沪科版数学八年级上册
第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第5课时 用“HL”判定两三角形全等
基础达标 提升训练
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( )
A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一锐角对应相等
C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等
2. 下列结论：①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有一个锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等；③有一组边对应相等的两个直角三角形全等；④所有的直角三角形都全等.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A. CB=CD B. ∠BAC=∠DAC
C. ∠BCA=∠DCA D. ∠B=∠D=90°
第3题 第4题
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE⊥AB于点E，AC=5，AE=5，∠CAB=60°，则∠CAD的度数为( )
A. 45° B. 30° C. 20° D. 15°
5. 如图所示，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是点D，E，BE与CD相交于F点，连AF，则图中全等三角形有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
第5题 第6题
6. 如图所示，已知EA⊥AB，BC∥EA，ED=AC，AD=BC，则下列式子不一定成立的是( )
A. ∠EAF=∠ADF B. DE⊥AC C. AE=AB D. EF=FC
7. 小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角板，他是怎样画角平分线的呢?他的具体作法如下：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线交点为P，画射线OP.则OP平分∠AOB.其中运用的数学原理是 .
第7题 第8题
8. 如图所示，已知AC⊥BD于点P，且AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不添加辅助线)，你增加的条件是 .?
9. 如图，BD=CF，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BE=CD，若∠AFD=145°，则∠EDF= .?
第9题 第10题
10. 如图所示，在△ABC中，PM=PN，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，QN=BP，则下面三个结论：①AM=AN；②∠PAM=∠PAN；③△BPM≌△PQN，正确的是 .?
11. 如图，两根长相等的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两根木桩到旗杆底部的距离相等吗?请说明理由.
12. 如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°.
(1)求证：△ACB≌△BDA；
(2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度数.
13. 如图，幼儿园的滑梯有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等.
(1)△ABC≌△DEF吗?
(2)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?
请你说明(1)，(2)两个结论的道理.
14. 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点，DE=DF.
求证：AB=AC.
15. 如图，E，F分别为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB=CD，AE=CF，BD交AC于点M.
(1)试猜想DE与BF的关系，并证明你的结论.
(2)求证：MB=MD.
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16. 如图，已知M是∠AOB内一点，MD⊥OB于D，MC⊥OA于C，且MD=MC，作射线OM，在OM上任取一点P，连接PC，PD，找出图中所有相等的线段(MD=MC除外)，并说明理由.
参考答案
1. D 【解析】两直角边对应相等，根据“SAS”两三角形全等，故A正确；斜边和一锐角对应相等，根据“AAS”两三角形全等，故B正确；斜边和一直角边对应相等，根据“HL”两三角形全等.故C正确；两锐角相等，不能确定两三角形全等，故D错误.故选D.
2. B 【解析】①符合“SAS”；②符合“AAS”或“ASA”，③④都不正确.故选B.
3. C 【解析】添加CB=CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故选项A不符合题意；添加∠BAC=∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故选项B不符合题意；添加∠BCA=∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故选项C符合题意；添加∠B=∠D=90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故选项D不符合题意.故选C.
4. B 【解析】因为DE⊥AB，所以∠AED=90°，因为AC=5，AE=5，所以AC=AE，因为AD=AD，所以Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，所以∠CAD=∠EAD，因为∠CAB=60°，所以∠CAD=30°.故选B.
5. D 【解析】由题意知∠AEB=∠ADC=90°，∠BAE=∠CAD，AC=AB，得△ADC≌△AEB，得∠B=∠C.
DC=EB，AE=AD，再证△ADF≌△AEF(HL)，△BDF≌△CEF(AAS)，△ABF≌△ACF(SSS).故选D.
6. D 【解析】因为EA⊥AB，BC∥EA，所以∠EAD=∠B=90°，在Rt△ABC和Rt△EAD中，所以△ABC≌△EAD(HL)，所以∠E=∠BAC，因为∠EAF＋∠BAC=90°，∠ADF＋∠E=90°，所以∠EAF=∠ADF，故A正确；结合△ABC≌△EAD得∠BAC＋∠ADE=90°，所以∠AFD=90°，即DE⊥AC.故B正确；因为△ABC≌△EAD，所以AE=AB，故C正确；因为不能确定AF，DF相等，所以不能确定EF=FC，故D错误.故选D.
7. “斜边，直角边”证明两个直角三角形全等，再利用全等三角形对应角相等
8. BP=DP(或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD) 【解析】因为∠APB=∠CPD=90°，AP=CP.所以当添加条件BP=DP，可由“SAS”证得三角形全等. 当添加条件AB=CD，可由“HL”证得三角形全等. 当添加条件∠A=∠C或∠B=∠D. 可由“ASA”或“AAS”证得两三角形全等. 当添加条件AB∥CD，可得∠B=∠D，由“AAS”证得两三角形全等.
9. 55° 【解析】因为DE⊥AB，FD⊥BC，所以∠BED=∠CDF=90°，在Rt△BDE和Rt△CFD中，所以△BDE≌△CFD，所以∠BDE=∠CFD，因为∠AFD=145°，所以∠BDE=∠CFD=35°，所以∠EDF=90°－35°=55°.
10. ①② 【解析】易由HL证得Rt△APM≌Rt△APN，所以AM=AN，∠PAM=∠PAN. 不能利用HL证明△BPM≌△PQN.
11. 解：相等，理由如下：在Rt△ABO和Rt△ACO中，因为AB=AC，AO=AO，所以Rt△ABO≌Rt△ACO(HL)，所以OB=OC. 即两根木桩到旗杆底部的距离相等.
12. (1)证明：因为∠D=∠C=90°，所以△ABC和△BAD都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△BAD中，
所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
(2)解：因为Rt△ABC≌Rt△BAD，所以∠ABC=∠BAD=35°，因为∠C=90°，所以∠BAC=55°，所以∠CAO=∠CAB－∠BAD=20°.
13. 解：(1)△ABC≌△DEF，证明：由题意可知BC=EF，∠BAC=∠EDF=90°，在Rt△ABC和Rt△DEF中，所以△ABC≌△DEF(HL).
(2)∠ABC＋∠DFE=90°. 证明：因为△ABC≌△DEF，所以∠DFE=∠ACB，因为∠ABC＋∠ACB=90°，所以∠ABC＋∠DFE=90°.
14. 证明：连接AD. 因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠AED=∠DEB=∠AFD=∠DFC=90°. 因为D为BC的中点，所以BD=DC. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，因为所以Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
所以BE=CF. 在Rt△ADE和Rt△ADF中，因为所以Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). 所以AE=AF.
所以AE＋BE=AF＋FC，即AB=AC.
15. 解：(1)DE=BF，DE∥BF. 证明：因为DE⊥AC，BF⊥AC，所以DE∥BF，∠AFB=∠CED=90°，因为AE=CF，所以AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中所以△ABF≌△CDE(HL)，所以DE=BF.
(2)在△BMF和△DME中，所以△BMF≌△DME(AAS)，所以MB=MD.
