课件51张PPT。第一章三角函数到过海边的人都知道，海水有涨潮和落潮现象，涨潮时，海水上涨，波浪滚滚，景色十分壮观；退潮时，海水悄然退去，露出一片海滩．在我国，有闻名中外的钱塘江涨潮，当潮流涌来时，潮端陡立，水花四溅，像一道高速推进的直立水墙，形成“滔天浊浪排空来，翻江倒海山为摧”的壮观景象．科学地讲，潮汐是海水在月球和太阳引潮力作用下发生的周期性运动，是海洋中常见的自然现象之一．实际上，现实中的许多运动变化都有着循环反复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性．在唐代诗人王湾的《次北固山下》中有这样的诗句：“客路青山外，行舟绿水前．潮平两岸阔，风正一帆悬 .海日生残夜，江春入旧年．”诗中生动地描述了潮汐运动、昼夜交替的周期性变化规律． 如何用数学的方法来刻画这种周期性的变化规律呢？本章将要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的数学模型．通过本章的学习，我们将知道：三角函数是怎样的一种函数？具有哪些特有的性质？在解决周期性变化规律的问题中能发挥哪些重要作用？1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角自主预习学案
1．任意角的概念
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的表示
如图所示：
①始边：射线的起始位置OA．
②终边：射线的终止位置OB．
③顶点：射线的端点O．
④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．端点 (3)正角、负角、零角逆时针 顺时针 任何旋转 这样，我们就把角的概念推广到任意角，包括正角、负角和零角．
[知识点拨](1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°～360°(0°～360°是指0°≤α<360°)．
(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：
①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．
②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．2．象限角
使角的顶点与________重合，角的始边与______轴的非负半轴重合．那么，角的________(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几__________，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与__________重合．
如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．
[知识点拨]要正确区分锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角．锐角是0°<α<90°的角；0°～90°的角是0°≤α<90°的角；小于90°的角是α<90°的角(包括零角、负角)；第一象限角是{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}所表示的角．这四个概念不能混淆．原点 x 终边 象限角 坐标轴
3．终边相同的角
(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
(2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝_________________，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
α＋k·360°
[知识点拨]理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：
(1)式中角α为任意角；
(2)k∈Z这一条件必不可少；
(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；
(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．
1．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为 ( )
A．120° B．－120°
C．60° D．240°
2．(2018·济南外国语期中)下列各角中，与－1110°的角终边相同的角是
( )
A．60° B．－60°
C．30° D．－30°
[解析] －1110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．A D 3．下列说法正确的是 ( )
A．三角形的内角必为第一、二象限角
B．始边相同而终边不同的角一定不相等
C．第四象限角是负角
D．钝角比第三象限角小
[解析] 对于A，当内角为90°时，不是第一、二象限角；根据角的含义，始边相同终边不同的角一定不相等，故B正确；第四象限角不一定是负角，如330°是第四象限角；又第三象限的角的集合为{α|k·360°＋180°<α
4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是_________．
690° 互动探究学案命题方向1 ?任意角 写出图(1)、(2)中的角α、β、γ的度数．典例 1
[思路分析] 1.弄清角的始边与终边．
2．弄清逆时针还是顺时针．
[解析] 图(1)中，α＝360°－30°＝330°；图(2)中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°；
γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.,
〔跟踪练习1〕如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝__________．
[解析] 由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°．－75° 命题方向2 ?终边相同的角 已知角α＝2 016°．
(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°．
[思路分析] 先求出β，判断角α所在的象限；用终边相同的角表示θ满足的不等关系，求出k和θ．典例 2『规律总结』 1.把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．〔跟踪练习2〕若将例题中“角α＝2 016°”改为“α＝－315°”，其他条件不变，结果如何？命题方向3 ?终边在某条直线上的角的集合 写出终边在如图所示的直线上的角的集合．
[思路分析] 首先确定0°～360°范围内终边在所给直线上的两个角，然后分别写出与两个角终边相同的角的集合，最后写出两个集合的并集即可。典例 3[解析] (1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．
(3)由教材例题知终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合(2)知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．
『规律总结』 求解终边在某条直线上的角的集合的思路
1．若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2．若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
〔跟踪练习3〕若α＝45°＋k·180°(k∈Z)，则α的终边在第几象限( )
A．第一或第三 B．第二或第三
C．第二或第四 D．第三或第四
