课件39张PPT。第一章 §1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率.
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图
所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山
路线用函数y＝f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝
f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
答案 自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(2)实质： 的增量与 的增量之比.
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两
点，则平均变化率 表示割线P1P2的 .函数值自变量斜率思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度.梳理 瞬时速度
(1)物体在 的速度称为瞬时速度.
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内某一时刻极限知识点三 函数在某点处的导数f′(x0)或1.在平均变化率中，函数值的增量为正值.( )
2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.( )
3.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.( )[思考辨析 判断正误]×√×题型探究类型一 函数的平均变化率解答解 在x＝1附近的平均变化率为在x＝2附近的平均变化率为在x＝3附近的平均变化率为由于k1
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1).
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.跟踪训练1 (1)已知函数y＝f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则 ＝____.Δx答案解析(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为___；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为___.答案解析∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，解答命题角度2 平均变化率的几何意义
例2 过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙 B.v甲C.v甲＝v乙 D.大小关系不确定解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.解答例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.引申探究
1.若例3中的条件不变，试求物体的初速度.
解 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度.解答∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，
即物体的初速度为1 m/s.2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.解答则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误.
(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤
①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.
∵质点M在t＝2附近的平均变化率为解答类型三 导数定义的应用解析答案√解答反思与感悟 (1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)瞬时变化率的变形形式跟踪训练4 已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.解答又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.达标检测1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为
A.2.1 B.1.1
C.2 D.0解析12345答案√A.18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度
B.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度
C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度12345答案√3.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于
A.2 B.－2
C.－3 D.312345解析答案√因为f′(1)＝3，所以a＝3.答案解析4.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________.
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为 结合图
象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].12345[x3，x4]123455.一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝__时该物体的瞬时速度为1.答案解析1＝14t0－13＝1，得t0＝1.理解平均变化率要注意以下几点：规律与方法(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况.利用导数定义求导数：(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关.
(3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.课件41张PPT。1.1.3 导数的几何意义第一章 §1.1 变化率与导数学习目标1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.
2.会求简单函数的导函数.
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线.思考1 割线PPn的斜率kn是多少？思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x) 的切线.
(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点 处
的切线的斜率k，即k＝ ＝ . (3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为_____________ ______________.在点P处(x0，f(x0))f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)思考 已知函数f(x)＝x2，分别计算f′(1)与f′(x)，它们有什么不同.知识点二 导函数f′(1)是一个值，而f′(x)是一个函数.梳理 对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称
导数), 即f′(x)＝y′＝ .特别提醒：1.函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数.( )
2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.
( )
3.直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点.( )[思考辨析 判断正误]√√×题型探究类型一 求切线方程解答解 将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4).∴k＝ ＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_____.答案－3解析∴k＝ ＝4.
∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.解答命题角度2 曲线过某点的切线方程
例2 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.解 设切点为(x0， ＋x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，
即x－y＋1＝0.当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0，f(x0)).(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.跟踪训练2 求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程.解答∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.类型二 利用图象理解导数的几何意义例3 已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是
A.0B.0C.0D.0f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，
根据图象可知0若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值.解答反思与感悟 求切点坐标的一般步骤
(1)设出切点坐标.
(2)利用导数或斜率公式求出斜率.
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标.
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标.跟踪训练4 直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的
值为____，切点坐标为__________.答案解析解析 设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，又点(x0，f(x0))在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1.
代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去.达标检测1.如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么
A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0
C.f′(x0)＝0 D.f′(x0)不存在12345解析答案√123452.设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于 解析答案√所以2a＝2，所以a＝1.3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与
f′(xB)的大小关系是
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
解析 由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)将x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，
得a＝－7.5.已知曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为 ，则a＝_____. 答案解析±1∴曲线f(x)＝x3在点(a，a3)处的切线斜率为f′(a)＝3a2，
∴切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，即y＝3a2x－2a3.123451.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝
物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.
2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.
3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.规律与方法课件29张PPT。第一章 §1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 几个常用函数的导数012x知识点二 基本初等函数的导数公式0αxα－1cos x－sin xaxln aex2.若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x.( )[思考辨析 判断正误]√××题型探究类型一 利用导数公式求函数的导数解答例1 求下列函数的导数.解 y′＝0.解答(3)y＝lg x；解答∴y′＝(cos x)′＝－sin x.反思与感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导.
如y＝ 可以写成y＝x－4，y＝ 可以写成y＝ 等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝ ，则f′(－3)等于
A.81 B.243
C.－243 D.解析答案√解析 因为f(x)＝x－3，答案1解析解析 因为f(x)＝ln x(x>0)，类型二 利用导数公式研究切线问题命题角度1 求切线方程或切线斜率解答y－1＝－(x－1)，其与x轴的交点坐标分别为(－1,0)，(2,0)，反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练2 已知y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ .解析答案解析 设切点坐标为(x0，y0)，①又y0＝kx0， ②
而且y0＝ln x0， ③命题角度2 求切点坐标问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.解答反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关.解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算.跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 上求一点P，使△ABP的面积最大.解答解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，
∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，
设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，
∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1.
故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0.
