课件21张PPT。第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命 题新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:初中已学过命题的知识,请同学们回顾:什么叫做命题?
答案:一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
梳理 能够 的语句叫做命题,命题一般用 表示,如:p,q,r…….
问题2:命题是由哪几部分构成的?
答案:命题是由命题的条件和结论构成的.
梳理 从构成来看,所有的命题都具由 和 两部分构成.在数学中,命题常写成“若p,则q”或者“如果p,那么q”这种形式,通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的 ,q叫做命题的 .命题的概念判断真假小写英文字母条件结论条件结论问题3:命题怎样分类?
答案:真命题:如果由命题的条件p通过推理一定可以得出命题的结论q,那么这样的命题叫做真命题.
假命题:如果由命题的条件p通过推理不一定可以得出命题的结论q,那么这样的命题叫做假命题.
梳理 一个命题要么是 ,要么是 .真命题假命题知识点二问题4:怎样判断一个数学命题的真假?
答案:(1)数学中判定一个命题是真命题,要经过证明.
(2)要判断一个命题是假命题,只需举一个反例即可.
梳理 判断为 的是真命题,判断为 的命题是假命题.
名师点津:(1)判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假,只有能判断真假的语句才是命题;
(2)真命题是可以经过推理证明正确的命题,假命题只需举一反例说明即可;
(3)在判断命题的条件和结论时,可以先将命题改写成“若p则q”的形式,改法不一定唯一.命题的判断真假题型一 命题的概念课堂探究 素养提升解:由命题的定义知(1),(2),(4),(5)是命题;(3)是疑问句,不是命题;(6)中x是未知变量,不能判断真假,不是命题.方法技巧 (1)命题是可以判断真假的陈述句,因此,一般的疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
(2)对于含变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断其真假,若能,就是命题,若不能,就不是命题.解析:(1)是疑问句,所以不是命题.
(2)(6)不能判断真假,不是命题.
(3)(5)是陈述句且能判断真假,是命题.
(4)是祈使句,不是陈述句,所以不是命题.解析:①是陈述句,假命题;②是祈使句,不是命题;③是陈述句,是真命题;④无法判断“2x2+x>3”是否成立,所以不是命题;⑤是疑问句,不是命题;⑥是命题.故选B.题型二 命题真假判断【例2】 判断下列命题的真假
(1)末位是0的整数能被5整除;
(2)平行四边形的对角线相等且互相平分;
(3)两直线平行,则斜率相等;
(4)在△ABC中,若∠A=∠B,则cos A=cos B.解:(1)(4)是真命题;(2)(3)是假命题.方法技巧 命题真假的判断方法
(1)分清命题的条件和结论,是对命题进行真假判断的关键;
(2)判断一个命题是假命题,只需要举一个反例即可,判断一个命题为真命题,需经过严格的推理论证,在判断时,要有推理依据.数学中的定义、定理、公理和公式都是真命题.即时训练2:给出下列命题:
①若直线l⊥平面α,直线m⊥平面α,则l⊥m;
②若a,b都是正实数,则a+b≥2 ;
③若x2>x,则x>1;
④函数y=x3是指数函数.
其中假命题为( )
(A)①③ (B)①②③
(C)①③④ (D)①④解析:①显然错误,所以①是假命题;由基本不等式,知②是真命题;③中,由x2>x,得x<0或x>1,所以③是假命题;④中函数y=x3是幂函数,不是指数函数,④是假命题.故选C.【备用例2】 下列命题中是真命题的是( )
(A)互余的两个角不相等
(B)相等的两个角是内错角
(C)若a2=b2,则|a|=|b|
(D)三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析:由平面几何知识可知A,B,D三项都是错误的.故选C.题型三 命题的结构【例3】 把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.
(1)乘积为1的两个实数互为倒数;
(2)奇函数的图象关于原点对称;
(3)与同一直线平行的两个平面平行.解:(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.
(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.
(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.方法技巧 把一个命题改写成“若p,则q”的形式,首先要确定命题的条件和结论,若条件和结论比较隐含,要补充完整,有时一个条件有多个结论,有时一个结论需多个条件,还要注意有的命题改写形式也不唯一.即时训练3:把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假:
(1)奇数不能被2整除;
(2)实数的平方是正数;
(3)已知x,y为正整数,当y=x+1时,y=3,x=2.解:(1)若一个数是奇数,则这个数不能被2整除,是真命题.