[解析] 分k为奇数，偶数讨论角α的终边所在象限．A 命题方向4 ?区域角的表示 若角α的终边在下图中阴影所表示的范围内，则α角组成的集合为________________________________________________．
[解析] 在0°～360°范围内，终边落在阴影范围内的角是60°≤α≤150°，故满足条件的角的集合为{α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．{α|k·360°＋60°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z} 典例 4『规律总结』 区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)起始、终止边界对应角α、β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．〔跟踪练习4〕写出图中阴影区域所表示角α的集合(包括边界)．
[解析] (1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}或写成{α|k·180°＋30°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．分角、倍角所在角限的判断思路典例 5[思路分析] 解决这类问题有两种方法：分类讨论或几何法．[解析] ∵α是第一象限角，
∴k·360°<α(1)－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，
∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，
故－α是第四象限角．(2)2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，
∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，
故2α是第一、二象限角或终边落在y轴的非负半轴．
B 集合概念理解错误典例 6[错解] ∵k＝0时，集合A中角α＝±45°，集合B中角β＝45°，∴B?A，故选B．
[辨析] 错解对集合概念理解错误．应从集合中角的终边所在位置随k的变化入手解决，或用列举法解决．
[正解] 当k为偶数时，集合A中角α的终边为一、四象限角的平分线，当k为奇数时，集合A中角α的终边为二、三象限角的平分线，角α的终边如图所示，故可以表示为k·90°＋45°，∴A＝B，故选C．
『规律总结』 (1)可直接用列举法A＝{……－225°，－135°，－45°，45°，135°，225°，……}，B＝{……－135°，－45°，45°，135°，225°，……}，∴A＝B．
(2)可从分析两集合中相等的角入手解决．由k·180°±45°＝n·90°＋45°得，n＝2k或n＝2k－1，∵k∈Z，n∈Z，∴A＝B．〔跟踪练习6〕已知集合A＝{α|k·180°＋30°<α[解析] 如下图所示，A∩B中的角的始边和终边对应30°和45°角的终边，
∴A∩B＝{α|k·360°＋30°<αA．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
[解析] －457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C．2．－215°是 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．
3．下列各组角中，终边相同的是 ( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3000°，－840°B B 4．如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是
( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
[解析] 如题图所示，终边落在阴影部分的角的取值是k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z，故选C．C 三 课件48张PPT。第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制自主预习学案炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度．
弧度 半径长 [知识点拨] 一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．
(3)记法：弧度单位用符号__________表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略不写．rad 正 负 0 玉 2π [知识点拨]角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起____________关系：每一个角都有唯一的一个________(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个______(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．一一对应 实数 角 |α|r 点拨：弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的公式，切不可混淆．
1．下列表述中正确的是 ( )
A．一弧度是一度的圆心角所对的弧
B．一弧度是长度为半径的弧
C．一弧度是一度的弧与一度的角之和
D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位D B 4
4．α＝－2 rad，则α的终边在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵1 rad≈＝57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．C 互动探究学案命题方向1 ?有关“角度”与“弧度”概念的理解[思路分析] 从两种度量制的定义上，把握解题角度，从弧度制和角度制的定义出发解题．①③④ 典例 1『规律总结』 弧度与角度的概念的区别与联系
D 命题方向2 ?角度制与弧度制的转化典例 2
命题方向3 ?用弧度制表示区域角 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图)．
[思路分析] 1.观察阴影部分图形．
2．确定角的始边和终边．
3．写出角的集合．典例 3『规律总结』 (1)根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
①仔细观察图形．
②写出区域边界作为终边时角的表示．
③用不等式表示区域范围的角．
(2)注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错．〔跟踪练习3〕用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界)，如图所示．
求扇形面积最值的函数思想
当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想． 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
[思路分析] 正确使用扇形弧长公式及面积公式．典例 4『规律总结』 本题主要借助于弧长和面积公式，构造出二次函数，然后求解二次函数的最值及相关的量，并将数学问题的解还原为实际问题的解，这是解应用类问题时的一般思路．同时，我们还应该注意所构造出函数的定义域除使解析式有意义外，还要考虑它的实际意义．
