第一章 1.1 1.1.1 任意角
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各角中，与60°角终边相同的角是( A )
A．－300° B．－60°
C．600° D．1 380°
[解析] 与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A．
2．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( B )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
[解析] 各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
∴120°＋(－270°)＝－150°，故选B．
3．下列说法正确的个数是( A )
①小于90°的角是锐角 ②钝角一定大于第一象限的角
③第二象限的角一定大于第一象限的角 ④始边与终边重合的角为0°
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①错，负角小于90°，但不是锐角，②错，390°是第一象限的角，大于任一钝角α(90°<α<180°)，③错，第二象限角中的－210°小于第一象限角中的30°，④错，始边与终边重合的角是k·360°(k∈Z)，故选A ．
4．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( B )
A．k·360°＋β(k∈Z) B．k·360°－β(k∈Z)
C．k·180°＋β(k∈Z) D．k·180°－β(k∈Z)
[解析] 因为角α和角β的终边关于x轴对称，所以α＋β＝k·360°(k∈Z)，
所以α＝k·360°－β(k∈Z)．故选B．
5．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( D )
A．45°－4×360° B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
[解析] －1485°＝315°－5×360°．
6．若α是第三象限角，则是( D )
A．第一或第三象限角 B．第二或第三象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
[解析] ∵α是第三象限角，
∴k·360°＋180°<α
∴k·180°＋90°<当k为偶数时，是第二象限角；
当k为奇数时，是第四象限角．
二、填空题
7．将90°角的终边按顺时针方向旋转30°所得的角等于__60°__．
8．若α、β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝ k·360°＋60°，k∈Z ．
[解析] 先求出β的一个角，β＝α＋180°＝60°．
再由终边相同角的概念知：β＝k·360°＋60°，k∈Z．
三、解答题
9．已知α＝－1910°．
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°．
[解析] (1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)．
令－1910°－k·360°≥0，解得k≤－＝－5．
k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°．
故θ＝－110°或θ＝－470°．
10．已知，如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合．
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C的关系是( B )
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A?C D．A＝B＝C
[解析] A＝{第一象限角}＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，B＝{锐角}＝{θ|0<θ<90°}，C＝{小于90°的角}＝{θ|θ<90°}，故选B．
2．已知角2α的终边在x轴上方，那么角α的范围是( C )
A．第一象限角的集合 B．第一或第二象限角的集合
C．第一或第三象限角的集合 D．第一或第四象限角的集合
[解析] 由题意得：360°·k<2α<360°·k＋180°，k∈Z．
∴180°k<α<180°k＋90°，k∈Z，故选C．
3．如果角α与x＋45°具有同一条终边，角β与x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是( D )
A．α＋β＝0 B．α－β＝0
C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)
[解析] ∵α＝(x＋45°)＋k1·360°(k1∈Z)，
β＝(x－45°)＋k2·360°(k2∈Z)，
∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．
4．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于( C )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
[解析] 当k＝－1时，α＝－126°∈B；
当k＝0时，α＝－36°∈B；当k＝1时，α＝54°∈B；
当k＝2时，α＝144°∈B．
二、填空题
5．已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝__72°，144°，216°，288°__．
[解析] 依题意，可知角4θ与角－θ终边相同，故4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，故θ＝k·72°(k∈Z)．
又0°<θ<360°，
故令k＝1,2,3,4得θ＝72°，144°，216°，288°．
6．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈ {α|n·180°＋30°<α[解析] 在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α三、解答题
7．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素．
[解析] ①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以，角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得－≤n<，n∈Z，所以n＝－2、－1、0、1、2、3．
所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：
60°－2×180°＝－300°；
60°－1×180°＝－120°；
60°－0×180°＝60°；
60°＋1×180°＝240°；
60°＋2×180°＝420；
60°＋3×180°＝600°．
8．在角的集合{α|a＝k·90°＋45°，k∈Z}中．
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个落在－360°～360°之间的角？
(3)写出其中是第二象限的一般表示方法．
[解析] (1)当k＝4n(n∈Z)时，α＝n·360°＋45°与45°角终边相同；
当k＝4n＋1(n∈Z)时，α＝n·360°＋135°与135°的终边相同；
当k＝4n＋2(n∈Z)时，α＝n·360°＋225°与225°的终边相同；
当k＝4n＋3(n∈Z)时，α＝n·360°＋315°与315°的终边相同．
所以，在给定的角的集合中共有4种终边不相同的角．
(2)由－360°又k∈Z.故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3．
所以，在给定的角的集合中落在－360°～360°之间的角共有8个．
(3)其中，第二象限可表示为α＝k·360°＋135°，k∈Z．
C级 能力拔高
集合M＝{x|x＝±45°，k∈Z}，P＝{x|x＝±90°，k∈Z}，则M，P之间的关系为__M?P__．
[解析] 对集合M来说，x＝(2k±1)×45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)×45°，即45°的倍数．
第一章 1.1 1.1.2 弧度制
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式正确的是( B )
A．＝90 B．＝10°
C．3°＝ D．38°＝
2．2145°转化为弧度数为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 2145°＝2015× rad＝π rad．
3．下列各式不正确的是( C )
A．－210°＝－ B．405°＝
C．335°＝ D．705°＝
4．在(0,2π)内，终边与－1035°相同的角是( B )
A． B．
C． D．
[解析] ∵－1035°＝45°－3×360°．
∴45°角的终边与－1035°角的终边相同．
又45°＝，故在(0,2π)内与－1035°角终边相同的角是．
5．(2016·青岛高一检测)将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( D )
A．－－8π B．π－8π
C．－10π D．π－10π
[解析] ∵－1485°＝－5×360°＋315°，
又2π rad＝360°，315°＝π rad．
故－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是π－10π．
6．圆的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则( B )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
[解析] α＝＝＝α，故圆心角不变．
二、填空题
7．扇形AOB，半径为2 cm，|AB|＝2 cm，则所对的圆心角弧度数为 ．
[解析] ∵|AO|＝|OB|＝2，|AB|＝2，∴∠AOB＝90°＝．
8．(2016·山东潍坊高一检测)如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝__47_m__.(精确到1m)．
[解析] 根据弧长公式，l＝α＝×45≈47(m)．
三、解答题
9．一个半径为r的扇形，如果它的周长等于弧所在圆的周长的一半，那么这个扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？
[解析] 设扇形的圆心角为θ，则弧长l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·()°＝(180－)°，扇形的面积S＝lr＝r2(π－2)．
10．(1)把310°化成弧度；
(2)把 rad化成角度；
(3)已知α＝15°、β＝、γ＝1、θ＝105°、φ＝，试比较α、β、γ、θ、φ的大小．
[解析] (1)310°＝ rad×310＝ rad．
(2) rad＝°＝75°．
(3)解法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×＝.θ＝105°＝105×＝．
显然<<1<.故α<β< γ<θ＝φ．
解法二(化为角度)：
β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，
φ＝×()°＝105°．
显然，15°<18°<57.30°<105°．
故α<β<γ<θ＝φ．
B级 素养提升
一、选择题
1．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在( D )
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
[解析] ∵＝2kπ＋(k∈Z)，
∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．
当k为奇数量，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，终边在y轴上，故选D．
2．下列表述中不正确的是( D )
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z}
C．终边在坐标轴上角的集合是{α|α＝k·，k∈Z}
D．终边在直线y＝x上角的集合是{α|α＝＋2kπ，k∈Z}
[解析] 终边在直线y＝x上角的集合应是{α|α＝＋kπ，k∈Z}，D不正确，其他选项均正确．
3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是( A )
A．4 cm2 B．2 cm2
C．4π cm2 D．2π cm2
[解析] 设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A．
4．一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积是( D )
A．(2－sin1cos1)R2 B．R2sin1cos1
C．R2 D．R2－R2sin1cos1
[解析] 设弧长为l，则l＋2R＝4R，∴l＝2R，∴S扇形＝lR＝R2.∵圆心角|α|＝＝2，∴S三角形＝·2R·sin1·Rcos1＝R2sin1·cos1，∴S弓形＝S扇形－S三角形＝R2－R2sin1cos1．
二、填空题
5．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是 ＋，－ ．
[解析] 设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝ rad，
所以有解得
即所求两角的弧度数分别为＋，－．
6．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·，k∈Z}，则θ的终边所在的象限是__第一或第二象限__．
[解析] 当k为偶数时，α＝2mπ＋(m∈Z)，当k为奇数时，α＝(2m－1)π－＝2mπ－(m∈Z)，
∴θ的终边在第一或第二象限．
三、解答题
7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
[解析] (1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为
{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．
(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．
(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．
8．如图，圆周上点A以逆时针方向做匀速圆周运动．已知点A经过1 min转过θ(0<θ<π)角，2 min到达第三象限，14 min后回到原来的位置，求θ．
[解析] 点A经过2 min转过2 θ，且π<2θ<，14 min后回到原位，∴14θ＝2kπ(k∈Z)，θ＝，且<θ<π，
∴θ＝π或π．
C级 能力拔高
集合A＝{α|α＝，n∈Z}∪{α|α＝2nπ±，n∈Z}，B＝{β|β＝nπ，n∈Z}∪{β|β＝nπ＋，n∈Z}，求A与B的关系．
[解析] 解法一：如图所示．
∴B?A．
解法二：{α|α＝，n∈Z}＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪{α|α＝kπ＋，k∈Z}；
{β|β＝，n∈Z}＝{β|β＝2kπ，k∈Z}∪{β|β＝2kπ±，k∈Z}比较集合A、B的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B的元素，所以A?B．
第一章 1.2 1.2.1 第1课时 三角函数的定义
A级 基础巩固
一、选择题
1．若角α的终边上有一点是A(0,2)，则tanα的值是( D )
A．－2 B．2
C．1 D．不存在
[解析] ∵点A(0,2)，在y轴正半轴上，
∴tanα不存在，故选D．
2．已知sinα＝，cosα＝－，则角α所在的象限是( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由sinα＝>0得角α的终边在第一或第二象限；由cosα＝－<0得角α的终边在第二或第三象限．综上，角α所在的象限是第二象限．
3．若sinα<0且tanα>0，则α的终边在( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由于sinα<0，则α的终边在第三或四象限，又tanα>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．
4．若角α的终边过点(－3，－2)，则( C )
A．sinαtanα>0 B．cosαtanα>0
C．sinαcosα>0 D．sinαcosα<0
[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)，
∴sinα<0，cosα<0，tanα>0，
∴sinαcosα>0，故选C．
5．sin585°的值为( A )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°．
由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为
(－，－)，所以sin225°＝－．
6．若三角形的两内角α、β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为( B )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能
[解析] ∵sinαcosβ<0，∴cosβ<0，∴β是钝角，故选B．
二、填空题
7．sin90°＋2cos0°－3sin270°＋10cos180°＝__－4__．
[解析] 原式＝1＋2＋3－10＝－4．
8．函数y＝tan(x－)的定义域是 {x|x≠kπ＋π，k∈Z} ．
[解析] x－≠kπ＋(k∈Z)，即x≠kπ＋π(k∈Z)．
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)cos(－)＋sin·tan6π；
(2)sin420°cos750°＋sin(－330°)cos(－660°)．
[解析] (1)原式＝cos(－2π＋)＋sin·tan0
＝cos＋0＝．
(2)原式＝sin(360°＋60°)·cos(720°＋30°)＋sin(－360°＋30°)·cos(－720°＋60°)
＝sin60°·cos30°＋sin30°·cos60°
＝×＋×＝＋＝1．
10．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．
[解析] 设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，
则x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|．
当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sinα＝＝＝－，
＝＝＝，
所以10sinα＋＝10×(－)＋3
＝－3＋3＝0；
当k<0时，r＝－k，α为第二象限角，
sinα＝＝＝，
＝＝＝－，
所以10sinα＋＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0．
综上，10sinα＋＝0．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知点P(tanα，sinα)在第三象限，则角α的终边在( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是( C )
A．sin B．cos
C．tan D．cos2α
[解析] 由α为第四象限角，得2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈Z)，故kπ＋<当k＝2n(n∈Z)时，∈(2nπ＋，2nπ＋π)，
当此，是第二象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，∈(2nπ＋，2nπ＋2π)，此时，是第四象限角．
3．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( D )
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
[解析] 函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则y＝的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ，k∈Z}，y＝的定义域为{x|x≠0且x≠kπ＋，k∈Z}，y＝xex的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D．
4．α是第二象限角，P(－，y)为其终边上一点，且cosα＝－，则sinα的值为( A )
A． B．
C． D．－
[解析] ∵|OP|＝，
∴cosα＝＝－
又因为α是第二象限角，
∴y>0，得y＝，
∴sinα＝＝，故选A．
二、填空题
5．已知角α的终边经过点P(3，－4t)，且sin(2kπ＋α)＝－，其中k∈Z，则t的值为 ．
[解析] ∵sin(2kπ＋α)＝－，∴sinα＝－．
又角α的终边过点P(3，－4t)，
故sinα＝＝－，解得t＝．
6．已知角α的终边在直线y＝x上，则sinα＋cosα的值为 ± ．
[解析] 在角α终边上任取一点P(x，y)，则y＝x，
当x>0时，r＝＝x，
sinα＋cosα＝＋＝＋＝，
当x<0时，r＝＝－x，
sinα＋cosα＝＋＝－－＝－．
三、解答题
7．已知角θ的终边上有一点P(－，m)，且sinθ＝m，求cosθ与tanθ的值．
[解析] 由题意可知＝，
∴m＝0或或－．
(1)当m＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；
(2)当m＝时，cosθ＝－，tanθ＝－；
(3)当m＝－时，cosθ＝－，tanθ＝．
8．已知＝－，且lgcosα有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M(，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值．
[解析] (1)由＝－
可知sinα<0，
∴α是第三或第四象限角或终边在y轴的负半轴上的角．
由lgcosα有意义可知cosα>0，
∴α是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角．
综上可知角α是第四象限的角．
(2)∵|OM|＝1，
∴()2＋m2＝1，解得m＝±．
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－．
由正弦函数的定义可知
sinα＝＝＝＝－．
C级 能力拔高
函数y＝＋的定义域为__[－4，－π]∪[0，π]__．
[解析] 要使函数式有意义，需由①得－4≤x≤4，由②得2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．
第一章 1.2 1.2.1 第2课时 三角函数线
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式正确的是( B )
A．sin1>sin B．sin1C．sin1＝sin D．sin1≥sin
[解析] 1和的终边均在第一象限，且的正弦线大于1的正弦线，则sin12．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是( A )
A．[－π，] B．[－，]
C．[－π，π] D．[0，π]
[解析] 当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足sinx≤cosx．
3．若MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( D )
A．MP0>MP
C．OM0>OM
[解析] 作出单位圆中的正弦线、余弦线，比较知D正确．
4．如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，过点A作单位圆的切线AT交OP的反向延长线至点T，则有( D )
A．sinα＝OM，cosα＝PM B．sinα＝MP，tanα＝OT
C．cosα＝OM，tanα＝AT D．sinα＝MP，tanα＝AT
5．在[0,2π]上，满足sinx≥的x的取值范围是( B )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
[解析] 如图易知选B．
6．若tanx＝，且－πA．{，} B．{，}
C．{，，－} D．{，，－}
[解析] ∵tanx＝，在单位圆中画出正切线AT＝的角的终边为直线OT(如图)，
∴x＝kπ＋，k∈Z，又因为－π所以x＝－，，．
二、填空题
7．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为__1__．
[解析] 由余弦线长度为0知，角的终边在y轴上，所以正弦线长度为1．
8．若角α的正弦线的长度为，且方向与y轴的正方向相反，则sinα的值为 － ．
[解析] 由题意知|sinα|＝，且方向与y轴正方向相反，∴sinα＝－．
9．在单位圆中画出满足cosα＝的角α的终边，并写出α组成的集合．
[解析] 如图所示，作直线x＝交单位圆于M、N，连接OM、ON，则OM、ON为α的终边．由于cos＝，cos＝，则M在的终边上，N在的终边上，则α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z．
所以α组成的集合为S＝{α|α＝＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z}．
10．解不等式组
[解析] 由得
在直角坐标系中作单位圆，如图所示，
由三角函数线可得
解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为{x|2kπ≤x<2kπ＋，k∈Z}．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知的正弦线为MP，正切线为AT，则有( A )
A．MP与AT的方向相同 B．|MP|＝|AT|
C．MP>0，AT<0 D．MP<0，AT>0
[解析] 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP＝sin<0，AT＝tan<0．
2．已知α角的正弦线与y轴正方向相同，余弦线与x轴正方向相反，但它们的长度相等，则( A )
A．sinα＋cosα＝0 B．sinα－cosα＝0
C．tanα＝0 D．sinα＝tanα
[解析] ∵sinα>0，cosα<0，
且|sinα|＝|cosα|
∴sinα＋coα＝0．
3．已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是( D )
A．若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ
B．若α、β是第二象限角，则tanα>tanβ
C．若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ
D．若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ
[解析] 如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此时OM如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，MP>NQ，
∴AC如图(3)，角α、β的终边分别为OP、OQ，MP>NQ即sinα>sinβ，∴ON>OM，即cosβ>cosα，故C错，∴选D．
4．y＝的定义域为( B )
A． B．
C． D．(以上k∈Z)
[解析] ∵，∴2kπ二、填空题
5．不等式cosx>0的解集是 {x|2kπ－[解析] 如图所示，OM是角x的余弦线，则有cosx＝OM>0，
∴OM的方向向右．
∴角x的终边在y轴的右方．
∴2kπ－6．已知点P(tanα，sinα－cosα)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是 ∪ ．
[解析] ∵点P在第一象限，
∴
由(1)知0<α<或π<α<，(3)
由(2)知sinα>cosα，
作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sinα>cosα的
α∈，(4)
由(3)、(4)得α∈∪．
三、解答题
7．求下列函数的定义域．
(1)y＝sinx＋tanx；(2)y＝．
[解析] (1)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义，
∴
∴函数y＝sinx＋tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
(2)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx≠0，
∴
∴函数y＝的定义域为{x|x≠，k∈Z}．
8．求下列函数的定义域：
(1)y＝； (2)y＝lg(3－4sin2x)．
[解析] (1)如图(1)．
∵2cosx－1≥0，∴cosx≥．
∴函数定义域为(k∈Z)．
(2)如图(2)．
∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－∴函数定义域为∪，(k∈Z)，即(k∈Z)．
C级 能力拔高
利用三角函数线证明：若0<α<β<，则β－α>sinβ－sinα．
[解析] 如图所示，单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角β，α的终边分别交于点P，Q，过P，Q分别作OA的垂线，垂足分别是M，N，则sinα＝NQ，sinβ＝MP.过点Q作QH⊥MP于H，则HP＝MP－NQ＝sinβ－sinα.连接PQ，由图可知HPsinβ－sinα．
第一章 1.2 1.2.2 同角三角函数的基本关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] ∵α是第四象限角，∴sinα<0．
∵∴sinα＝－．
2．已知cosα＝，则sin2α等于( A )
A． B．±
C． D．±
[解析] sin2α＝1－cos2α＝．
3．已知α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] 不妨设α对应的锐角为α′，tanα′＝，构造直角三角形如图，则|sinα|＝sinα′＝，
∵α为第四象限角，∴sinα<0，∴sinα＝－．
4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于( C )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 原式＝(1＋)·cos2α
＝cos2α＋sin2α＝1．
5．已知sinα－3cosα＝0，则sin2α＋sinαcosα值为( B )
A． B．
C．3 D．4
[解析] 由sinα－3cosα＝0，∴tanα＝3，
又sin2α＋sinαcosα＝
＝＝＝．
6．已知α是三角形的一个内角，且sinα＋cosα＝，那么这个三角形的形状为( B )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
[解析] (sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝－<0，
又∵α∈(0，π)，sinα>0.∴cosα<0，∴α为钝角．
二、填空题
7．在△ABC中，sinA＝，则∠A＝__60°__．
[解析] ∵2sin2A＝3cosA，∴2(1－cos2A)＝3cosA，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，∴cosA＝，cosA＝－2(舍去)，∴A＝60°．
8．已知tanα＝cosα，那么sinα＝ ．
[解析] 由于tanα＝＝cosα，则sinα＝cos2α，所以sinα＝1－sin2α，解得sinα＝．
又sinα＝cos2α≥0，所以sinα＝．
三、解答题
9．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα(1＋)＝＋．
[证明] 左边＝sinα(1＋)＋cosα(1＋)
＝sinα＋＋cosα＋
＝＋
＝＋＝右边．
即原等式成立．
10．已知tanα＝7，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α＋sinαcosα＋3cos2α．
[解析] (1)＝＝＝＝．
(2)sin2α＋sinαcosα＋3cos2α＝
＝＝
＝＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知sinα－cosα＝－，则sinα·cosα等于( C )
A． B．－
C．－ D．
[解析] 将所给等式两边平方，得1－2sinαcosα＝，故sinαcosα＝－．
2．若π<α<，＋的化简结果为( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] 原式＝＋
＝＋＝
∵π<α<，∴原式＝－．
3．若＝2，则sinθ·cosθ＝( D )
A．－ B．
C．± D．
[解析] 由＝2，得tanθ＝4，sinθcosθ＝＝＝．
4．如果sinx＋cosx＝，且0A．－ B．－或－
C．－ D．或－
[解析] 将所给等式两边平方，得sinxcosx＝－，
∵00，cosx<0，
∴sinx＝，cosx＝－，∴tanx＝－．
二、填空题
5．已知sinθ＝，cosθ＝，则tanθ＝ －或－ ．
[解析] 由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8．
m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，tanθ＝－；
m＝8时，sinθ＝，cos＝－，tanθ＝－．
6．在△ABC中，若tanA＝，则sinA＝ ．
[解析] 因为tanA＝>0，则∠A是锐角，则sinA>0，解方程组得sinA＝．
7．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．
[解析] 由tan2α＝2tan2β＋1，可得tan2β＝(tan2α－1)，
即＝(－1)，故有＝(－1)＝×，整理得＝，
即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β)(sin2α－)，
展开得sin2β＝sin2α－，即sin2β＝2sin2α－1．
8．化简下列式子．
(1)cos6α＋sin6α＋3sin2αcos2α；
(2)若x是第二象限角，化简·．
[解析] (1)原式＝(cos2α＋sin2α)(cos4α－cos2αsin2α＋sin4α)＋3sin2α·cos2α＝cos4α＋2sin2αcos2α＋sin4α＝(sin2α＋cos2α)2＝1．
(2)原式＝·＝·＝·＝·．
∵x为第二象限角，∴sinx>0，∴原式＝＝1．
C级 能力拔高
设A是三角形的内角，且sinA和cosA是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根．
(1)求a的值；
(2)求tanA的值．
[解析] (1)∵sinA和cosA是关于x的方程25x2－5ax－12a＝0的两个根，
∴由韦达定理得 将①两边分别平方得sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝a2，即1－a＝，解得a＝－25或a＝1.当a＝－25时，sinA＋cosA＝－5不合题意，故a＝1．
(2)由得sinA>0，cosA<0，∴sinA＝，cosA＝－.∴tanA＝＝－．
第一章 1.3 第1课时 诱导公式二、三、四
A级 基础巩固
一、选择题
1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( D )
A．α一定是锐角 B．0≤α<2π
C．α一定是正角 D．α是使公式有意义的任意角
2．下列各式不正确的是( B )
A．sin(α＋180°)＝－sinα B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sinα D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
3．cos(－)等于( C )
A． B．
C．－ D．－
[解析] cos(－)＝cos＝cos(6π＋)＝cos＝cos(π－)＝－cos＝－．
4．(2016·潍坊高一检测)tan300°＝( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] tan300°＝tan(360°－60°)＝tan(－60°)
＝－tan60°＝－．
5．sin600°＋tan240°的值是( B )
A．－ B．
C．－＋ D．＋
[解析] sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－＋＝．
6．已知tan5°＝t，则tan(－365°)＝( C )
A．t B．360°＋t
C．－t D．与t无关
[解析] tan(－365°)＝－tan365°＝－tan(360°＋5°)＝－tan5°＝－t．
二、填空题
7．(2016·四川卷)sin750°＝ ．
[解析] sin750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin30°＝．
8．已知α∈(0，)，tan(π－α)＝－，则sinα＝ ．
[解析] 由于tan(π－α)＝－tanα＝－，则tanα＝，
解方程组
得sinα＝±，又α∈(0，)，所以sinα>0．
所以sinα＝．
三、解答题
9．求值：(1)sin1 320°；(2)cos(－)．
[解析] (1)sin1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－．
(2)cos(－)＝cos(－6π＋)＝cos
＝cos(π－)＝－cos＝－．
10．已知＝lg，求＋的值．
[解析] ∵
＝
＝＝－sinα＝lg，
∴sinα＝－lg＝lg＝．
∴＋
＝＋
＝＋＝
＝＝18．
B级 素养提升
一、选择题
1．(2018·沈阳铁路实验中学期末)已知tan(π－α)＝2，则＝( A )
A．3 B．2
C．－3 D．
[解析] tan(π－α)＝－tanα＝2，∴tanα＝－2．
＝＝＝3．
2．设tan(5π＋α)＝m(α≠kπ＋，k∈Z)，则的值为( A )
A． B．
C．－1 D．1
[解析] ∵tan(5π＋α)＝m，∴tanα＝m，
原式＝＝＝＝，
故选A．
3．若＝2，则sin(α－5π)·cos(3π－α)等于( B )
A． B．
C．± D．－
[解析] 由＝2，得tanα＝3．
则sin(α－5π)·cos(3π－α)
＝－sin(5π－α)·cos(2π＋π－α)
＝－sin(π－α)·[cos(π－α)]
＝－sinα·(－cosα)
＝sinα·cosα
＝＝＝
4．已知n为整数，化简所得结果是( C )
A．tan(nα) B．－tan(nα)
C．tanα D．－tanα
[解析] 若n＝2k(k∈Z)，则＝
＝＝tanα；若n＝2k＋1(k∈Z)，则＝＝＝＝tanα．
二、填空题
5．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2016)＝－1，则f(2017)等于__1__．
[解析] ∵f(2016)＝asin(2016π＋α)＋bcos(2016π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2017)＝asin(2017π＋α)＋bcos(2017π＋β)＝－asinα－bcosβ＝－(asinα＋bcosβ)＝1．
6．若cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝ － ．
[解析] cos(－θ)＝cos[π－(＋θ)]＝－cos(＋θ)＝－．
三、解答题
7．已知α是第四象限角，且
f(α)＝．
(1)化简f(α)；
(2)若sinα＝－，求f(α)；
(3)若α＝－，求f(α)．
[解析] (1)f(α)＝＝cosα．
(2)∵sinα＝－，且α是第四象限角，
∴f(α)＝cosα＝＝＝．
(3)f(－)＝cos(－)
＝cos(－)＝cos＝．
8．证明：＝．
[证明] 左边＝
＝＝＝＝＝＝右边，
故原等式成立．
C级 能力拔高
已知tanα、是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两实根，且3π<α<.求cos(3π＋α)＋sin(π＋α)的值．
[解析] ∵tanα、是方程x2－kx＋k2－3＝0的两根，
∴即
∴∴＝sinαcosα>0，故k＝2．
即＝2，sinαcosα＝．
∴sinα＋cosα＝－＝－＝－．
∴cos(3π＋α)＋sin(π＋α)＝－(cosα＋sinα)＝．
