课件46张PPT。2.1.1 合情推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发现中的作用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 归纳推理思考 (1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体.
以上属于什么推理？
答案 属于归纳推理.梳理 (1)定义：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由 概括出_________的推理，称为归纳推理(简称归纳).
(2)特征：由 到 ，由 到 的推理.部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体个别一般思考 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：
(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？
答案 类比推理.知识点二 类比推理梳理 (1)定义：由两类对象具有某些 特征和其中一类对象的某些
特征，推出 也具有这些特征的推理称为类比推理.
(2)特征：由 到 的推理.类似已知另一类对象特殊特殊思考 归纳推理与类比推理有何区别与联系？
答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理.
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.知识点三 合情推理梳理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 、
、 、 ，再进行 、 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理.
(2)推理的过程观察分析比较联想归纳类比猜想1.类比推理得到的结论可作为定理应用.( )
2.由个别到一般的推理为归纳推理.( )
3.在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( )[思考辨析 判断正误]√××题型探究类型一 归纳推理命题角度1 数、式中的归纳推理
例1 (1)观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为__________________________________________.解析答案(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)解析 观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1).(2)已知f(x)＝ ，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为__________.解析答案又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，解答引申探究
在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x) (n∈N*)的表达式.又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；
③提炼出等式(或不等式)的综合特点；
④运用归纳推理得出一般结论.
(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋1(n∈N*).
(1)求a2，a3，a4的值；解答解 因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，(2)猜想an的表达式.解答命题角度2 图形中的归纳推理
例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是
?
A.26 B.31 C.32 D.36解析答案√解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
?
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为
A.6n－2 B.8n－2
C.6n＋2 D.8n＋2解析答案√解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an＝8＋(n－1)×6＝6n＋2.类型二 类比推理解析答案解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性：
设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比)：解析答案命题角度2 几何中的类比推理
例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.解答解 如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.
类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.
设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，
相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，
图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.反思与感悟 (1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下跟踪训练4 在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明.解答解 在长方形ABCD中，于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：达标检测12345解析答案√123452.如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为
?
A.白色 B.黑色
C.白色可能性大 D.黑色可能性大解析答案√解析 由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据36÷5＝7余1，
可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即白色.3.观察下列各式：
a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于
A.28 B.76
C.123 D.199
解析 利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和.12345解析答案√答案解析4.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为______.123451∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V1，V2，5.按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为____.答案解析40解析 图1中的点数为4＝1×4，
图2中的点数为8＝2×4，
图3中的点数为12＝3×4，…，
所以图10中的点数为10×4＝40.123451.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为课件37张PPT。2.1.2 演绎推理第二章 §2.1 合情推理与演绎推理学习目标1.理解演绎推理的意义.
2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 演绎推理思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点.
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除.
答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理.梳理 演绎推理的概念某个特殊情况下一般到特殊思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？
答案 分为三段.
大前提：所有的金属都能导电.
小前提：铜是金属.
结论：铜能导电.知识点二 三段论梳理 三段论的基本模式已知的一般原理所研究的特殊情况1.演绎推理的结论一定正确.( )
2.在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断.( )
3.大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的.
( )[思考辨析 判断正误]√×√题型探究类型一 演绎推理与三段论例1 将下列演绎推理写成三段论的形式.
①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；解 平行四边形的对角线互相平分， 大前提
菱形是平行四边形， 小前提
菱形的对角线互相平分. 结论解答②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；解 等腰三角形的两底角相等， 大前提
∠A，∠B是等腰三角形的两底角， 小前提
∠A＝∠B. 结论解答③通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.解 在数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，
大前提
当通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)， 小前提
通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列. 结论解答反思与感悟 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪训练1 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是
A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是
无限不循环小数
B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结
论：π是无理数
C.大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结
论：π是无理数
D.大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循
环小数是无理数解析答案√解析 对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；
对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；
对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；
对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.类型二 演绎推理的应用证明命题角度1 证明几何问题
例2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理.证明 因为同位角相等，两直线平行， 大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A， 小前提
所以FD∥AE. 结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 大前提
DE∥BA，且FD∥AE， 小前提
所以四边形AFDE为平行四边形. 结论
因为平行四边形的对边相等， 大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提
所以ED＝AF. 结论反思与感悟 (1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论.