(2)若一个数是实数,则这个数的平方是正数,是假命题.0的平方还是0,不是正数.
(3)已知x,y为正整数,若y=x+1,则y=3且x=2,是假命题.例如y=4,x=3也符合条件.题型四 易错辨析——概念理解不清导致失误【例4】 下列语句是命题的是 .?
(1)x-1=0;
(2)2+3=8;
(3)你会说口语吗?
(4)这是一棵大树.错解:(1)(2)(4)是命题.
纠错:(1),(4)不能判断真假,故(1)(4)不是命题.
正解:(2)是命题.学霸经验分享区(1)一般的疑问句、祈使句、感叹句都不是命题;
(2)含有变量的命题,要根据变量的范围加以判断,若能判断其真假,就是命题,否则就不是命题.谢谢观赏！课件23张PPT。1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:若原命题为“若p,则q”的形式,则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式?
答案:原命题:“若p,则q”则:
逆命题:“若q,则p”.
否命题:“若非p,则非q”.
逆否命题:“非q,则非p”.
梳理 (1)互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
,这样的两个命题叫做互逆命题,把其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的 .四种命题的概念结论和条件逆命题(2)互否命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 .
,这样的两个命题叫做互否命题,把其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的 .
(3)互为逆否命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 .
,这样的两个命题叫做互为逆否命题,把其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的 .条件的否定和结论的否定否命题结论的否定和条件的否定逆否命题知识点二问题2:原命题为真,它的逆否命题的真假性如何?
答案:原命题为真,它的逆否命题一定为真.
梳理 四种命题的相互关系如图所示.四种命题的相互关系若q,则p若?p,则?q若?q,则?p知识点三问题3:四种命题中,真命题的个数可能为多少?
答案:0或2或4.
梳理 一般地,四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况:四种命题的真假性真真假真真假假假题型一 命题的改写课堂探究 素养提升规范解答:(1)原命题:“若a是正数,则a的平方根不等于0”.
逆命题:“若a的平方根不等于0,则a是正数”.
否命题:“若a不是正数,则a的平方根等于0”.
逆否命题:“若a的平方根等于0,则a不是正数”.【例1】 把下列命题写成“若p,则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)正数的平方根不等于0;规范解答:(2)原命题:“若x=2,则x2+x-6=0”.
逆命题:“若x2+x-6=0,则x=2”.
否命题:“若x≠2,则x2+x-6≠0”.
逆否命题:“若x2+x-6≠0,则x≠2”.
(3)原命题:“若两个角是对顶角,则它们相等”.
逆命题:“若两个角相等,则它们是对顶角”.
否命题:“若两个角不是对顶角,则它们不相等”.
逆否命题:“若两个角不相等,则它们不是对顶角”.(2)当x=2时,x2+x-6=0;
(3)对顶角相等.方法技巧 写出一个命题的其他三种命题的步骤
(1)分析命题的条件和结论;
(2)将命题写成“若p,则q”的形式;
(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题.解:(1)逆命题:如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线;
否命题:如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线不垂直于这个平面;
逆否命题:如果一条直线不垂直于一个平面,那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线.即时训练1:写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于这个平面;解:(2)逆命题:如果x>0,那么x>10;
否命题:如果x≤10,那么x≤0;
逆否命题:如果x≤0,那么x≤10.
(3)逆命题:如果x2+x-6=0,那么x=2;
否命题:如果x≠2,那么x2+x-6≠0;
逆否命题:如果x2+x-6≠0,那么x≠2.(2)如果x>10,那么x>0;
(3)当x=2时,x2+x-6=0.解析:由否命题定义可知,其否命题是“若a≠0,则ab≠0”.故选C.【备用例1】 (2017·枣阳市高二月考)命题“若a=0,则ab=0”的否命题是( )
(A)若ab=0,则a=0 (B)若ab=0,则a≠0
(C)若a≠0,则ab≠0 (D)若ab≠0,则a≠0题型二 四种命题的关系及其真假性判断【例2】 (2018·临川高二检测)有下列四个命题:
(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
(2)“对顶角相等”的逆命题;
(3)“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;
(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题.
其中真命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:(1)“若x+y≠0,则x与y不是相反数”是真命题.
