第三章 3.1 3.1.1 3.1.1 两角差的余弦公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．coscos＋cossin的值是( C )
A．0 B．
C． D．
[解析] 原式＝coscos＋sin·sin＝cos(－)＝cos＝．
2．cos285°等于( A )
A． B．
C． D．－
[解析] cos285°＝cos75°＝cos(45°＋30°)＝．
3．在△ABC中，若sinAsinB
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[解析] 由题意，得cosAcosB－sinAsinB>0．
即cos(A＋B)>0，－cosC>0，cosC<0．
又04．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是( B )
A．sin2x B．cos2y
C．－cos2x D．－cos2y
[解析] 原式＝cos(x＋y)cos(x－y)＋sin(x＋y)·sin(x－y)＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y．
5．已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，则cosα＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，
∴cos(30°＋α)＝－，
又cosα＝cos[(30°＋α)－30°]
＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°＝－×＋×＝．
6．若sinα·sinβ＝1，则cos(α－β)的值为( B )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
[解析] ∵sinαsinβ＝1，∴或，
由cos2α＋sin2α＝1得cosα＝0，
∴cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0＋1＝1．
二、填空题
7．已知cos(α－)＋sinα＝，则cos(α－)的值是 ．
[解析] cos(α－)＋sinα＝cosα＋sinα＝，
cosα＋sinα＝，
∴cos(α－)＝cosα＋sinα＝．
8．已知tanθ＝－，θ∈(，π)，则cos(θ－)的值为 ．
[解析] ∵tanθ＝－，∴sinθ＝，cosθ＝－，
∴cos(θ－)＝cosθcos＋sinθsin
＝－×＋×＝．
三、解答题
9．已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．
[解析] ∵α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，
∴α＋β∈(，2π)，β－∈(，)，∴cos(α＋β)＝＝，cos(β－)＝－＝－，∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]＝cos(α＋β)·cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)＝×(－)＋(－)×＝－．
10．已知sin＝，且<α<，求cosα的值．
[解析] ∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π．
∴cos＝－＝－．
∴cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是( B )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．
2．若sinx＋cosx＝4－m，则实数m的取值范围是( A )
A．3≤m≤5 B．－5≤m≤5
C．3[解析] ∵sinx＋cosx＝sinx＋cosx
＝cosxcos＋sinxsin＝cos(x－)＝4－m，
∴cos(x－)＝4－m，∴|4－m|≤1，解得3≤m≤5．
3．已知sin＝，<α<，则cosα的值是( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵<α<，∴<＋α<π．
∴cos＝－＝－．
∴cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝．
4．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)的值为( D )
A． B．
C． D．－
[解析] 由已知，得(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝2＋2＝1，
所以2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1．
所以cos(α－β)＝－．
二、填空题
5．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝ ．
[解析] 原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)]
＝cos30°＝．
6．已知cos＝cosα，则tanα＝ ．
[解析] cos＝cosαcos＋sinαsin
＝cosα＋sinα＝cosα，
∴sinα＝cosα，∴＝，即tanα＝．
三、解答题
7．已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β)．
[解析] 因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π．
因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π．
所以sin(2α－β)＝．
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<，
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝．
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β)
＝－×＋×＝0．
8．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M(，)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α、β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，
求f(α－β)的值．
[解析] (1)由题意，知A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)．将点M(，)代入，得sin(＋φ)＝.而0<φ<π，∴＋φ＝π，∴φ＝，故f(x)＝sin(x＋)＝cosx．
(2)由题意，有cosα＝，cosβ＝．
∵α、β∈(0，)，
∴sinα＝＝，sinβ＝＝，
∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝．
C级 能力拔高
