课件27张PPT。第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
3.1.3 导数的几何意义新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?平均变化率x2-x1 问题2:求函数平均变化率的主要步骤有哪些?
答案:主要有三步:
(1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1;知识点二问题3:瞬时速度与平均速度有何区别与联系?
答案:瞬时速度是指物体在某一时刻或经过某一位置时的速度,平均速度是指物体在某一时间区间内速度的平均变化率.二者都是用来描述物体运动快慢的物理量.导数的概念(2)导函数的定义
从求函数y=f(x)在x=x0处的导数的过程中可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数.这样,当x变化时,f′(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的
(简称导数),y=f(x)的导函数有时也记作y′,即
.导函数知识点三梳理 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点
处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为 .导数的几何意义P(x0,y0)切线的斜率y-y0=f′(x0)·(x-x0)名师点津:
(1)f′(x0)与x0的值有关,不同的x0,其导数值一般也不同.
(2)f′(x0)不一定为0,但[f(x0)]′一定为0.题型一 求函数的平均变化率课堂探究 素养提升方法技巧 求函数平均变化率的步骤
(1)求自变量的增量Δx=x2-x1;
(2)求函数值的增量Δy=f(x2)-f(x1);即时训练1:已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )
(A)0.40 (B)0.41
(C)0.43 (D)0.44解析:Δy=(2+0.1)2-22=0.41.故选B.题型二 函数在某点处的导数方法技巧 根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);即时训练2:求y=x2在x=1处的导数.题型三 导数的几何意义(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.方法技巧 求曲线在点P(x0,y0)处的切线方程的步骤
(1)求出函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0),得到切线的斜率k=f′(x0);
(2)根据直线的点斜式方程,得到切线方程
y-y0=f′(x0)(x-x0).【备用例1】 已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),求过点P与曲线y=f(x)相切的直线方程.题型四 导数在物理中的应用【例4】 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第x h时,原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x2-7x+15(0≤
x≤8).计算第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.即时训练4:子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动,如果它的加速度是a=5×105 m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为t0=1.6×10-3 s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.【备用例2】 路灯距地面8 m,一个身高1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯的正下方沿直线离开路灯.
(1)求影长y与人距路灯的水平距离x之间的关系式;(2)求人离开路灯第10秒时影长的瞬时变化率.题型五 易错辨析——导数的概念认识不清致误错解:选C.
纠错:导数定义中分子中自变量的差值与分母应该相等,否则要进行相应的恒等变形.学霸经验分享区与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略
(1)已知切点求切线方程.解决此类问题的步骤为:
①求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;
②由点斜式求得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0).
(2)已知斜率求切点.已知斜率k,求切点(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.
(3)求切线倾斜角的取值范围.先求导数的取值范围,即确定切线斜率的取值范围,然后利用正切函数的单调性解决.谢谢观赏！课件24张PPT。3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:怎样用定义求函数的导数?
答案:分三步:
(1)求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1);基本初等函数的导数公式αxα-1cos x-sin xaxln aex知识点二问题2:应用导数的运算法则求导数时有哪些注意点?
答案:(1)正确记忆函数的导数公式与运算法则;
(2)分析函数的组成与结构特点;
(3)对一些较复杂的函数应该先将函数进行化简,再求导.导数运算法则梳理 导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′= .
(2)[f(x)·g(x)]′= .f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x).题型一 利用导数公式求函数的导数课堂探究 素养提升解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.(3)y′=(4x)′=4xln 4.(5)y′=(cos x)′=-sin x.方法技巧 用公式求函数导数的方法
(1)直接用公式:若所求函数符合基本初等函数导数公式,则直接利用公式求解.解:(1)y′=(5x)′=5xln 5.(3)y′=(ln 3)′=0.题型二 导数的运算法则(3)y=tan x;
(4)y=3xex-2x+e.(4)y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′=3x(ln 3)·ex+3xex
-2xln 2=(ln 3+1)·(3e)x-2xln 2.方法技巧 导数的运算方法
(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.即时训练2:求下列函数的导数.
(1)y=x4-3x2-4x+5;(2)y=x2tan x;(3)y=(x+1)(x+2)(x+3);解:(1)y′=(x4-3x2-4x+5)′=(x4)′-(3x2)′-(4x)′+5′
=4x3-6x-4.(3)y′=[(x+1)(x+2)(x+3)]′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)′=[(x+1)′(x+2)+(x+1)·(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.题型三 求曲线的切线方程(2)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)相切,求直线l的方程.方法技巧 利用导数求切线问题:
(1)把握三点:①切点在曲线上;②切点在切线上;③导数即斜率;
(2)注意“在点P处”与“过点P”的区别,其中求出切点坐标是关键.即时训练3:(2018·绵阳高二检测)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是 .?答案:(e,e)【备用例题】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数f′(x)=2x-8.
