课件31张PPT。第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭 圆
2.1.1 椭圆及其标准方程新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:在平面直角坐标系中,若A(-4,0),B(4,0),当|PA|+|PB|=10,|PA|+|PB|
=8,|PA|+|PB|=6时,点P的轨迹分别是什么图形?
答案:当|PA|+|PB|=10时,点P的轨迹是以A(-4,0) ,B(4,0)为焦点的椭圆;当|PA|+|PB|=8时,点P的轨迹是线段AB;当|PA|+|PB|=6时,点P的轨迹不存在.
梳理 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点之间的距离叫做椭圆的 .椭圆的定义和焦点焦距问题2:在标准方程中怎样确定焦点的位置?
答案:标准方程中根据x2,y2对应的分母的大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上,x2对应的分母大,焦点就在x轴上,y2对应的分母大,焦点就在y轴上.
梳理 a2-b2知识点二椭圆的标准方程题型一 求椭圆的标准方程课堂探究 素养提升【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26; 方法技巧 求椭圆标准方程的方法
(1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定系数即可.即“先定位,后定量”.
当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件.
(3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+
ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程.即时训练1:求适合下列条件的标准方程:
(1)经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点;(2)(2018·玉溪高二月考)“m>n>0”是方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件题型二 与椭圆有关的轨迹问题【例2】 已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.方法技巧 求解与椭圆有关的轨迹问题的方法
(1)定义法:利用平面几何知识将题目条件转化为点到两定点的距离之和为定值.由椭圆的定义求解a,b,c.注意所求轨迹是否是整个曲线,若不完整,则应对其中变量x或y进行限制.
(2)相关点法(代入法):当所求动点随另一个动点(在已知曲线上)的变化而变化时,设所求动点为(x,y),另一动点为(x0,y0),用x,y表示x0,y0;再将(x0,y0)代入已知方程,化简即得所求轨迹方程.
(3)直接法:题设条件有明显等量关系或易推出等量关系,则可直接将等量关系坐标化,求出轨迹方程.即时训练2:(2018·宁波高二月考)一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.题型三 椭圆定义的应用摇身一变1:若将本例中“∠F1PF2=90°”变为“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积.方法技巧 在解焦点三角形(椭圆上一点P和椭圆两个焦点F1,F2为顶点的三角形)的有关问题时,一般利用两个关系式:
(1)由椭圆的定义可得|PF1|,|PF2|的关系式;
(2)利用正、余弦定理或勾股定理可得|PF1|,|PF2|的关系式,然后求解得|PF1|,|PF2|,有时也根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|·|PF2|等看成一个整体来处理.(2)求△PF1F2的面积.答案:(1)A解析:(2)如图所示,|MF2|=2|ON|=2,
所以|MF1|=2a-|MF2|=8-2=6.
答案:(2)6题型四 易错辨析——忽略焦点位置致误错解:选A
纠错:仅考虑焦点在x轴上的情况,没有考虑焦点在y轴上的情况.
正解:2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,
所以m=5或m=3.
故选C.学霸经验分享区用待定系数法求椭圆方程的一般步骤
(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组;
(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).谢谢观赏！课件29张PPT。2.1.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:怎样利用椭圆的标准方程讨论椭圆的对称性?
答案:在椭圆标准方程中,以-y代替y,方程不变,说明椭圆关于x轴对称;以-x代替x,方程不变,说明椭圆关于y轴对称;以-x代替x,以-y代替y,方程不变,说明椭圆关于原点对称.
问题2:怎样求椭圆的顶点?
答案:在标准方程中分别令x=0和y=0可以求得椭圆的四个顶点坐标.
问题3:椭圆的几何性质中,哪些性质与坐标系的选择无关(椭圆的固有性质)?
答案:椭圆的长短半轴、焦距、离心率与坐标系的选择无关,是椭圆固有的几何性质.椭圆的简单几何性质梳理-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a坐标轴(0,0)(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)2a2b2c(0,1)a2-b2名师点津:(1)椭圆的离心率与椭圆扁圆程度的关系
①当e接近1时,椭圆越扁;
②当e接近0时,椭圆接近圆;
③当e=0时,c=0,a=b,椭圆的标准方程成为x2+y2=a2,图形就是圆了.题型一 椭圆的简单几何性质课堂探究 素养提升【例1】 求椭圆4x2+9y2=36的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标及离心率.方法技巧 求已知椭圆方程讨论其几何性质时,应先将方程化为标准形式,写出a,b,求出c,进而讨论其几何性质.同时注意焦点位置及某些概念的区别,如长轴长为2a,焦距为2c等.(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;
③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);【备用例1】 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.题型二 利用椭圆的几何性质求标准方程【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是10,离心率是 ;(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.方法技巧 根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,应根据题意求出a,b的值,然后确定焦点所在的坐标轴,若焦点位置不确定需分类讨论.题型三 椭圆的离心率方法技巧(2)在椭圆中涉及三角形问题时,要充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理、全等三角形、相似三角形以及平面向量等知识.题型四 易错辨析——不会处理椭圆的离心率问题纠错:求离心率时不会建立a,b,c之间的关系.学霸经验分享区(1)求椭圆离心率的方法
①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.
