课件39张PPT。第三章三角恒等变换3.1 两角和差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式自主预习学案
两角差的余弦公式
(1)cos(α－β)＝_____________________________．
(2)此公式简记作C(α－β)．cosαcosβ＋sinα·sinβ
(3)公式的“活”用：
公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如
cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．
②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．D B C 互动探究学案命题方向1 ?两角差的余弦公式的正用和逆用[思路分析] 尝试逆用公式求解，非特殊角转化为特殊角的差，然后正用Cα－β进行求值．典例 1『规律总结』 运用两角差的余弦公式求值的关注点
(1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．命题方向2 ?给值求值典例 2
[思路分析] 观察题意，不难得到β＝(α＋β)－α的关系式，然后利用公式C(α－β)来变形求值．给值求角 典例 3『规律总结』 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．已知三角函数值求角时，忽略角的范围致误 典例 4[错因分析] 错解的原因是忽略了角的范围，误认为α－β是锐角．『规律总结』 对于求角的题，一定要先考虑角的取值范围，这样才不会出错．C C B 4．sin(α－β)sinα＋cos(α－β)cosα＝_________．
[解析] 原式＝cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝cosβ．cosβ 课件36张PPT。第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦自主预习学案
和角、差角公式如下表：sinαcosβ－cosαsinβ
cosαcosβ＋sinαsinβ
sinαcosβ＋cosαsinβ
cosαcosβ－sinαsinβ [知识点拨]1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点
(1)公式中的α、β均为任意角．
(2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例．
(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
2．使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ时，不要将sin(α＋β)和cos(α＋β)展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin[(α＋β)－β]＝sinα.这也体现了数学中的整体原则．1．sin(30°＋45°)＝__________．2．cos55°cos5°－sin55°sin5°＝_______．A 4．sin70°sin65°－sin20°sin25°＝__________．互动探究学案命题方向1 ?公式的正用与逆用典例 1『规律总结』 给角求值问题的策略：
解答这类题目一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．命题方向2 ?给值求值[思路分析] (1)先求出cosα，sinβ的值，再代入公式S(α＋β)．
(2)由α、β的范围，确定α－β，α＋β的范围，求出sin(α－β)、cos(α＋β)的值，再由2α＝(α－β)＋(α＋β)变形求值．0 典例 2『规律总结』 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．辅助角公式及其运用 B 典例 3A 由于角的范围过大致误 典例 4
[点评] 此类题目是给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．A
2．下列命题中不正确的是 ( )
A．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C．对于任意的α和β，都有cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ
[解析] 若sinα或sinβ有一个为0，即α＝kπ(k∈Z)或β＝kπ(k∈Z)则有cos(α＋β)＝cosαcosβ，故A、C、D正确，选B．B 3．(2018·全国卷Ⅱ理，15)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．课件42张PPT。第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第2课时 两角和与差的正切自主预习学案
1．公式
tan(α＋β)＝___________________．
tan(α－β)＝___________________．D B 1 互动探究学案命题方向1 ?公式正用典例 1
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：
①由任意角三角函数的定义可求cosα、cosβ；
②α＋2β＝(α＋β)＋β．
解答本题可先由任意角三角函数定义求cosα、cosβ，再求sinα、sinβ，从而求出tanα、tanβ，然后利用公式Tα＋β，求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)得到α＋2β的值．『规律总结』 此类问题的解答首先要注意题目中的隐含条件，比如角的取值范围、三角函数值等；然后要注意寻找题目中各角的关系，比如α＋2β＝(α＋β)＋β等．A C 命题方向2 ?公式的逆用及变形应用[思路分析] 尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．典例 2
典例 3『规律总结』 本题属于开放性问题，需要认真分析条件，对分析问题，解决问题的能力要求较高．〔跟踪练习3〕已知tanα，tanβ都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．忽略角的范围而致误 典例 4[辨析] 没有依据题设条件进一步缩小角α，β的范围，导致2α－β的范围过大而致误．C B A 4．在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC的形状是 ( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定A 课件39张PPT。第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式自主预习学案
二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表2sinαcosα 2cos2α－1 1－2sin2α D C A 互动探究学案命题方向1 ?二倍角公式的正用典例 1『规律总结』 对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．命题方向2 ?二倍角公式的逆用[思路分析] 对于(1)题，72°＝2×36°，应想办法“凑”成二倍角形式；对于(2)题，须先通分，分子引入辅助角后适合两角和的正弦公式，分母恰好也适合二倍角的正弦公式，约分后即可得值．典例 2『规律总结』 (1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察，非特殊角与特殊角总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合倍角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)当公式出现2sinαcosα时，要逆用公式，然后再寻找关系解决．二倍角公式的变形应用 [思路分析] (1)1＋sin8＝sin24＋2sin4cos4＋cos24＝(sin4＋cos4)2,2(1＋cos8)＝4cos24．