故P(1,1)点即为所求弧 上的点，使△ABP的面积最大.达标检测1.下列函数求导运算正确的个数为12345解析答案A.1 B.2 C.3 D.4√解析 ①中(3x)′＝3xln 3，②③④均正确.123452.函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有
A.1条 B.2条
C.3条 D.不确定解析答案√3.已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝ .12345解析答案1答案解析4.过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .12345(1，e)解析 设切点坐标为(x0，y0)，切线的斜率为 ＝ ，e又y0＝ ， ②
由①②可得x0＝1，
∴切点坐标为(1，e)，切线的斜率为e.5.求过曲线y＝sin x上一点P 且与在该点处的切线垂直的直线方程.解答123451.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导.规律与方法－sin x.
3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.课件39张PPT。第一章 §1.2 导数的计算第2课时 导数的运算法则学习目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 和、差的导数思考1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？思考2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系.Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.梳理 和、差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).(1)积的导数
①[f(x)·g(x)]′＝ .
②[cf(x)]′＝ .
(2)商的导数知识点二 积、商的导数f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)1.若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.( )
2.函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1).( )[思考辨析 判断正误]√×√题型探究类型一 利用导数的运算法则求导解答例1 求下列函数的导数.
(1)y＝3x2＋xcos x；解 y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′
＝6x＋cos x－xsin x.解答(3)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)；解 y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′解答(4)y＝x2＋tan x；解答反思与感悟 (1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数.
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.跟踪训练1 求下列函数的导数.解答解 解答(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5).解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′
＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)
＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)
＝3x2＋18x＋23.
方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)
＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′
＝3x2＋18x＋23.解答类型二 导数公式及运算法则的综合应用命题角度1 利用导数求函数解析式解答(2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得
f′(x)＝xcos x.解答解 由已知得f′(x)
＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′
＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
又∵f′(x)＝xcos x，解得a＝d＝1，b＝c＝0.反思与感悟 (1)中确定函数f(x)的解析式，需要求出f′(1)，注意f′(1)是常数.
(2)中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值.
完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法则.解析答案令x＝1，得f′(1)＝1，∴f′(0)＝1.1命题角度2 与切线有关的问题
例3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；解答解 因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.解答解 由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7.
又g(0)＝3，
所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点.解析答案1(2)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为____.解析答案解析 ∵曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，
由导数的几何意义知g′(1)＝2.
又∵f(x)＝g(x)＋x2，
∴f′(x)＝g′(x)＋2x，即f′(1)＝g′(1)＋2＝4，
∴y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.4达标检测1.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x B.－2exsin x
C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x)12345解析答案√解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x).√12345解析答案3.若函数f(x)＝ f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为
A.－1 B.0
C.1 D.212345解析√答案所以f′(x)＝f′(－1)x－2.
所以f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，
所以f′(－1)＝－1.答案解析12345所以由f′(x0)＋f(x0)＝0，得5.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋ (a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是____.－3则a＋b＝－3.12345答案解析1.导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数.
2.和与差的运算法则可以推广
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn).规律与方法3.积、商的求导法则
(1)若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，课件33张PPT。第一章 §1.2 导数的计算第3课时 简单复合函数的导数学习目标1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数).问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点 复合函数的概念及求导法则已知函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2).
思考 这两个函数有什么共同特征？
答案 函数y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)都是由两个基本函数复合而成的.梳理x的函数f(g(x))yu′·ux′y对u的导数与u对x的导数的乘积1.函数y＝e－x的导数为y′＝e－x.( )
2.函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x.( )
3.函数y＝cos(3x＋1)由函数y＝cos u，u＝3x＋1复合而成.( )[思考辨析 判断正误]√××题型探究类型一 求复合函数的导数解答命题角度1 单纯的复合函数求导
例1 求下列函数的导数.解 y＝设y＝ ，u＝1－2x2，解答(2)y＝log2(2x＋1)；解 设y＝log2u，u＝2x＋1，(3)y＝ecos x＋1；解 设y＝eu，u＝cos x＋1，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·(－sin x)
＝－ecos x＋1sin x.解答反思与感悟 (1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.跟踪训练1 求下列函数的导数.
(1)y＝(x2－4)2；解答(2)y＝ln(6x＋4)；解 y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x
＝4x3－16x.(3)y＝103x－2；解答解 y′＝(103x－2ln 10)·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10.解答(6)y＝cos2x.解 y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos x·sin x＝－sin 2x.解答命题角度2 复合函数与导数运算法则结合求导
例2 求下列函数的导数.解答解答反思与感悟 (1)在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，由外及内逐层求导.解答跟踪训练2 求下列函数的导数.
(1)y＝sin3x＋sin x3；
解 y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(2)y＝xln(1＋2x).
解 y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′类型二 复合函数导数的应用解答解 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，
可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率.反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前提，审题时注意所给点是不是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.解答解 由y＝esin x，
得y′＝(esin x)′＝cos xesin x，
即 ＝1，
则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.达标检测12345解析答案C.ex－e－x D.ex＋e－x√√12345解析答案123453.已知函数f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝_____.12345解析答案答案解析12345－1解析 由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，
得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，5.曲线 y＝ 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为____.e2令x＝0，得y＝－e2，
令y＝0，得x＝2，12345答案解析解析求简单复合函数f(ax＋b)的导数
实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘.灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.规律与方法课件34张PPT。1.3.1 函数的单调性与导数(一)第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用学习目标1.理解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 函数的单调性与导函数的关系思考 观察图中函数f(x)，填写下表.>0<0锐钝上升下降递增递减梳理 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，
(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 ；
(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 .单调递增单调递减(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间；
(4)解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间.知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤f′(x)>0f′(x)<01.函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减.