(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论.跟踪训练2 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提
点E，F分别是AB，AD的中点， 小前提
所以EF∥BD. 结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行，
大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD， 小前提
所以EF∥平面BCD. 结论命题角度2 证明代数问题
例3 设函数f(x)＝ ，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.解答解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R， 大前提
因为f(x)的定义域为R， 小前提
所以x2＋ax＋a≠0恒成立. 结论
所以Δ＝a2－4a<0，所以0
即当0若本例的条件不变，求f(x)的单调递增区间.解答由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.
∵00.
∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞).
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).当2∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞).
综上所述，当0当a＝2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当2(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等.
(3)三角函数的图象与性质.
(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质.
(5)不等式的证明.证明证明 方法一 (定义法)
任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x10，且a>1，所以 >1，
而－10，x2＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数.
方法二 (导数法)又因为a>1，所以ln a>0，ax>0，
所以axln a>0，所以f′(x)>0.达标检测1.下面几种推理过程是演绎推理的是
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁
内角，则∠A＋∠B＝180°
B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数
超过50人
C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质√公式1234解析答案1234解析 A是演绎推理，
B，D是归纳推理，
C是类比推理.12342.指数函数y＝ax(a>1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数.以上推理
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.正确
解析 此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.解析答案√3.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________________________；
小前提：___________________________；
结论：___________________________________.1234答案二次函数的图象是一条抛物线
函数y＝x2＋x＋1是二次函数
函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线证明4.设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.
证明 因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两个相异实根. 大前提
方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式
Δ＝4m2－4(m－1)＝4m2－4m＋4
＝(2m－1)2＋3>0， 小前提
所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根. 结论12341.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.
2.合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.
3.合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.课件34张PPT。2.2.1 综合法和分析法第二章 §2.2 直接证明与间接证明学习目标1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.
2.会用综合法、分析法解决问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？
已知a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明：因为b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
答案 利用已知条件a>0，b>0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论.梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学 、 、____等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的 成立，这种证明方法叫做综合法.
(2)综合法的框图表示(P表示 、已有的 、 、 等，Q表示所要 )定义公理定理推理论证结论已知条件定义公理定理证明的结论思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？知识点二 分析法答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件.梳理 (1)定义：从要证明的 出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件( 、
、 、 等)为止，这种证明方法叫做分析法.
(2)分析法的框图表示结论充分条件已知条件定理定义 公理1.综合法是执果索因的逆推证法.( )
2.分析法就是从结论推向已知.( )
3.分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.
( )[思考辨析 判断正误]√××题型探究类型一 综合法的应用证明证明 因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.反思与感悟 综合法证明问题的步骤跟踪训练1 已知a，b，c为不全相等的正实数.证明又a，b，c为不全相等的正实数，且上述三式等号不能同时成立，类型二 分析法的应用证明当a＋b>0时，用分析法证明如下：∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，综上所述，不等式得证.反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“?”.证明跟踪训练2 已知非零向量a，b，且a⊥b，只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，
即证(|a|－|b|)2≥0，
上式显然成立，故原不等式得证.类型三 分析法与综合法的综合应用证明例3 △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.证明 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2.
因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacos 60°，即b2＝c2＋a2－ac.
所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证.证明引申探究 只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c，
即证a＋b>c.
而a＋b>c显然成立，反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.跟踪训练3 已知a，b，c是不全相等的正数，且0A.分析法
B.综合法
C.综合法、分析法综合使用
D.类比法、12345答案√12345A.a B.b
C.c D.随x取值不同而不同解析答案√√解析 根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2，12345解析答案答案解析4.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2＋b2－c2＝ab，则角C的值为____.12345只需证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，证明123451.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.
2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
3.在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.课件30张PPT。2.2.2 反证法第二章 §2.2 直接证明与间接证明学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.
2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”
思考 本故事中王戎运用了什么论证思想？
答案 运用了反证法思想.梳理 (1)定义：假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这样的证明方法叫做反证法.