(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题.
(3)原命题的否命题是“若x>-3,则x2-x-6≤0”,解不等式x2-x-6≤0可得-2≤x≤
3,当x=4时,x>-3而x2-x-6=6>0,故是假命题.
(4)“若一个三角形的两锐角互为余角,则这个三角形是直角三角形”,真命题.故选C.方法技巧 (1)真假命题判断的两个重要依据:①原命题与逆否命题同真假;②否命题与逆命题同真假.
(2)判断四种命题的真假,只判断原命题和逆命题的真假即可.
(3)四种命题中,真命题的个数只能是0,2,4.即时训练2:已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题,在这四个命题中( )
(A)真命题个数一定是奇数
(B)真命题个数一定是偶数
(C)真命题个数可能是奇数,也可能是偶数
(D)以上判断都不对解析:若原命题是真命题,则它的逆否命题一定是真命题,一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题一定是真命题.故选B.题型三 等价命题的应用【例3】 命题“若m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题是真命题吗?证明你的结论.方法技巧 直接证明困难时,命题是否定的形式或不等式的形式时,常常考虑用证明逆否命题的方法来证明.即时训练3:证明:对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b. 证明:将“对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b”视为原命题.要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆否命题“对任意非正数c,若a>b,则a>b+c”为真命题.
若a>b,由c≤0知,b≥b+c,所以a>b+c.
所以原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题.即对任意非正数c,若a≤b+c,则a≤b.【备用例2】 命题:对任意x∈R,ax2-2ax-3>0不成立是真命题,求实数a的取值范围.题型四 易错辨析——四种命题之间的关系理解不清导致失误【例4】 (2018·邯郸高二月考)给出命题:“若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”,在该命题及它的逆命题、否命题、逆否命题四个命题中,真命题的个数是( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1错解:选D.
纠错:原命题与其逆否命题等价,否命题与逆命题等价,故真命题的个数可能为偶数0,2,4.
正解:原命题为真命题,则其逆否命题为真命题;逆命题为假命题,其否命题也为假命题.故选C.学霸经验分享区1.两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
2.两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
3.直接判断一个命题真假比较困难时可以判断它的逆否命题的真假.谢谢观赏！课件23张PPT。1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一梳理 一般地,如果“若p,则q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,记作:
“ ”;
如果“若p,则q”为假,即如果p成立,那么q不一定成立,记作:“ ”.推出符号“?”的含义p?q知识点二梳理 (1)一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作 ,
并且说p是q的 条件,q是p的 条件.
(2)“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作 ,这时,我们就说p不是q的 条件,q不是p的 条件.充分条件与必要条件p?q必要充分必要充分梳理 一般地,如果既有p?q,又有q?p,就记作 ,此时,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件,显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概况地说,如果p?q,那么p与q互为 .
名师点津:借助“子集概念”理解充分条件与必要条件.设A,B为两个集合,集合A?B是指x∈A?x∈B.这就是说,“x∈A”是“x∈B”的充分条件,“x∈B”是“x∈A”的必要条件.对于真命题“若p则q”,即p?q,若把p看做集合A,把q看做集合B,“p?q”相当于“A?B”.p?q充要条件知识点三充要条件题型一 充分、必要、充要条件的判断课堂探究 素养提升解析:(1)若x>|y|,则-x由x>y是-x即x>y是x>|y|的必要不充分条件.故选C.【例1】 (1)(2016·天津卷)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )
(A)充要条件
(B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件
(D)既不充分也不必要条件解析:(2)由a?α,b?β,因此当直线a,b相交时,平面α,β一定相交,但平面α,β相交时,直线a,b可以异面.故“直线a和b相交”是“平面α和β相交”的充分不必要条件.故选A.