若cos(α－β)＝，cos2α＝，且α、β均为锐角，α<β，则α＋β的值为( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵0<α<，0<β<，α<β，
∴－<α－β<0．
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝－＝－．
又∵0<2α<π，cos2α＝，
∴sin2α＝＝．
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝×＋×(－)＝－．
又0<α＋β<π，故α＋β＝．
第三章 3.1 3.1.1 第1课时 两角和与差的正弦、余弦
A级 基础巩固
一、选择题
1．若△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由条件可知cosA＝，sinA＝，sinB＝，cosB＝，∴sin(A－B)＝sinA·cosB－cosA·sinB＝×－×＝．
2．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于( B )
A． B．
C．－ D．－
[解析] cos(α＋)＝(cosα·－sinα·)＝－＝．
3．cos的值等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] cos＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝．
4.cos－sin的值是( B )
A．0 B．
C．－ D．2
[解析] cos－sin＝2(cos－sin)＝2(sincos－cossin)＝2sin(－)＝2sin＝．
5．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny可化简为( A )
A．cosx B．sinx
C．cos(x＋y) D．cos(x－y)
[解析] 原式＝cos[(x＋y)＋y]＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy－sin(x＋y)· siny＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy＋sin(x＋y)siny＝cosx．
6．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，α、β都是锐角，则cosβ＝( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ∵α、 β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－<0，∴<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝，sinα＝.又cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝．
二、填空题
7．sin15°＋sin75°的值是 ．
[解析] sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝．
8．已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ＝ － ．
[解析] 由sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，得
sin(－β)＝m，即sinβ＝－m，又β为第三象限角，
cosβ＝－＝－＝－．
三、解答题
9．化简求值：
(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)
[解析] (1)原式＝sin(14°－44°)
＝sin(－30°)＝－．
(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1．
10．已知cosθ＝－，θ∈，求cos的值．
[解析] cosθ＝－，θ∈，
∴sinθ＝－，
∴cos＝cosθ·cos－sinθ·sin
＝－×－×＝－．
B级 素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知sin(A－B)·cosB＋cos(A－B)sinB≥1，则△ABC是( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
[解析] 由题设知sin[(A－B)＋B]≥1，
∴sinA≥1而sinA≤1，∴sinA＝1，A＝，
∴△ABC是直角三角形．
2．若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于( B )
A． B．
C．或 D．－
[解析] ∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，
又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，
由sinα＝得，cosα＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B．
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为( A )
A．0 B．
C．0或 D．0或±
[解析] 由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，
左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0．
4.( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析]
＝
＝
＝＝sin30°＝．
二、填空题
5．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝ － ．
[解析] 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，
∵450°<β<540°，∴sinβ＝，
∴sin(60°－β)＝×－×＝－．
6．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝ ．
[解析] 由已知，得
即
解得
所以tanα·tanβ＝＝．
三、解答题
7．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝．
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－<β<0<α<，且sinβ＝－，求sinα的值．
[解析] (1)∵|a－b|＝，
∴a2－2a·b＋b2＝，
又a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a2＝b2＝1，a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝．
(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，
由(1)得cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝，
又sinβ＝－，∴cosβ＝，