〔跟踪练习4〕(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)一个扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积．角度和弧度混用致错 求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[错解一] {α|k·360°＋330°<α[错解二] {α|2kπ－30°<α<2kπ＋60°，k∈Z}．典例 5[错因分析] 错解一中，若给k赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角．错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制．[误区警示]同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用．D D 1．在不等圆中1 rad的圆心角所对的是 ( )
A．弦长相等 B．弧长相等
C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径
[解析] 根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1 rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D．B C C D 课件44张PPT。第一章三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数第1课时 三角函数的定义自主预习学案
1．任意角的三角函数的定义
(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以____________为半径的圆为单位圆．单位长度
[知识点拨](1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
(2)要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．
(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．(3)定义域：如表所示R R 2．三角函数值的符号
sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下：
[知识点拨]正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．3．公式一(k∈Z)
sin(α＋2kπ)＝____________，
cos(α＋2kπ)＝____________，
tan(α＋2kπ)＝____________．
[知识点拨]该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．sinα
cosα
tanα 1．有下列命题，其中正确的个数是 ( )
①终边相同的角的三角函数值相同；
②同名三角函数值相同，角不一定相同；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数也不相同．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 终边相同的角的同名三角函数值相同；同名三角函数值相同，角不一定相同；终边不相同，它们的同名三角函数值也可能相同；不相等的角，同名三角函数值可能相同．故只有②正确．B B 3．已知α是第三象限角，设sinαcosα＝m，则有 ( )
A．m>0 B．m＝0
C．m<0 D．m的符号不确定
4．(2018·江西高安中学期末)已知角α的终边经过P(1,2)，则tanα·cosα等于______．A 互动探究学案命题方向1 ?利用三角函数的定义求三角函数值 已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．
[思路分析] 注意终边落在直线y＝2x上的角有两类，分两种情况进行讨论．典例 1
〔跟踪练习1〕已知角θ的终边经过点P(a，a)(a≠0)，求sinθ，cosθ，tanθ．命题方向2 ?三角函数在各象限内符号的应用典例 2[思路分析] 先确定角所在象限，进而确定各式的符号．『规律总结』 (1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．C 命题方向3 ?诱导公式(一)的应用典例 3『规律总结』 利用诱导公式(一)求三角函数值：
(1)解此类问题的方法是先借助于终边相同的角的诱导公式把已知角化归到[0,2π)之间，然后利用公式化简求值．在问题的解答过程中，重在体现数学上的化归(转化)思想；
(2)要熟记特殊角的三角函数值，这是解题的基础．分类讨论思想在化简三角函数式中的应用 典例 4『规律总结』 对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．『规律总结』 对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．
〔跟踪练习4〕若sinθcosθ>0，则θ的终边在 ( )
A．第一或第二象限 B．第一或第三象限
C．第一或第四象限 D．第二或第四象限B 三角函数定义理解中的误区 已知角α的终边过点P(－3m，m)(m≠0)，则sinα＝____________________．典例 5〔跟踪练习5〕已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．B
2．在△ABC中，若sinA·cosB·tanC<0，则△ABC是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形
[解析] ∵A、B、C是△ABC的内角，∴sinA>0．
∵sinA·cosB·tanC<0，∴cosB·tanC<0．
∴cosB和tanC中必有一个小于0．
即B、C中必有一个钝角，选C．C A
4．若sinα>0，tanα<0，则α为 ( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由sinα>0知α终边在第一、二象限或在y轴正半轴上；由tanα<0知α终边在第二、四象限．综上知α为第二象限角．B 课件39张PPT。第一章三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数第2课时 三角函数线自主预习学案江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？
2．三角函数线的作法
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．
过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的________线、________线、________线，统称为三角函数线．
MP OM AT 正弦 余弦 正切 [知识点拨]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．
②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．
③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．
④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
3．三角函数线的作用
(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．
(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．1．如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的 ( )
A．正弦线是PM，正切线是A′T′
B．正弦线是MP，正切线是A′T′
C．正弦线是MP，正切线是AT
D．正弦线是PM，正切线是AT
C 2．不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是 ( )
A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线