( )
2.函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( )[思考辨析 判断正误]××题型探究类型一 函数图象与导数图象的应用例1 已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表.f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.给出下列关于函数f(x)的说法：
①函数y＝f(x)是周期函数； ②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1其中正确说法的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1解析答案√解析 依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；
当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；
注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(10，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性.
(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大.跟踪训练1 已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是解析答案√解析 当0∴f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数.
故选C.类型二 利用导数求函数的单调区间命题角度1 不含参数的函数求单调区间
例2 求下列函数的单调区间.解答解答解 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，反思与感悟 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域.
(2)求导数y′＝f′(x).
(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数.
(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.跟踪训练2 函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为____________________.解析答案解析 由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，即x2＋4x＋2<0，命题角度2 含参数的函数求单调区间解答解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏.
(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解.跟踪训练3 设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.解答解 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增.
若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.达标检测1.函数f(x)＝x＋ln x
A.在(0,6)上是增函数
B.在(0,6)上是减函数12345答案√123452.若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为解析答案√解析 由f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1,4)，单调递减区间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x∈(1,4)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，1)或x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，结合选项知选C.3.函数f(x)＝3＋x·ln x的单调递增区间是√解析 f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0，12345解析答案答案解析4.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，则b＝____，c＝_____.12345－6解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c，
由题意知，f′(x)＝0即3x2＋2bx＋c＝0的两根为－1和2.5.试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.解答1234512345解 函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，当k≤0时，kx－1<0，∴f′(x)<0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减.12345综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.
2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.规律与方法课件28张PPT。1.3.1 函数的单调性与导数(二)第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用学习目标1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.
2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学1.函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：增减特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).
②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上快慢陡峭平缓3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题
(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.
(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.1.如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.
( )
2.函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.
( )[思考辨析 判断正误]√√题型探究类型一 利用导数求参数的取值范围例1 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是__________.解析答案[1，＋∞)即k的取值范围为[1，＋∞).引申探究
1.若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围.解答又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，即k的取值范围为(－∞，0].2.若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围.解答解 f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴k的取值范围是(0,1).当k≤0时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意.反思与感悟 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意.
(2)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.解答解 方法一 (直接法)
f′(x)＝x2－ax＋a－1，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不合题意.
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，
由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，
所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7].方法二 (数形结合法)
如图所示，
f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)].
因为在(1,4)内，f′(x)≤0，
在(6，＋∞)内f′(x)≥0，
且f′(x)＝0有一根为1，
所以另一根在[4,6]上.故实数a的取值范围为[5,7].方法三 (转化为不等式的恒成立问题)
f′(x)＝x2－ax＋a－1.
因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立.
即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，
因为2又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，
因为x＋1>7，所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立.
综上知5≤a≤7.
故实数a的取值范围为[5,7].例2 证明ex≥x＋1≥sin x＋1(x≥0).
证明 令f(x)＝ex－x－1(x≥0)，则f′(x)＝ex－1≥0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴对任意x∈[0，＋∞)，有f(x)≥f(0)，而f(0)＝0，
∴f(x)≥0，即ex≥x＋1，
令g(x)＝x－sin x(x≥0)，g′(x)＝1－cos x≥0，
∴g(x)≥g(0)，即x－sin x≥0，
∴x＋1≥sin x＋1(x≥0)，
综上，ex≥x＋1≥sin x＋1.类型二 证明不等式证明反思与感悟 用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤
(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b].
(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.
(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x).
这是因为F(x)为单调递增函数，
所以F(x)≥F(a)>0，
即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.证明当x>－1时，f′(x)>0，
则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数.
∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0.达标检测1.已知命题p：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0，q：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则p是q的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件12345答案√123452.已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时
A.f′(x)>0，g′(x)>0 B.f′(x)>0，g′(x)<0
C.f′(x)<0，g′(x)>0 D.f′(x)<0，g′(x)<0解析答案√解析 由题意知，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数.
当x>0时，f(x)，g(x)都单调递增，
则当x<0时，f(x)单调递增，g(x)单调递减，
即f′(x)>0，g′(x)<0.3.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是________.解析 f′(x)≤0，即3x2－12≤0，得－2≤x≤2.
∴f(x)的减区间为[－2,2]，
由题意得(2m，m＋1)?[－2,2]，[－1,1)12345解析答案[2，＋∞)答案解析12345所以f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，其图象若穿越x轴，则只有一次穿越的机会，
显然x＝0时，f(x)＝0.解答12345利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f(x)是否满足题意.规律与方法课件44张PPT。1.3.2 函数的极值与导数(一)第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用学习目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值.知识点一 函数的极值点和极值答案 极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).梳理 (1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝ ，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y＝f(x)的极小值点， 叫做函数y＝f(x)的极小值.
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝ ，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数y＝f(x)的极大值点， 叫做函数y＝f(x)的极大值.
(3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 .0f′(x)<0f′(x)>0点af(a)0f′(x)>0f′(x)<0点bf(b)极值点极值(1)求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是 ；
②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是 .知识点二 函数极值的求法与步骤极大值极小值(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
②求方程 的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.f′(x)＝01.导数为0的点一定是极值点.( )
2.函数的极大值一定大于极小值.( )
3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.( )
4.极值点处的导数一定为0.( )[思考辨析 判断正误]××××题型探究类型一 求函数的极值点和极值命题角度1 不含参数的函数求极值
例1 求下列函数的极值.解答解 函数f(x)的定义域为R.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.解答令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)＝0的根.
