课件48张PPT。第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理自主预习学案
1．归纳推理和类比推理部分对象 全部对象 个别事实 归纳 部分 整体 某些类似特征 某些已知特征 这些特征 特殊 特殊 2．合情推理观察 分析 联想 归纳 类比 猜想 猜想 1．(2018·周口期末)下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④演绎推理是由一般到特殊的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①④⑤ B．②③④
C．②③⑤ D．①⑤A[解析] 根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理．故①对②错；
由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故④对；
类比推理是由特殊到特殊的推理．故⑤对③错，
则正确的是①④⑤，
故选A．2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
[解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．B互动探究学案命题方向1 ?归纳推理 典例 1『规律总结』 (1)由已知数式进行归纳推理的步骤
①分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征．
②提炼出等式(或不等式)的综合特点．
③运用归纳推理得出一般结论．(2)归纳推理在图形中的应用策略
〔跟踪练习1〕
有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31
C．32 D．36B[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．故选B． 命题方向2 ?事物的相似性与类比 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合；球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两个定义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质．试将平面上的圆与空间中的球进行类比．
[解析] 圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系：
弦 ? 截面圆，
直径 ? 大圆，
周长 ? 表面积，
圆面积 ? 球体积，典例 2等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：『规律总结』 运用类比推理要在合适的类比对象之间进行，可以从其形式、结构、维数等不同方向进行．例如相等与不等的类比(解一元二次方程与解一元二次不等式的类比)，升维类比(圆与球、三角形与四面体)，概念与性质(分解因式与分解因数、等差数列与等比数列)等等．〔跟踪练习2〕
将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性填空．命题方向3 ?类比推理 典例 3[思路分析] 考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接，把三角形分成三个三角形，利用面积相等来证明相应的结论．在证明四面体中类似结论时，可考虑利用体积相等的方法证明相应的结论．1．类比推理的思维过程大致为：
2．类比推理的一般步骤：
(1)通过观察、分析，找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)通过类比、联想，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
(3)通过推理论证，证明结论或推翻结论．
一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．类比推理的结论既可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值．〔跟踪练习3〕
在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，则在空间中，给出四面体性质的猜想．归纳推理具有从特殊到一般，从具体到抽象的认知功能，在求数列的通项公式或前n项和的问题中，经常用归纳推理得出关于前有限项的结论，此时要注意把它们的表达式的结构形式进行统一，以便于寻找规律，归纳猜想得出结论．
其具体步骤是：
(1)通过条件求得数列中的前几项；
(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式．归纳推理在数列中的应用 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项an的表达式．典例 4『规律总结』 (1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．
(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中的n取具体值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，…的值或S1，S2，S3，S4，…的值，根据这些结果进行归纳得到结果． 在下列类比推理中，正确的有________．
①把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay；
②把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny．
③把实数a，b满足：“若ab＝0，b≠0，则a＝0”．类比平面向量的数量积，“若a·b＝0，b≠0，则a＝0”．类比不当致误 典例 5[错解] ②③．
[辨析] 没有抓住类比推理的实质．
[正解] ④ ①②中，loga(x＋y)与sin(x＋y)都是一个整体，而a(b＋c)中a与b＋c是两个各自独立的部分，它们之间没有可类比性；③中由a，b两数的积，类比到a，b两向量的数量积，类比形式正确，但类比结论错误；④中，将平面上直线将三角形分成两部分的面积比、类比到空间中平面将三棱锥分成两部分的体积比，将角的两边，类比到二面角的两个面，类比形式正确，易证类比结论也是正确的．
[点评] 进行类比推理时，要从其形式、结构、维数等类似特征入手，要抓住本质属性中相似或相同之处作类比．A 2．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
……
A．1111110 B．1111111
C．1111112 D．1111113B①②④ 课件33张PPT。第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎推理2．1.2 演绎推理自主预习学案
1．演绎推理
从_________________出发，推出___________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由___________的推理．
2．演绎推理与合情推理的主要区别与联系
(1)合情推理与演绎推理的主要区别：归纳和类比都是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由______到_____、______到______的推理，类比是由______到______的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步的证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．一般性的原理 某个特殊 一般到特殊 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 (2)就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理．因此，我们不仅要学会证明，更要学会猜想．
3．三段论
(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的________；
②小前提——所研究的__________；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的______．
其一般推理形式为
大前提：M是P．
小前提：S是M．
结 论：______．
