课件36张PPT。第一章导数及其应用为了刻画现实世界中运动变化着的现象,在数学中引入了函数.随着人们对函数研究的深入,人们在思考:已知物体运动的路程作为时间的函数,在任意时刻的速度与加速度是怎样的一种关系?怎样求任意曲线的切线和曲边形的面积、几何体的体积?怎样研究复杂函数的变化规律?怎样解决生活中的优化问题?……于是,导数与积分应运诞生了,它是数学史上具有划时代意义的伟大创造,是数学史上的里程碑.
当你看到“导数”“积分”这两个名词时,你可能会感到陌生,其实它不过是初中数学的延伸.本章我们将会系统的学习如何用导数工具研究函数的性质,解决生活中的优化问题等一系列问题.
学习本章,要深刻领会以直代曲,无限细分、积分的极限思想,体会用微观驾驭宏观的辩证思维方法,体会构造在研究数学中的作用.1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题自主预习学案
小 1.(2018·凉州区校级期末)在平均变化率的定义中,自变量的增量Δx满足( )
A.Δx<0 B.Δx>0
C.Δx=0 D.Δx≠0
[解析] 由导数的定义,可得自变量x的增量Δx可以是正数、负数,不可以是0.
故选D.D2.设函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy=( )
A.f(x0+Δx) B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)
[解析] 函数值的改变量Δy是表示函数y=f(x)在x=x0+Δx的函数值与x=x0的函数值之差,因此有Δy=f(x0+Δx)-f(x0).D3.已知函数f(x)=2x2-4的图象上两点A,B,且xA=1,xB=1.1,则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
A.4 B.4x
C.4.2 D.4.02C互动探究学案命题方向1 ?求函数的平均变化率 典例 1
命题方向2 ?平均变化率的应用 典例 2『规律总结』 比较函数平均变化率的大小,可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出,然后进行大小的比较.平均变化率的几何意义 过曲线y=f(x)=x2-x上的两点P(1,0)和Q(1+Δx,Δy)作曲线的割线,已知割线PQ的斜率为2,求Δx的值.典例 3『规律总结』 解决本题的步骤是:首先求出函数值的变化量Δy,然后求出自变量的变化量Δx,最后利用平均变化率即为割线的斜率建立等量关系,利用方程思想求解Δx的值.〔跟踪练习3〕
过曲线f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的斜率. A,B两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W1(t),W2(t)与时间t(天)的关系如图所示,则一定有( )不能正确识图致误 典例 4[错解] 选C.因为在(0,t0)上,W1(t)的图象比W2(t)的图象陡峭,∴在(0,t0)上用电量的平均变化率,A机关单位比B机关单位大.
[辨析] 从图上看,两机关单位在(0,t0)上用电量的平均变化率都取负值.
[正解] 由题可知,A机关单位所对应的图象比较陡峭,B机关单位所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t0]上的平均变化率都小于0,故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好.故选B.
[点评] 识图时,一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系,特别是单调性,增长(减少)的快慢等要弄清.C C 3 课件32张PPT。第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.2 导数的概念自主预习学案
常数 常数 1.已知物体的运动方程是S=-4t2+16t(S的单位为m;t的单位为s),则该物体在t=2s时的瞬时速度为( )
A.3m/s B.2m/s
C.1m/s D.0m/sD2.设f(x)=2ax+4,若f ′(1)=2,则a等于( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1CC 4.由导数的定义可求得,函数f(x)=x2-2x在x=1处的导数f ′(1)=____.0互动探究学案命题方向1 ?瞬时速度 典例 1『规律总结』 求物体在时刻t0的瞬时速度的一般步骤是:首先要求出平均速度,然后求解当时间增量Δt趋近于零时平均速度所趋向的那个定值,这个定值即为物体在t0时刻的瞬时速度.〔跟踪练习1〕
某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t3-2表示,则此物体在t=1s时的瞬时速度(单位:m/s)为( )
A.1 B.3
C.-1 D.0B命题方向2 ?利用定义求函数在某点处的导数 典例 2
〔跟踪练习2〕
函数y=x2+ax+b在点x=x0处的导数为________.2x0+a 求物体的初速度,即求物体在t=0时刻的速度,很容易误认为v0=0,有些函数表达式刻画的直线运动并不一定是由静止开始的直线运动.导数的应用 典例 3『规律总结』 利用导数解决问题的关键是建立数学模型,特别是对有关物理问题一定要将其物理意义与导数联系起来.
由导数的定义知,导数可以描述任何事物的瞬时变化率,它在现实生活中的作用是比较广泛的.不能准确理解导数的概念致误 典例 4[辨析] 错解没有弄明白自变量的增量与函数的增量的含义及对应关系.