第一章 1.3 第2课时 诱导公式五、六
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知sin(＋α)＝，那么cosα＝( C )
A．－ B．－
C． D．
2．已知sinα＝，则cos(π＋α)等于( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] cos(π＋α)＝sinα＝．
3．若sin(3π＋α)＝－，则cos(－α)等于( A )
A．－ B．
C． D．－
[解析] 由已知，得sinα＝，
则cos(－α)＝－sinα＝－．
4．已知cos(＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( B )
A． B．－
C．± D．
[解析] ∵cos(＋α)＝－，
∴sinα＝－，
∴cos(－3π＋α)＝－cosα＝－＝－．
5．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( B )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，
得：－sinα－sinα＝－a，即sinα＝，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)
＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－a．
6．若sin(－α)＝，则cos(－α)的值为( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] cos(－α)＝cos[＋(－α)]
＝－sin(－α)＝－．
二、填空题
7．化简＝__－1__．
[解析] 原式＝
＝
＝－＝－1．
8．(2016·成都高一检测)已知sin(α－)＝，那么cos(α＋)的值是 － ．
[解析] ∵(α＋)－(α－)＝，
∴α＋＝＋(α－)，
∴cos(α＋)＝cos[＋(α－)]＝－sin(α－)＝－．
三、解答题
9．化简：．
[解析] 原式＝
＝
＝＝＝tanα．
10．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求的值．
[解析] 由已知得sinα＝－．
∵α是第三象限角，∴cosα＝－＝－．
∴原式＝＝＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．若角A、B、C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( D )
A．cos(A＋B)＝cosC B．sin(A＋B)＝－sinC
C．cos(＋C)＝sinB D．sin＝cos
[解析] ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cosC，sin(A＋B)＝sinC．
所以A，B都不正确；同理，B＋C＝π－A，
所以sin＝sin(－)＝cos，因此D是正确的．
2．α为锐角，2tan(π－α)－3cos(＋β)＝－5，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sinα＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知可得，－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1解得tanα＝3，故sinα＝，选C．
3．已知sin(－α)＝，那么cos(－α)＝( D )
A． B．－
C． D．－
[解析] cos(－α)＝cos[＋(－α)]＝－sin(－α)＝－．
4．若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)等于( C )
A．3－cos2x B．3－sin2x
C．3＋cos2x D．3＋sin2x
[解析] f(cosx)＝f[sin(－x)]
＝3－cos2(－x)
＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x
二、填空题
5．已知sin(＋α)＝，则sin(－α)＝ ．
[解析] ∵sin(＋α)＝cosα＝，
∴sin(－α)＝cosα＝．
6．化简＝__－1__．
[解析] 原式＝
＝＝＝－1．
三、解答题
7．若sin(180°＋α)＝－，0°<α<90°．
求的值．
[解析] 由sin(180°＋α)＝－，α∈(0°，90°)，
得sinα＝，cosα＝，
∴原式＝
＝＝＝2．
8．已知cos(－α)＝，求cos(π＋α)sin(－α)的值．
[解析] cos(π＋α)·sin(－α)
＝cos[π－(－α)]·sin[π－(＋α)]
＝－cos(－α)·sin(＋α)
＝－sin[－(－α)]
＝－cos(－α)＝－．
C级 能力拔高
是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α、 β的值；若不存在，说明理由．
[思路分析] 题中所给条件式比较繁琐，故先化简，然后利用平方关系消去α(或β)解方程可求出角α与β的一个三角函数值和其范围，进一步求出角．
[解析] 由条件得，
①2＋②2得，sin2α＋3cos2α＝2 ③
又∵sin2α＋cos2α＝1 ④
由③，④得cos2α＝即cosα＝±，
∵α∈，∴α＝或α＝－．
当α＝时，代入②得cosβ＝，又β∈(0，π)，
∴β＝，代入①可知符合．
当α＝－时，代入②得cosβ＝，又β∈(0，π)，
∴β＝，代入①可知不符合．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．
第一章 1.4 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
A级 基础巩固
一、选择题
1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是( D )
A．向左右无限伸展
B．与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于y轴对称
2．从函数y＝cosx，x∈[0,2π)的图象来看，对应于cosx＝的x有( B )
A．1个值 B．2个值
C．3个值 D．4个值
[解析] 如图所示，y＝cosx，x∈[0,2π]与y＝的图象，有2个交点，
∴方程有2个解．
3．在[0,2π]上，满足sinx≥的x的取值范围是( B )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，π]
[解析] 由图象得：
x的取值范围是[，π]．
4．函数y＝－cosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为( B )
A．(，1) B．(π，1)
C．(0,1) D．(2π，1)
[解析] 用五点法作出函数y＝－cosx，x>0的图象如图所示．
5．函数y＝|sinx|的图象( B )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于坐标轴对称
[解析] y＝|sinx|
＝k∈Z，
其图象如图：
6．函数y＝的定义域为( B )
A．R B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C．[－1,0)∪(0,1] D．{x|x≠0}
[解析] 由sinx≠0，得x≠kπ(k∈Z)，故选B．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝3＋2cosx的图象经过点(，b)，则b＝__4__．
[解析] b＝f()＝3＋2cos＝4．
8．下列各组函数中，图象相同的是__(4)__．
(1)y＝cosx与y＝cos(π＋x)；
(2)y＝sin(x－)与y＝sin(－x)；
(3)y＝sinx与y＝sin(－x)；
(4)y＝sin(2π＋x)与y＝sinx．
[解析] 本题所有函数的定义域是R．
cos(π＋x)＝－cosx，则(1)不同；
sin(x－)＝－sin(－x)＝－cosx，
sin(－x)＝cosx，
则(2)不同；sin(－x)＝－sinx，则(3)不同；
sin(2π＋x)＝sinx，则(4)相同．
三、解答题
9．在[0,2π]内用五点法作出y＝－sinx－1的简图．
[解析] (1)按五个关键点列表
x
0
π
2π
y
－1
－2
－1
0
－1
(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示．
10．判断方程x2－cosx＝0的根的个数．
[解析] 设f(x)＝x2，g(x)＝cosx，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图象有两个交点，则方程x2－cosx＝0有两个根．
B级 素养提升
一、选择题
1．若cosx＝0，则角x等于( B )
A．kπ(k∈Z) B．＋kπ(k∈Z)
C．＋2kπ(k∈Z) D．－＋2kπ(k∈Z)
2．当x∈[0,2π]时，满足sin(－x)≥－的x的取值范围是( C )
A．[0，] B．[，2π]
C．[0，]∪[，2π] D．[，]
[解析] 由诱导公式化简可得cosx≥－，结合余弦函数的图象可知选C．
3．函数y＝cosx＋|cosx| x∈[0,2π]的大致图象为( D )
[解析] y＝cosx＋|cosx|
＝，故选D．
4．在(0,2π)上使cosx>sinx成立的x的取值范围是( A )
A．(0，)∪(，2π) B．(，)∪(π，)
C．(，) D．(－，)
[解析] 第一、三象限角平分线为分界线，终边在下方的角满足cosx>sinx．
∵x∈(0,2π)，∴cosx>sinx的x范围不能用一个区间表示，必须是两个区间的并集．
二、填空题
5．若sinx＝2m＋1，则m的取值范围是__{m|－1≤m≤0}__．
[解析] 由－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0．
6．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是 ．
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示，
当f(x)>时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，此时有－三、解答题
7．若集合M＝{θ|sinθ≥}，N＝{θ|cosθ≤}，θ∈[0,2π]，求M∩N．
[解析] 首先作出正弦函数，余弦函数在[0,2π]上的图象以及直线y＝，如图所示．
由图象可知，在[0,2π]内，
sinθ≥，≤θ≤，
cosθ≤时，≤θ≤．
所以在[0,2π]内，同时满足sinθ≥与cosθ≤时，≤θ≤．
所以M∩N＝{θ|≤θ≤}．
8．已知函数
f(x)＝试画出f(x)的图象．
[解析] 在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线，再比较两个函数的图象，上方的画成实线，下方的画面虚线，则实线部分即为f(x)的图象．
C级 能力拔高
若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．
[解析] 观察图可知：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cosx的图象与直线y＝2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积．
因为|OA|＝2，|OC|＝2π，所以S矩形OABC＝2×2π＝4π．
故所求封闭图形的面积为4π．
第一章 1.4 1.4.2 第1课时 周期函数
A级 基础巩固
一、选择题
1．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是( B )
[解析] 由已知，得f(x)是周期为2的偶函数，故选B．
2．函数y＝sin的最小正周期为( C )
A．π B．2π
C．4π D．
3．函数f(x)＝7sin(＋)是( A )
A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为3π的奇函数 D．周期为的偶函数
4．函数y＝|cosx|的最小正周期是( C )
A． B．
C．π D．2π
5．下列说法中正确的是( A )
A．当x＝时，sin(x＋)≠sinx，所以不是f(x)＝sinx的周期
B．当x＝时，sin(x＋)＝sinx，所以是f(x)＝sinx的一个周期
C．因为sin(π－x)＝sinx，所以π是y＝sinx的一个周期
D．因为cos(－x)＝sinx，所以是y＝cosx的一个周期
6．若函数y＝2sinωx(ω>0)的图象与直线y＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为，则ω的值为( A )
A．3 B．
C． D．
[解析] 函数y＝2sinωx的最小值是－2，该函数的图象与直线y＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期，故由＝，得ω＝3．
二、填空题
7．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)的周期为π，则ω＝__2__．
8．已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)＝1，则f(5)＝__－1__．
[解析] 由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，则f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝－f(1)．
又f(1)＝1，则f(5)＝－1．
三、解答题
9．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．