B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条
C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在
D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在
D 3．已知α角的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在 ( )
A．第一象限角的平分线上
B．第四象限角的平分线上
C．第二、四象限角的平分线上
D．第一、三象限角的平分线上C D 互动探究学案命题方向1 ?利用三角函数线比较大小典例 1[思路分析] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一看三角函数的长度，二看正负．『规律总结』 利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．(2)先化为0°～360°间的角的三角函数．
sin1155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin75°，
sin(－1654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin146°．
在单位圆中，分别作出sin75°和sin146°的正弦线M2P2，M1P1(如右图)．
因为M1P1sin(－1654°)．命题方向2 ?利用三角函数线求解不等式典例 2
利用三角函数线证明几何结论 设α是锐角，利用单位圆和三角函数线证明：sinα<α[思路分析] sinα、tanα分别用正弦线、正切线表示出来，α用它所对的弧表示出来，从而使关系式得证．典例 3『规律总结』 解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．[解析] 设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，过P作PQ⊥OA，PR⊥OB，Q、R为垂足，连接PA、PB，如图所示．
∵|PQ|＝y＝sinα，|OQ|＝x＝cosα，
又∵在△OPQ中，|QP|＋|OQ|>|OP|，
∴sinα＋cosα>1．错解函数的定义域 典例 4[错因分析] 因两个不等式中的k各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示．[思路分析] 解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集．取交集时，要注意各自解集中k的独立性．B 1．下列四个命题：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等；③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一直线上．其中不正确的有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] ②有相同正弦线说明角的终边相同，但角不一定相等，所以②错，①③④均正确．2．已知角α是第四象限角，则角α的正弦线MP是下图中的 ( )A B 课件48张PPT。第一章三角函数1.2 任意角的三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系自主预习学案
同角三角函数的基本关系式
1．公式
(1)平方关系：___________________________.
(2)商数关系：__________________.sin2α＋cos2α＝1 D D 4．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝_____．
[解析] 原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝cos2β(sin2α＋cos2α)＋sin2β＝1．cos80° 1 互动探究学案命题方向1 ?根据同角三角函数关系求值典例 1
命题方向2 ?弦化切求值典例 2
[思路分析] tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为cos2α的表达式求解．
命题方向3 ?化简三角函数式[思路分析] (1)把二次根式中的被开方式化为完全平方式．
(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2α＋cos2α＝1”这一条件．典例 3『规律总结』 三角函数式的化简过程中常用的方法：
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．命题方向4 ?三角恒等式的证明典例 4
sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及方程思想的运用sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系：
(1)对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．
(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．典例 5『规律总结』 在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sinθ，cosθ，使问题得解．忽略隐含条件致错 典例 5
[点评] 有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围．解题时，同学们如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错．C A sinα 课件37张PPT。第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第1课时 诱导公式二、三、四自主预习学案对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？
原点 －sinα －cosα tanα x轴 －sinα cosα y轴 sinα －cosα －tanα 特别提醒：1.公式一～四中的角α是任意角．
2．公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：
(1)记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
(2)解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin(π＋α)＝－sinα．
3．诱导公式的作用
(1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题．
(2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数．
(3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．B C C A 互动探究学案命题方向1 ?利用诱导公式解决给角求值问题[思路分析] 用诱导公式将负角化为正角，进而再转化为锐角三角函数求值．典例 1『规律总结』 利用诱导公式求任意角三角函数的步骤：
(1)“负化正”——用公式一或三来转化；
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．命题方向2 ?三角函数式的化简问题[思路分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．典例 2『规律总结』 三角函数式的化简方法：(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数；(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数；(3)注意“1”的变形应用．命题方向3 ?已知某三角数函数式的值求其他三角函数式的值(给值求值)典例 3『规律总结』 解决条件求值问题策略：解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．证明三角恒等式的方法 (1)三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