(1)求a,b的值.
(2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.解:(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),
所以f′(x)=2ax+b,
又知f′(x)=2x-8,所以a=1,b=-8.
(2)由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3,
所以g′(x)=exsin x+excos x+2x-8,
所以g′(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7,
又知g(0)=3.
所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),即7x+y-3=0.题型四 易错辨析——导数公式记忆不清致误错解:选D.
纠错:常数的导数等于零.
正解:①中y=ln 2为常数,故y′=0,因此①错,其余均正确.选C.学霸经验分享区(1)利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xn)′=nxn-1与指数函数的求导公式(ax)′=axln a混淆.
(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.
(3)利用导数公式求导数时,要根据几种基本函数的定义,判断原函数是哪类基本函数,再套用相应的导数公式求解,切不可因判断函数类型失误而出错.谢谢观赏！课件26张PPT。3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:如果一条曲线是逐渐上升的,那么曲线上各点的切线的斜率有何特点?
答案:曲线上各点的切线的斜率均大于零.
问题2:切线的斜率的正负,能说明导数的符号吗?
答案:根据导数的几何意义知当切线的斜率为正时,其导数也为正;同理,当切线的斜率为负时,其导数也为负.
问题3:在某个区间(a,b)内,“f′(x)>0”是f(x)在这个区间内单调递增的什么条件?
答案:充分不必要条件.函数的单调性与其导函数正负的关系梳理 一般地,函数的单调性与其导函数正负有如下关系:
若函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,则
(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内 ;
(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内 ;
(3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是 .单调递增单调递减常数函数知识点二梳理 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭(向上或向下)”;反之,函数的图象就“平缓”一些.函数的变化快慢与导数值的关系名师点津:用导数求函数的单调区间的“三个方法”
(1)当方程f′(x)=0可解时,
①确定函数y=f(x)的定义域;
②求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;
③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
④确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.(2)当不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)可解时,
①确定函数y=f(x)的定义域;
②求导数y′=f′(x);
③解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
(3)当不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)及方程f′(x)=0均不可解时,
①确定函数y=f(x)的定义域;
②求导数并化简,根据f′(x)的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定f′(x)的符号;
③得单调区间.题型一 利用导数判断函数的单调性课堂探究 素养提升【例1】 设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
(1)求a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.解:(2)由(1)得
f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).
令f′(x)>0,解得x<-1或x>3;
又令f′(x)<0,解得-1
故当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数;
当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数;
当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.方法技巧 导数法判断或证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤
(1)求定义域;
(2)求f′(x);
(3)确定f′(x)在(a,b)内的符号;
(4)作出结论:f′(x)>0时为增函数;f′(x)<0时为减函数.题型二 求函数的单调区间(2)y=ln(2x+3)+x2.方法技巧 (1)求函数单调区间的步骤是:先确定定义域,再求出f′(x),最后通过f′(x)>0和f′(x)<0来求出单调区间.
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时,这些单调区间中间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”隔开或用“和”字连接.题型三 根据函数的单调性求参数范围【例3】 已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在区间(1,+∞)内为增函数,求a的取值范围;解:(1)f′(x)=3x2-a.
依题意,f′(x)=3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,
即a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,
因为g(x)=3x2在(1,+∞)上单调递增,
所以a≤3,
即a的取值范围是(-∞,3].(2)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的取值;(3)若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.方法技巧 已知函数单调性,求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)转化为不等式的恒成立问题来求解:即“若函数单调递增,则f′(x)≥0;若函数单调递减,则f′(x)≤0”.题型四 函数的图象与导数值的关系【例4】 已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )解析:由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的,且先由“平缓”变“陡峭”,再由“陡峭”变“平缓”.观察图象可得B正确.故选B.方法技巧 函数的图象与导数值的关系
(1)当f′(x)>0时,f(x)图象上升;当f′(x)<0时,f(x)图象下降.