当函数增量Δy=f(x0)-f(x0-k)时,自变量的增量Δx=x0-(x0-k)=k,而不是-k.1.(2017·杭州高二检测)设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为( )
A.2.1 B.1.1
C.2 D.0A2.(2018·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( )
A.-3 B.3
C.6 D.-6
[解析] 令Δt=0,该质点在t=1时的瞬时速度为-6,故选D.DA 4.(2017·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s=3t2+1做直线运动(时间单位:s,位移单位:m),求这辆汽车在t=3s时的瞬时速度.课件49张PPT。第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.3 导数的几何意义自主预习学案
下雨天,当我们将雨伞转动时,伞面边沿的水滴沿着伞的切线方向飞出.实际上物体(看作质点)做曲线运动时,运动方向在不停地变化,其速度方向为质点在其轨迹曲线上的切线方向,我们可以利用导数研究曲线的切线问题.1.曲线的切线:过曲线y=f(x)上一点P作曲线的割线PQ,当Q点沿着曲线无限趋近于P时,若割线PQ趋近于某一确定的直线PT,则这一确定的直线PT称为曲线y=f(x)在点P的________.切线 切线的斜率 瞬时速度 1.曲线y=x2在点P(1,1)处的切线方程为( )
A.y=2x B.y=2x-1
C.y=2x+1 D.y=-2xBB 3.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为3x-y+1=0,则( )
A.f ′(x0)<0 B.f ′(x0)>0
C.f ′(x0)=0 D.f ′(x0)不存在
[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0,f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率,所以f ′(x0)=3.故选B.BB 互动探究学案命题方向1 ?求切线方程 典例 1『规律总结』 1.求曲线在点P(x0,y0)处切线方程的步骤:
(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f ′(x0);
(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f ′(x0)(x-x0);
2.过曲线外的点P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤:
(1)设切点为Q(x0,y0);
(2)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f ′(x0);
(3)利用点Q在曲线上和f ′(x0)=kPQ,解出x0,y0及f ′(x0).
(4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f ′(x0)(x-x0).3.要正确区分曲线y=f(x)在点P处的切线,与过点P的曲线y=f(x)的切线.
求曲线过点P的切线方程时,先验证点P是否在曲线上,再分别按上述1、2求解.
4.f ′(x0)>0时,切线的倾斜角为锐角;f ′(x0)<0时,切线的倾斜角为钝角;f ′(x0)=0时,切线与x轴平行.f(x)在x0处的导数不存在,则切线垂直于x轴或不存在.命题方向2 ?求切点的坐标 典例 2(1,-1) 『规律总结』 切点问题的处理方法
(1)由条件得到直线的倾斜角或斜率,由这些信息得知函数在某点的导数,进而求出点的横坐标.
(2)解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来,如直线的倾斜角和斜率的关系,直线平行或垂直与斜率的关系等.D 命题方向3 ?最值问题 若抛物线y=4x2上的点P到直线y=4x-5的距离最短,求点P的坐标.
[思路分析] 抛物线上到直线y=4x-5的距离最短的点,是平移该直线与抛物线相切时的切点.解答本题可先求导函数,再求P点的坐标.典例 3『规律总结』 求最值问题的基本思路:(1)目标函数法:通过设变量构造目标函数,利用函数求最值;(2)数形结合法:根据问题的几何意义,利用图形的特殊位置求最值. 导数的几何意义的综合运用,主要是依据函数y=f(x)在x=x0处的导数,即曲线f(x)在点x0处的切线的斜率去求切点坐标及切线方程,再利用题中所提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围以及直线间的位置关系等求解相关问题.导数几何意义的综合应用 已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l1,l2的方程;
(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.典例 4『规律总结』 1.导数的几何意义是指:曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率就是函数y=f(x)在x=x0处的导数,而切线的斜率就是切线倾斜角的正切值.
2.运用导数几何意义解决曲线的切线问题时,一定要注意所给的点是否在曲线上,若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处曲线的切线的斜率;若点不在曲线上,则该点的导数值不是切线的斜率.
3.若所给的点不在曲线上,应另设切点,然后利用导数的几何意义建立关于所设切点横坐标的关系式进行求解.B 过曲线y=x3上的点P(1,1)作该曲线的切线,求过点P(1,1)的切线方程.对导数的几何意义理解不够深刻,导致判断错误 典例 5[点评] 错误原因:求曲线上过某点的切线方程时,把该点作了切点,事实上也可能不是切点,甚至即便是切点也可能导数不存在.
纠错心得:函数在某点处可导是曲线在该点存在切线的充分不必要条件,注意“在”和“过”的区别.C C D 课件35张PPT。第一章导数及其应用1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数自主预习学案
凡事皆有规律,导数也不例外,导数应用很广泛,可是用定义求导却比较复杂.本节将学习常用函数的导数公式,熟记常用函数的导数公式,可以让我们在解决导数问题时得心应手.几个常用函数的导数0 1 2x D C 3.(2018·德阳模拟)已知函数f(x)在R上存在导数f′(x),下列关于f(x),f′(x)的描述正确的是( )
A.若f(x)为奇函数,则f′(x)必为奇函数
B.若f(x)为周期函数,则f′(x)必为周期函数
C.若f(x)不为周期函数,则f′(x)必不为周期函数
D.若f(x)为偶函数,则f′(x)必为偶函数B[解析] 对于A:例如:f(x)=x3为奇函数,则f′(x)=3x2,为偶函数,故A错误,
对于B:f(x)是可导函数,则f(x+T)=f(x),两边对x求导得(x+T)′f′(x+T)=f′(x),
f′(x+T)=f′(x),周期为T.故若f(x)为周期函数,则f′(x)必为周期函数,故B正确,
对于C:例如:f(x)=sinx+x不是周期函数,当f′(x)=cosx+1为周期函数,故C错误,
对于D:例如:f(x)=x2为偶函数,则f′(x)=2x为奇函数,故D错误,
故选B.互动探究学案命题方向1 ?利用导数公式求函数的导数典例 1B [思路分析] 利用常用函数的导数公式求导即可.『规律总结』 求基本初等函数的导数
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变化形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导.命题方向2 ?利用常用函数的导数求切线方程 典例 2『规律总结』 常用函数求导数可依据结论直接写出结果, 不必再按定义求解.导数的应用 典例 2『规律总结』 解答此题的关键在于求出以曲线上任意一点为切点的切线方程,而切线斜率易由导数求出. 经过点P(2,8)作曲线y=x3的切线,求切线方程.不能正确理解切点的实质而致误 典例 4[点评] 在求切线方程的过程中,关键是寻找两个条件:一是切点,二是切线的斜率.其中切点又是关键,需要找清切点,如本例中点P(2,8)不一定是切点,做题时要高度关注.B B C 4.(2017·沈阳高二检测)如图所示,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+3是曲线y=f(x)在x=1处的切线,令h(x)=xf(x),h′(x)是h(x)的导函数,求h′(1)的值.[解析] 由题图可知曲线的切线l经过点(1,2),则k+3=2,得k=-1,
即f′(1)=-1,且f(1)=2,
因为h(x)=xf(x),所以h′(x)=f(x)+xf′(x),
则h′(1)=f(1)+f′(1)=2-1=1.课件45张PPT。第一章导数及其应用1.2 导数的计算1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则自主预习学案
1.基本初等函数的导数公式0 -sinx 3.复合函数及其求导法则
(1)复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成______的函数,那么称这个函数为y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作____________.