(3)解不等式x2-3x<0得0(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(3)使不等式x2-3x<0成立的充分而不必要条件是( )
(A)03方法技巧 充分、必要、充要条件的判断方法
若p?q,q p,则p是q的充分不必要条件;
若p q,q?p,则p是q的必要不充分条件;
若p?q,q?p,则p是q的充要条件;
若p q,q p,则p是q的既不充分也不必要条件.即时训练1:(1)(2017·哈师大附中高二期末)集合M={x|0{x|0(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件(2)(2017·银川一中高二期末)已知条件p:|x-1|<2,条件q:x2-5x-6<0,则p是q的( )
(A)充分必要条件
(B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件
(D)既不充分又不必要条件
(3)设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( )
(A)x>1 (B)x<1 (C)x>3 (D)x<3(3)首先要分清“条件p”(此题中是选项A或B或C或D)和“结论q”(此题中是“x>2”),p是q的必要不充分条件,即p不能推出q且q?p,显然只有A满足.【备用例1】 (2016·葫芦岛高二月考)“m=2”是“直线3x+(m+1)y-(m-7)=0与直线mx+2y+3m=0平行”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件题型二 已知充分、必要条件求参数的值或范围【例2】 (2017·崇礼县期中)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.
(1)求p中对应x的范围;规范解答:(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,
即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,
即p中对应x的范围为[1,4].(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.误区警示 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤:
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系;
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.即时训练2:(2018·襄阳高二检测)已知p:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,q:2x2-3x-2≥0,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.题型三 充要条件的求解与证明【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.方法技巧 充要条件的证明步骤:
(1)证充分性:由条件推出结论.
(2)证必要性:由结论推出条件.即时训练3:证明:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.证明:必要性:对于x,y∈R,如果x2+y2=0,
则x=0,y=0,即xy=0,
故xy=0是x2+y2=0的必要条件;
不充分性:对于x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,
故xy=0是x2+y2=0的不充分条件.
综上所述:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.题型四 易错辨析——充分条件与必要条件概念不清致误【例4】 下列四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
(A)a>b+1 (B)a>b-1 (C)a2>b2 (D)a3>b3错解:选D.
纠错:a>b?a3>b3,选项D为a>b的充要条件.
正解:因为a>b+1?a-b>1?a-b>0?a>b,所以a>b+1是a>b的充分条件.
又因为a>b?a-b>0 a>b+1,所以a>b+1不是a>b的必要条件,
所以a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件.故选A.
另解(特例排除法) 当a=2=b时,满足a>b-1,但a>b不成立;又a=-3,b=-2时,a2>b2,但a>b不成立;a>b?a3>b3.故B,C,D选项都不对.故选A.学霸经验分享区1.判断充分条件与必要条件时要分清条件与结论分别是什么;
2.充要条件之间具有传递性.谢谢观赏！课件30张PPT。1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)
1.3.3 非(not)新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:结合你学过的知识,谈谈你对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解.
答案:生活中的“或”的意义与逻辑联结词“或”意义不同,前者是从两者任选其一的意思,而后者是两者可以任选其一,也可以两者都选.生活中的“且”的意义与逻辑联结词“且”意义相同,都是两者同时成立的意思.生活中的“非”的意义与逻辑联结词“非”意义相同,都是全盘否定的意思.含有逻辑联结词的命题及其记法梳理 p∧qp∨q?p知识点二问题2:如何判断含有逻辑联结词的命题的真假?
答案:可以先判断简单命题p,q的真假,再依据真值表得出结论.
梳理 命题p∧q,p∨q,p的真假判定含有逻辑联结词的命题的真假判断真真假假真假假真真假假真名师点津:(1)命题“p∧q”真假规律:两真则真,一假则假;
(2)命题“p∨q”真假规律:一真则真,两假则假;
(3)命题“?p”真假规律:p与?p真假相反.题型一 含有逻辑联结词的命题的构成课堂探究 素养提升解:(2)p∨q:5不是15的约数或5是15的倍数;
p∧q:5不是15的约数且5是15的倍数;
?p:5是15的约数.
(3)p∨q:空集是任何集合的子集或真子集;
p∧q:空集是任何集合的子集且是真子集;
?p:空集不是任何集合的子集.(2)p:5不是15的约数;q:5是15的倍数;
(3)p:空集是任何集合的子集;q:空集是任何集合的真子集.方法技巧 用逻辑联结词构造新命题的步骤:
(1)确定两个简单命题p,q;
(2)用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来或将p全盘否定,得到新命题.【备用例1】 命题“若x2+y2=0,则x=y=0 ”的否命题是 ,
否定是 .?解析:将“x=y=0”否定得“x,y中至少有一个不为0”,故原命题的否命题为“若x2+y2≠0,则x,y中至少有一个不为0”.命题的否定是只否定结论,故应为“若x2+y2=0,则x,y中至少有一个不为0.”