(2)当|f′(x)|越大,f(x)图象越“陡峭”;当|f′(x)|越小,f(x)图象越“平缓”.即时训练4:已知函数y=f(x)的导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( )解析:当x<0时,由导函数f′(x)=ax2+bx+c<0,知相应的函数f(x)在该区间上单调递减;当x>0时,由导函数f′(x)=ax2+bx+c的图象可知,导数在区间(0,x1)内的值是大于0的,则在此区间内函数f(x)单调递增.只有D选项满足题意.故选D.题型五 易错辨析——求单调区间时忽视定义域致误错解:(-∞,1)
纠错:忽视函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).答案:(-∞,0),(0,1)学霸经验分享区利用导数研究函数单调性的方法
(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.谢谢观赏！课件24张PPT。3.3.2 函数的极值与导数新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象如图所示:极值点与极值问题1:y=f(x)在x1,x2,x3,x4处的导数等于多少?
答案:都等于零.
问题2:在x=x1和x=x2附近两侧导数f′(x)的符号有什么特点?
答案:f′(x)在x=x1左侧符号为正,右侧符号为负;
在x=x2左侧符号为负,右侧符号为正.
问题3:函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是否唯一?
答案:函数的极大值不一定大于极小值,如图所示极大值f(x1)小于极小值f(x4).函数的极大值和极小值并不唯一如f(x1),f(x3)都是极大值;f(x2),f(x4)都是极小值.
问题4:导数等于零的点一定是极值点吗?导数为零是该点为极值点的什么条件?
答案:导数等于零的点不一定是极值点,如y=x3在x=0处的导数为零,但x=0不是极值点;极值点的导数一定为零,因此导数为零是该点为极值点的必要不充分条件.梳理
1.函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值 ,且f′(a)=0,而且在x=a附近的左侧 ,右侧 ,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.
2.函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 ,且f′(b)=0,而且在x=b附近的左侧 ,右侧 ,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.都小f′(x)<0f′(x)>0都大f′(x)>0f′(x)<0知识点二求定义域→求f′(x)→求方程f′(x)=0的根→列表检验f′(x)在f′(x)=0的根的附近两侧的符号→下结论.
名师点津:(1)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
(2)f′(x0)=0时,x0不一定是极值点.函数极值的求法题型一 利用导数求函数的极值课堂探究 素养提升【例1】 求函数f(x)=x2e-x的极值.方法技巧 求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定定义域,求导函数f′(x);
(2)求解不等式f′(x)>0得增区间,求解f′(x)<0得减区间,再判断f′(x) =0的解左右f′(x)的正负得极值点;
(3)求出极值.答案:0 0 2 4题型二 由极值求参数【例2】 (2017·马山县期末)设x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求常数a,b;
(2)判断x=-2,x=4是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.解:(1)f′(x)=3x2+2ax+b.可知x=-2和x=4是方程f′(x)=0的两根,
则a=-3,b=-24.
(2)x=-2是f(x)的极大值点,x=4是f(x)的极小值点.理由如下:
f′(x)=3(x+2)(x-4),得
当x<-2时,f′(x)>0;
当-2所以x=-2是f(x)的极大值点.
当x>4时,f′(x)>0,则x=4是f(x)的极小值点.方法技巧 已知函数的极值点,求参数问题的解题步骤
(1)求函数的导数f′(x);
(2)由极值点的导数为0,列出方程(组),求解参数.
(3)当求出参数多于一组解时,一定要验证是否满足题目的条件.即时训练2:(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由;解:(1)由频率分布直方图,可知:月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]各组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,
解得a=0.30.
(2)由(1)知,100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计该市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.(3)估计居民月均用水量的中位数.解:(3)设中位数为x吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,
所以2≤x<2.5.
由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.
故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.题型三 函数极值的综合应用【例3】 a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没有可能无实根?解:令f(x)=x3-3x2,y=a.f(x)的定义域为R.
方程x3-3x2-a=0的根的个数即x3-3x2=a根的个数,
f(x)=x3-3x2与y=a交点个数.
由f′(x)=3x2-6x=0.得x=0或x=2,
所以当x<0或x>2时,f′(x)>0;当0函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4,如图所示,
故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;
当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;
当-4由图象可知,原方程不可能无实根.方法技巧 利用求函数极值的方法确定方程解的个数时,要根据所求极值,画出函数的大致图象,运用数形结合的思想求解.即时训练3:(2018·郑州高二监测)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表:f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示.
(1)f(x)的极小值为 ;?答案:(1)0(2)若函数y=f(x)-a有4个零点,则实数a的取值范围为 .?解析:(2)y=f(x)的图象如图所示:
若函数y=f(x)-a有4个零点,
则a的取值范围为1≤a<2.