(2)复合函数的求导法则
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=___________.即y对x的导数等于_________________________的乘积.xy=f(g(x))yu′·ux′ y对u的导数与u对x的导数 1.函数y=(x-a)(x-b)在x=a处的导数为( )
A.ab B.-a(a-b)
C.0 D.a-b
[解析] ∵f(x)=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab
∴f ′(x)=2x-(a+b),
∴f ′(a)=2a-(a+b)=a-b,故应选D.DD 3.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导函数,则g′(3)=( )
A.-1 B.0
C.2 D.4B4.(2018·白银期末)求y=x3+3x2+6x-10的导数y′=_______________.
[解析] 函数的导数为y′=3x2+6x+6,
故答案为3x2+6x+6.3x2+6x+6 互动探究学案命题方向1 ?导数公式的应用 典例 1『规律总结』 1.用导数的定义求导是求导数的基本方法,但运算较繁.利用常用函数的导数公式,可以简化求导过程,降低运算难度.
2.利用导数公式求导,应根据所给问题的特征,恰当地选择求导公式,将题中函数的结构进行调整.如将根式、分式转化为指数式,利用幂函数的求导公式求导.
3.求函数在某点处的导数的步骤:先求导函数,再代入变量的值求导数值.命题方向2 ?导数运算法则的应用 (1)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为____.
(2)求下列函数的导数:
①y=xex;典例 23命题方向3 ?复合函数的导数 (1)(2018·黄山高二检测)函数f(x)=(2x+1)2在x=1处的导数值是( )
A.6 B.8
C.10 D.12典例 3D[思路分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键,解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数,再运用复合函数求导法则.『规律总结』 1.求复合函数的导数的步骤
2.求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数.
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求层,这是求复合函数导数时的易错点.
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理,使导数式尽量简洁.灵活运用导数的运算法则,求解复合函数的导数,或与其他知识结合解决相关问题;利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题.综合应用问题 典例 4『规律总结』 1.导数的应用中,求导数是一个基本解题环节,应仔细分析函数解析式的结构特征,根据导数公式及运算法则求导数,不具备导数运算法则的结构形式时,先恒等变形,然后分析题目特点,探寻条件与结论的联系,选择解题途径.
2.求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解.A -4,12 3 在对复合函数求导时,恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键.一般从最外层开始,由外及里,一层层地求导,最后要把中间变量变成自变量的函数.对复合函数的求导不完全而致误 函数y=xe1-2x的导数为__________________.
[错解] y′=e1-2x+x(e1-2x)′=e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x.
[正解] y′=e1-2x+x(e1-2x)′=e1-2x+xe1-2x(1-2x)′=e1-2x+xe1-2x·(-2)=(1-2x)e1-2x.
[点评] 错解中对e1-2x求导数,没有按照复合函数的求导法则进行,导致求导不完全.典例 5D D 1 课件41张PPT。第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数自主预习学案
1.函数的单调性与导函数正负的关系
由导数的几何意义可知,函数f(x)在x0的导数f ′(x0)即f(x)的图象在点(x0,f(x0))的切线的斜率.在x=x0处f ′(x0)>0,则切线的斜率k=f ′(x0)>0,若在区间(a,b)内每一点(x0,f(x0))都有f ′(x0)________0,则曲线在该区间内是上升的.反之若在区间(a,b)内,f ′(x)________0,则曲线在该区间内是下降的.
由此我们得出:
设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,
(1)如果在区间(a,b)内,f ′(x)>0,则f(x)在此区间单调________;
(2)如果在区间(a,b)内,f ′(x)<0,则f(x)在此区间内单调________.><递增 递减 2.函数的变化快慢与导数的关系
如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么这个函数在这个范围内变化较________,其图象比较________.即|f ′(x)|越大,则函数f(x)的切线的斜率越大,函数f(x)的变化率就越大.快陡峭 1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
[解析] ∵f(x)=(x-3)ex,
∴f ′(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,
由f ′(x)>0得x>2,∴选D.D2.(2017·德州高二检测)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )AD C 互动探究学案命题方向1 ?利用导数研究函数的单调性 典例 1D 『规律总结』 1.函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数,要重点考查其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减.