答案:若x2+y2≠0,则x,y中至少有一个不为0 若x2+y2=0,则x,y中至少有一个不为0题型二 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例2】 分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“?p”形式的命题的真假:
(1)p:6<6,q:6=6;
(2)p:梯形的对角线相等;q:梯形的对角线互相平分;
(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点;
q:不等式x2+x+2<0无解.解:(1)因为p为假命题,q为真命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,?p为真命题.
(2)因为p为假命题,q为假命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为假命题,?p为真命题.
(3)因为p为真命题,q为真命题,
所以p∧q为真命题,p∨q为真命题,?p为假命题.误区警示 判断命题真假的三个步骤
(1)明确命题的结构,即命题是“p∧q”“p∨q”,还是“?p”;
(2)对命题p和q的真假作出判断;
(3)由“p∧q”“p∨q”“?p”的真假判断方法给出结论.即时训练2:(1)(2018·莆田高二月考)如果命题“p或q”是真命题,“p且q”是假命题.那么( )
(A)命题p和命题q都是假命题
(B)命题p和命题q都是真命题
(C)命题p为真命题,q为假命题
(D)命题q和命题p的真假不同解析:(1)“p或q”是真命题,则p,q至少有一个是真命题;“p且q”是假命题,则p,q至少有一个是假命题,所以p,q有且只有一个是真命题.故选D.(2)如果命题“?(p∨q)”为假命题,则( )
(A)p,q均为真命题
(B)p,q均为假命题
(C)p,q至少有一个为真命题
(D)p,q中至多有一个为假命题解析:(2)“?(p∨q)”为假命题,则“p∨q”为真命题,即p,q中至少有一个为真命题.故选C.【备用例2】 (1)(2017·吉林高二月考)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;
q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )
(A)p∧q (B)(?p)∧(?q)
(C)(?p)∧q (D)p∧(?q)解析:(1)因为命题p对任意x∈R,总有2x>0,根据指数函数的性质判断是真命题;命题q:“x>1”不能推出“x>2”;但是“x>2”能推出“x>1”,所以:“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q是假命题,所以p∧(?q)为真命题;故选D.(2)(2017·口泉中学高二月考)已知p,q是简单命题,则“p或q为真”是“p且q为真”的( )
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件解析:(2) p或q为真则至少有一个为真,p且q为真需同时为真,因此可由p且q为真得到p或q为真,因此“p或q为真”是“p且q为真”的必要不充分条件.故选B.题型三 已知命题的真假求参数的范围【例3】 (2018·安庆高二期中)已知p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.一题多变:已知p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根;q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,若p∧q为假命题,求m的取值范围.方法技巧 利用含逻辑联结词的命题的真假求参数范围的步骤:
(1)分别求出命题p,q为真时对应参数的范围;
(2)由“p∧q”“p∨q”“?p”的真假确定p,q的真假;
(3)由p,q的真假转化为相应的不等式(组);
(4)解不等式(组)得到参数的取值范围.即时训练3:(2018·九江高二期中)已知命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立;命题q:函数f(x)=-(5-2a)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【备用例3】 (2017·枣阳市高二期中)两个命题p:“对任意实数x都有ax2+
ax+1>0恒成立”;q:“关于x的方程x2-x+a=0有两个不等的实数根”,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a的取值范围是 .?解析:因为对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立,
①a=0时,1>0恒成立题型四 易错辨析——复合命题真假分辨不清【例4】 已知命题p:π是有理数,命题q:x2-3x+2<0的解集是(1,2).给出下列结论:
(1)命题p∧q是真命题;
(2)命题p∧(?q)是假命题;
(3)命题(?p)∨q是真命题;
(4)命题(?p)∨(?q)是假命题,其中正确的是( )
(A)(1)(3) (B)(2)(4)
(C)(2)(3) (D)(1)(4)错解:选B.
纠错:真值表没有记住.
正解:选C.
因为命题p:π是有理数,是假命题,命题q:x2-3x+2<0的解集是(1,2)是真命题,
所以?p是真命题,?q是假命题,所以(1)“命题p∧q是真命题”错误;
(2)“命题p∧(?q)是假命题”,正确;
(3)“命题(?p)∨q是真命题”,正确;
(4)“命题(?p)∨(?q)是假命题”,错误.学霸经验分享区1.“p∨q”的否定是“(?p)∧(?q)”;“p∧q”的否定是“(?p)∨(?q)”.