∴sinα＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ
＝×＋×＝．
8．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α、 β∈(0，)．求：
(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
[解析] (1)因为α、 β∈(0，)，
所以α－β∈(－，)，又sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<，
所以sinα＝＝，
cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)
＝×－×＝．
(2)cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈(0，)，所以β＝．
C级 能力拔高
已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈.求cos2α，cos2β及角β的值．
[思路分析] 讨论角的范围时，α－β一般看作α＋(－β)，先求出－β的范围，再求α＋(－β)的范围．
[解析] 由α－β∈，且cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝．
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝．
得sin(α＋β)＝－．
∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－．
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－1．
又∵α＋β∈，
α－β∈?β－α∈(－π，－)
?2β∈．
∴2β＝π，则β＝．
第三章 3.1 3.1.2 第2课时 两角和与差的正切
A级 基础巩固
一、选择题
1.＝( A )
A． B．
C．1 D．－
[解析] 原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝．
2．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α＋)＝( A )
A． B．7
C．－ D．－7
[解析] ∵α∈(，π)，∴sinα＝，∴cosα＝－，tanα＝＝－，∴tan(α＋)＝＝＝，故选A．
3．tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝，则tan2α＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝．
4．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于( C )
A．2 B．1
C． D．4
[解析] ∵tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，
∴＝4?tanαtanβ＝．
5．在△ABC中，若0A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．形状不能确定
[解析] ∵0∴<1，∴cos(B＋C)>0，∴cosA<0，∴A为钝角．
6．已知tanα、tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( B )
A． B．－
C．或－ D．－或
[解析] 由韦达定理得
tanα＋tanβ＝－3，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
又－<α<，－<β<，且tanα<0，tanβ<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－．
二、填空题
7．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为 ．
[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝．
8．tan70°＋tan50°－tan50°tan70°＝ － ．
[解析] ∵tan70°＋tan50°
＝tan120°(1－tan50°·tan70°)
＝－＋tan50°·tan70°
∴原式＝－＋tan50°·tan70°－tan50°·tan70°
＝－．
三、解答题
9．已知sinα＝－且α是第三象限角，求tan(α－)的值．
[解析] ∵sinα＝－且α是第三象限角，
∴cosα＝－＝－＝－．
∴tanα＝＝3．
∴tan(α－)＝＝＝．
10．设tanα＝，tanβ＝，且α、β都是锐角，求α＋β的值．
[解析] tan(α＋β)＝＝＝1．
又∵α、β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知α∈(－，)，tan(α－)＝－3，则sinα＝( A )
A． B．－
C． D．±
[解析] tanα＝tan[(α－)＋]
＝＝－，∵α∈(，)，
∴α∈(，π)，∴sinα＝＝，故选A．
2．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是( B )
A．－ B．
C． D．－
[解析] 由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，
可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，
∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，则C＝，cosC＝．
3．已知α＋β＝，且α、β满足(tanαtanβ＋2)＋2tanα＋3tanβ＝0，则tanα等于( D )
A．－ B．
C．－ D．3
[解析] ∵(tanαtanβ＋2)＋2tanα＋3tanβ＝0，
∴tanαtanβ＋3(tanα＋tanβ)＝tanα－2①
∵tan(α＋β)＝＝，
∴3(tanα＋tanβ)＝(1－tanαtanβ)，②
将②代入①得＝tanα－2，∴tanα＝＋2＝3．
4．在△ABC中，若tanB＝，则这个三角形是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
[解析] 因为△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以tanB＝
＝＝，
即＝，
∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cosA＝0，
∵0∴这个三角形为直角三角形，故选B．
二、填空题
5．已知tan＝，tan＝－，则tan＝ ．
[解析] tan＝tan
＝＝．
6．已知△ABC中，tanAtanB－tanA－tanB＝.则C的大小为 ．
[解析] 依题意：＝－，
即tan(A＋B)＝－，又0∴A＋B＝，∴C＝π－A－B＝．
三、解答题
7．已知tan(＋α)＝，tan(β－)＝2，求：
(1)tan(α＋β－)；
(2)tan(α＋β)．
[解析] (1)tan(α＋β－)＝tan[(α＋)＋(β－)]
＝
＝＝－．