(2)证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．典例 4
[思路分析] 要证明的等式左边有切有弦，而等式右边只有切．等式左边较复杂，但却可以利用诱导公式进行化简．对诱导公式理解不透致错 设θ是钝角，则cos(2π－θ)＝______．
[错解] 因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos(2π－θ)＝－cosθ，故填－cosθ．
[错因分析] 上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．
[正解] 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cosθ，故填cosθ．典例 5D A D －1 课件36张PPT。第一章三角函数1.3 三角函数的诱导公式第2课时 诱导公式五、六自主预习学案
cosα sinα cosα －sinα 锐角
1．sin95°＋cos175°的值为 ( )
A．sin5° B．cos5°
C．0 D．2sin5°C D 1 －m 互动探究学案命题方向1 ?利用诱导公式进行化简、求值典例 1[思路分析] 若f(α)的表达式很繁琐，可先化简再代入求值．『规律总结』 三角函数式化简的方法和技巧：
(1)方法：三角函数式化简的关键是抓住函数名称之间的关系和角之间的关系，据此灵活应用相关的公式及变形，解决问题．
(2)技巧：①异名化同名；②异角化同角；③切化弦．命题方向2 ?三角恒等式的证明典例 2『规律总结』 利用诱导公式证明等式问题，主要思路在于如何配角、如何去分析角之间的关系．分类讨论思想在三角函数化简中的应用[思路分析] (1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论；(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．典例 3『规律总结』 1.本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．
2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．C 诱导公式的应用 典例 4[思路分析] 诱导公式共有六组公式，公式较多，易错记错用(如本题错解)，特别是诱导公式右边的符号要记准．[点评] 在公式“奇变偶不变，符号看象限”中角可以单角，也可以是一个复角．B [解析] sin25°＝sin(90°－65°)＝cos65°＝a．[解析] 因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．B B B 课件42张PPT。第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象自主预习学案平静的水面投下一颗石子，荡起阵阵水波；在空间中光波、声波、电磁波无处不在，这些波传播的波动图与我们所学的三角函数的图象有什么联系呢？
2．正弦函数图象的画法
(1)几何法：利用正弦线画函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，是把角x的__________向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象．
(2)五点法：用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象的步骤是：
①列表：正弦线 光滑的曲线 左 右 3．正弦曲线、余弦曲线
(1)定义：正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做________曲线和________曲线．
(2)图象：如图所示．正弦 余弦 [知识点拨]1.函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝sinx，x∈R的图象的关系
(1)函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象是函数y＝sinx，x∈R的图象的一部分．
(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象形状完全一致，因此将y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就可得到函数y＝sinx，x∈R的图象．A B A B 互动探究学案命题方向1 ?用“五点法”作三角函数的图象 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；
(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．
[思路分析] 先在[0,2π]上找出五个关键点，再用光滑曲线连接即可．典例 1
〔跟踪练习1〕用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图．
(1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1．描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))．命题方向2 ?利用图象变换作三角函数的图象 利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
[思路分析] 先作出y＝cosx和y＝sinx，x∈[0,2π]上的图象，再作对称和平移变换．典例 2[解析] (1)首先用五点法作出函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，再作出y＝cosx关于x轴对称的图象，最后将图象向上平移1个单位．如图(1)所示．
(2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示．
『规律总结』 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换．如本例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴对称；－f(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称；－f(－x)的图象与f(x)的图象关于原点对称；f(|x|)的图象关于y轴对称．〔跟踪练习2〕关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sinx的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称；
其中正确说法的序号是________．②④ 利用正、余弦函数的图象解三角不等式 典例 3『规律总结』 1.用三角函数的图象解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)作出直线y＝a，作出y＝sinx(或y＝cosx)的图象．
(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．
(3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集．
2．利用三角函数线解sinx>a(或cosx>a)的方法
(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的位置．