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然.跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值.解答解 f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值，且极大值f(－1)＝
当x＝3时，函数有极小值，且极小值f(3)＝－6.(2)f(x)＝x2e－x.解答解 函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且极小值为f(0)＝0.
当x＝2时，函数有极大值，且极大值为f(2)＝4e－2.解答解 f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，分以下两种情况讨论：当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数，函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.反思与感悟 讨论参数应从f′(x)＝0的两根x1，x2相等与否入手进行.解答跟踪训练2 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.解答(2)求函数f(x)的极值.①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.例3 (1)已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是
A.(－∞，－1) B.(0，＋∞) C.(0,1) D.(－1,0)类型二 利用函数的极值求参数√解析 若a<－1，因为f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，
所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，
所以f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D.解析答案(2)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a＝____，b＝____.解析答案29解析 因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3).
当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数，
当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，
所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.反思与感悟 已知函数的极值求参数时应注意两点
(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解.
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证.解答解 ∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，跟踪训练3 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；解答当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0.
故x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.达标检测123451.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的
部分图象如图所示，则下面结论错误的是
A.在(1,2)上函数f(x)为增函数
B.在(3,4)上函数f(x)为减函数
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点解析答案√解析 根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0，x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.12345解析答案C.x＝2为f(x)的极大值点
D.x＝2为f(x)的极小值点√12345当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0.
因为x＝2为f(x)的极小值点，故选D.3.函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为____.所以当a≤0时，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.012345解析答案－2解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，答案解析12345解答12345解答12345(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.又f(x)的定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞).123451.求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值.规律与方法2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.课件35张PPT。1.3.2 函数的极值与导数(二)第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用学习目标1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.
2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学1.极小值点与极小值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都 ，并且f′(a)＝0.
(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.
(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.小2.极大值点与极大值
(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都 ，并且f′(b)＝0.
(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.大3.用导数求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)；
(3)求出方程f′(x)＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个子区间；
(4)以表格形式检查f′(x)＝0的所有实根两侧的f′(x)是否异号，若异号则是极值点，否则不是极值点.题型探究类型一 由极值的存在性求参数的范围解析 f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.解析答案(－∞，1)(2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是
A.(－∞，0) B.
C.(0,1) D.(0，＋∞)解析答案√解析 ∵f(x)＝x(ln x－ax)，
∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，且f(x)有两个极值点，
∴f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，解 f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值.解答引申探究
1.若本例(1)中函数的极大值点是－1，求a的值.解 由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不等正根，设为x1，x2，解答2.若本例(1)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围.故a的取值范围是(0,1).反思与感悟 函数的极值与极值点的情况应转化为方程f′(x)＝0根的问题.解答当00，当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)在x＝1处取得极大值.类型二 利用函数极值解决函数零点问题解析答案∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2).
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.
根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，解答解 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点.
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.解答跟踪训练2 若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围.解 令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：由上表可知，函数在x＝0处取得极大值，极大值为g(0)＝2ln 2＋b.故实数b的取值范围是(－2ln 2,2－2ln 3].达标检测123451.下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的函数是
①y＝x3； ②y＝x2＋1；
③y＝|x|； ④y＝2x.
A.①② B.②③
C.③④ D.①③解析答案√解析 ①④为单调函数，无极值.2.函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为
A.1，－3 B.1,3
C.－1,3 D.－1，－3√解析 ∵f′(x)＝3ax2＋b，
由题意知f′(1)＝0，f(1)＝－2，12345答案解析3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为
A.(－1,2) B.(－3,6)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6.
因为函数f(x)既有极大值又有极小值，
所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.12345解析√答案4.若函数f(x)＝x3－3ax＋1在区间(0,1)内有极小值，则a的取值范围为_____.(0,1)解析 f′(x)＝3x2－3a.
当a≤0时，在区间(0,1)上无极值.答案解析12345解答123455.已知函数f(x)＝x3－12x＋4，讨论方程f(x)＝m的解的个数.解 由题意知，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)极小值＝f(2)＝－12，f(x)极大值＝f(－2)＝20.
又因为f(x)的定义域是R，画出函数图象(图略)，
所以当m>20或m<－12时，方程f(x)＝m有一个解；
当m＝20或m＝－12时，方程f(x)＝m有两个解；
当－122.事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.规律与方法课件44张PPT。1.3.3 函数的最大(小)值与导数(一)第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.
2.会求某闭区间上函数的最值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象.知识点 函数的最大(小)值与导数答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).思考1 观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).思考2 结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ；
②将函数y＝f(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .连续不断极值各极值 端点最大值最小值1.函数的最大值不一定是函数的极大值.( )
2.函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.
( )
3.有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( )[思考辨析 判断正误]√××题型探究类型一 求函数的最值命题角度1 利用导数直接求最值
例1 求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；解答解 f′(x)＝－4x3＋4x，
令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；
当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.解答(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1].解 f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数.
故当x＝－1时，f(x)min＝－12；
当x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值.跟踪训练1 求下列函数的最值.解答f′(x)＝0时，x＝2，
当f′(x)>0时，x<2，
当f′(x)<0时，x>2.