(2)连续运用公式：1＋cos2α＝2cos2α．典例 3
〔跟踪练习3〕化简cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)·cos(θ－180°)．典例 4『规律总结』 盲目地运用公式化简函数的解析式，而忽略定义域，是解决与三角函数有关问题的易错点，要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的确定方法，这在第一章中已经详细介绍，此处不再赘述．D D A A 课件41张PPT。第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换第1课时 三角恒等变换自主预习学案变换是生活中的常态，换一个环境，换一种心情，换一个角度，或许就柳暗花明又一村了，我们经常看到的魔术更是如此．可见，变换已深入到我们生活中的每一个角落．
在前面几节的学习中，我们已经领略了三角变换的风采，那么，对于前面学习的和角公式，通过对各公式做加减运算，又能得到什么样的变换呢？sin2x C B B D 互动探究学案命题方向1 ?应用半角公式求值典例 1
命题方向2 ?三角恒等式的证明典例 2『规律总结』 (1)在恒等式的证明中，“化繁为简”是化简一个三角函数式的一般原则，由复杂的一边化到简单的一边，按照目标确定化简思路．如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法．
(2)化简与证明的常用方法：
①“切”化“弦”；
②积化和差，和差化积；
③平方降次；
④异角化同角，异次化同次，异名化同名．辅助角公式的应用 [思路分析] 先将f(x)利用三角恒等变换化为asinx＋bcosx的形式，再利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式典例 3
应用半角公式求值时错用公式 [错解] 选A或选C典例 4『点评』 正确运用半角公式求解问题的两个注意点：
(1)熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提．
(2)应用半角公式求值时，要特别注意根据单角的范围去确定半角三角函数值的符号．－3 D C C A 课件39张PPT。第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换第2课时 三角恒等式的应用自主预习学案
Asin(ωx＋φ) C 2．函数y＝sin2xcos2x的最小值等于________．3．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1的最小正周期是_____，最小值是_______．π 1 互动探究学案命题方向1 ?利用三角恒等变换进行化简证明[思路分析] 本题考查条件恒等式的证明问题，通过“拆并角”变换达到角的统一，再进行证明．典例 1『规律总结』 证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构)，从解决某一差异入手，采用条件转化法或条件代入法．条件转化法就是从已知条件出发，经过恰当的变换，推出被证式，条件代入法就是从已知条件出发，求出被证式中的某一个式子，然后代入被证式，化简证明．命题方向2 ?三角函数变换在三角形中的应用 在△ABC中，cosA＋cosB＝sinC，求证：△ABC是直角三角形．
[思路分析] 本题考查和差化积公式与半角公式在三角形中的应用，已知等式的左边是两个角的余弦的和，可利用和差化积公式，右边可利用二倍角公式展开，化简后再利用半角公式解决．典例 2『规律总结』 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断．本题条件中没有边的相对位置关系，就从角入手，证明有一个角是直角，或者有两个角互余．当然，也可以由正弦值为1或余弦值为0得出结论．命题方向3 ?在实际中的应用用列举法表示集合 要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使长方形截面面积最大？
[思路分析] 用三角函数表示长方形的面积，转化为求三角函数式的最大值．典例 3『规律总结』 本题中，将长方形面积表示为三角函数式，利用三角恒等变换转化为讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最值问题，从而使问题得到简化．这个过程蕴涵了化归思想．〔跟踪练习3〕如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才使△OAB的周长最大？三角变换与向量交汇问题的两种类型 (1)与向量垂直交汇：解答此类问题首先利用向量垂直的充要条件，将已知的向量垂直转化为三角函数问题，再利用三角恒等变换进行求解．
(2)与向量的模交汇：此类题型主要是利用向量模的性质|a|2＝a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法： ①先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；②先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算进行求解．[思路分析] 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(1)问．而第(2)问则可进行角的变换，使用α＝(α－β)＋β，然后只需求sin(α－β)与cosβ即可．典例 4错用两角差的正弦公式 典例 5A C B 2 课件34张PPT。第三章三角恒等变换章末整合提升知 识 网 络专 题 突 破三角函数求值主要有三种类型，即：
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．专题一 ?三角函数的求值[思路分析] 切化弦，然后通分，利用和差公式，约去非特殊角，得到结果．典例 1三角函数式的化简，主要有以下几类：(1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；(2)对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；(3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段，以实现三角函数式的化简．专题二 ?三角函数式的化简典例 2三角函数等式的证明包括无条件三角函数等式的证明和有条件三角函数等式的证明．对于无条件三角函数等式的证明，要认真分析等式两边三角函数式的特点，找出差异，化异角为同角，化异次为同次，化异名为同名，寻找证明的突破口．对于有条件三角函数等式的证明，要认真观察条件式与被证式的区别与联系，灵活使用条件等式，通过代入法、消元法等方法进行证明．专题三 ?三角恒等式的证明典例 3与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．专题四 ?三角恒等变形的综合应用典例 4『规律总结』 1.条件求值时，注意把已知条件和待求式先进行适当变形再求值．
2．求三角函数型复合函数值域问题时，常常化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k形式或y＝A(sinx)2＋B(sinx)＋C形式后再求更好．三角式的恒等变换是解三角函数问题的基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．专题五 ?转化与化归的思想典例 5
一、选择题
1．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosAcosB，则x、y的大小关系为 ( )
A．x≤y B．x>y
C．x