(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－)＋]
＝
＝＝2－3．
8．已知A、B、C是△ABC的三内角，向量m＝(－1，)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1．
(1)求角A；
(2)若tan＝－3，求tanC．
[解析] (1)m·n＝1，
∴(－1，)·(cosA，sinA)＝1，
即sinA－cosA＝1,2sin＝1．
∴sin＝．
∵0∴A－＝，即A＝．
(2)由tan＝＝－3，
解得tanB＝2．
又A＝，∴tanA＝．
∴tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝．
C级 能力拔高
已知tanα、tanβ是方程x2＋x－6＝0的两个根，求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)·cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．
[解析] ∵tanα、tanβ是方程x2＋x－6＝0的两个根，
∴tanα＋tanβ＝－1，tanαtanβ＝－6，
∴tan(α＋β)＝＝－．
sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝
＝[tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3]
＝×＝－．
第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是( B )
A．f(x)在(，)上是递增的 B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π D．f(x)的最大值为2
[解析] 因为f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，所以f(x)是奇函数，因而f(x)的图象关于原点对称，故选B．
2.－sin215°的值是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 原式＝－＝＝．
3.＋2的化简结果是( A )
A．2cos4－4sin4 B．2sin4
C．2sin4－4cos4 D．－2sin4
[解析] 原式＝＋2
＝·＋2
＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4．
4．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为( A )
A．－ B．－
C． D．
[解析] sin4α－cos4α＝－(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝－cos2α＝2sin2α－1＝－．
5．若α∈，则＋的值为( D )
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
[解析] ∵α∈，∴∈，
∴原式＝＋
＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin．
6．已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] 本题考查半角公式及诱导公式．
由倍角公式可得，cos2(α＋)＝＝＝＝，故选A．
二、填空题
7．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝，则cos2θ＝ ．
[解析] cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝
＝＝＝．
8.＝ ．
[解析] 原式＝×＝tan(2×)
＝tan＝．
三、解答题
9．求值：sin50°(1＋tan10°)．
[解析] 原式＝sin50°(1＋)
＝sin50°·
＝sin50°·
＝sin50°·
＝sin50°·＝
＝＝＝1．
10．(2018·江苏卷，16)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－．
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解析] (1)解：因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α．
因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.(2)解：因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2．
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－．
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－．
B级 素养提升
一、选择题
1．若＝－，则cosα＋sinα的值为( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ＝
＝
＝－(cosα＋sinα)＝－．
∴sinα＋cosα＝．
2．已知cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值为( B )
A． B．
C． D．－1
[解析] sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ＝1－(1－cos22θ)＝．
3．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝( C )
A． B．
C．－ D．－
[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系．
将sinα＋2cosα＝两边平方可得
sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝．
将左边分子分母同除以cos2α得，
＝，解得tanα＝3，
∴tan2α＝＝＝－．
4．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)＝( B )
A．－ B．－
C． D．
[解析] cos(＋2α)＝2cos2(＋α)－1＝2cos2[－(－α)]－1＝2sin2(－α)－1＝－1＝－．
二、填空题
5．若α∈(0，)，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于 ．
[解析] 由sin2α＋cos2α＝得sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.∵α∈(0，)，∴cosα＝，
∴α＝，∴tanα＝tan＝．
6．已知α为第三象限角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝ － ．
[解析] 由题意sin2α＝，∴tan2α＝－．
∴tan(＋2α)＝＝＝－．
三、解答题
7．已知向量m＝(cosα－，－1)，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈[－，0]．