(2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么__________________________．一般原理 特殊情况 判断 S是PS中所有元素也都具有性质P4．其他演绎推理形式
(1)假言推理：“若p?q，p真，则q真”．
(2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系，如a∥b，b∥c?a∥c，a≥b，b≥c?a≥c等．
注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以供学生扩展知识面．
(3)完全归纳推理是把所有可能的情况都考虑在内的演绎推理规则．A 2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数．”上述推理是( )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．错误，因为大小前提不一致
D．错误，因为大前提错误
3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f ′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点．以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
[解析] ∵f ′(x0)＝0是f(x)在x＝x0取得极值的必要条件，而不是充分条件，∴大前提是错误的．AA4．给出下列结论：
①演绎推理的特征为，前提为真时，结论一定为真．
②演绎推理的特征为，前提为真时，结论可能为真．
③由合情推理得到的结论一定为真．
④演绎推理和合情推理都可以用于证明．
⑤合情推理不能用于证明，演绎推理可用于证明．
其中正确结论的序号为______．①⑤ 互动探究学案命题方向1 ?用三段论表示演绎推理 典例 1 (1)(2017·淄博高二检测)“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
(2)三段论：①平面内没有任何公共点的直线为平行线；②直线a?α，b?α且a与b没有公共点；③a∥b中的小前提是：____．(填序号)B②『规律总结』 将演绎推理写成三段论的方法
(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．
(2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提与小前提都省略．
(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 〔跟踪练习1〕
(2018·焦作高二检测)《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述理由用的是( )
A．合情推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
[解析] 由演绎推理的定义知，该推理为演绎推理．D命题方向2 ?用三段论证明几何问题 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．典例 2[解析] 因为同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以FD∥AE．(结论)
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA，且FD∥AE，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
因为平行四边形的对边相等，(大前提)
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，(小前提)
所以ED＝AF．(结论)『规律总结』 用“三段论”证明命题的步骤：
(1)理清证明命题的一般思路；
(2)找出每一个结论得出的原因；
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示．用三段论证明代数题 典例 3m(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式．
(4)数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列．
(5)不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题．偷换概念致误 典例 41．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，以上推理省略的大前提为( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形B2．(2018·秦州区校级三模)下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b∥平面α，直线a?平面α；所以直线b∥直线a，在这个推理中( )
A．大前提正确，结论错误
B．小前提与结论都是错误的
C．大、小前提正确，只有结论错误
D．大前提错误，结论错误
[解析] 直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．
故大前提错误，结论错误．
故选D．DD 课件43张PPT。第二章推理与证明2．2 直接证明与间接证明2．2.1 综合法与分析法自主预习学案
1． 综合法的定义
利用___________和某些数学______、______、______等，经过一系列的___________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．综合法的特点
从“已知”看“_____”，逐步推向“_____”，其逐步推理，是由___导____，实际上是寻找“已知”的______条件．已知条件 定义 定理 公理 推理论证 可知 未知 必要 因果P Q 4．分析法定义
从要证明的_______出发，逐步寻求使它成立的______条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法
5．分析法的特点
分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“_____”，执果索因，逐步靠拢“_______”，其逐步推理，实际上是要寻找“结论”的______条件．
分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理．结论 充分 需知 已知 充分 P 1．(2018·烟台期中)分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] ∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；
∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件
故选A．A2．(2018·桃城区校级期中)下列表述：
①综合法是由因到果法； ②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．
其中正确的语句是( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[解析] 根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．
根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，是逆推法，故③⑤正确，④不正确．
故选C．C9 4．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．互动探究学案命题方向1 ?用综合法证明不等式典例 1A 综合法
命题方向2 ?分析法的应用 典例 2『规律总结』 分析法证明不等式的依据、方法与技巧．
(1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
(2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法；
(3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；
(4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．命题方向3 ?分析法证明不等式 典例 3D 『规律总结』 分析法证明不等式的方法与技巧
范围：对于一些条件复杂，结论简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明，常用分析法