[证明] ∵f(x＋2)＝，
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)．
∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．
10．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx．
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∵当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，
∴当x∈[－，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx．
又∵当x∈[－π，－]时，x＋π∈[0，]，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx．
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx．
(2)如右图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈[，]．
又∵f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z．
B级 素养提升
一、选择题
1．函数y＝cos(x＋)(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( D )
A．10 B．11
C．12 D．13
[解析] T＝＝≤2，∴k≥4π又k∈N*
∴k最小为13，故选D．
2．函数y＝的周期是( C )
A．2π B．π
C． D．
[解析] T＝·＝．
3．函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为( A )
A． B．π
C．2π D．4π
[解析] ∵＋＝|sinx|＋|cosx|.∴原函数的最小正周期为．
4．函数f(x)＝4sin(x＋)是( A )
A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
[解析] f(x)＝4sin(x＋)＝4sin(x＋π)＝－4cosx，∴T＝3π，且满足f(－x)＝f(x)，故选A．
二、填空题
5．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，则f(－)＝__1__．
[解析] ∵f(x)的周期为，且为偶函数，
∴f(－)＝f(－3π＋)＝f(－6×＋)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1．
6．设函数f(x)＝3sin(ωx＋)，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sinα的值为 ± ．
[解析] ∵f(x)的最小正周期为，ω>0，
∴ω＝＝4.∴f(x)＝3sin．
由f＝3sin＝3cosα＝，
∴cosα＝．
∴sinα＝±＝±．
三、解答题
7．已知函数y＝sinx＋|sinx|．
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
[解析] (1)y＝sinx＋|sinx|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．
8．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．
[解析] x∈[π，3π]时，
3π－x∈[0，]，
因为x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，
所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx．
又f(x)是以π为周期的偶函数，
所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)的解析式为
f(x)＝1－sinx，x∈[π，3π]．
C级 能力拔高
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,4]时，f(x)＝x－2，则有下面三个式子：
①f(sin)第一章 1.4 1.4.2 第2课时 正、余弦函数的性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝2sinx(0≤x≤)的值域是( C )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,1] D．[0,2]
2．下列关系式中正确的是( C )
A．sin11°C．sin11°[解析] cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°．
sin80°>sin12°>sin11°，即cos10°>sin168°>sin11°．
3．y＝2sinx2的值域是( A )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
[解析] ∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，
∴y＝2sinx2∈[－2,2]．
4．函数y＝是( A )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数
[解析] 定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，则f(x)是奇函数．
5．(2017全国卷Ⅲ，理科)设函数f(x)＝cos(x＋)，则下列结论错误的是( D )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在(，π)单调递减
[解析] A项，因为f(x)＝cos(x＋)的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A正确．
B项，因为f(x)＝cos(x＋)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．
C项，f(x＋π)＝cos(x＋)．令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．
D项，因为f(x)＝cos(x＋)的递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，所以(，)是减区间，[，π)是增区间，D项错误．
6．函数y＝lncosx(－[解析] 当x∈(－，)时，cosx∈(0,1]，
∴lncosx≤0，
由此可排除B，C，D，故选A．
二、填空题
7．函数y＝sin(x－)，x∈[0，π]的值域为 [－，1] ．
8．函数＝cos(2x－)的单调增区间是 [kπ＋π，kπ＋π]，(k∈Z) ．
[解析] 令t＝2x－，
∴2kπ＋π≤t≤2kπ＋2π时，y＝cos t单调递增．
即：2kπ＋π≤2x－≤2kπ＋2π，k∈Z．
∴单调递增区间为：[kπ＋π，kπ＋π]，k∈Z．
三、解答题
9．求下列函数的单调区间．
(1)y＝cos2x；
(2)y＝2sin．
[解析] (1)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z) ①
2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z) ②
解①得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
解②得，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
(2)y＝2sin化为y＝－2sin．
∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
(k∈Z)，
(k∈Z)．
∴函数y＝－2sin的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z) ①
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z) ②
解①得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
解②得，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
10．求函数y＝sin2x＋sinx－1的值域．
[解析] 令t＝sinx，则t∈[－1,1]，
∴y＝t2＋t－1＝(t＋)2－，(t∈[－1,1])
∴当t＝－即sinx＝－，x＝2kπ－或2kπ－π(k∈Z)时，ymin＝－．
当t＝1，即sinx＝1，x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1．
∴原函数的值域为[－，1]．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( A )
A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
[解析] C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos(2x＋)＝－sin2x，该函数在[，]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋)＝cos2x，该函数符合题意，选A．
2．函数f(x)＝sin(2x－)在区间[0，]上的最小值为( B )
A．－1 B．－
C． D．0
[解析] 由x∈[0，]得2x－∈[－，]，所以sin(2x－)∈[－，1]，故函数f(x)＝sin(2x－)在区间[0，]上的最小值为－．
3．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( D )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞]
[解析] 因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，D正确．
4．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵f(x)是偶函数，
∴f(0)＝sin＝±1，
∴＝kπ＋，
∴φ＝3kπ＋，(k∈Z)，
又φ∈[0,2π]，∴φ＝π．
二、填空题
5．y＝的定义域为 [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) ，单调递增区间为 [2kπ，2kπ＋]，k∈Z ．
[解析] ∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在[0，]上单调递增．
∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋]，k∈Z．
6．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是 [－，3] ．
[解析] ∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，
∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，
∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x－)，
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin(2x－)≤1，∴－≤3sin(2x－)≤3，
即f(x)的取值范围是[－，3]．
二、解答题
7．已知函数y＝sin(－2x)．
(1)求函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
[解析] y＝sin(－2x)可化为y＝－sin(2x－)．
(1)周期T＝＝＝π．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z．
从而x∈[－π，0]时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[－π，－]，[－，0]．
8．已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域为[0，]，值域是[－5,1]，求a、b的值．
[解析] ∵0≤x≤，∴≤2x＋≤．
∴－≤sin(2x＋)≤1．
∴a>0时，解得
a<0时，解得
综上，a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1．
C级 能力拔高
已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a．
当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围．
[解析] －1≤sinx≤1，令t＝sinx，则－1≤t≤1．
f(x)＝0有实数解，即t2－t－a＝0在[－1,1]内有实数解．
令g(t)＝t2－t－a＝(t－)2－a－，t∈[－1,1]．
如图，方程t2－t－a＝0在[－1,1]内有实数解等价于函数g(t)的图象与坐标系的横轴在[－1,1]上有交点，故只需满足解得－≤a≤2．
∴所求a的取值范围是[－，2]．
第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象
A级 基础巩固
一、选择题
1．当x∈(－，)时，函数y＝tan|x|的图象( B )
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．没有对称轴