②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.
③特殊值,令a=1,求出c的值,e=c.
(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路
求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.谢谢观赏！课件35张PPT。第二课时 直线与椭圆的位置关系新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:点与椭圆有哪几种位置关系?
答案:点与椭圆有三种位置关系:点在椭圆上,点在椭圆内,点在椭圆外.点与椭圆的位置关系知识点二直线与椭圆的位置关系问题2:怎样利用方程讨论直线与椭圆的位置关系?
答案:将直线方程与椭圆方程联立后消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程,借助该方程的判别式讨论直线与椭圆的位置关系.相交相切相离知识点三椭圆的弦长知识点四椭圆上的点与焦点的距离a-c≤|PF|≤a+c名师点津:(1)直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题.反映在代数上,就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题.它体现了方程思想的应用,当直线与椭圆相交时,要注意判别式大于零这一隐含条件,它可以用来检验所求参数的值是否有意义,也可通过该不等式来求参数的范围.
(2)直线与椭圆的位置关系问题是高考的热点,通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等,分析此类问题时,要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决.题型一 直线与椭圆的位置关系课堂探究 素养提升【例1】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点,求实数m的取值范围;(2)求被椭圆截得的最长线段所在的直线方程.方法技巧 此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立,消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程,则(1)直线与椭圆相交?Δ>0;(2)直线与椭圆相切?Δ=0;(3)直线与椭圆相离?Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系,方程及其判别式是最基本的工具.(2)求m的取值范围.解:(2)把y=x+m代入椭圆方程得5x2+8mx+4m2-20=0,
因为直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B,
所以Δ=64m2-4×5(4m2-20)>0,
整理得m2<25,
所以-5(1)求椭圆C的方程;题型二 直线与椭圆的相交弦问题(2)当P点恰好为线段AB的中点时,求l的方程.方法技巧 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程组,利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点,还可使用点差法:设出弦的两端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.(2)设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标.(2)求△ABF2的周长与面积.题型三 与椭圆有关的定值、定点问题(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.方法技巧 椭圆中定值、定点问题的求解方法
椭圆中的定值、定点问题往往与椭圆中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴等.定值问题的求解与证明类似,在求定值之前,已经知道定值的结果(题中未告知,可用特殊值探路求之),解答这类题要大胆设参,运算推理,到最后参数必清,定值显现.题型四 错辨析——不会使用点差法处理中点弦问题错解:C
纠错:求解中点弦问题不会使用点差法.学霸经验分享区(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.谢谢观赏！课件24张PPT。2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:在平面直角坐标系中,若A(-5,0),B(5,0),当||PA|-|PB||=6,||PA|-|PB||=10,||PA|-|PB||=12时,点P的轨迹分别是什么图形?
答案:当||PA|-|PB||=6时,点P的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线;当||PA|-|PB||=10时,点P的轨迹是两条射线;当||PA|-|PB||=12时,点P的轨迹不存在.
梳理 平面内与两个定点F1,F2的距离 等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的 ,两焦点间的距离叫 .集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.双曲线的定义差的绝对值焦点焦距知识点二双曲线的标准方程问题2:怎样利用双曲线的标准方程确定焦点的位置?
答案:如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.
问题3:双曲线标准方程中a,b,c之间的关系如何?
答案:双曲线标准方程中a,b,c的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2.
名师点津:(1)在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.
(2)求双曲线方程时一是注意标准形式判断;二是注意a,b,c的关系易错易混.题型一 利用双曲线的定义求轨迹方程课堂探究 素养提升【例1】如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,
且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.方法技巧 利用定义法求双曲线的标准方程的步骤
(1)找出两个定点(即双曲线的两个焦点).
(2)根据条件确定动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)等于常数.
(3)确定c和a的值,再由c2=a2+b2求出b2.
(4)写出双曲线(或双曲线一支)的标准方程.即时训练1:动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1都外切,求动圆圆心C的轨迹方程.【备用例1】 (2017·绵阳高二期末)已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是2和4,且|O1O2|=8,若动圆M与圆O1内切,又与O2外切,则动圆圆心M的轨迹方程是( )
(A)圆 (B)椭圆
(C)双曲线一支 (D)抛物线
解析:设动圆圆心为M,半径为R,由题意|MO1|=R-2,|MO2|=R+4,
所以|MO2|-|MO1|=6(常数)且6<8=|O1O2|,
故M点的轨迹为以O1,O2为焦点的双曲线的一支.故选C.题型二 求双曲线的标准方程方法技巧 (1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似,也是“先定型,后定量”,利用待定系数法求解.