所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，解答所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.解答命题角度2 对参数讨论求最值
例2 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数.
设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.解 因为f(x)＝ex－ax2－bx－1，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，
又g′(x)＝ex－2a，
因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，
所以：所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min＝g(0)＝1－b.于是当0当ln(2a)0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，
在区间[ln(2a)，1]上单调递增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.解答引申探究
1.若a＝1，b＝－2，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.
解 因为a＝1，b＝－2，
g(x)＝f′(x)＝ex－2x＋2，
又g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，
因为x∈[0,1]，
解得x＝ln 2，已知当x＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)min＝g(ln 2)＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.解答2.当b＝0时，若函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值.解 当b＝0时，因为f(x)＝ex－ax2－1，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax，
又g′(x)＝ex－2a，因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，
所以：所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，
g(x)min＝g(0)＝1，不符合题意.于是当0当ln(2a)0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，
在区间[ln(2a)，1]上单调递增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)＝0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，反思与感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.解答跟踪训练2 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.解 f′(x)＝3x2－2ax.从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.从而f(x)max＝f(0)＝0.例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.类型二 由函数的最值求参数解答解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾.
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去).
①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在
[－1,2]上的最小值，
∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.解答跟踪训练3 已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围.解 ∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：当x＝－3时，取极大值28；
当x＝1时，取极小值－4.
而h(2)＝3A.函数f(x)没有最大值也没有最小值
B.函数f(x)有最大值，没有最小值
C.函数f(x)没有最大值，有最小值
D.函数f(x)有最大值，也有最小值解析答案√解析 由导函数图象可知，函数f(x)只有一个极小值点1，
即f(x)在x＝1处取得最小值，没有最大值.12345解析答案2.函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值和最小值分别是
A.1，－1 B.1，－17
C.3，－17 D.9，－19√解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1.
又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1?[－3,0].
所以最大值为3，最小值为－17.解得x＝e.当x>e时，f′(x)<0；当00.√12345解析答案4.函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)在区间[－2,2]上有最大值3，则在区间[－2,2]上的最小值为______.－37解析 f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由题意知，在区间[－2,2]上，x＝0是f(x)的最大值点，
∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.
∵f(－2)＝－16－24＋3＝－37，f(2)＝16－24＋3＝－5，
∴f(x)min＝－37.答案解析123455.已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；解 因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，解答12345解答12345(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值.解 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数.
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值，f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值，f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4.
因此，f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.123451.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值.
2.已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.规律与方法课件28张PPT。1.3.3 函数的最大(小)值与导数(二)第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用学习目标1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.
2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；
(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；
(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；
(5)求区间端点的函数值；
(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.知识点 用导数求函数f(x)最值的基本方法题型探究类型一 由极值与最值关系求参数范围例1 若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是
A.(－1， ) B.(－1,4)
C.(－1,2] D.(－1,2)解析答案√解析 由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，
且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.
综上，－1A.(0,1) B.(－∞，1)
C.(0，＋∞) D.解析答案√解析 由题意得，函数f(x)＝x3－6bx＋3b的导数f′(x)＝3x2－6b在(0,1)内有零点，
且f′(0)<0，f′(1)>0，即－6b<0，且(3－6b)>0，(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；类型二 与最值有关的恒成立问题解答解 由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).引申探究
若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.
∴h(x)min＝h(1)＝4.∴a≤4.解析答案解答所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.②证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方.证明 设g(x)＝x－1－f(x)，除切点外，曲线C在直线L的下方等价于?x>0且x≠1，g(x)>0.当0故g(x)在(0,1)上单调递减；
当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增；
所以，?x>0且x≠1，g(x)>g(1)＝0.
所以除切点外，曲线C在直线L的下方.证明达标检测123451.函数f(x)＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是解析答案√解析 f′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，
∴当0≤x≤1时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
当1≤x≤4时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，2.函数f(x)＝xln x的最小值为√解析 ∵f(x)＝xln x，定义域是(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1＋ln x，12345解析答案3.已知函数f(x)＝ex－x＋a，若f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是
A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]解析 f′(x)＝ex－1，
令f′(x)>0，解得x>0，
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
故f(x)min＝f(0)＝1＋a，
若f(x)>0恒成立，则1＋a>0，解得a>－1，故选A.√12345解析答案4.已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，x1，x2是区间[－1,1]上任意两个值，M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，则M的最小值是___.4解析 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
当－1≤x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当0所以当x＝0时，f(x)取得极大值，也为最大值，f(0)＝2，
又f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以f(x)的最小值为－2，
对[－1,1]上任意x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤f(x)max－f(x)min＝4，
所以M≥|f(x1)－f(x2)|恒成立，等价于M≥4，即M的最小值为4.12345答案解析5.已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数.
(1)试确定a，b的值；解 由f(x)在x＝1处取得极值－3－c知f(1)＝b－c＝－3－c，得b＝－3.解答12345由f′(1)＝0，得a＋4b＝0，a＝－4b＝12.12345(2)讨论函数f(x)的单调区间；解 由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0).
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)为增函数.
因此，f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞).解答12345(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求实数c的取值范围.解 由(2)知f(1)＝－3－c既是极小值，也是(0，＋∞)内的最小值，
要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2，即2c2－c－3≥0.解答1.若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内.