(2)对于导函数,则应考查其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.
2.利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数f(x)的导数f′(x):(1)若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;(2)若f′(x)<0,则y=f(x)在(a,b)上单调递减;(3)若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.〔跟踪练习1〕
(1)(2017·石家庄高二检测)已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )C命题方向2 ?求函数的单调区间 典例 2『规律总结』 1.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f ′(x);
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0;
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
2.若y=f(x)在(a,b)内可导,f ′(x)≥0或f ′(x)≤0且y=f(x)在(a,b)内导数为0的点仅有有限个,则y=f(x)在(a,b)内仍是单调函数,例如:y=x3在R上f ′(x)≥0,所以y=x3在R上单调递增.〔跟踪练习2〕
(1)(2016·郑州高二检测)函数f(x)=ex-x的单调递增区间是( )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,+∞)
(2)求下列函数的单调区间.
①f(x)=x3-2x2+x.②f(x)=3x2-2lnx.D命题方向3 ?已知函数的单调性,确定参数的取值范围 典例 3『规律总结』 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f ′(x)≥0(或f ′(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时是否满足题意.
(2)先令f ′(x)>0(或f ′(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.
2.恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.〔跟踪练习3〕
(2017·湖北重点中学联考)设函数f(x)=xekx(k≠0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求k的取值范围.转化思想的应用——构造法证明不等式 典例 4『规律总结』 若证明不等式f(x)>g(x),x∈(a,b),可以转化为证明:f(x)-g(x)>0.如果[f(x)-g(x)]′>0,说明函数F(x)=f(x)-g(x)在(a,b)上是增函数.若F(x)=f(x)-g(x)是增函数,f(a)-g(a)>0,当x∈(a,b)时,f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x).D 在解题中,常常会将必要条件作充分条件或将既不充分也不必要条件作充要条件使用而致误,这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性.因忽视条件的前提而致误 典例 51.(2018·上城区校级模拟)定义在R上的可导函数f(x),已知y=ef′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的增区间是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,2)
C.(0,1) D.(1,2) B[解析] 由题意如图f′(x)≥0的区间是(-∞,2)
故函数y=f(x)的增区间为(-∞,2)
故选B.
C D [-1,1] 课件45张PPT。第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.2 函数的极值与导数自主预习学案
1.如图是函数y=f(x)的图象,在x=a邻近的左侧f(x)单调递增,f ′(x)________0,右侧f(x)单调递减,f ′(x)________0,在x=a邻近的函数值都比f(a)小,且f ′(a)________0.在x=b邻近情形恰好相反,图形上与a类似的点还有________,(e,f(e)),与b类似的点还有________.
我们把点a叫做函数f(x)的极________值点,f(a)是函数的一个极________值;把点b叫做函数f(x)的极________值点,f(b)是函数的一个极________值.><=(c,f(c)) (d,f(d)) 大大小小1.下列四个函数:①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|;④y=2x.在x=0处取得极小值的函数是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①③
[解析] ①y=x3在R上单调递增,无极值;
②y=x2+1在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故②正确;
③y=|x|在(-∞,0)上单调递减在(0,+∞)上单调递增,故③正确;
④y=2x在R上单调递增,故④不正确.
∴选B.BC 4.求下列函数的极值.
(1)f(x)=x3-12x;
(2)f(x)=x2e-x.
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R.
f ′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).
令f ′(x)=0,得x=-2或x=2.当x变化时,f ′(x),f(x)变化状态如下表:
从表中可以看出,当x=-2时,函数有极大值16.
当x=2时,函数有极小值-16.(2)函数的定义域为R.
f ′(x)=2xe-x-x2·e-x=x(2-x)e-x.
令f ′(x)=0,得x=0或x=2.
当x变化时,f ′(x),f(x)变化状态如下表:互动探究学案命题方向1 ?利用导数求函数的极值 典例 1『规律总结』 利用导数求函数极值的步骤:
(1)确定函数的定义域.
(2)求导数f ′(x).
(3)解方程f ′(x)=0得方程的根.
(4)利用方程f ′(x)=0的根将定义域分成若干个小开区间,列表,判定导函数在各个小开区间的符号.
(5)确定函数的极值,如果f ′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正),则f(x)在x0处取得极大(小)值.C 命题方向2 ?求参数的值或取值范围问题 已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1处的极大值为4,极小值为0,试确定a、b、c的值.
[思路分析] 本题的关键是理解“f(x)在x=±1处的极大值为4,极小值为0”的含义.即x=±1是方程f ′(x)=0的两个根且在根x=±1处f ′(x)取值左、右异号.典例 2[解析] f ′(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b).
由题意,f ′(x)=0应有根x=±1,故5a=3b,
于是f ′(x)=5ax2(x2-1)
(1)当a>0时,x变化时,y、y′的变化情况如下表:『规律总结』 已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,注意以下两点:
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.〔跟踪练习2〕
(1)已知函数f(x)的导数f ′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处取到极大值,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(0,1) D.(-1,0)DC 命题方向3 ?图象信息问题 下图是函数y=f(x)的导函数y=f ′(x)的图象,对此图象,有如下结论:
①在区间(-2,1)内f(x)是增函数;
②在区间(1,3)内f(x)是减函数;
③x=2时,f(x)取到极大值;
④在x=3时,f(x)取到极小值.