(2)当焦点位置不确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论.
(3)当已知双曲线经过两点,求双曲线的标准方程时,把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn<0)的形式求解.题型三 双曲线定义的应用方法技巧 双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据.在应用时,一是注意条件||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|)的使用,二是注意与三角形知识相结合,经常利用正、余弦定理,同时要注意整体思想的应用.即时训练3:若双曲线x2-4y2=4的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线交右支于A,B两点,若|AB|=5,则△AF1B的周长为 .?
解析:由双曲线定义可知|AF1|=2a+|AF2|=4+|AF2|,
|BF1|=2a+|BF2|=4+|BF2|,
所以|AF1|+|BF1|=8+|AF2|+|BF2|=8+|AB|=13.
△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=18.
答案:18答案:48题型四 易错辨析——双曲线定义理解不清致误错解:A(或B)
纠错:双曲线定义理解不清,没有考虑到点P可能在左右两支上,仅仅考虑其中一种情况导致丢解.
正解:双曲线的左右焦点为F1(-5,0),F2(5,0),
则由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a=8,
而|PF2|=15,
解得|PF1|=7或23.
故选D.学霸经验分享区求双曲线标准方程的方法
(1)如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在x轴上或是y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于a,b,c的方程组,解出a2,b2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个,也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解).
(2)当焦点位置不确定时,有两种方法来解决:
一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可以设双曲线的一般方程mx2+ny2=1(mn<0).谢谢观赏！课件24张PPT。2.2.2 双曲线的简单几何性质新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一答案:可以得到双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质.
问题2:双曲线的离心率对双曲线的“张口”有何影响?
答案:离心率越大,双曲线的“张口”就越大;反之,离心率越小,双曲线的“张口”就越小.
问题3:如何根据双曲线的标准方程求渐近线方程?
答案:把标准方程中等号右边的1换为0,解方程即可得到渐近线方程.双曲线的几何性质梳理 双曲线的几何性质坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0)a2+b2x∈R,y≤-a或y≥a知识点二等轴双曲线问题4:等轴双曲线的两条渐近线是否垂直?离心率为多少?梳理 等轴双曲线x2-y2=a2的渐近线方程为y=±x.
名师点津:(1)焦点到渐近线的距离为b.(4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F构成的△ABF2的周长为4a+2|AB|.题型一 双曲线的几何性质课堂探究 素养提升【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.方法技巧 已知双曲线方程求其几何性质时,若不是标准方程先化成标准方程,确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c,然后确定双曲线的焦点位置,从而求出双曲线的几何性质.题型二 求双曲线的标准方程方法技巧 (1)由双曲线的几何性质求标准方程,常用待定系数法求解.若焦点位置不确定,应分焦点在x轴,在y轴两种情况讨论.③渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0);
④渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).题型三 直线与双曲线的位置关系即时训练3:已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.(2)设曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,P为曲线C上任意一点,PA1,PA2分别与直线l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.题型四 易错辨析——忽视隐含条件致误学霸经验分享区与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围).依据题设条件,将问题转化为关于a,c的等式(或不等式),解方程(或不等式)即可求得.
(2)求双曲线的渐近线方程.依据题设条件,求双曲线中a,b的值或a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.
(3)求双曲线方程.依据题设条件,求出a,b的值或依据双曲线的定义,求双曲线的方程.谢谢观赏！课件24张PPT。2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:抛物线定义中的定点与定直线有怎样的位置关系?
答案:定点不在定直线上.
梳理 平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的 .抛物线的定义相等准线知识点二问题2:抛物线标准方程中p有什么意义?
答案:抛物线标准方程中p表示焦点到准线的距离.
问题3:抛物线标准方程有几种类型?
答案:抛物线的焦点可以位于x轴、y轴的正、负半轴,有四种情况,故抛物线标准方程有四种类型.
问题4:如何根据抛物线标准方程确定抛物线的焦点位置和开口方向?