(2)反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与 矛盾，或与 矛盾，或与 矛盾等.不成立假设错误原命题成立已知条件假设定义、公理、定理、事实1.反证法属于间接证明问题的方法.( )
2.反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.( )
3.反证法的实质是否定结论导出矛盾.( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究类型一 用反证法证明否定性命题证明例1 已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
证明 假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0.
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
则a＝b＝c＝d＝0，
这与已知条件ad－bc＝1矛盾，故假设不成立.
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型：
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.
(2)用反证法证明数学命题的步骤证明∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac， ②∴a＝c，从而a＝b＝c.
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题证明例2 a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明 假设(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，
所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.证明引申探究
已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于∵a，b，c都是小于1的正数，
∴1－a,1－b,1－c都是正数.反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：证明跟踪训练2 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，
由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，
得Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，
且Δ3＝4a2－4bc≤0.
同向不等式求和，得
4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c.
这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证.类型三 用反证法证明唯一性命题证明例3 求证：方程2x＝3有且只有一个根.
证明 ∵2x＝3，∴x＝log23.
这说明方程2x＝3有根.
下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的.
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则 ＝3, ＝3，两式相除得 ＝1，
∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾.
∴假设不成立，从而原命题得证.反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.跟踪训练3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.
证明 假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，
设α，β为其中的两个实根.
因为α≠β ，不妨设α<β，
又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)这与假设f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根.证明达标检测1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角12345答案√123452.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
解析 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.解析答案√3.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中
A.有一个内角小于60° B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60° D.每一个内角都大于60°√12345答案4.用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设
A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于c
C.a⊥b D.a与b相交12345√答案证明12345证明 假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，12345用反证法证题要把握三点
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的；
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法；
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.课件45张PPT。§ 2.3 数学归纳法第二章 推理与证明学习目标1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.
思考1 验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？
答案 成立.
思考2 能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？
答案 不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立.梳理 (1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与 n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.正整数n＝k＋1(2)数学归纳法的框图表示n=n0n=kn=k+1 从n0开始所有的正整数n1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( )
2.数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
3.数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )[思考辨析 判断正误]√××题型探究类型一 用数学归纳法证明等式证明例1 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N*.证明 (1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，
即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，
即当n＝k＋1时等式也成立.
根据(1)和(2)可知等式对任何n∈N*都成立.反思与感悟 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形.证明(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即当n＝k＋1时，等式也成立.
综合(1)，(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.则当n＝k＋1时，类型二 用数学归纳法证明不等式证明故左边>右边，不等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，命题成立，则当n＝k＋1时，方法一 (分析法)只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0，
只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0，
只需证9k＋5≥0，显然成立.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.方法二 (放缩法)所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立.证明(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，∴当n＝k＋1时，不等式成立.
由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立.反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.证明证明 ①当n＝1时，a1＝a>2，命题成立；∴当n＝k＋1时，命题也成立.
由①②得，对任意正整数n，都有an>2.类型三 归纳—猜想—证明解答(1)用a表示a2，a3，a4；解答(2)猜想an的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明.下面用数学归纳法证明.
①当n＝1时，②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，所以当n＝k＋1时，所以当n＝k＋1时猜想也成立.
根据①与②可知猜想对一切n∈N*都成立.反思与感悟 “归纳—猜想—证明”的一般步骤跟踪训练3 考察下列各式
2＝2×1
3×4＝4×1×3
4×5×6＝8×1×3×5
5×6×7×8＝16×1×3×5×7
你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？解答解 由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6× 7×8＝16×1×3×5×7，…，
猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，
下面利用数学归纳法进行证明.
(1)当n＝1时，猜想显然成立；
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，
(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)
＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)
＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]
所以当n＝k＋1时猜想成立.
根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.达标检测12345答案√解析12345123452.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝ (a≠1)”.在验证n＝1时，左端计算所得项为
A.1＋a B.1＋a＋a2
C.1＋a＋a2＋a3 D.1＋a＋a2＋a3＋a4
解析 将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.解析答案√3.若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时成立，则有n＝k＋1时命题成立.现知命题对n＝n0(n0∈N*)时成立，则有
A.命题对所有正整数都成立
B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D.以上说法都不正确
解析 由已知，得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则n＝n0＋1时命题成立，
在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得，n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，
依此类推，可知选C.√12345答案解析4.用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝ ＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时，等式也成立.由此可知对于任何n∈N*，等式都成立.