其中正确的是________(将你认为正确的序号填在横线上).
[思路分析] 给出了y=f ′(x)的图象,应观察图象找出使f ′(x)>0与f ′(x)<0的x的取值范围,并区分f ′(x)的符号由正到负和由负到正,再做判断.典例 3③『规律总结』 有关给出图象研究函数性质的题目,要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象,若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点,如果给的是f ′(x)的图象,应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正,然后结合题目特点分析求解. 〔跟踪练习3〕
设函数f(x)在R上可导,其导函数为f ′(x),且函数y=(1-x)f ′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
[解析] 由函数的图象可知,f ′(-2)=0,f ′(1)=0,f ′(2)=0,并且当x<-2时,f ′(x)>0,当-2<x<1,f ′(x)<0,函数f(x)有极大值f(-2).
又当1<x<2时,f ′(x)<0,当x>2时,f ′(x)>0,故函数f(x)有极小值f(2).故选D.D在函数的综合问题中,涉及方程的根的个数时,常以函数极值为工具,并用数形结合来判断方程根的个数或已知方程根的个数来确定字母参数的取值范围.有关函数极值的综合应用 典例 4『规律总结』 函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点,求方程根的个数等问题时,往往先构造函数,利用极值,并结合图象来解决.〔跟踪练习4〕
设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(1)求f(x)的极值;
(2)当a在什么范围内取值时,曲线f(x)与x轴有且只有一个交点?当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数a、b的值.注意极大值点与极小值点的区别 典例 5[辨析] 根据极值定义,函数先减后增为极小值,函数先增后减为极大值,上述解法未验证x=-1时函数两侧的单调性,导致错误.[警示] f(x)在x=x0处有极值时,一定有f ′(x0)=0,f(x0)可能为极大值,也可能为极小值,应检验f(x)在x=x0两侧的符号后才可下结论;若f ′(x0)=0,则f(x)未必在x=x0处取得极值,只有确认x1
A.无极大值点,有四个极小值点
B.有三个极大值点,两个极小值点
C.有两个极大值点,两个极小值点
D.有四个极大值点,无极小值点
[解析] f ′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值,f ′(x)的符号由负变正,则f(x0)是极小值.由图象易知有两个极大值点,两个极小值点.CA 3 4.(2018·全国卷Ⅰ文,21(1))已知函数f(x)=aex-ln x-1.设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间.课件41张PPT。第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.3 函数的最大(小)值与导数自主预习学案
1.函数y=f(x)在闭区间[a,b]上取得最值的条件
如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是________________的曲线,那么它必有最大值和最小值.
2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y=f(x)在________内的极值.
(2)将函数y=f(x)的________与端点处的__________________比较,其中________的一个是最大值,________的一个是最小值.一条连续不断 (a,b) 各极值 函数值f(a),f(b) 最大 最小 1.若函数f(x)=-x4+2x2+3,则f(x)( )
A.最大值为4,最小值为-4
B.最大值为4,无最小值
C.最小值为-4,无最大值
D.既无最大值,也无最小值
[解析] f ′(x)=-4x3+4x,
由f ′(x)=0得x=±1或x=0.
易知f(-1)=f(1)=4为极大值也是最大值,故应选B.BA 3.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m=____32____.
[解析] 令f ′(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2,
列表得:4.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是____________.(-4,-2) 互动探究学案命题方向1 ?求函数的最值典例 1C 『规律总结』 求函数最值的四个步骤:第一步求函数的定义域;第二步求f′(x),解方程f′(x)=0;第三步列出关于x,f(x),f′(x)的变化表;第四步求极值、端点值,确定最值.
特别警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.〔跟踪练习1〕
(2018·青岛高二检测)已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).若f′(-1)=0.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值.命题方向2 ?含参数的函数最值问题 设函数f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点,求a的取值范围;
(3)若对任意的a∈[3,6],不等式f(x)≤1在x∈[-2,2]上恒成立,求m的取值范围.
[思路分析] (1)求f(x)的单调区间,可解不等式f ′(x)≥0,f ′(x)≤0,由于f(x)表达式中含参数,故需注意是否需要分类讨论;(2)f(x)在x∈[-1,1]内没有极值点的含义是f ′(x)=0在[-1,1]内没有实数根,故f(x)在[-1,1]内单调;(3)f(x)≤1在[-2,2]内恒成立,则f(x)在[-2,2]内的最大值≤1.典例 2『规律总结』 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故含参数时,需注意是否分类讨论.
2.已知函数最值求参数,可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值,通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值,结合已知求出参数,进而使问题得以解决.〔跟踪练习2〕
(2018·成都高二检测)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…为自然对数的底数.设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.函数最值的应用主要体现在解决不等式恒成立时,求参数的取值范围问题,这是一种常见题型,主要应用分离参数法,然后转化为求函数的最值问题,在求最值时,可以借助导数求值.函数最值的综合应用 典例 3[思路分析] 第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值;第(2)小题由h(t)<-2t+m,得h(t)+2t由上表可知当t=1时,g(t)有极大值g(1)=1,
又在定义域(0,2)内,g(t)有唯一的极值点,
∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值g(t)max=1.
h(t)<-2t+m在(0,2)内恒成立,
即g(t)当且仅当g(t)max=11时上式成立,
∴实数m的取值范围是(1,+∞).『规律总结』 将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易.