答案:抛物线的焦点位于标准方程中一次变量对应的坐标轴上,当一次变量的系数为正时,焦点位于相应坐标轴的正半轴上,此时抛物线开口朝向相应坐标轴的正方向,反之,当一次变量的系数为负时,焦点位于相应坐标轴的负半轴上,此时抛物线开口朝向相应坐标轴的负方向.抛物线标准方程的几种形式梳理 y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)名师点津:(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互 转化.题型一 定义法求抛物线的方程课堂探究 素养提升【例1】 若动圆M与圆C:(x-2)2+y2=1外切,又与直线x+1=0相切,求动圆圆心的轨迹方程.名师导引:根据动圆与定圆及定直线相切的几何条件,列出动圆圆心满足的等量关系式求解.方法技巧 涉及平面内到定点距离与定直线(点不在直线上)距离相等的点的轨迹可直接用抛物线定义求方程. 即时训练1:若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则点M的轨迹方程是 .?解析:依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x=-4的距离,因此其轨迹是抛物线,且p=8,顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,所以其方程为y2=16x.
答案:y2=16x题型二 待定系数法求抛物线的标准方程【例2】 根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.方法技巧 (1)求抛物线的标准方程首先应根据焦点位置判断标准方程的形式,若焦点位置不易确定时,可作出草图帮助分析.(2)若涉及抛物线焦点在x轴上时,可统一设为y2=ax(a≠0),可避免分类讨论.即时训练2:求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过抛物线y2=2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线于A,B两点,且|AB|=6;题型三 抛物线定义的应用【例3】 若抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为 .?答案:(2,2)方法技巧 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.题型四 抛物线的实际应用【例4】某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.题型五 易错辨析——对抛物线标准方程认识不清致误错解:选A
纠错:焦点的位置判断错误.学霸经验分享区
(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点M,一个定点F(抛物线的焦点),一条定直线l(抛物线的准线),一个定值1(抛物线的离心率).
(2)认真区分四种形式的标准方程
①区分y=ax2与y2=2px(p>0),前者不是抛物线的标准方程.
②求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m≠0).谢谢观赏！课件29张PPT。2.3.2 抛物线的简单几何性质新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:类比椭圆、双曲线的几何性质,你认为可以讨论抛物线哪些几何性质?
答案:可以讨论抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.
问题2:与椭圆、双曲线相比较,抛物线的几何性质有哪些不同?
答案:抛物线只有一条对称轴、一个顶点,它没有对称中心,抛物线的离心率是常数1.抛物线的几何性质梳理 (0,0) y=0 x=0 1 知识点二梳理 已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点(如图),则有:抛物线的焦点弦梳理 设直线方程为y=kx+b,抛物线方程为y2=2px(p>0),两方程联立并消去y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0.
(1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行(b=0时重合),直线与抛物线有一个交点;
(2)当k≠0时,若Δ>0,直线与抛物线有两个不同的交点;若Δ=0,直线与抛物线相切,有一个公共点;
若Δ<0,直线与抛物线相离,没有公共点.知识点三直线与抛物线的位置关系名师点津:抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容易把握,但由于抛物线的离心率等于1.题型一 抛物线的几何性质课堂探究 素养提升【例1】 已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个三角形的边长.方法技巧 若等腰三角形的顶点是抛物线的顶点,另外两个顶点在抛物线上,则这两个顶点关于抛物线的对称轴对称.即时训练1:等腰Rt△ABO内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△ABO的面积是( )
(A)8p2 (B)4p2 (C)2p2 (D)p2题型二 直线与抛物线的位置关系【例2】 已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x.问:k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点、一个交点、无交点?方法技巧 探究直线和抛物线的位置关系时,由于消元后所得的方程中含参数,因此要注意分二次项系数为0和不为0两种情况讨论,然后再对判别式Δ进行讨论.题型三 抛物线的焦点弦【例3】 (2018·包头高二检测)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;(2)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程.方法技巧 有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.即时训练2:(2018·河北高二质检)如图所示,O为坐标原点,过点P(2,0),且斜率为k的直线l交抛物线y2=2x于M(x1,y1),N(x2,y2)两点.
(1)求x1x2与y1y2的值;(2)求证:OM⊥ON.题型四 抛物线中的定点、定值问题【例4】(2018·长春高二检测)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.方法技巧 (1)圆锥曲线中定点问题的两种解法
①引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
②特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.
(2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.
②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.
③求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.【备用例2】 设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.
(1)设l的斜率为1,求|AB|的大小;题型五 易错辨析——对直线与抛物线的公共点认识不清致误错解:选A
纠错:只考虑斜率存在的情况,忽视斜率不存在及直线平行于抛物线对称轴时的两种情形.
正解:易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k≠0时,由Δ=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条.故选C.【例5】 过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有( )
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)0条学霸经验分享区
直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略
(1)求线段长度和线段之积(和)的最值.可依据直线与抛物线相交,依据弦长公式,求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或利用函数的知识,求函数的最值;也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.
(2)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件,若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.
(3)求定值.可借助于已知条件,将直线与抛物线联立,寻找待定式子的表达式,化简即可得到.谢谢观赏！