答案:(2)[1,2)题型四 易错辨析——忽视函数极值存在的条件致误【例4】 (2018·贵阳高二检测)已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m+n= .?纠错:导数等于零的点不一定是函数的极值点,需要判断f′(x)在该点左右两侧的符号是否相反.答案:11学霸经验分享区解决函数极值问题的一般流程谢谢观赏！课件27张PPT。3.3.3 函数的最大(小)值与导数新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一函数y=f(x)在闭区间[a,b]内的图象如图所示:函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最值问题1:你能找出y=f(x)在闭区间[a,b]内的极大值、极小值吗?
答案:可以.f(x1),f(x3)都是极大值;f(x2),f(x4)都是极小值.
问题2:你能找出y=f(x)在闭区间[a,b]内的最大值、最小值吗?
答案:最大值是f(x3),最小值是f(x2).
问题3:函数的极值一定是最大值或最小值吗?
答案:不一定,如f(x1)是极大值,但它不是最大值,f(x4)是极小值,但它不是最小值.
梳理 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有 和 .函数的最值必在端点处或极值点处取得.连续不断最大值最小值知识点二(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 .
(2)将函数y=f(x)的各极值与 比较,其中 的一个是最大值, 的一个是最小值. 求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤极值端点处的函数值f(a),f(b)最大最小名师点津:(1)若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]内一定有最值.
(2)若函数f(x)在[a,b]内是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.
(3)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.题型一 求函数的最值课堂探究 素养提升【例1】 求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.方法技巧 (1)求函数最值时,若函数f(x)的定义域是闭区间,则需比较极值点处函数值与端点函数值的大小才能确定函数的最值.(2)若f(x)的定义域是开区间且只有一个极值点,则该极值点就是最值点.(3)若f(x)为单调函数,则端点就是最值点.即时训练1:函数y=2x3-3x2-12x+5在[-2,1]上的最大值、最小值分别是( )
(A)12;-8 (B)1;-8
(C)12;-15 (D)5;-16解析:y′=6x2-6x-12,由y′=0?x=-1或x=2(舍去).
x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.
所以ymax=12,ymin=-8.故选A.A题型二 由函数的最值求参数(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.方法技巧 已知函数最值求参数的思路
先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)求解.即时训练2:(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性;(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.题型三 与函数最值有关的不等式恒成立问题【例3】 (2017·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.方法技巧 恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决,常用分类讨论(求最值)法或分离参数法.在不等式或方程中,参数只出现一次,或在几个项中出现的参数只是一次的形式,可以对不等式或方程进行变形,把参数分离到一边去,而另一边则是x的表达式.解:(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),
由a>1知,2a>2,当x<2时,
f′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;
当2故f(x)在区间(2,2a)上是减函数;
当x>2a时,f′(x)>0,
故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数.
综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.题型四 易错辨析——“存在”与“任意”分辨不清错解:选A.
纠错:f(x0)≤0有解等价于a小于等于h(x)=x-xln x的最大值,而不是a大于等于h(x)=x-xln x的最大值.学霸经验分享区函数的最大值、最小值是比较整个定义域区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.谢谢观赏！课件29张PPT。3.4 生活中的优化问题举例新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点梳理 (1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 .优化问题优化问题(2)解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.数学建模名师点津:利用导数解决生活中优化问题的方法
求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数的最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.题型一 与几何有关的最值问题课堂探究 素养提升【例1】 (2018·青岛高二检测)用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解:设容器的高为x cm,容器的体积为V(x) cm3.
则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4 320x(0V′(x)=12x2-552x+4 320=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36)(0令V′(x)=0,得x1=10,x2=36(舍去).
当00,V(x)是增函数;
当10因此,在定义域(0,24)内,只有当x=10时函数V(x)取得最大值,其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19 600(cm3).
故当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积是19 600 cm3.方法技巧 解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.即时训练1:某出版社出版一读物,一页上所印文字占去150 cm2,上、下要留1.5 cm空白,左、右要留1 cm空白,出版商为节约纸张,应选用怎样尺寸的页面?题型二 费用最省问题(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?方法技巧 实际问题中,若在定义域内只有一个极值点,则它就是最值点;若在定义域内函数单调,则根据单调性求最值.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.题型三 利润最大问题(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)即时训练3:某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;解:(1)若商品降低x元,则一个星期多卖的商品为kx2件.
由已知条件,得k·22=24,解得k=6.
若记一个星期的商品销售利润为f(x),
则有f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,21].(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?题型四 易错辨析——忽视分类讨论致误(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该容器的建造费用最小时的r.纠错:没有对r进行讨论.谢谢观赏！