(1)求sinα＋cosα的值；
(2)求的值．
[解析] (1)∵m与n为共线向量，
∴(cosα－)×1－(－1)×sinα＝0，
即sinα＋cosα＝．
(2)由(1)得1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝，
∴sin2α＝－．
∵(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，
∴(sinα－cosα)2＝2－()2＝．
又∵α∈[－，0]，∴sinα－cos<0，sinα－cosα＝－．
因此，＝．
8．(广东高考)已知tanα＝2．
(1)求tan(α＋)的值；
(2)求的值．
[解析] (1)tan(α＋)＝＝＝－3．
(2)
＝
＝
＝＝
＝1．
C级 能力拔高
已知sin(－x)＝，x∈(0，)，求的值．
[解析] ∵x∈(0，)，
∴－x∈(0，)，
又∵sin(－x)＝.∴cos(－x)＝，
又cos2x＝sin(－2x)＝2sin(－x)cos(－x)
＝2××＝．
cos(＋x)＝sin[－(＋x)]＝sin(－x)＝，
∴原式＝＝．
第三章 3.2 第1课时 三角恒等变换
A级 基础巩固
一、选择题
1．y＝sinxcosx＋sin2x可化为( A )
A．sin＋ B．sin－
C．sin＋ D．2sin＋1
[解析] y＝sin2x＋
＝sin2x－cos2x＋
＝＋
＝sin＋．
2．若f(tanx)＝sin2x，则f(－1)＝( B )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
[解析] f(－1)＝f[tan(－＋kπ)]＝sin2(－＋kπ)＝sin(－＋2kπ)＝－1．
3．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] 由θ∈可得2θ∈，cos2θ＝－＝－，sinθ＝＝，答案应选D．
另解：由θ∈及sin2θ＝可得
sinθ＋cosθ＝＝＝＝＝＋，
而当θ∈时sinθ>cosθ，
结合选项即可得sinθ＝，cosθ＝.答案应选D．
4．若cosα＝，且α∈(0，π)，则cos＋sin的值为( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵cosα＝，且α∈(0，π)，∴∈(0，)．
∴cos＝＝＝＝．
sin＝＝＝
∴cos＋sin＝＋＝．
5.·等于( B )
A．tanα B．tan2α
C．1 D．
[解析] 原式＝＝＝＝tan2α．
二、填空题
6．已知cos2α＝，且<α<π，则tanα＝ － ．
[解析] ∵<α<π，∴tanα＝－＝－．
7．求证：＝．
[证明] 左边＝
＝
＝＝＝＝＝右边．
∴原等式成立．
B级 素养提升
一、选择题
1．设0<θ<，且sin＝，则tanθ等于( D )
A．x B．
C． D．
[解析] ∵0<θ<，sin＝，
∴cos＝＝．
∴tan＝＝，tanθ＝＝＝·(x＋1)＝．
2．已知θ是第三象限的角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ等于( A )
A． B．－
C． D．－
[解析] sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝，
∴sin22θ＝，
∵2kπ＋π<θ<2kπ＋(k∈Z)，
∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π(k∈Z)，
∴sin2θ>0，∴sin2θ＝．
3．已知函数f(x)＝sinx－cosx，x∈R，若f(x)≥1，则x的取值范围为( B )
A．{x|kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z} B．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}
C．{x|kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z} D．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
[解析] 由已知得f(x)＝2sin(x－)，
∵f(x)≥1，即sin(x－)≥，可得＋2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z．
4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则下列等式中一定成立的是( A )
A．A＝B B．A＝C
C．B＝C D．A＝B＝C
[解析] ∵sinAsinB＝cos2＝＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)
∴cosAcosB＋sinAsinB＝．
∴cos(A－B)＝1，
∵0∴A－B＝0，∴A＝B．
二、填空题
5．已知tan＝，则cosα＝ ．
[解析] ∵tan＝±，∴tan2＝．
∴＝，解得cosα＝．
6．设π<α<3π，cosα＝m，cos＝n，cos＝p，则下列各式中正确的是__①__．
①n＝－；②n＝；③p＝；④p＝－．
[解析] ∵π<α<3π，∴<<，
∴cos＝－，即n＝－，而<<，
∴cos的符号不能确定．
三、解答题
7．已知cos(π－α)＝，α∈(－π，0)．
(1)求sinα；
(2)求cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(π－)的值．
[解析] (1)∵cos(π－α)＝－cosα＝，
∴cosα＝－，
又∵α∈(－π，0)，
∴sinα＝－＝－．
(2)cos2(－)＋sin(3π＋)·sin(－)
＝[1＋cos(－α)]＋(－sin)·(－cos)
＝＋sinα＋sin·cos
＝＋sinα＋sinα
＝＋sinα
＝＋(－)＝．
第三章 3.2 第2课时 三角恒等式的应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知tan＝3，则cosα－sinα＝( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] ∵tan＝3，∴tan2＝＝9，
∴cosα＝－．
∵tan＝，∴sinα＝3×()＝，
∴cosα－sinα＝－－＝－．
2．若sin＝，则cosα＝( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin＝，所以cosα＝1－2sin2＝1－2()2＝．
3．函数y＝的周期等于( C )
A． B．π
C．2π D．3π
[解析] y＝＝tan，T＝＝2π．
4．函数y＝sin2x＋sin2x的值域是( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵y＝sin2x＋sin2x＝sin2x＋＝＋sin，
∴值域为．
5．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由于函数f(x)的图象关于x＝对称，
则f(0)＝f，∴a＝－－，∴a＝－，
∴g(x)＝－sinx＋cosx
＝sin，
∴g(x)max＝．