2.“且”“或”“非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的“交”“并”“补”,因此,常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词构成的命题问题.谢谢观赏！课件24张PPT。1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一问题1:结合你学过的知识,谈谈你对全称量词的含义的理解.
答案:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量词.
梳理 全称量词有:所有的、任意一个、任给一个,用符号“ ”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对M中的所有x,p(x)”用符号简记为:
.全称量词与全称命题??x∈M,p(x) 知识点二问题2:结合你学过的知识,谈谈你对存在量词的含义的理解.
答案:短语“有一个”“有些”或“至少一个”,在陈述中表示所述事物的个体或部分,在逻辑中通常叫做存在量词.
梳理 存在量词有:存在一个、至少有一个、有些,用符号“ ”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在集合M中的元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为 .
名师点津:全称量词相当于日常语言中“所有”“一切”“任意一个”等;存在量词相当于日常语言中“存在一个”“有一个”“有些”“至少有一个”“至多有一个”等.存在量词与特称命题??x0∈M,p(x0) 题型一 全称命题与特称命题的判定课堂探究 素养提升解析:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称命题.
(2)含有全称量词“任意”,故是全称命题;
(3)是命题,但既不是全称命题,也不是特称命题;【例1】 判断下列语句是全称命题,还是特称命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;
(3)0不能作除数;解析:(4)含有存在量词“有一个”,因此是特称命题;
(5)不是命题.(4)有一个实数a,a不能取对数.
(5)任何数的0次方都等于1吗?方法技巧 判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路:
(1)首先判断是否是命题,(2)根据命题所含量词进行判断,(3)对于不含量词或省略了量词的命题要根据命题所涉及的实际意义进行判断.即时训练1:下列命题中,是全称命题的是 ;是特称命题的是 .?
①正方形的四条边相等;
②有两个角相等的三角形是等腰三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.解析:①可表述为“每一个正方形的四条边相等”,是全称命题;②是全称命题,即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”;③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题;④是特称命题.
答案:①②③ ④题型二 全称命题与特称命题的真假判断【例2】 (2018·胶州高二质检)已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )
(A)存在x∈R,f(x)≤f(x0)
(B)存在x∈R,f(x)≥f(x0)
(C)对任意x∈R,f(x)≤f(x0)
(D)对任意x∈R,f(x)≥f(x0)解析:由题知:x0=- 为函数f(x)图象的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)≥f(x0),因此对任意x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的,故选C.方法技巧 (1)全称命题的真假判断
要判定一个全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.
(2)特称命题的真假判断
要判断特称命题“?x0∈M,p(x0)”为真命题,只需在限定集合M中找出一个x=x0,使得p(x0)成立即可;要判断特称命题为假命题,就要验证集合M中的每个元素x都不能满足p(x),即在集合M中,使p(x0)成立的元素x0不存在.题型三 全称命题与特称命题的应用解:p?a≤(x2)min=1.q?Δ=4a2-4(a+2)≥0?a≤-1或a≥2.
因为“p或q”为真命题,
所以p,q中至少有一个真命题.
所以a≤1或a≤-1或a≥2,
所以a≤1或a≥2.
所以“p或q”是真命题时,实数a的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞).方法技巧 (1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.
(2)含参数的特称命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.即时训练3:已知命题p:?x>0,(m+1)x≤0.命题q:?x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若p∧q为假命题且p∨q为真命题,则m的取值范围是 .?解析:p:m≤-1,q:-2因为p∧q为假命题且p∨q为真命题,
所以p与q一真一假,
当p假q真时,-1当p真q假时,m≤-2,
所以m的取值范围是m≤-2或-1(1)若(?p)∧q为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.题型四 易错辨析——不会判断全称命题与特称命题的真假【例4】 (2018·贵阳高二检测)下列命题中是假命题的是( )
(A)?m∈R,使f(x)=(m-1)·是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减
(B)?a>0,函数f(x)=ln2x+ln x-a有零点
(C)?α,β∈R,使cos(α+β)=cos α+sin β
(D)?φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数错解:选C
纠错:判断全称命题为真时需给出严格的证明,为假时只需举出一个反例;判断特称命题为真时,只需找出满足条件的一个对象,为假时可用反证法.学霸经验分享区(1)判定全称命题真假的方法.