方法：分析法证明不等式的思路是从要证明的不等式出发，逐步寻求它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式
应用：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等词语．
特别提醒：逆向思考是分析法证明的立体思路，通过反推，逐步探寻使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题得以解决．切记“逆向”“反推”，否则会出现错误．综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因．就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰，分析法叙述烦琐，在实际解题时，常常把分析法和综合法综合起来运用．先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．利用分析法、综合法证明问题 典例 4『规律总结』 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路．在实际解决问题中，分析法与综合法往往结合起来使用，先分析由条件能产生什么结论，再分析要得出需要的结论需要什么条件，逐步探求两者之间的联系，寻找解答突破口，确定解题步骤，然后用综合法写出解题的过程．〔跟踪练习4〕
已知n∈N，且n>1，求证：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)．注意隐含条件的挖掘 典例 5[辨析] 这里题目中的条件为a＋b>0，而不是a>0，b>0，因此，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨论．1．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定BC a>c>b 课件38张PPT。第二章推理与证明2．2 直接证明与间接证明2．2.2 反证法自主预习学案
1．反证法的定义
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设______，从而证明了原命题_______，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．
2．反证法证题的原理
(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．矛盾 成立 错误 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )
①原结论的相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④ B．①②③
C．①③④ D．②③
[解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C．C2．用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为( )
A．a、b、c都是奇数
B．a、b、c都是偶数
C．a、b、c中至少有两个偶数
D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数
[解析] “自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D．D3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
[解析] 假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C．
4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是_______________________________________．
[解析] 全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．C存在一个三角形，其外角最多有一个钝角互动探究学案命题方向1 ?用反证法证明否(肯)定性命题 典例 1 (1)(2017·武汉高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么a3>b3”时，假设的内容是( )
A．a3＝b3 B．a3C．a3≤b3 D．a3①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
正确顺序的序号排列为__________．
[解析] (1)假设的内容应为结论“a3>b3”的否定“a3≤b3”，故选C．
(2)根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．③①② 『规律总结』 1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
特别提醒：(1)用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少，直接证明不易入手时常用的方法．
(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题，结论的反面比较具体，适于应用反证法．
(3)注意否定结论时，要准确无误．命题方向2 ?反证法证明“至多”“至少”问题典例 2『规律总结』 1．当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．
2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：
命题方向3 ?用反证法证明存在性、唯一性命题 已知：一点A和平面α．
求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．
[思路分析] 典例 3『规律总结』 1．证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．
2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．〔跟踪练习3〕
若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．正难则反是运用反证法的原则，有一些基础命题都是我们在数学中常运用的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．这些题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题．适宜运用反证法证明的命题 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．典例 4『规律总结』 1．反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
2．反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是开始假定的“结论的反面”是错误的，从而肯定原结论是正确的．〔跟踪练习4〕
证明：对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A，B关于直线y＝ax(a为常数)对称． 已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0．
[错解] 假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0与题设条件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．
∴假设不成立，∴原命题成立．
[辨析] 错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0．”结论反设不当致误 典例 5[正解] 证法1：假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a<0，则由abc>0，得bc<0，由a＋b＋c>0得，b＋c>－a>0，
∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc<0，这与已知ab＋bc＋ac>0矛盾．
又若a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾．
故“a≤0”不成立，∴a>0，
同理可证b>0，c>0．