2.已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值.规律与方法课件48张PPT。§1.4 生活中的优化问题举例第一章 导数及其应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 .
(2)利用导数解决优化问题的实质是 .
(3)解决优化问题的基本思路：知识点 生活中的优化问题上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.优化问题求函数最值数学建模1.生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题.( )
2.解决应用问题的关键是建立数学模型.( )[思考辨析 判断正误]√√题型探究类型一 几何中的最值问题例1 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，解答B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
∵当00；当20∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.解答引申探究
本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？∵EF＝60－2x，＝8x(30－x)＝－8x2＋240x
＝－8(x－15)2＋8×152.
∴当x＝15时，S侧最大为1 800 cm2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为______.解析答案解析 设圆柱的底面半径为r，
则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，∵V′(r)只有一个极值点，
∴当h＝2r时圆柱的容积最大.解析答案(2)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_______cm.解析 设弯成圆的一段铁丝长为x(0设正方形与圆形的面积之和为S，类型二 实际生活中的最值问题解答(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解答所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本.
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.解答解 当00，当x∈(9,10)时，W′<0，
所以当x＝9时，W取得最大值，综上可得，当x＝9时，W取得最大值38.6.
故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.解答命题角度2 用料、费用最少问题
例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式；解 设需新建n个桥墩，解答(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？令f′(x)＝0，得 ＝512，所以x＝64.当0当640，f(x)在区间(64,640)上为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值.反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.解答跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；解 设隔热层厚度为x cm，而建造费用为C1(x)＝6x.
因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为解答(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当00，答 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.达标检测12345解析答案解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.C.－1 D.－8√12345解析答案2.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为√12345解析 设圆锥的高为h cm,0A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元√12345解析答案12345解析 毛利润为(P－20)Q，
即f(P)＝(P－20)(8 300－170P－P2)，
f′(P)＝－3P2－300P＋11 700＝－3(P＋130)(P－30).
令f′(P)＝0，
得P＝30或P＝－130(舍去).
又P∈[20，＋∞)，
故f(P)max＝f(P)极大值，
故当P＝30时，毛利润最大，
所以f(P)max＝f(30)＝23 000(元).4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_____元.160∴当x＝2时，ymin＝160(元).答案解析123455.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；解 设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2.
若记商品一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).
由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].解答12345解答12345(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：12345故当x＝12时，f(x)取得极大值.
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.规律与方法2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意
(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；
(2)与实际问题相联系；
(3)必要时注意分类讨论思想的应用.课件36张PPT。第一章 §1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程学习目标1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.
2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？
?
答案 ①直接利用梯形面积公式求解.
②转化为三角形和梯形求解.思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段.梳理 曲边梯形的概念及面积求法
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线
y＝f(x)所围成的图形称为 梯形(如图①所示).
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为
一些小曲边梯形.对每个小曲边梯形“以直代曲”，即
用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小
曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲
边梯形面积的近似值(如图②所示).
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.曲边知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用 、 、 、 的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.分割 近似代替 求和 取极限1.求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程.( )[思考辨析 判断正误]×√×题型探究类型一 求曲边梯形的面积解答例1 求由直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积.解 令f(x)＝x2＋1.
(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为(2)近似代替、求和(3)取极限反思与感悟 求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲.
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限.
(3)关键：近似代替.
(4)结果：分割越细，面积越精确.
(5)求和时可用一些常见的求和公式，如跟踪训练1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积.解答解 (1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间：过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.(2)近似代替(3)求和(4)取极限类型二 求变速运动的路程解答例2 当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解 将区间[1,2]等分成n个小区间，引申探究
本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解答所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的.反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km).解答达标检测1.把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为解析12345答案√2.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于
A.只能是左端点的函数值f(xi)
B.只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D.以上答案均正确12345答案√3.一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为12345答案√答案解析123455.求由曲线y＝ x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是______.1.02于是所求平面图形的面积近似等于12345答案解析求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；规律与方法“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).课件38张PPT。第一章 §1.5 定积分的概念1.5.3 定积分的概念学习目标1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.
2.理解定积分的几何意义.
3.掌握定积分的基本性质.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学思考 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点.
答案 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限.知识点一 定积分的概念梳理 一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 (ξi)Δx＝ ，当n→∞时，上述和式无限接近某个 ，这个 叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ，即 ＝ ，这里，a与b分别叫做
与 ，区间[a，b]叫做 ，函数f(x)叫做 ，x叫做 ，f(x)dx叫做 .常数常数积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式思考1 根据定积分的定义求得 (x＋1)dx的值是多少？知识点二 定积分的几何意义答案 相等.梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 ，那么定积分 f(x)dx表示由 所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分 f(x)dx的几何意义.
注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时， f(x)dx<0，－ f(x)dx等于曲边梯形的面积.f(x)≥0直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)知识点三 定积分的性质答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.[思考辨析 判断正误]√×√题型探究类型一 利用定积分的定义求定积分解答解 令f(x)＝3x＋2.