一般地,若不等式a≥f(x)恒成立,a的取值范围是a≥[f(x)]max;若不等式a≤f(x)恒成立,则a的取值范围是a≤[f(x)]min.没有准确把握条件致误 典例 4[点评] 由直线与曲线相切的定义知,直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义,当l与C切于点P时,不能保证l与C无其它公共点,有可能还有其它切点,也有可能还有其它交点.1.函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是( )
A.12;-8 B.1;-8
C.12;-15 D.5;-16
[解析] y′=6x2-6x-12,由y′=0?x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1;x=-1时y=12;x=1时y=-8.
∴ymax=12,ymin=-8.故选A.AC 4.已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值为c-16.
(1)求a、b的值;
(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.课件55张PPT。第一章导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例自主预习学案
1.在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中________的取值范围.
2.实际优化问题中,若只有一个极值点,则极值就是________.
3.解决优化问题的基本思路:自变量最值C C 3.从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,做成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为________cm3.144 2.4 m 互动探究学案命题方向1 ?面积、容积最大问题典例 1[思路分析] 设截下的小正方形边长为x,用x表示出长方体的边长,根据题意列出关系式,然后利用导数求最值.『规律总结』 面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验.〔跟踪练习1〕
(2017·临沂高二检测)如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小? 命题方向2 ?利润最大问题典例 2『规律总结』 利润最大、效率最高等实际问题,关键是弄清问题的实际背景,将实际问题用函数关系表达,再求解.令y′=0,得x1=1000,x2=-1000(舍去).
当在x=1000附近左侧时,y′<0;
在x=1000附近右侧时,y′>0;
故当x=1000时,y取得极小值.
由于函数只有一个极小值点,那么函数在该点取得最小值,因此要使平均成本最低,应生产1000件产品.命题方向3 ?费用(用料)最省问题 有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?
[思路分析] 设出CD的长为x,进而求出AC、BC,然后将总费用表示为变量x的函数,转化为求函数的最值问题.典例 3『规律总结』 用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关,解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手),将这一指标表示为关于自变量x的函数,利用导数或其他方法求出最值,但一定要注意自变量的取值范围.在解决生活中遇到的优化问题时,基本不等式在解决此类问题中有广泛的应用.利用基本不等式求最值时,必须注意使用的前提以及等号成立的条件成立,否则易犯错误,注意f′(x0)=0的x0是否在定义域内,从而进行分类讨论.利用基本不等式处理优化问题 某船由甲地逆水行驶至乙地,甲、乙两地相距s(km),水的流速为常量a(km/h),船在静水中的最大速度为b(km/h)(b>a),已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比,比例系数为k,问:船在静水中的航行速度为多少时,其全程的燃料费用最省?典例 4〔跟踪练习4〕
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m2,中间两道隔墙建造单价为248元/m2,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.
?(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元.
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?含参数的函数求最值时,注意极值与参数取值的关系 典例 5[点评] 若函数f(x)的解析式或定义域中含有参数,参数的取值可能引起函数最值的变化,这时要注意分类讨论.D A 3.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为( )
A.32 16 B.30 15
C.40 20 D.36 18A4.如图将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,|AB|=3m,|AD|=2m.课件42张PPT。第一章导数及其应用1.5 定积分的概念第1课时 曲边梯形的面积与汽车行驶的路程自主预习学案
1.连续函数
如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线,那么就把它称为区间I上的________函数.
2.曲边梯形的面积
(1)曲边梯形:由直线x=a、x=b(a≠b)、y=0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图①).
(2)求曲边梯形面积的方法与步骤:
①分割:把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些___________(如图②);连续 y=f(x) 小曲边梯形 ②近似代替:对每个小曲边梯形“________”,即用________的面积近似代替小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯形面积的________(如图②);
③求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________;④取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面积之和趋向一个________,即为曲边梯形的面积.以直代曲矩形近似值求和定值3.求变速直线运动的路程
如果物体做变速直线运动,速度函数为v=v(t),那么也可以采用________、________、________、________的方法,求出它在a≤t≤b内所作的位移s.分割近似代替求和取极限D D C 4.已知自由落体的运动速度v=gt(g为常数),求在时间区间[0,t]内物体下落的距离.互动探究学案命题方向1 ?求曲边梯形的面积 典例 1(3)求和:因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值,所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值,即
命题方向2 ?求变速运动的路程 已知某运动物体做变速直线运动,它的速度v是时间t的函数v(t),求物体在t=0到t=t0这段时间内所经过的路程s.典例 2『规律总结』 求变速直线运动的路程问题,方法和步骤类似于求曲边梯形的面积,仍然利用以直代曲的思想,将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题,求解过程为:分割、近似代替、求和、取极限.〔跟踪练习2〕
汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程s=vt.如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为v(t)=t2+2(单位:km/h),那么它在1≤t≤2(单位:h)这段时间行驶的路程是多少? 弹簧在拉伸过程中,力与伸长量成正比,即F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),求弹簧从平衡拉置拉长b所做的功.