二、填空题
6．(2016·浙江理，10)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝ ，b＝__1__．
[解析] 由于2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)＋1，所以A＝，b＝1．
三、解答题
7．如图所示，圆心角为直角的扇形AOB，半径OA＝2，点C是上任一点，且CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，设∠AOC＝x，矩形OECF的面积为f(x)．
求：(1)f(x)的解析式；
(2)矩形OECF面积的最大值．
[解析] (1)∵f(x)＝OE·EC＝OCcosx·OCsinx
＝4sinxcosx＝2sin2x，
∴f(x)＝2sin2x，x∈．
(2)∵f(x)＝2sin2x，x∈，
∴0<2x<π．
∴当x＝时，f(x)取得最大值2，
即矩形OECF面积的最大值为2．
B级 素养提升
一、选择题
1．函数y＝cos4x－sin4x＋2的最小正周期是( A )
A．π B．2π
C． D．
[解析] y＝cos2x－sin2x＋2＝cos2x＋2，.T＝＝π．
2．函数y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1是( C )
A．周期为2π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
[解析] y＝cos2(x－)＋sin2(x＋)－1
＝＋－1
＝
＝
＝．
∵＝π，且sin(－2x)＝－sin2x．
3．设△ABC的三个内角为A、B、C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C等于( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵m·n＝1＋cos(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)．
又A＋B＝π－C，
∴整理得sin(C＋)＝．
∵0∴C＋＝.∴C＝．
4．设M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)|f(x)＝acos2x＋bsin2x}，给出M到N的映射f：(a，b)→f(x)＝acos2x＋bsin2x，则点(1，)的象f(x)的最小正周期为( C )
A． B．
C．π D．2π
[解析] 点(1，)的象f(x)＝cos2x＋sin2x
＝2＝2sin，
则f(x)的最小正周期为T＝＝π．
二、填空题
5．当函数y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x＝ ．
[解析] 由y＝sinx－cosx＝2sin(x－)
由0≤x<2π?－≤x－<可知－2≤2sin(x－)≤2，
当且仅当x－＝时即x＝取得最大值．
6．关于函数f(x)＝sin2x－cos2x，有下列命题：
①函数y＝f(x)的周期为π；
②直线x＝是y＝f(x)的图象的一条对称轴；
③点是y＝f(x)的图象的一个对称中心；
④将y＝f(x)的图象向左平移个单位，可得到y＝sin2x的图象．
其中真命题的序号是__①③__．
[解析] f(x)＝sin2x－cos2x＝sin，
则T＝＝π；
f＝sin＝1，f不是函数f(x)的最值，则直线x＝不是y＝f(x)的图象的一条对称轴；f＝sin＝0，则点是y＝f(x)的图象的一个对称中心；
将y＝f(x)的图象向左平移个单位，可得到y＝sin＝sin的图象，不是y＝sin2x的图象，故①③正确，②④错误．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝tan(2x＋)，
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈(0，)，若f()＝2cos2α，求α的大小．
[解析] (1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴f(x)的定义域为．
f(x)的最小正周期为．
(2)由f＝2cos2α，得tan＝2cos2α，
即＝2(cos2α－sin2α)，整理得＝2(cosα＋sinα)(cosα－sinα)．
∵α∈，∴sinα＋cosα≠0.∴(cosα－sinα)2＝，即1－sin2α＝，∴sin2α＝，由α∈，得2α∈.∴2α＝，即α＝．
第三章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于( D )
A．－3 B．－
C．3 D．
[解析] tan(α－β)＝＝＝．
2．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是( A )
A． B．
C． D．1＋
[解析] 原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝．
3．(2018·全国卷Ⅲ文，4)若sin α＝，则cos 2α＝( B )
A． B．
C．－ D．－
[解析] ∵ sin α＝，∴ cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝．
故选B．
4．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则||的最大值是( B )
A． B．2
C．4 D．
[解析] ＝(cosβ－cosα，sinβ－sinα)，
则||＝
＝，故||的最大值为2．
5.＝( B )
A． B．－
C．－1 D．1
[解析] 原式＝＝＝－．
6．若θ∈[，]，sin2θ＝，则cosθ＝( C )
A． B．－
C． D．
[解析] ∵2θ∈[，π]，cos2θ＝－，∴2cos2θ－1＝－，解得cosθ＝．
7．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log()2等于( C )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝得
，∴，
∴＝5，
∴log()2＝log52＝4．
8．若＝，则tan2α＝( B )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由＝得＝即2tanα＋2＝tanα－1，
∴tanα＝－3，∴tan2α＝＝＝＝，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想．
9．y＝sin(2x－)－sin2x的一个单调递增区间是( B )
A．[－，] B．[，π]
C．[π，π] D．[，]
[解析] y＝sin(2x－)－sin2x＝sin2xcos－cos2xsin－sin2x＝－(sin2xcos＋cos2xsin)＝－sin(2x＋)，其增区间是函数y＝sin(2x＋)的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，∴kπ＋≤x≤kπ＋，当k＝0时，x∈[，]．
10．若tanα＝2tan，则 ＝( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ＝
＝＝