2．函数f(x)＝的定义域为( A )
A．{x|x∈R且x≠，k∈Z} B．{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
C．{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z} D．{x|x∈R且x≠kπ－，k∈Z}
[解析] (k∈Z)得
∴x≠π且x≠π，x≠，k∈Z，故选A．
3．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(，0)，则φ可以是( A )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] ∵函数的象过点(，0)，∴tan(＋φ)＝0，∴＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，则φ＝－，故选A．
4．函数f(x)＝tan(－x)的单调递减区间为( B )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
[解析] 由f(x)＝－tan(x－)，可令kπ－5．函数f(x)＝tanax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为2，则a的值为( A )
A． B．
C．π D．1
[解析] 由题意可得T＝2，所以＝2，a＝．
6．函数f(x)＝tan(ωx－)与函数g(x)＝sin(－2x)的最小正周期相同，则ω＝( A )
A．±1 B．1
C．±2 D．2
[解析] ＝，ω＝±1．
二、填空题
7．函数y＝3tan(2x＋)的对称中心的坐标为 (－，0)(k∈Z) ．
[解析] 令2x＋＝(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，
∴对称中心的坐标为(－，0)(k∈Z)．
8．求函数y＝tan(－x＋)的单调区间是 (2kπ－，2kπ＋π)(k∈Z) ．
[解析] y＝tan(－x＋)
＝－tan(x－)，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan(－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z．
三、解答题
9．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
[解析] ∵－≤x≤，∴－≤tanx≤1，
f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，
当tanx＝－1，即x＝－时，ymin＝1；
当tanx＝1，即x＝时，ymax＝5．
10．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的主要性质．
[解析] 由y＝|tanx|＋tanx知
y＝(k∈Z)．
其图象如图所示．
函数的主要性质为：
①定义域：{x|x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}；
②值域：[0，＋∞)；
③周期性：T＝π；
④奇偶性：非奇非偶函数；
⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋)，k∈Z．
B级 素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝的奇偶性是( A )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
[解析] f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
2．若a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝logcos25°，则( D )
A．aC．c[解析] ∵0∴logsin25°>logcos25°>logtan70°．
即a3．若函数y＝tanωx在(－，)内是减函数，则( B )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
[解析] 若ω使函数在(－，)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0．
4．函数y＝|tan(x＋)|的单调增区间为( D )
A．(kπ－，kπ＋)(k∈Z) B．(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
C．(kπ，kπ＋)(k∈Z) D．[kπ－＋kπ＋)(k∈Z)
[解析] 令t＝x＋，则y＝|tant|的单调增区间为[kπ，kπ＋)(k∈Z)．
由kπ≤x＋kπ－≤x二、填空题
5．给出下列命题：
(1)函数y＝tan|x|不是周期函数；
(2)函数y＝tanx在定义域内是增函数；
(3)函数y＝的周期是；
(4)y＝sin是偶函数．
其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__．
[解析] y＝tan|x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tanx在每一个区间(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝的周期是.∴(3)对；y＝sin＝cosx是偶函数，∴(4)对．
因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．
6．若tan≤1，则x的取值范围是
(k∈Z) ．
[解析] 令z＝2x－，在上满足tanz≤1的z的值是－三、解答题
7．若x∈[－，]，求函数y＝＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．
[解析] y＝＋2tanx＋1＝＋2tanx＋1＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1．
∵x∈[－，]，∴tanx∈[－，1]．
∴当tanx＝－1时，即x＝－时，y取最小值1；
当tanx＝1时，即x＝时，y取最大值5．
8．已知函数f(x)＝3tan(x－)．
(1)求f(x)的定义域、值域；
(2)讨论f(x)的周期性，奇偶性和单调性．
[解析] (1)由x－≠＋kπ，k∈Z，
解得x≠＋2kπ，k∈Z．
∴定义域为{x|x≠＋2kπ，k∈Z}，值域为R．
(2)f(x)为周期函数，周期T＝＝2π．
f(x)为非奇非偶函数．
由－＋kπ解得－＋2kπ∴函数的单调递增区间为(－＋2kπ，＋2kπ)(k∈Z)．
C级 能力拔高
函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(，)内的图象大致是( D )
[解析] ∵0，∴y＝tanx＋sinx－(tanx－sinx)＝2sinx，故选D．
第一章 1.5 第1课时 画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
A级 基础巩固
一、选择题
1．为了得到y＝cos的图象，只需把y＝cosx的图象上的所有点( A )
A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
[解析] 由图象的周期变换可知，A正确．
2．下列命题正确的是( B )
A．y＝sinx的图象向右平移个单位得y＝cosx的图象
B．y＝cosx的图象向右平移个单位得y＝sinx的图象
C．当φ>0时，y＝sinx的图象向右平移φ个单位可得y＝sin(x＋φ)的图象
D．当φ<0时，y＝sinx的图象向左平移φ个单位可得y＝sin(x－φ)的图象
3．要得到函数y＝3sin(2x＋)的图象，只需将函数y＝3sin2x的图象( C )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[解析] 由y＝3sin2(x＋φ)＝3sin(2x＋)，得
∴2φ＝，φ＝.故向左平移个单位．
4．为了得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需把函数y＝sin(2x＋)的图象( B )
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位
[解析] 由y＝sin(2x＋)y＝sin[2(x＋φ)＋]＝sin(2x－)，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个长度单位，故选B．
5．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] 向右平移φ个单位后，得到g(x)＝sin(2x－2φ)，又|f(x1)－g(x2)|＝2，∴不妨令2x1＝＋2kπ，k∈Z,2x2－2φ＝－＋2mπ，m∈Z，∴x1－x2＝－φ＋(k－m)π，k，m∈Z，又|x1－x2|min＝，∴－φ＝，∴φ＝，故选D．
6．要得到函数y＝sin(4x－)的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( B )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[解析] y＝sin(4x－)＝sin4(x－)，故要将函数y＝sin4x的图象向右平移个单位．故选B．
二、填空题
7．将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为 y＝cos(2x＋) ．
8．将函数y＝sinx的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得__y＝sin4x__的图象．
三、解答题
9．将函数y＝sin2x的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，然后横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，求所得图象的函数解析式．
[解析] y＝sin2xy＝sin2(x)＝sinx．
y＝sinxy＝sinx．
即所得图象的解析式为y＝sinx．
10．已知函数y＝3sin(x－)．
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的．
[解析] (1)列表：
x－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点：在坐标系中描出下列各点(，0)，(，3)，(，0)，(，－3)，(，0)．
连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如右图所示．
这样就得到了函数y＝3sin(x－)在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin(x－)的图象．
(2)①把y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin(x－)的图象；
②把y＝sin(x－)图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)的图象；
③将y＝sin(x－)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin(x－)的图象．
B级 素养提升
一、选择题
1．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( C )
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
[解析] 函数y＝sinx的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y＝sin(x－)的图象；横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y＝sin(x－)的图象，所以所求函数的解析式是y＝sin(x－)．
2．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( B )
[解析] 把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y1＝cosx＋1，向右平移1个单位长度得：y2＝cos(x－1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y3＝cos(x－1)．令x＝0，得：
y3>0；x＝＋1，得：y3＝0；观察即得答案．
3．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内简图时，列表如下：
ωx＋φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
－2
0
则有( C )
A．A＝2，ω＝，φ＝0 B．A＝2，ω＝3，φ＝
C．A＝2，ω＝3，φ＝－ D．A＝1，ω＝2，φ＝－
[解析] 由表格得A＝2，π－＝，
∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ．
当x＝时，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－．
4．将函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为( D )
A．y＝sin(x－) B．y＝sin2(x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝sin(2x－)
[解析] 根据题意，y＝sinx的图象沿x轴向右平移个单位后得到y＝sin(x－)，再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到y＝sin(2x－)，此即y＝f(x)的解析式．∴应选D．