(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．〔跟踪练习3〕不等式cosx>0，x∈[0,2π]的解集是__________________．利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数 方程sinx＝lgx的实根个数有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无穷多个
[错解] A，如图所示，y＝sinx与y＝lgx的图象，有且只有1个公共点，故选A．典例 4[错因分析] 作y＝lgx图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图．[思路分析] 画出y＝sinx的图象后要充分利用y＝lgx过(1,0)点和(10,1)点来确定解的个数，准确画图是解答此类题的关键．
[正解] C 在同一直角坐标系中作函数y＝sinx与y＝lgx的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是方程sinx＝lgx的解．
[点评] 有些方程从正面直接求解较难时，可通过对方程变形，转化成两个熟悉的函数，再通过画函数图象，利用数形结合求解．D A D
3．函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象关于 ( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝sinx与函数y＝－sinx的图象，可知它们关于x轴对称．A B 5．用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝－sinx(0≤x≤2π)；
(2)y＝1＋cosx(0≤x≤2π)．描点作图，如图. 课件34张PPT。第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第1课时 周期函数自主预习学案
如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”、“7天1星期”、“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替，等等．
正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？1．周期函数
(1)周期函数(2)最小正周期非零 f(x＋T)＝f(x) 周期函数 非零常数T 周期 正数 正数 2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性2π 2π 奇函数 偶函数
[知识点拨]1.对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(x∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．2．对函数最小正周期的两点说明
(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的，如y＝sin2x的最小正周期是π，因为y＝sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数，π是对x而言的，而非2x．
(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．
3．正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．D D B 0 互动探究学案命题方向1 ?三角函数的周期典例 1
命题方向2 ?三角函数奇偶性的判断[思路分析] 先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性．典例 2
〔跟踪练习2〕判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝xcos(π＋x)；
(2)f(x)＝sin(cosx)．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－x·cosx，
∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为R．
∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．三角函数奇偶性与周期性的综合运用 典例 4『规律总结』 1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其它义域内的有关性质．不清楚f(x＋T)表达的意义 典例 5 [点评] 最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言，而不是对ωx而言．[解析] 不能．周期必须对定义域内的每一个值都有f(x＋T)＝f(x)．D 1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是 ( )[解析] f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2．A B 2 课件43张PPT。第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时 正、余弦函数的性质自主预习学案
R [－1，1] 2π 奇 R 2kπ(k∈Z) [－1，1] 2kπ＋π(k∈Z) 2π 偶 [(2kπ－1)π，2kπ] [2kπ，(2k＋1)π] [知识点拨]1.对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明
(1)正弦函数、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间．
(2)由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2π，所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2kπ，(k∈Z)后，仍是单调区间，且单调性相同．
2．对正弦函数、余弦函数最值的三点说明
(1)明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1．
(2)函数y＝sinx，x∈D，(y＝cosx，x∈D)的最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域D来决定．
(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝Z，将函数转化为y＝AsinZ的形式求最值．C B 3．函数y＝2－sinx取得最大值时x的值为___________________．互动探究学案命题方向1 ?三角函数的单调区间典例 1『规律总结』 求解与三角函数有关的函数的单调区间，主要利用换元法，将其转化为求正弦函数、余弦函数的单调区间，然后利用这两个函数的单调区间构造不等式，通过解不等式(组)即可得到所求函数的单调区间．命题方向2 ?三角函数性质的应用[思路分析] 比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．典例 2『规律总结』 比较三角函数值大小的步骤：①异名函数化为同名函数；②利用诱导公式把角化到同一单调区间上；③利用函数的单调性比较大小．[解析] (1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°．
∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°．命题方向3 ?三角函数对称轴、对称中心[思路分析] 根据正弦函数的周期性可知，过函数图象的最高点或最低点的与x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与x轴交点均为对称中心．典例 3『规律总结』 求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)函数的对称轴或对称中心时，应把ωx＋φ作为整体，代入相应的公式中，解出x的值，最后写出结果．与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题 1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性． 求下列函数的值域：
(1)y＝3－2cos2x，x∈R；
(2)y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R．
[思路分析] (1)将2x看成一个整体，利用余弦函数的值域求得；(2)把sinx看成一个整体，利用换元法转化为求二次函数的值域．
[解析] (1)∵－1≤cos2x≤1，∴－2≤－2cos2x≤2．
∴1≤3－2cos2x≤5，即1≤y≤5．
∴函数y＝3－2cos2x，x∈R的值域为[1,5]．
(2)y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2．
∵－1≤sinx≤1，∴函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4,0]．典例 4
〔跟踪练习4〕求下列函数的值域．
(1)y＝3－2sin2x；(2)y＝|sinx|＋sinx．
[解析] (1)∵－1≤sin2x≤1，
∴1≤y≤5．
∴y∈[1,5]．
(2)当sinx≥0时，y＝2sinx≤2，这时0≤y≤2；
当sinx<0时，y＝0．
∴函数的值域为y∈[0,2]．忽略定义域导致求错单调区间 典例 5[错因分析] 该解法错误的原因在于忘记考虑定义域．
[思路分析] 先求出函数的定义域，单调区间是定义域的子集．『点评』 解决与三角函数有关的复合函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．1．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是 ( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数A B B B
5．函数y＝cos2x－4cosx＋5的值域为_____________．
[解析] 令t＝cosx，
由于x∈R，故－1≤t≤1．
y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1时，即cosx＝－1时函数有最大值10；
当t＝1，即cosx＝1时函数有最小值2．
所以该函数的值域是[2,10]． [2,10] 课件39张PPT。第一章三角函数1.4 三角函数的图象与性质1.4.3 正切函数的性质与图象自主预习学案
正切函数的图象与性质
(1)图象：如图所示．
正切函数y＝tanx的图象叫做____________．正切曲线 π 奇函数 B B B < 互动探究学案命题方向1 ?正切函数的奇偶性 试判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝1－2cosx＋|tanx|；
(2)f(x)＝x2tanx－sin2x．
[思路分析] 利用函数奇偶性的定义去判断．典例 1『规律总结』 在利用定义判断与正切函数有关的一些函数的奇偶性时，必须要坚持定义域优先的原则，即首先要看f(x)的定义域是否关于原点对称，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．命题方向2 ?求定义域和单调区间典例 2
命题方向3 ?单调性的应用[思路分析] 不在同一单调区间内的角应该先用诱导公式化到同一个单调区间内．典例 3
[解析] (1)∵tan215°＝tan(180°＋35°)＝tan35°，
y＝tanx在(－90°，90°)上单调增，－90°<32°<35°<90°，
∴tan32°1．典例 4
〔跟踪练习4〕解不等式：tan2x≤－1．将正切曲线的对称中心误认为是(kπ，0) 典例 5[错因分析] 误认为y＝tanx的对称中心是(kπ，0)，k∈Z而致错．A D B D (－∞，－1]∪[1，＋∞) 课件40张PPT。第一章三角函数1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第1课时 画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象自主预习学案
1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sinx的图象上所有的点向______(当φ>0时)或向______(当φ<0时)平行移动__________ 1个单位长度得到的．左 右 |φ|
[知识点拨]将函数y＝f(x)的图象沿x轴方向平移|a|个单位长度后，得到函数y＝f(x＋a)(a≠0)的图象．当a>0时，向左平移，当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”．2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的______坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标不变)而得到．横 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象的影响
如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上的所有点的______坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0[知识点拨]函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0用图象变换作函数图象 [思路分析] 本题主要考查正弦函数的图象变换，可根据两种变换方式中的一种进行，正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可．典例 4『规律总结』 1.法一是先平移后伸缩；法二是先伸缩后平移．
2．两种变换中平移的单位长度是不同的，在应用中一定要区分清楚，以免混乱而失误．弄清平移对象是减少失误的好方法．D 因忽视自变量x的系数和平移的方向致错 典例 3A D D C B 课件50张PPT。第一章三角函数1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用自主预习学案在物理中，我们已经学习了简谐运动，了解其运动的规律及图象。那么如何用数学知识来研究它的性质呢？
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义
物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关：
(1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)；往复运动一次所需要的时间 往复运动的次数 x＝0时的相位 R [－A，A] A A 互动探究学案命题方向1 ?由图象求解析式 如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，试确定A，ω，φ的值．典例 1
命题方向2 ?函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性A 典例 2
D 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用 典例 3故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是相位、初相概念理解错误典例 4[点评] 要正确理解函数y＝Asin(ωx＋φ)中A、ω、φ的意义．A C D A D 课件39张PPT。第一章三角函数1．6 三角函数模型的简单应用自主预习学案大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数学知识．