(1)分割(2)近似代替、求和(3)取极限反思与感悟 利用定义求定积分的步骤解答解 令f(x)＝x＋2.类型二 利用定积分的性质求定积分解答解答解答反思与感悟 若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在[－a，a]上连续，则解答＝－2＋1－e－1＝－(e－1＋1).例3 用定积分的几何意义求下列各式的值.类型三 利用定积分的几何意义求定积分解答解答(2) .∴ ＝0.解答达标检测12345解析答案解析 ②③成立.A.0 B.1 C.2 D.3√1.下列结论中成立的个数是12345解析答案2.关于定积分a＝ (－2)dx的叙述正确的是
A.被积函数为y＝2，a＝6
B.被积函数为y＝－2，a＝6
C.被积函数为y＝－2，a＝－6
D.被积函数为y＝2，a＝－6√12345解析 由定积分的概念可知，A.0 B.16
C.12 D.8√12345答案解析4.由函数y＝－x的图象，直线x＝1，x＝0，y＝0所围成的图形的面积可表示为解析12345√答案解答12345解 如图所示，123452.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分.对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.
3.定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.规律与方法课件40张PPT。§1.6 微积分基本定理第一章 导数及其应用学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.
2.会利用微积分基本定理求函数的积分.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)梳理 (1)微积分基本定理
①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 ；F′(x)＝f(x)F(b)－F(a)F(b)－F(a)(2)常见的原函数与被积函数关系知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？
答案 当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0不恒成立，则不相等.梳理 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则S上－S下S上－S下01.若F′(x)＝f(x)，则F(x)唯一.( )
2.微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.( )
3.应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )[思考辨析 判断正误]×√√题型探究类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分
例1 计算下列定积分.解答＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.解答＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.解答(3)解答解 ∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，＝反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数F(x).
(2)由微积分基本定理求定积分的步骤
第一步：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；
第二步：计算函数的增量F(b)－F(a).解答跟踪训练1 计算下列定积分.＝解答＝sin x ＝1.(2)解解答解答命题角度2 求分段函数的定积分解答反思与感悟 分段函数定积分的求法
(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算.
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算.解析答案2e－2＝－e0＋e1＋e1－e0
＝2e－2.解答类型二 利用定积分求参数解析答案3解得t＝3或－2，∵t>0，∴t＝3.解析答案解答引申探究解答反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.解析答案[0,2)∴f(x)的值域为[0,2).解析答案＝达标检测12345解析答案解得a＝2.A.5 B.4 C.3 D.2√2. 等于12345解析答案√12345解析答案√解析 ∵f(x)＝xn＋mx的导函数f′(x)＝2x＋2，
∴nxn－1＋m＝2x＋2，解得n＝2，m＝2，
∴f(x)＝x2＋2x，则f(－x)＝x2－2x，答案解析12345＝解答12345取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.所以＝(2x2－2πx) ＋sin x 123451.求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分.
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.
2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.规律与方法课件39张PPT。§1.7 定积分的简单应用第一章 导数及其应用学习目标1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.
2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题.学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一 定积分在几何中的应用思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
答案 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.梳理 (1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ .
(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ .
(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b (a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝ .(如图)知识点二 变速直线运动的路程思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？
答案 不同.路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念.梳理 (1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用 dt求解.
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用 dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－ dt.
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即 .知识点三 变力做功问题思考 恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？梳理 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a3.在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向.( )[思考辨析 判断正误]×√×题型探究类型一 利用定积分求面积解析答案因此，所求图形的面积为
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤
(1)根据题意画出图形.
(2)找出范围，确定积分上、下限.
(3)确定被积函数.
(4)将面积用定积分表示.
(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果.·解答跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积.所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)，
设所求图形面积为S，＝解答解 画出图形，如图所示.得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限.解答跟踪训练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x所围成的图形的面积.类型二 定积分在物理中的应用例3 一点在直线上从时刻t＝0 s开始以速度v＝t2－4t＋3(v的单位：m/s)运动，求：
(1)该点在t＝4 s时的位置；解答解答(2)该点前4 s走过的路程.反思与感悟 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法
①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值，若v(t)>0，则运动物体的路程为s＝ v(t)dt；若v(t)<0，则运动物体的路程为s＝ |v(t)|dt＝－ v(t)dt；②注意路程与位移的区别.(2)求变力做功的方法步骤
①首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移；
②利用变力做功的公式W＝ F(x)dx计算；
③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳.解析跟踪训练3 一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比.若20 N的力能使弹簧伸长3 cm，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm (在弹性限度内)时所做的功W为答案√解析 设拉伸弹簧所用的力为F N，弹簧伸长的长度为x m，则F＝kx.达标检测12345解析答案1.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为√解析 如图，画出曲线y＝x2和直线y＝2x的图象，
则所求面积S为图中阴影部分的面积.所以A(2,4)，O(0,0).123452.一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m运动到x＝10 m，则F(x)做的功为
A.925 J B.850 J
C.825 J D.800 J√解析 依题意F(x)做的功是12345解析答案12345解析答案1－ln 2所以围成的封闭图形的面积S1等于四边形ABCD的面积减去S2的面积，即S1＝1－ln 2.答案解析123454.一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为____ m.90012345解析 由速度—时间曲线得所以汽车在1分钟内行驶的路程为＝150＋750＝900 m.解答123455.求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积.解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积.
由x2－1＝0，得抛物线与x轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，
因此所求图形的面积为＝12345对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标；
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差.
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了.注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.规律与方法课件50张PPT。习题课 导数的应用第一章 导数及其应用学习目标1.能利用导数研究函数的单调性.
2.理解函数的极值、最值与导数的关系.
3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学1.函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)增减2.求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值.
(2)如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值.
3.函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的求法
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.