二、填空题
5．把函数y＝sin(2x－)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得图象对应的解析式为 y＝sin(4x－) ．
[解析] 将函数y＝sin(2x－)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)－]＝sin(2x－)的图象，再将所得函数y＝sin(2x－)的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin(4x－)的图象．
6．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝ 2sin－1 ．
[解析] 将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin－1．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝3sin(x－)，x∈R．
(1)列表并画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
[解析] (1)函数f(x)的周期T＝＝4π．
由x－＝0，，π，，2π，
解得x＝，，，，．
列表如下：
x
x－
0
π
2π
3sin(x－)
0
3
0
－3
0
描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图．
图象如下：
(2)方法一：先把y＝sinx的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．
方法二：先把y＝sinx的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来2倍，再把图象向右平移个单位，得到f(x)的图象．
8．将函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．
[解析] 函数y＝lgx的图象向左平移一个单位长度，
可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图象C1；函数y＝cos(2x－)的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)＝cos[2(x＋)－]＝cos2x的图象，即图象C2．
(1)画出图象C1和C2的图象如图
(2)由图象可知：两个图象共有7个交点．
即方程f(x)＝g(x)解的个数为7．
C级 能力拔高
(2016·北京理)将函数y＝sin(2x－)图象上的点P(，t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则( A )
A．t＝，s的最小值为 B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为 D．t＝，s的最小值为
[解析] 因为点P在函数y＝sin的图象上，所以t＝sin＝sin＝.又P′在函数y＝sin2x的图象上，所以＝sin2，则2＝2kπ＋或2＝2kπ＋，k∈Z，得s＝－kπ＋
或s＝－kπ－，k∈Z，又s>0，故s的最小值为，故选A．
第一章 1.5 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．若将函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为( B )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
[解析] 函数y＝2sin2x的图像向左平移个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为y＝2sin2(x＋)，令2(x＋)＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B．
2．若函数f(x)＝2sin是偶函数，则φ的值可以是( A )
A． B．
C． D．－
[解析] 由于f(x)是偶函数，
则f(x)图象关于y轴即直线x＝0对称，
则f(0)＝±2，
又当φ＝时，f(0)＝2sin＝2，
则φ的值可以是．
3．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( A )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
[解析] 本题考查正弦型函数的周期与初相．
T＝－(－)＝，
∴T＝＝π，∴ω＝2．
当x＝时，2×＋φ＝，
∴φ＝－．
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( A )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 函数f(x)的周期T≤4＝π，
则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2．
5．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝( B )
A．3或0 B．－3或3
C．0 D．－3或0
[解析] 由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，
则f是函数f(x)的最大值或最小值，
则f＝－3或3．
二、填空题
6．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝ .初相φ＝ ．
[解析] 当t＝时，s＝3sin＝3×＝．
三、解答题
7．已知函数y＝cosx＋|cosx|．
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间．
[解析] (1)y＝cosx＋|cosx|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知函数是周期函数，且它的周期是2π．
(3)由图象知函数的单调增区间为[2kπ－，2kπ](k∈Z)．
B级 素养提升
一、选择题
1．设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( B )
A．4 B．2
C．1 D．
[解析] f(x)的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2．
2．(2017天津高考理科)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( A )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
[解析] ∵f()＝2，f()＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期为4(－)＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．
∴2sin(×＋φ)＝2，
得φ＝2kπ＋，k∈Z．
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝．
3．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( A )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
[解析] ∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝.∵当x＝时，f(x)有最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ，∵－π<φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(＋)，由此函数图象易得，在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是单调增函数．
二、填空题
4．若将函数y＝sin(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin(ωx＋)的图象重合，则ω的最小值为 ．
[解析] y＝sin(ωx＋)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[ω(x－)＋π]，
即y＝sin(ωx＋π－π)，
故π－π＋2kπ＝(k∈Z)，
即π＝π＋2kπ，
ω＝＋6k(k∈Z)，
∵ω>0，∴ω的最小值为．
5．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈(－，))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点(，0)对称；②图象关于点(，0)对称；③在[0，]上是增函数；④在[－，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为__②④__．
[解析] ∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∵φ＝kπ＋.∵φ∈(－，)，∴φ＝，∴y＝sin(2x＋)．由图象及性质可知②④正确．
三、解答题
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是和．
求：(1)f(x)的解析式；
(2)f(x)的值域；
(3)f(x)的对称轴．
[解析] (1)A＝，T＝2＝π，
∴＝π.∴ω＝2.∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
又在f(x)图象上，
∴f＝0.∴sin＝0．
∴sin＝0．
又－π<φ<0，∴φ＝－．
∴f(x)＝sin．
(2)值域是[－，]．
(3)令2x－＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．
∴对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．
第一章 1.6 三角函数模型的简单应用
A级 基础巩固
一、选择题
1．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( D )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
2．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为( B )
A．5 A B．2.5 A
C．2 A D．－5 A
[解析] 将t＝代入I＝5sin
得I＝2.5 A．
3．如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将处于图中的( D )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[解析] 与乙点的位置相差周期的点为丁点，故选D．
4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( D )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
[解析] 由已知可得该函数的周期为T＝12，
ω＝＝，
又当t＝0时，A(，)，
∴y＝sin(t＋)，t∈[0,12]，
可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
二、填空题
5．某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y＝a＋Acos[(x－6)](x＝1,2,3，……，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为__20.5__℃．
三、解答题
6．已知某地一天从4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin(x－)＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的温差；
(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解析] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30℃；当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10℃，所以温差为30－10＝20(℃)．
(2)∵4≤x≤16，
∴x－∈[－，]，
令15≤10sin(x－)＋20≤25，
∴－≤sin(x－)≤．
∴－≤x－≤．
∴≤x≤．
∴该细菌的存活时间为－＝(小时)．
B级 素养提升
一、选择题
1．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于( D )
A． B．
C． D．
[解析] 因为周期T＝，所以＝＝2π，
则l＝．
2．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为( A )
A．0 B．－5
C．10 D．－10
[解析] 由图知，A＝10，函数的周期
T＝2＝，
所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0．
3．据市场调查，某种商品一年内每年出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千克，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( A )
