课件34张PPT。3.1.1 数系的扩充和复数的概念第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数的概念及代数表示思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数.梳理 (1)复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 .a叫做复数的 ，b叫做复数的 .
②表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式.
(2)复数集
①定义： 所成的集合叫做复数集.
②表示：通常用大写字母 表示.虚数单位实部虚部zz＝a＋bi全体复数C在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是 .知识点二 两个复数相等的充要条件a＝c且b＝d知识点三 复数的分类(2)集合表示：1.若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )
2.复数z＝bi是纯虚数.( )
3.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.
( )[思考辨析 判断正误]√××题型探究类型一 复数的概念例1 (1)给出下列几个命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤实数集的补集是虚数集.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3解析答案√解析 令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确.
②中2i－1的虚部应是2，故②不正确.
④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确，
∴只有③，⑤正确.(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________.解析答案反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.跟踪训练1 下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集.
其中正确说法的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3解析答案√解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误.
对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故②错误.
显然，③正确.故选B.类型二 复数的分类解答解 复数z是虚数的充要条件是∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数.解答(2)纯虚数.解 复数z是纯虚数的充要条件是∴当m＝3时，复数z是纯虚数.解答引申探究
1.若本例条件不变，m为何值时，z为实数.虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是∴当m＝－2时，复数z是实数.解析答案3或－2反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.跟踪训练2 当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是
(1)纯虚数；解答解 复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，解答(2)实数.解 复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，类型三 复数相等例3 (1)已知x0是关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的实根，则
m的值是____.解析答案(2)已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值.解答解 由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，反思与感悟 (1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立.
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.解析答案跟踪训练3 复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝___.5解析 因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.达标检测1.若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于
A.－2＋i B.2＋i
C.1－2i D.1＋2i
解析 由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.12345解析答案√123452.若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为
A.－1 B.2
C.1 D.－1或2
解析 因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.解析答案√3.下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦ i是一个无理数.
其中真命题的个数为
A.3 B.4 C.5 D.612345解析答案√解析 命题①②③⑥正确，
④⑤⑦错误.答案解析4.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________________.12345(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}.5.若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是_____.答案解析－2123451.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况.
2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.课件32张PPT。3.1.2 复数的几何意义第三章 §3.1 数系的扩充和复数的概念学习目标1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 .实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复平面实轴虚轴知识点二 复数的几何意义Z(a,b)知识点三 复数的模|z||a＋bi|1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )
2.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )
3.若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( )[思考辨析 判断正误]√××题型探究类型一 复数与复平面内的点的关系例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；解答解 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数.即当－3
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.引申探究
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；解答解 当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上.(2)第四象限.解答即当2解 若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.
若复数z的对应点在实轴负半轴上，解答类型二 复数的模解答例2 设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值.解 设z＝a＋bi(a，b∈R).
∵z＋1＝(a＋1)＋bi，且|z|＝|z＋1|＝1，反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想.跟踪训练2 已知0C.5＋5i D.5－5i答案√反思与感悟 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.解析答案2－i解析 复数2＋i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，达标检测1.当 A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限12345解析答案√∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限.12345答案√3.设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i(i为虚数单位)，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是
A.a<－1或a>1 B.－1C.a>1 D.a>012345解析答案√所以a2<1，即－1所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，
所以z＝3i，所以|z|＝3.5.当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点
(1)位于第四象限；解答12345(2)位于x轴的负半轴上.12345解答1.复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径.(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量 是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与 相等的向量有无数个.课件31张PPT。3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义第三章 §3.2 复数代数形式的四则运算学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数代数形式的加减法思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.梳理 (1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝_______
，(a＋bi)－(c＋di)＝ .
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3＝ .(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？知识点二 复数加减法的几何意义思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
答案 z1－z2可以看作z1＋(－z2).
因为复数的加法可以按照向量的加法来进行.
所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图).梳理 1.两个虚数的和或差可能是实数.( )
2.在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.
( )
3.复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立.
( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究类型一 复数的加法、减法运算例1 (1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝_____.解析答案－1解析 z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，
由题意得a＋1＝0，则a＝－1.(2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝______.解析答案反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R).跟踪训练1 (1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝______.解析答案(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝______________(a，b∈R).6－2i－a＋(4b－3)i解析 ∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.解析 (a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.解析答案－4＋3i∴z＝－4＋3i.类型二 复数加、减法的几何意义解答解 ∵A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，例2 (1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求：解答解答∴∠AOC＝30°.同理得∠BOC＝30°，解答反思与感悟 (1)常用技巧
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点.