①定义法:对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为真;
②代入法:对给定的集合内找出一个元素x0,使p(x0)为假,则全称命题为假.
(2)判定特称命题真假的方法.代入法:对给定的集合内找出一个元素x0,使p(x0)为真,否则命题为假.谢谢观赏！课件20张PPT。1.4.3 含有一个量词的命题的否定新知探求课堂探究新知探求 素养养成知识点一?x0∈M,?p(x0)特称命题全称命题的否定知识点二名师点津:常见的一些词语及其否定如下:特称命题的否定?x∈M,?p(x)全称命题题型一 全称命题的否定及其真假判断课堂探究 素养提升【例1】 写出下列全称命题的否定并判断其真假:
(1)不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根;解:(2)命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.(4)全称命题,它的否定是特称命题,
? q:至少存在一个正方形不是矩形,假命题.方法技巧 对全称命题否定的步骤
(1)改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词,对省略全称量词的全称命题可补上量词.
(2)否定性质:把全称命题的结论否定.即时训练1:写出下列全称命题的否定:
(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;
(2)p:每一个四边形的四个顶点共圆;
(3)p:对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3.解:(1)?p:存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)?p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.【备用例1】 命题“任意x∈R,若y>0,则x2+y>0”的否定是 .?题型二 特称命题的否定及其真假判断解:(1)命题的否定:任一个梯形的对角线都不互相平分,是真命题.
(2)特称命题,它的否定是全称命题,?r:?x∈R,x2+2x+2>0,真命题.
(3)特称命题,它的否定是全称命题,?s:?x∈R,x3+1≠0,假命题,例如x=-1,x3+1=0.方法技巧 对特称命题否定的步骤
(1)改变量词:把存在量词改为恰当的全称量词.
(2)否定性质:把特称命题的结论否定.即时训练2:(2018·蚌埠高二月考)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则( )
(A)?p:?x∈A,2x∈B (B)?p:?x?A,2x∈B
(C)?p:?x∈A,2x?B (D)?p:?x?A,2x?B解析:命题p:?x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定?p应为?x∈A,2x?B,故选C.题型三 含量词的命题求参数【例3】 若?x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点,求实数a的取值范围.解:(1)当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒相交,所以a∈R.
(2)当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0恒成立,即4m2+4am+1≥0恒成立.
又4m2+4am+1≥0是一个关于m的二次不等式,恒成立的充要条件是Δ=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1.
综上所述,当m=0时,a∈R;
当m≠0,a∈[-1,1].解:(1)当m=0时,f(x)=x-a与x轴恒相交,
所以a∈R.
(2)当m≠0时,二次函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴有公共点的充要条件是Δ=1+4m(m+a)≥0成立,
即4m2+4am+1≥0成立.
所以16a2-16≥0.
当m≠0,a∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
综上所述,当m=0时,a∈R,当m≠0时,a∈(-∞,-1]∪[1,+∞).摇身一变:若?x∈R,函数f(x)=mx2+x-m-a的图象和x轴有公共点,求实数a的取值范围.方法技巧 对于“至多”“至少”命题,或命题为假命题的命题求参数,通常先考虑命题的否定,求出相应的集合,再求其补集.即时训练3:(2018·厦门质检)若命题“存在实数x,使x2+ax+1<0”的否定是假命题,则实数a的取值范围为 .?解析:依题意“存在实数x,使x2+ax+1<0”是真命题,
所以方程x2+ax+1=0有不等的实根,所以Δ=a2-4>0,得a<-2或a>2.
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)答案:[0,4]题型四 易错辨析——含有量词的命题的否定不当【例4】 命题“?x0∈R,≤0”的否定是 .?错解:?x∈R,x2>0
纠错:只否定结论.
正解:?x∈R,x2>0.学霸经验分享区1.全称命题的否定是一个特称命题,即全称命题p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x∈M,?p(x).
2.特称命题的否定是一个全称命题,即特称命题p:?x∈M,p(x),它的否定?p:?x∈M,?p(x).
3.对含有一个量词的命题进行否定时,一要注意对量词的否定,二要注意对结论的否定.谢谢观赏！