上述证明，错误是______________.
解析 本题在由n＝k成立证明n＝k＋1成立时，
应用了等比数列的求和公式，
而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.12345答案解析未用归纳假设证明12345左边＝右边，等式成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立.当n＝k＋1时，123451234512345左边＝右边，等式成立.
即对所有n∈N*，原式都成立.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.课件46张PPT。章末复习第二章 推理与证明学习目标1.整合本章知识要点.
2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.
3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.
4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.合情推理
(1)归纳推理：由 到 、由 到 的推理.
(2)类比推理：由 到 的推理.
(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理.部分整体个别一般特殊特殊2.演绎推理
(1)演绎推理：由 到 的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
① ——已知的一般原理；
② ——所研究的特殊情况；
③ ——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.一般特殊大前提小前提结论3.直接证明和间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是 和 ：
① 是从已知条件推出结论的证明方法；
② 是从结论追溯到条件的证明方法.
(2)间接证明的一种方法是 ，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法.
4.数学归纳法
数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝ 时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝ 时结论成立，推得当n＝ 时结论也成立.综合法分析法综合法分析法反证法n0k＋1k1.归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确.
( )
2.“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( )
3.综合法是直接证明，分析法是间接证明.( )
4.反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.( )[思考辨析 判断正误]××√×题型探究类型一 合情推理与演绎推理例1 (1)观察下列等式：……
照此规律，答案解析答案解析解析 题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P－ABC，P－A′B′C′；
与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P－A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.
与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC.答案解析(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______.
解析 由题意可知丙不拿2和3.
若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；
若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意.
故甲的卡片上的数字是1和3.1和3反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.
(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确.跟踪训练1 (1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成.
?
通过观察可以发现：第4个图形中有____根火柴棒；第n个图形中有_______根火柴棒.
解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13.
通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N*)，
所以an＝3n＋1.答案解析133n＋1(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N*且m≠n)，则Sm＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：____________________________________________ _______________________________.
解析 由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，
加减运算类比推理为乘除运算.
累加类比为累乘，
由此，等差数列{an}的性质类比到等比数列{bn}中为：
数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，
若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1. 数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N*，m≠n)，则Tm＋n＝1答案解析类型二 综合法与分析法证明证明 方法一 分析法∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∵1－cos α>0，
∴4cos α(1－cos α)≤1，
可变形为4cos2α－4cos α＋1≥0，
只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立.方法二 综合法∵α∈(0，π)，∴sin α>0，反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.跟踪训练2 设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
证明 要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
即需证a2－ab＋b2>ab成立.
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立.
而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，
所以(a－b)2>0显然成立.
即a3＋b3>a2b＋ab2.证明类型三 反证法证明因为x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.
这与已知x＋y>2矛盾.反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d).
求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根.
证明 假设两方程都没有实数根，
则Δ1＝a2－4b<0与Δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，
从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立.证明类型四 数学归纳法解答下面用数学归纳法证明：(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，那么当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时猜想成立.
由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立.反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少.
(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.跟踪训练4 观察下列四个等式：
第一个式子 1＝1
第二个式子 2＋3＋4＝9
第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25
第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
(1)按照此规律，写出第五个等式；
解 第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.解答(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明.解答解 猜想第n个等式为
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
下面用数学归纳法证明.
①当n＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1，
猜想成立.
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，
即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2.那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)
＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2
＝[2(k＋1)－1]2.
右边＝[2(k＋1)－1]2，
即当n＝k＋1时，猜想也成立.
根据①②知，猜想对任意n∈N*都成立.达标检测1.数列5,9,17,33，x，…中的x等于
A.47 B.65
C.63 D.128
解析 5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，
归纳可得：x＝26＋1＝65.√12345答案解析解析12345答案√1234512345解析答案√3.若a>0，b>0，则有解析4.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数
C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析 方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.12345答案√解答12345左边＝右边，所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时，1234512345所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立.1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.
2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
4.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)当n＝n0时，结论成立.第二步(归纳递推)假设当n＝k时，结论成立，推得当n＝k＋1时，结论也成立.数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.