A．f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(x－)(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin(x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N*)
[解析] 由题意，得A＝＝2，b＝7．
周期＝2×(7－3)＝8，
∴当x＝3时，y＝9，∵2sin(＋φ)＋7＝9．
∴sin(＋φ)＝1，π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝－．
∴f(x)＝2sin(x－)＋7(1≤x≤12，x∈N*)
二、填空题
4．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要__0.8__s往返一次．
[解析] 由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．
5．如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为 y＝－6sinx ．
[解析] 将其看成y＝Asin(ωx＋φ)的图象，由图象知：A＝6，T＝12，
∴ω＝＝，下面确定φ．
将(6,0)看成函数图象的第一特殊点，
则×＋φ＝0.∴φ＝－π．
∴函数关系式为：y＝6sin(x－π)＝－6sinx．
三、解答题
6．如图，牡丹江市某天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)．
(1)求这一天最大的温差；
(2)求这段曲线的函数解析式．
[解析] (1)由图象得这一天的最高温度是－2℃，最低温度是－12℃，
则这一天最大的温差是－2－(－12)＝10(℃)．
(2)由(1)得
解得A＝5，b＝－7．
由图象得函数的周期T＝2(14－6)＝16，
则＝16，解得ω＝.所以y＝5sin－7．
由图象知点(10，－7)在函数的图象上，
则－7＝5sin－7，
整理得sin＝0，
又|φ|<，则φ＝－．
则这段曲线的函数解析式是
y＝5sin－7(6≤x≤14)．
第一章学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．给出下列四种说法，其中正确的有( D )
①－75°是第四象限角 ②225°是第三角限角 ③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．设α是第三象限角，且|cos|＝－cos，则的终边所在的象限是( B )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
所以的终边在第二象限或第四象限．
又|cos|＝－cos，所以cos<0，
所以的终边所在的象限是第二象限．
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( C )
A．2 B．sin2
C． D．2sin1
[解析] 由题设，圆弧的半径r＝，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝．
4．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝( D )
A． B．
C．－ D．－
[解析] x<0，r＝，∴cosα＝＝x，∴x2＝9，∴x＝－3，∴tanα＝－．
5．如果＝－5，那么tanα的值为( D )
A．－2 B．2
C． D．－
[解析] ∵sinα－2cosα＝－5(3sinα＋5cosα)，
∴16sinα＝－23cosα，∴tanα＝－．
6．设α为第二象限角，则·＝( D )
A．1 B．tan2α
C．－tan2α D．－1
[解析] ·＝·＝·||，
又∵α为第二象限角，∴cosα<0，sinα>0．
∴原式＝·||＝·＝－1．
7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( D )
[解析] 本题用排除法，对于D选项，由振幅|a|>1，而周期T＝应小于2π，与图中T>2π矛盾．
8．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，
则＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，
x2＝2.则sinα＝－
原式＝＝－＝．
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( A )
A．f(2)C．f(－2)[解析] ∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且x＝是经过函数f(x)最小值点的一条对称轴，∴x＝－＝是经过函数f(x)最大值点的一条对称轴．
∵|2－|＝，|(π－2)－|＝，|0－|＝，∴|2－|>|(π－2)－|>|0－|，且－<2<，－<π－2<，－<0<，∴f(2)10．(2017全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin(2x＋)，则下面结论正确的是( D )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[解析] 因为y＝sin(2x＋)＝cos(2x＋－)＝cos(2x＋)，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos2(x＋)＝cos(2x＋)．
11．(2018·天津理，6)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( A )
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
[解析] 函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝sin＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调增区间为，一个单调减区间为.由此可判断选项A正确．
故选A．
12．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b，下表是某日各时的浪高数据：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
2
1
2
0.99
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( B )
A．y＝cost＋1 B．y＝cost＋
C．y＝2cost＋ D．y＝cos6πt＋
[解析] ∵T＝12－0＝12，∴ω＝＝＝．
又最大值为2，最小值为1，
则解得A＝，b＝，
∴y＝cost＋．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2018·北京理，11)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
[解析] ∵ f(x)≤f对任意的实数x都成立，∴ 当x＝时，f(x)取得最大值，即f＝cos＝1，∴ ω－＝2kπ，k∈Z，
∴ ω＝8k＋，k∈Z．
∵ ω>0，∴ 当k＝0时，ω取得最小值．
14．已知sinθcosθ＝，且<θ<，则cosθ－sinθ的值为 － ．
[解析] 因为<θ<，所以cosθ－sinθ<0，所以cosθ－sinθ＝－＝－＝－＝－．
15．设a为常数，且a>1,0≤x≤2π，则函数f(x)＝cos2x＋2asinx－1的最大值为__2a－1__．
[解析] f(x)＝cos2x＋2asinx－1＝1－sin2x＋2asinx－1＝－(sinx－a)2＋a2，
∵0≤x≤2π，∴－1≤sinx≤1，
又a>1，∴当ainx＝1时，f(x)max＝－1(1－a)2＋a2＝2a－1．
16．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(w>0，φ∈[0,2π))的部分图象如图所示，则f(2018)＝ ．
[解析] 由题图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝．
由点(1,1)在函数图象上，可得f(1)＝sin(＋φ)＝1，故＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝.故f(x)＝sin(x＋)，所以f(2 018)＝sin(＋)＝sin(504π＋π)＝sinπ＝．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋cosα的值；
(2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值；
(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为3?4，求2sinα＋cosα的值．
[解析] (1)∵r＝＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴2sinα＋cosα＝－＋＝－．
(2)∵r＝＝5|a|，∴当a>0时，r＝5a，∴sinα＝＝－，cosα＝，∴2sinα＋cosα＝－；
当a<0时，r＝－5a，∴sinα＝＝，cosα＝－，
∴2sinα＋cosα＝．
(3)当点P在第一象限时，sinα＝，cosα＝，
2sinα＋cosα＝2；当点P在第二象限时，sinα＝，
cosα＝－，2sinα＋cosα＝；当点P在第三象限时，sinα＝－，cosα＝－，2sinα＋cosα＝－2；
当点P在第四象限时，sinα＝－，cosα＝，2sinα＋cosα＝－．
18．(本题满分12分)已知f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1(a为常数)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取得最大值时x的取值集合．
[解析] (1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)当x∈[0，]时，2x＋∈[，π]，故当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值a＋3＝4，所以a＝1．
(3)当sin(2x＋)＝1时f(x)取得最大值，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
19．(本题满分12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．
(1)求ω和φ的值；
(2)若f()＝(<α<)，求cos(α－)的值．
[解析] (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2．
又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.由－≤φ<得φ＝－．
(2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝，
所以sin(α－)＝.由<α<得0<α－<，
所以cos(α－)＝＝＝．
20．(本题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解析] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin(2x－)．
(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]＝5sin(2x＋)
因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z．
即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为(－，0)．
21．(本题满分12分)如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h．
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
[解析] (1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于M点．
当θ>时，∠BOM＝θ－．
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin(θ－)；
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
(2)点A在⊙O上逆时针运动的角速度是，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin(t－)＋5.6，t∈[0，＋∞)．
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的周期为，当x∈[0，]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解析] (1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－(－)＝2π，
由T＝，得ω＝1，又，
解得，令ω·＋φ＝，即＋φ＝，
解得φ＝－，∴f(x)＝2sin(x－)＋1．
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin(kx－)＋1的周期为，又k>0，∴k＝3，令t＝3x－，
∵x∈[0，]，∴t∈[－，]，
如图，sint＝s在[－，]上有两个不同的解，则s∈[，1]，
∴方程 f(kx)＝m在x∈[0，]时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1,3]，即实数m的取值范围是[＋1,3]．