[思路分析] 利用定积分的定义求解.利用定积分定义求变力做的功 典例 3『规律总结』 分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形的面积,但这是近似值,分割得越细,近似程度就会越好,这是“以直代曲”方法的应用. 求由抛物线y=2x2与直线x=0,x=t(t>0),y=0所围成的曲边梯形的面积时,将区间[0,t]等分成n个小区间,则第i-1个区间为( )搞错区间端点致误 典例 4C 0.33 课件43张PPT。第一章导数及其应用1.5 定积分的概念第2课时 定积分的概念自主预习学案
定积分 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 积分变量 被积式 f(x)≥0 直线x=a,x=b(a≠b) 曲线y=f(x) 定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性,其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和.1.求由曲线y=ex,直线x=2,y=1围成的图形的面积时,若选择x为积分变量,则积分区间为( )
A.[0,e2] B.[0,2]
C.[1,2] D.[0,1]BC C > < < 互动探究学案命题方向1 ?定积分的定义 典例 1
A 命题方向2 ?定积分的几何意义典例 2『规律总结』 若函数f(x)的图象是某些特殊的图形,其面积运用几何方法容易求解,求定积分时还可以利用几何意义求解.16 命题方向3 ?定积分的性质 典例 3[解析] (1)如图,『规律总结』 利用定积分的性质求定积分的策略
(1)利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,先把每一个积分求出,再求定积分的值.
(2)求分段函数的定积分,可先把每一段的定积分求出后再相加.
(3)注意函数f(x)奇偶性、对称性的利用.B 定积分的性质主要涉及定积分的线性运算,这是解决定积分计算问题的重要工具,注意这些性质的正确和逆用及变形应用.主要考查定积分表示平面图形的面积.利用定积分求平面图形的面积 典例 4『规律总结』 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是:
(1)准确画出各曲线围成的平面区域;
(2)把平面区域分割成容易表示的几部分,同时要注意x轴下方有没有区域;
(3)解由曲线方程组成的方程组,确定积分的上、下限;
(4)根据定积分的性质写出结果. 由y=cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积,利用定积分应表示为________________.错用定积分的几何意义致误 典例 5B C C 课件35张PPT。第一章导数及其应用1.6 微积分基本定理自主预习学案
连续 f(x) F(b)-F(a) 原函数 原函数 原函数 定义 几何意义 微积分基本定理 -2 1 0 24 互动探究学案命题方向1 ?求定积分 典例 1
命题方向2 ?微积分基本定理的应用典例 23 求分段函数的定积分时,可利用定积分的性质将其表示为几段定积分和的形式;对于带绝对值的解析式,先根据绝对值的意义找到分界点,去掉绝对值号,化为分段函数再求解.求分段函数的定积分 典例 3[思路分析] 解答本题第(1)小题,可按f(x)的分段标准及积分区间将其化为两段积分的和;解答第(2)(3)小题时,可根据绝对值的意义将其转化为分段函数的定积分.
C 3 忽视积分变量致误 典例 4[点评] 解决定积分问题时,一要确定好积分变量,二要清楚积分上、下限,三要明确积分的几何意义,注意积分与平面图形面积的区别与联系,四要会用导数方法寻找原函数,五要用好积分性质和微积分基本定理.B 2 1 课件45张PPT。第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用自主预习学案
1.求平面图形的面积
(1)求由一条曲线y=f(x)和直线x=a、x=b(a(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象.
(2)将平面图形分割成曲边梯形,并分清在x轴上方与下方的部分.
(3)借助图形确定出被积函数.
(4)求出交点坐标,确定积分的上、下限.
(5)求出各部分的定积分,并将面积表达为定积分的代数和(定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正),求出面积.B 命题方向2 ?分割型平面图形面积的求解 典例 2『规律总结』 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化,通过解方程组求出曲线的各交点坐标,可以将积分区间细化区段,然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和,在每个区段上被积函数均是由上减下;若积分变量选取x运算较为复杂,可以选y为积分变量,同时更改积分的上下限为y的对应值.被积函数也相应的改变.命题方向3 ?变速直线运动的路程、位移问题 有一动点P从原点出发沿x轴运动,在时刻为t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求
(1)t=6时,点P离开原点后运动的路程和点P的位移;
(2)经过时间t后又返回原点时的t值.典例 3
2.用定积分解决简单的物理问题,关键是要结合物理学中相关的内容,将物理问题转化为定积分解决.用定积分解决此类变力问题,要明确变力是在其方向上的位移之和,再用定积分求解.求变力做功 典例 4
〔跟踪练习4〕
设有一长25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30 cm,求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功. 由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及y=0所围成图形的面积为( )被积函数和积分上下限确定不准致误 典例 5[点评] 用定积分求较复杂的平面图形的面积时,一要根据图形确定x还是y作为积分变量,同时,由曲线交点确定好积分上、下限;二要依据积分变量确定好被积函数,积分变量为x时,围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数,积分变量为y时,围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数;三要找准原函数.C C 课件59张PPT。第一章导数及其应用章末整合提升知 识 网 络专 题 突 破专题一 ?利用导数的几何意义解题 导数的概念、运算及导数的几何意义等基础知识,是高考的必考内容,难度位于中低档.典例 1『规律方法』 如何求方程x3-3a3x+2a3=0的根是解决该题第二问的关键.事实上,x3-3a2x+2a3=0可化为(x3-a2x)-(2a2x-2a3)=0,进而化为x(x2-a2)-2a2(x-a)=0.然后通过分解因式解决.专题二 ?导数的应用 1.导数作为工具,应用较为广泛,特别是在研究函数单调性、极值、最值等方面发挥着重要的作用.典例 2『规律方法』 研究函数的单调性等问题不可忽视定义域;另外注意分类讨论思想的运用.典例 3 设函数f(x)=ex-e-x.
