰长为6 cm，求这个等腰三角形的面积．
3.(课余探索)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形．
【教学说明】练习1和2是为了进一步巩固直角三角形性质(3)及其推论，进一步巩固新知，解决与直角三角形有关的问题，问题3的设计是针对能力强的学生进行课余探索而设计，目的是让不同层次的学生都有收获．
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课主要讲了直角三角形的哪两条性质定理？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材习题24.2第1～3题．
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【知识与技能】
1．理解掌握直角三角形性质定理(1)，(2)．
2．巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法．
3．掌握直角三角形性质定理(3)：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及由此证得的另一直角三角形性质定理：直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【过程与方法】
1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充．
2．培养学生用规范的数学语言进行表述的习惯和能力．
【情感态度】
1．引导学生对图形的观察、发现、激发学生的好奇心和求知欲．
2．在运用数学知识解答问题的活动中，鼓励学生积极参与数学活动，体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性．
【教学重点】
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用；含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．
【教学难点】
1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的证明思想方法．
2．含30°角的直角三角形性质的探索与证明．
3．引导学生全面、周到地思考问题．
一、创设情境，导入新知
在2014年两会召开期间，我市人大代表提出《水利建设如何“加速”》的提案已审议通过，但在实际建设中遇到了选址的问题，我们一起来帮帮他们吧！
涌泉镇将建造一个集中供水站，设计师设想把供水站设计建造在离三个镇距离相等的位置．而这三个镇的位置正好构成一个直角三角形．该怎么选址呢？
动一动 想一想 画一画(实验操作)
让学生以小组竞赛的方式看看哪一组最先找到符合要求的位置．
再让小组之间相互检查找到的这个点到这三个镇的距离是否符合要求．
通过以上的实验探究猜想：直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系？
所有的直角三角形是否都存在这样的规律呢？今天我们一起来共同探究，当一回设计师吧！
【教学说明】让学生感受到利用数学知识是解决实际生活问题的有效方法之一，这样的导入既关心了时事政治又可以激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望．
二、合作探究，理解新知
让学生拿出已经准备好的一个矩形图片，把矩形图片的两条对角线画出来，沿着一条对角线剪去图形的一半，得到一个直角三角形．与你的同伴共同动手操作量一量斜边AC与中线BE的数量关系．从中你能发现什么规律？
【教学说明】通过学生动手操作感受到直角三角形的直角边和中线之间的关系是从矩形对角线而来的，为下一步证明性质定理做好铺垫，同时也启发了学生从实践中发现一些客观存在的规律．
提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
证明命题：教师引导，学生结合实验探究过程反向思维，构建矩形，共同完成证明过程．
结论归纳：直角三角形性质斜边上的中线等于斜边的一半．
你能用几何语言写出这一性质吗？
板书：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BE是斜边AC的中线，
∴ BE＝AC(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．
例题讲解
例1：如果直角三角形的两条直角边长分别为2 ＋1和2 －1，求斜边上中线的长．
解：∵三角形是直角三角形，∴斜边上的长＝＝，∴斜边上中线的长为.
【教学说明】让学生初步学会运用直角三角形性质(3)来解决某些与直角三角形有关的问题，加深学生对直角三角形的性质(3)的理解．
拓展应用
例2：探索30°角所对的直角边与斜边的关系．
用含30°角的直角三角尺是否能摆出一个等边三角形？由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
我们通过实践操作得到的结论还需证明，你能证明它吗？请根据图形写出已知、求证和证明过程．
已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.
求证：BC＝AB.
证明：作斜边AB上的中线CD，则CD＝AB＝AD＝BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．
∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△CBD是等边三角形．∴BC＝BD＝AB.
【教学说明】让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明，从而得到直角三角形性质(3)推论，同时也让学生知道证明一个命题的方法和过程．
板书：直角三角形性质(3)推论．
如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
三、尝试练习，掌握新知
1.小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200 m，山的高度是______m.
2．若一个等腰三角形的底角是15°，腰长为6 cm，求这个等腰三角形的面积．
3.(课余探索)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形．
【教学说明】练习1和2是为了进一步巩固直角三角形性质(3)及其推论，进一步巩固新知，解决与直角三角形有关的问题，问题3的设计是针对能力强的学生进行课余探索而设计，目的是让不同层次的学生都有收获．
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课主要讲了直角三角形的哪两条性质定理？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材习题24.2第1～3题．
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