证法2：假设a、b、c是不全为正的实数，由于abc>0，所以a、b、c中只能是两负一正，不妨设a<0，b<0，c>0，
∵ab＋bc＋ac>0，∴a(b＋c)＋bc>0，
∵bc<0，∴a(b＋c)>0，
∵a<0，∴b＋c<0，∴a＋b＋c<0，这与a＋b＋c>0矛盾，故假设不成立，原结论成立．
即a，b，c全为正实数．[点评] 含“至多”、“至少”、“唯一”等的结论，或以否定形式给出的结论，常用反证法证明．证明的第一步是写出结论的否定，否定一定要准确，证明时要将全部可能情形一一推证．1．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aC．a＝b D．a≥b
[解析] “a>b”的对立面为“a≤b”．
2．“实数a，b，c不全为0”等价于( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
[解析] “不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．BDB 课件40张PPT。第二章推理与证明2．2 直接证明与间接证明2．3 数学归纳法自主预习学案
数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．
②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明______________________．当n＝k＋1时命题也成立 1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( )
A．1 B．1＋3
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
[解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3．故应选C．CB B 互动探究学案命题方向1 ?数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式 典例 1『规律总结』 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．C B 命题方向2 ?用数学归纳法证明不等式 典例 2『规律总结』 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：
(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．
(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．命题方向3 ?用数学归纳法证明整除问题 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R．
[思路分析] 证明整除性问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得以解决．
[证明] (1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1．
由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．
由(1)、(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．典例 3『规律总结』 用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除．其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决．
利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k＋1)能被p整除，也可运用结论：若P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．或利用“∵P(k)能被P整除，∴存在整式q(k)，使P(k)＝P·q(k)”，将P(k＋1)变形转化分解因式产生因式p．例如本题中，在推证n＝k＋1命题也成立时，可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设n＝k时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)(q(a)为多项式)，
所以(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1，
所以n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1
＝ak＋2＋(a＋1)2(a＋1)2k－1
＝ak＋2＋(a＋1)2[(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1]
＝ak＋2＋(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－(a＋1)2ak＋1
＝(a＋1)2(a2＋a＋1)q(a)－ak＋1(a2＋a＋1)，
显然能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时，命题亦成立．〔跟踪练习3〕
求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．
[证明] (1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除．
(2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1，则当n＝2k＋1时，
x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1，
∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)，
又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1，∴(x＋y)能整除x2k＋1＋y2k＋1．
由(1)、(2)可知当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．由已知条件首先计算数列{an}的前几项的值，根据前几项的特点，猜想出数列{an}的通项公式或递推公式，利用数学归纳法加以证明是求数列通项的一种常见的方法．归纳——猜想——证明 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1,2,3，…)．
(1)求a1，a2；
(2)求{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．典例 4『规律总结』 数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意自然数n都成立的一般性命题．解题一般分三步进行：
(1)验证P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，…；
(2)提出猜想；
(3)用数学归纳法证明．〔跟踪练习4〕
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ>0．
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
[解析] (1)由an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n，
将a1＝2代入，得a2＝λa1＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋4；
将a2＝λ2＋4代入，得a3＝λa2＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋8；
将a3＝2λ3＋8代入，得a4＝λa3＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋16．(2)由a2，a3，a4，对{an}的通项公式作出猜想：an＝(n－1)λn＋2n．
证明如下：
①当n＝1时，a1＝2＝(1－1)λ1＋21成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＝(k－1)λk＋2k，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝(k－1)λk＋1＋λ2k＋λk＋1＋(2－λ)2k
＝kλk＋1＋2k＋1
＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1．
由此可知，当n＝k＋1时，ak＋1＝[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1也成立．
由①②可知，an＝(n－1)λn＋2n对任意n∈N*都成立． 数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N＋)．未用归纳假设而致误 典例 5[辨析] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．
[正解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；
(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，
那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N＋都成立．
[点评] 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．1．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N＋)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
[解析] 若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．
它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．C课件42张PPT。第二章推理与证明章末整合提升知 识 网 络专 题 突 破专题一 ?合情推理与演绎推理 1．合情推理分为归纳推理和类比推理，是基本的分析和解决问题的方法．合情推理是合乎情理的推理，通过归纳、猜测发现结论，为解决问题提供了思路和方向．归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．
2．演绎推理
演绎推理是数学证明中的基本推理形式，“三段论”是演绎推理的一般模式．
3．近几年高考对推理的考查：
(1)以选择题、填空题的形式考查合情推理；
(2)以选择题或解答题的形式考查演绎推理；
(3)题目难度不大，多以中低档题为主．典例 1 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1024
C．1225 D．1378C『规律方法』 三段论的推理依据：三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S的所有元素都具有性质P．三段论推理中包含三个判断：第一个判断叫大前提，第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．专题二 ?直接证明 综合与分析法是证明命题的两种最基本、最常用的直接证明方法．综合法常用于由已知推论较易找到思路时；分析法常用于条件复杂、思考方向不明确且用综合法较难证明时．单纯应用分析法证明并不多见，常常是用分析法寻找思路，用综合法表述过程．因此在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用．本考点在高考中每年都要涉及，主要以考查直接证明中的综合法为主．典例 2专题三 ?用反证法证题 反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”“至少”等字样的命题时，正面证明往往较难，此时可考虑反证法，即“正难则反”．典例 3 已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2．求证a，b中至少有一个是非负数．
[分析] 假设 a＜0，b＜0，则a＋b＜0，又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立．
[解析] 假设a，b中没有一个是非负数，即a＜0，b＜0，所以 a＋b＜0．
又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
所以，a，b中至少有一个是非负数．『规律方法』 用反证法证明问题时要注意以下三点
(1)必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，都不是反证法．
(2)反证法必须从否定结论进行推证，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．专题四 ?用数学归纳法解题 数学归纳法是一种证明方法，可以证明与正整数有关的命题，如恒等式、不等式、几何问题以及整除问题等．高考数学归纳法的考查，一般以数列为背景，涉及等式、不等式等问题，归纳—猜想—证明是解决此问题的通法．典例 4 在数列{an}与{bn}中，a1＝1，b1＝4，数列{an}的前n项和Sn满足nSn＋1－(n＋3)Sn＝0,2an＋1为bn与bn＋1的等比中项，n∈N*．
(1)求a2，b2的值；
(2)求数列{an}与{bn}的通项公式．
[解析] (1)由题设有a1＋a2－4a1＝0，a1＝1，
解得a2＝3．
由题设又有4a＝b2b1，b1＝4，
解得b2＝9．『规律方法』 数学归纳法的主要思想：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基；第二步是递推的依据，也叫归纳递推．在这一步中归纳假设必须用上，否则就不是数学归纳法．专题五 ?转化与化归思想 转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归．转化与化归是数学思想方法的灵魂．在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化；数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化；反证法体现的是对立与统一的转化．典例 5『规律方法』 (1)归纳推理是从特殊到一般，从部分到整体的推理，在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系．
(2)归纳推理得到的结论未必正确，还需检验和证明，有时要用到三段论．专题五 ?分类讨论思想 分类讨论思想在本章的证明问题中，无论是直接法还是间接法，都有所体现．如用反证法证明命题时，若结论的反面情况不唯一时，则必须采用分类讨论的方法对反面情况逐一否定，才能使问题得以证明． 已知平面上有四个点A，B，C，D，任何三点都不共线，求证以每三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[分析] 分别对第四个顶点在前三个顶点确定的三角形内、外两种情形进行讨论．
[解析] 假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，考虑点D在△ABC内、外两种情形．
①如图(1)所示，点D在△ABC内．典例 6『规律方法』 利用反证法证明时，若否定结论后出现多种情况，则需要分类讨论，记得最后下结论时，说明上述情况均矛盾，故假设不成立，原结论成立．一、选择题
1．异面直线在同一平面内的射影不可能是( )
A．两条平行直线 B．两条相交直线
C．一点与一直线 D．同一条直线
[解析] 若两条直线在同一平面的射影是同一直线，则这两条直线的位置关系为平行或相交或重合，这均与异面矛盾，故异面直线在同一平面内的射影不可能为一条直线．故应选D．DC A C 二、填空题
5．根据下面一组等式
S1＝1，
S2＝2＋3＝5，
S3＝4＋5＋6＝15，
S4＝7＋8＋9＋10＝34，
S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，
S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，
S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175，
…
可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝____．n4 [解析] 根据所给等式组，不难看出：S1＝1＝14；
S1＋S3＝1＋15＝16＝24；
S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34，
S1＋S3＋S5＋S7＝1＋15＋65＋175＝256＝44，
由此可得S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4．＞