①四边形OACB为平行四边形；
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.解析答案解析答案(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________.
解析 z2－z1＝1＋(a－1)i，由题意知a－1<0，即a<1.(－∞，1)达标检测1.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵z1－z2＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限.12345解析答案√123452.已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为
A.1 B.2
C.－2 D.－2或1解析答案√A.2＋8i B.4－4i
C.6－6i D.－4＋2i12345解析答案√解析4.设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于12345解析 因为z1－z2＝5＋5i，答案√5.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是_______.答案解析5－2i12345设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算.
2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.课件35张PPT。3.2.2 复数代数形式的乘除运算第三章 §3.2 复数代数形式的四则运算学习目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.理解共轭复数的概念.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 复数的乘法及其运算律思考 怎样进行复数的乘法运算？
答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可.梳理 (1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝ .
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2z1z1(z2z3)z1z2＋z1z3知识点二 共轭复数实部相等虚部互为相反数共轭复数a－bi知识点三 复数的除法法则答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，1.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减.( )
2.两个共轭复数的和与积是实数.( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究类型一 复数代数形式的乘除运算例1 计算：解答解答解答反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算.
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似.解答跟踪训练1 计算：
(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；解 (4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)
＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)
＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.解答解答类型二 i的运算性质解答＝i(1＋i)＋(－i)1 008
＝i＋i2＋(－1)1 008·i1 008
＝i－1＋i4×252
＝i－1＋1
＝i.(2)i＋i2＋…＋i2 017.方法二 因为in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N*)，
所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017
＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i.解答反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*).
(2)记住以下结果，可提高运算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；解析答案i＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i.(2)化简i＋2i2＋3i3＋…＋100i100.
解 设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100， ①
所以iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101， ②
①－②得
(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101解答所以i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.解答类型三 共轭复数及其应用解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝a－bi，
由已知得(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，所以z＝2＋i.解答由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解.解答即a2＋b2＝1. ①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0. ②达标检测1.设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于
A.－i B.i
C.－1 D.112345解析答案√12345解析答案√3.已知 ＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i12345解析答案√解析12345答案－1＋i解答12345∴复数z的实部与虚部的和是4.∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，1.复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想.
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.课件35张PPT。章末复习第三章 数系的扩充与复数的引入学习目标1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.
2.理解复数的几何意义.
3.掌握复数的相关运算.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的
和 .若b＝0，则a＋bi为实数，若 ，则a＋bi为虚数，若
，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭? (a，b，c，d∈R).
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. 叫做实轴，
叫做虚轴.实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示
；各象限内的点都表示非纯虚数.实部虚部b≠0a＝0且b≠0a＝c且b＝da＝c，b＋d＝0x轴y轴实数纯虚数|z||a＋bi|2.复数的几何意义3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝
，(z1＋z2)＋z3＝ .z2＋z1z1＋(z2＋z3)1.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )
2.原点是实轴与虚轴的交点.( )
3.方程x2＋x＋1＝0没有解.( )[思考辨析 判断正误]××√题型探究类型一 复数的概念解答解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.解答(2)z是虚数；解 由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数.(3)z是0.解 由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.解答引申探究
例1中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由.
解 由a2－a－6＝0且a2＋2a－15≠0，
且a2－4≠0，得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数.反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.解答跟踪训练1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；解 因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.解答(2)z为虚数.解 因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，类型二 复数的四则运算解答＝i＋(－i)1 009＋0＝0.解答反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化.
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)；
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*).A.－1＋3i B.1－3i
C.3＋i D.3－i√答案解析解答解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴由z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.∴a＝－1，即z＝－1＋3i.解答类型三 数形结合思想的应用解答解 由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.解答解 由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ).反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论.跟踪训练3 在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数 ＋z2对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限√答案解析达标检测解析 由已知得x＋xi＝1＋yi，根据两复数相等的条件可得x＝y＝1，√12345答案解析A.1 B.－1
C.i D.－i解析12345答案√3.复数z＝ (a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于
A.2 B.－1
C.1 D.－2√12345解析答案√根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b，
解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.解析答案123453＋4i12345解析答案1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化.
2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现.
3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.