(1)根据实际问题的图象求出函数解析式．
(2)三角函数作为描述现实世界中____________的一种数学模型，因此可将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．
(3)利用搜集的数据，作出__________，通过观察散点图进行____________而得到函数模型．最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
周期现象 散点图 函数拟合
[知识点拨]三角函数模型应用注意点
(1)一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围．
(2)应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解．D 2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是________．
3．如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天从0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为___________________．
4．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是______．80 互动探究学案命题方向1 ?三角函数模型在物理中的应用典例 1[思路分析] 对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)，可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解．『规律总结』 解决函数图象与解析式对应问题的策略
利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ．〔跟踪练习1〕本例(1)中，在其他条件不变的情况下，当t＝10秒时的电流强度I应为多少？命题方向2 ?三角函数模型在生活中的应用A 典例 2『规律总结』 1.解决与三角函数模型相关问题，关键是将实际问题转化为三角函数模型．
2．三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．C 数据拟合三角函数问题
利用数据作出散点图，对图象形状进行判断，构建函数模型求其中的参数．典例 3[思路分析] 本题以实际问题引入，注意通过表格提供的数据来抓住图形的特征．『规律总结』 处理此类问题时，先要根据图表或数据正确地画出简图，然后运用数形结合思想求出问题中的关键量，如周期、振幅等．
〔跟踪练习3〕以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元．请分别建立出厂价、销售价随时间变化的函数关系式．不能正确认识简谐运动的过程而导致错误 弹簧振子以点O为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，B、C两点相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5秒振子首先到达C点．求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)振子在5秒内通过的路程及这时相对平衡位置的位移的大小．典例 4[错因分析] 实际问题中，变量常常有一定的范围，因此，在转化为数学模型后要注意标出自变量的取值范围．D 1．下图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是 ( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
[解析] 该质点的振动周期为T＝2(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，故C是错误的．故选D．C A 4．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b．
(1)这一天的最大用电量为______万度，最小用电量为______万度；
(2)这段曲线的函数解析式为____________________________________．50 30 课件48张PPT。第三章三角函数章末整合提升知 识 网 络任意角的
三角函数 三角函数的
诱导公式 专 题 突 破三角函数的定义及诱导公式在中学数学的学习中主要有两方面的作用：
一是以集合的交、并、补运算为载体，考查三角函数值在各象限内的符号、终边相同的角及象限角等基础知识．
二是考查诱导公式在三角函数求值、化简、证明和三角恒等变换中的应用． 专题一 ?三角函数的概念和诱导公式C 典例 1[思路分析] 利用特殊角的三角函数值判断点P所在的象限，再利用特殊角的三角函数值求解，也可以利用三角函数定义和诱导公式求解．
专题二 ?利用三角函数及关系化简、证明、计算[思路分析] 由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx求出sinxcosx的值，然后根据(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx求解(1)题；(2)题先化简再求值．典例 2
专题三 ?正弦函数与余弦函数的对称性问题典例 3『规律总结』 本例中给出求三角函数的对称轴与对称中心的两种方法，这都是解决三角问题的基本方法，要切实理解好．求三角函数的值域(最值)可分为几类：(1)是y＝Asin(ωx＋φ)＋k类型的，应利用其图象与性质、数形结合求解．(2)是可化为以三角函数为元的二次函数类型，应确定三角函数的范围，再用二次函数求解．(3)利用几何意义求解等．专题四 ?三角函数的值域与最值问题典例 4
设a≥0，若y＝cos2x－asinx＋b的最大值为0，最小值为－4，试求a、b的值．
[思路分析] 通过换元化为一元二次函数最值问题求解．典例 5『规律总结』 一元二次函数区间最值问题含有参数时，应按照对称轴与区间的相对位置去讨论．专题五 ?三角函数的图象及变换典例 6『规律总结』 本例中用平移的知识求得函数解析式，在求解中一定要注意ω对x的影响．数形结合的思想
数形结合思想是重要的数学思想，它能把抽象的思维方式转化为形象、直观的思维方式，从而使问题变得简单明了．
在本章中，数形结合思想贯穿始终，主要体现在以下几个方面：利用单位圆给出三角函数的定义，并推导出同角三角函数的基本关系；利用三角函数线画正(余)弦及正切函数的图象．专题六 ?数学思想 设函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x，则在下列区间中函数f(x)不存在零点的是 ( )
A．[－4，－2] B．[－2,0]
C．[0,2] D．[2,4]
[思路分析] 求f(x)的零点，可转化为函数g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．
A 典例 7[解析] 要求f(x)＝0，可以将f(x)的零点转化为函数
g(x)＝4sin(2x＋1)与h(x)＝x的交点．如图，g(x)和h(x)在同一坐标系中的图象．由此可知，本题选A．『规律总结』 本题主要考查三角函数图象的平移和函数与方程的相关知识，将函数零点问题转化为函数图象的交点问题，从而利用函数图象数形结合巧妙解决．有些三角函数问题可以直接转化为一元二次方程(组)求解，还有些三角函数问题，可依据题设条件适当选取三角函数关系式，联立组成方程组，以达到消元求值的目的，这是方程思想在三角函数求值中的运用．专题七 ?函数与方程思想典例 8[思路分析] 要求α，β的值，首先求α，β的某种三角函数值，利用条件，建立以α，β的三角函数为未知数的方程，从而求解．『规律总结』 注意诱导公式的化简作用，要灵活运用sin2α＋cos2α＝1求解．D B B 3 [－5，－π)∪(0，π) 