(1)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;
(2)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.『规律方法』 结合函数的单调性、极值及最值,将参数置身于题目之中,参透分类讨论、数形结合等数学思想方法.一直是高考的热点问题.其中恒成立问题是常见的问题之一,在解决恒成立问题时,一般是构造函数、数形结合或分离参数,过程要注意树立主元意识.
2.利用导数处理方程的根
以导数为工具画出函数的大致图象,进而利用数形结合思想、函数方程思想处理方程的根的问题在近几年高考题中已出现,并有创新.典例 4典例 5『规律方法』 利用导数来判断函数的单调性,确定单调区间,通过函数的极值、最值来解决恒成立问题.专题三 ?导数在实际问题中的应用 从数学角度反映实际问题,建立数学模型,转化为函数最值问题,再利用导数解决,从而进一步地解决实际问题是高考提出的能力要求.典例 6『规律方法』 要理解实际问题中导数的意义,首先要掌握导数的定义域,然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义.专题四 ?定积分的应用 典例 7专题五 ?函数思想与方程思想 函数思想是用运动和变化的观点、集合和对应的思想来分析和研究数学问题中的数量关系,先建立函数关系或构造函数,再利用函数的图象和性质来分析问题、转化问题,从而使问题得到解决,函数思想的精髓就是构造函数.
方程思想可以帮助分析数学问题中变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质来分析、转化问题,从而使问题得到解决.
函数思想与方程思想密切相关,函数关系式可看成方程,某些方程又可看成函数关系式,在解决有关问题时,函数、方程、不等式常相互转化,从另一个角度使问题得到解决.
导函数(即导数本身)就是一种函数,在解决有关导数的问题时,常会用到函数思想与方程思想.典例 8 已知a∈R,讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.于是f′(x)=ex(x-x1)(x-x2).从而有下表:(3)当Δ<0即00,f′(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故f(x)为增函数,此时f(x)无极值.
因此当a>4或a<0时,f(x)有两个极值点,当0≤a≤4时,f(x)无极值点.『规律方法』 可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0的左侧与右侧f′(x)的符号不同,因此当方程有根时,还必须判断方程的根的两侧导数的符号,这是解题时容易忽略的地方.专题六 ?分类讨论思想 分类讨论思想是根据数学中研究对象的本质属性的相同点和不同点,将研究对象分为不同的几类,然后对划分的每一类分别进行研究或求解的思想,它是解答数学问题的重要思想和解题策略之一,它可以使原本不确定的问题条理化、系统化、明确化.典例9『规律方法』 如果我们面临的数学问题不能用统一的形式解决,或者因为一种形式无法进行概括时,这时分类讨论就顺理成章了,分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,对于每一类情况都要给出解答.分类讨论思想的一般步骤是:(1)确定标准;(2)恰当地分类;(3)逐类讨论;(4)归纳结论.本章中的题型,如求单调区间、求参数的范围、求极值、最值以及恒成立问题时,都要用到分类讨论思想.数形结合思想是一个重要的数学思想,也是一种常见的数学方法.一般来说,“形”具有形象、直观的特点,易于从整体上定性地分析问题,“数形对照”便于寻求思路、化难为易;“数”则具有严谨、准确的特点,能够进行严格的论证和定理求解.“由数想形”可以弥补“形”难以精确的弊端,恰当地应用数形结合思想可以提高解题的速度,优化解题过程,这正如著名数学家华罗庚先生所说:“数缺形时少直观,形少数时难入微”.
本章的数形结合思想体现很多,如导数的几何意义、函数的单调性、极值方程中根的研究、定积分的计算等.专题七 ?数形结合思想 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值5,其导函数y=f′(x)的图像经过点(1,0),(2,0).如图所示.
(1)求x0的值;
(2)求a,b,c的值.
[分析] 由导函数的图象判断函数f(x)的单调性,从而确定极值点.典例10所谓转化与化归就是在处理问题时,把待解决的问题或难解决的问题,通过某种转化过程,归结为一类已解决或易解的问题,最终使问题得到解决.可以说数学解题就是转化问题,每一个数学问题无不是在不断地转化中获得解决的,即使是数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想也都是转化与化归思想的表现形式.专题八 ?转化与化归思想 已知f(x)在定义域(-1,1)内可导,且f′(x)<0,又当a,b∈(-1,1),且a+b=0时,f(a)+f(b)=0,解不等式f(1-m)+f(1-m2)>0.
[分析] 本题是一个抽象型函数问题,有三个关键点:①在定义域(-1,1)内,由f′(x)<0知f(x)单调递减;②由a,b∈(-1,1),且a+b=0时,f(a)+f(b)=0知f(x)是奇函数;③将f(1-m)+f(1-m2)>0变形后,应用单调性、奇偶性转化为具体的不等式组来求解.典例11『规律方法』 求解抽象函数问题要注意:①不可把抽象函数特殊化,要仔细分析已知条件,不可以主观添加认为成立的条件.②要对已知条件多方面变形使用,借助通用的单调性、奇偶性求解时要符合已知条件.C C C 4.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( B )
A.[3,+∞) B.[-3,+∞)
C.(-3,+∞) D.(-∞,-3)1