＝
＝＝＝3，故选C．
11．将函数f(x)＝sin2xsin＋cos2xcos－sin(＋)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在[0，]上的最大值和最小值分别为( C )
A．，－ B．，－
C．，－ D．，
[解析] f(x)＝×sin2x＋cos2x－sin＝sin2x＋cos2x－＝sin2x＋×－＝sin(2x＋)，
所以g(x)＝sin(4x＋)．因为x∈[0，]，所以4x＋∈[，]，所以当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最大值；当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－．
12．已知A、B、C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sinB·cos2(－)＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是( D )
A．m<1 B．m>－3
C．m<3 D．m>1
[解析] f(B)＝4sinBcos2(－)＋cos2B
＝4sinB＋cos2B
＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)
＝2sinB＋1．
∵f(B)－m<2恒成立，即m>2sinB－1恒成立．
∵0∴－1<2sinB－1≤1，故m>1．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．化简·＝ ．
[解析] 原式＝tan(90°－2α)·＝cot2α·tan2α＝．
14．已知α∈(，π)，且sinα＝，则sin2＋的值为 － ．
[解析] cosα＝－，原式＝＋＝＋sin2α＝－．
15．已知A，B，C皆为锐角，且tanA＝1，tanB＝2，tanC＝3，则A＋B＋C的值为__π__．
[解析] ∵tanB＝2，tanC＝3
∴tan(B＋C)＝＝＝－1．
又B、C皆为锐角，∴B＋C∈(0，π)
∴B＋C＝π，又tanA＝1，A为锐角，∴A＝，∴A＋B＋C＝π．
16．给出下列四个命题：
①函数y＝2sin(2x－)的一条对称轴是x＝；
②函数y＝tanx的图象关于点(，0)对称；
③正弦函数在第一象限内为增函数；
④存在实数α，使sinα＋cosα＝．
以上四个命题中正确的有__①②__(填写正确命题前面的序号)．
[解析] 对于①，将x＝代入，sin(－)＝sin＝1，∴x＝是对称轴；②由正切函数的图象可知是正确的；正弦函数在[2kπ，2kπ＋]上是增函数，但在第一象限不能说是增函数，所以③不正确；对于④，sinx＋cosx＝sin(x＋)，最大值为，所以④不正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知函数f(x)＝．
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间．
[解析] (1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z}．
∴f(x)＝
＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－cos2x－1
＝sin(2x－)－1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ)∪(kπ，kπ＋]k∈Z．
18．(本题满分12分)已知cosα－sinα＝，且π<α<π，求的值．
[解析] 因为cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝．
又α∈(π，)，故sinα＋cosα＝－
＝－，
所以＝
＝＝＝－．
19．(本题满分12分)已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1．
(1)求角A；
(2)若＝－3，求tanC．
[解析] (1)∵m·n＝1，
∴sinA－cosA＝1,2(sinA·－cosA·)＝1，
sin(A－)＝，
∵0∴A－＝.∴A＝．
(2)由题知＝－3，
∴＝－3
∴＝－3
∴＝－3，∴tanB＝2．
∴tanC＝tan[π－(A＋B)]
＝－tan(A＋B)＝－＝．
20．(本题满分12分)已知tanα＝4，cos(α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cosβ的值．
[解析] ∵α、 β均为锐角，∴0<α＋β<π．
又cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝＝．
又tanα＝4，
∴sin2α＝＝＝．
∴sinα＝，从而cosα＝＝，
故cosβ＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝(－)×＋×＝．
21．(本题满分12分)(2016·天津理，16)已知函数f(x)＝4tanxsin(－x)cos(x－)－．
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间[－，]上的单调性．
[解析] (1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
f(x)＝4tanxcosxcos(x－)－
＝4sinxcos(x－)－
＝4sinx(cosx＋sinx)－
＝2sinxcosx＋2sin2x－
＝sin2x＋(1－cos2x)－
＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)．
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)令z＝2x－，函数y＝2sinz的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得
－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．
设A＝[－，]，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝[－，]．
所以，当x∈[－，]时，f(x)在区间[－，]上单调递增，在区间[－，－]上单调递减．
22．(本题满分12分)如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B(－，)，∠AOB＝α．
(1)求的值；
(2)设∠AOP＝θ(≤θ≤π)，＝＋，四边形OAQP的面积为S，f(θ)＝(·－1)2＋S－1，求f(θ)的最值及此时θ的值．
[解析] (1)依题意，tanα＝＝－2，
∴＝＝＝－10．
(2)由已知点P的坐标为P(cosθ，sinθ)，
又＝＋，||＝||，
∴四边形OAQP为菱形，∴S＝2S△OAP＝sinθ，
∵A(1,0)，P(cosθ，sinθ)，
∴＝(1＋cosθ，sinθ)，
∴·＝1＋cosθ，
∴f(θ)＝(1＋cosθ－1)2＋sinθ－1
＝cos2θ＋sinθ－1＝－sin2θ＋sinθ，
∵≤sinθ≤1，
∴当sinθ＝，即θ＝时，f(θ)max＝；
当sinθ＝1，即θ＝时，f(θ)max＝－1．