(2)将函数y＝f(x)的各 与端点处的函数值 比较，其中_____
的一个是最大值， 的一个是最小值.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0极值f(a)，f(b)最大最小题型探究类型一 构造法的应用命题角度1 比较函数值的大小解析答案√解析 由f′(x)sin x>f(x)cos x，
得f′(x)sin x－f(x)cos x>0，反思与感悟 用构造法比较函数值的大小关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小.A.aC.a则g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
∴g(x)是偶函数.g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，
当x<0时，xf′(x)＋f(x)>0.
∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数.命题角度2 求解不等式
例2 已知定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝2，则不等式f(x)<2ex的解集为
A.(－∞，0) B.(－∞，2)
C.(0，＋∞) D.(2，＋∞)解析答案√∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0，即函数g(x)在R上单调递减.
∵f(0)＝2，∴g(0)＝f(0)＝2，
则不等式等价于g(x)∵函数g(x)单调递减，
∴x>0，∴不等式的解集为(0，＋∞)，故选C.反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围.解析答案(0,10)∵f(1)＝1，∴F(1)＝f(1)－1＝1－1＝0.∴F(lg x)>F(1).
∵F(x)在R上单调递减，∴lg x<1，∴0∴原不等式的解集为(0,10).类型二 利用导数研究函数的单调性解答①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
②当a>0时，令g(x)＝ax2－2x＋a，
∵函数f(x)在区间[1，＋∞)上是单调函数，
∴g(x)≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，当且仅当x＝1时取等号.
∴a≥1.
∴当a≥1时，函数f(x)单调递增.
∴实数a的取值范围是(－∞，0]∪[1，＋∞).解答(2)讨论函数f(x)的单调区间.解 由(1)可知：①当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当a≥1时，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
③当0(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.
(4)求参数的范围时常用到分离参数法.跟踪训练3 设函数f(x)＝ln x＋x2－2ax＋a2，a∈R.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；解答解 当a＝2时，f(x)＝ln x＋x2－4x＋4(x>0)，(2)若函数f(x)在[1,3]上不存在单调递增区间，求实数a的取值范围.设g(x)＝2x2－2ax＋1，
假设函数f(x)在[1,3]上不存在单调递增区间，
必有g(x)≤0，解答类型三 函数的极值、最值与导数解答(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋ ；当00，此时h(x)单调递增，证明(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解答解 假设存在实数a，使f(x)＝2ax－ln(2x)，x∈(0，e]有最小值3，①当a≤0时，因为x∈(0，e]，
所以f′(x)<0，f(x)在(0，e]上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝2ae－ln(2e)＝3，解得a＝e2，满足条件，所以f(x)min＝f(e)＝2ae－ln(2e)＝3，综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)的最小值为3.反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.
(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负.
(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.解答∵x＝1为f(x)的极值点，∴f′(1)＝0，若x＝1为f(x)的极大值点，∴c>1，
当00；
当1当x>c时，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，(c，＋∞)；单调递减区间为(1，c).解答(2)若函数f(x)恰有两个零点，求实数c的取值范围.解 ①若c<0，则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∵b＝－1－c，达标检测1234解析答案√解析 由题意可知f(0)＝0，f(1)＝0，f(2)＝0，
可得1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，
所以函数的解析式为f(x)＝x3－3x2＋2x.
f′(x)＝3x2－6x＋2，123412342.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b)
C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a)解析答案√解析 设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，
∴g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减或g(x)为常函数.
∵a验证可知x＝3是函数的最小值点，由f(x)＋9≥0恒成立，得f(x)≥－9恒成立，1234解析答案1234解答1234解 由f(x)＝x3－ax2＋3x，
得f′(x)＝3x2－2ax＋3，∴f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3，1234当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：1234解答(2)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围.解 f′(x)＝3x2－2ax＋3，
由f(x)在[1，＋∞)上单调递增，得3x2－2ax＋3≥0，由于g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝2，∴a≤3，
即实数a的取值范围是(－∞，3].1234导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用研究导数得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.规律与方法课件45张PPT。章末复习第一章 导数及其应用学习目标1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.
2.能熟练应用求导公式及运算法则.
3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.
4.了解定积分的概念及其简单的应用.知识梳理达标检测题型探究内容索引知识梳理(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，表示为 ，其切线方程为 .f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)1.导数的概念2.基本初等函数的导数公式
(1)c′＝0.
(2)(xα)′＝ .
(3)(ax)′＝ (a>0).
(4)(ex)′＝ .(6)(ln x)′＝ .
(7)(sin x)′＝ .
(8)(cos x)′＝ .αxα－1axln aexcos x－sin x3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ .
(2)[f(x)·g(x)]′＝ .f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)4.复合函数的求导法则
(1)复合函数记法：y＝f(g(x)).
(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x).
(3)逐层求导法则：yx′＝yu′·ux′.5.函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
(2)函数的极值与导数
①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.f′(x)>0f′(x)<0f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的 与 处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是 ，最小的一个就是 .极值 端点最大值 最小值F(b)－F(a)1.f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( )
2.函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x.( )[思考辨析 判断正误]××√题型探究类型一 导数几何意义的应用解答例1 设函数f(x)＝ x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行.
(1)求a的值；解 f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
f′(x)min＝－a2－9，
由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去).
故a＝1.解答(2)求f(x)在x＝3处的切线方程.解 由(1)得a＝1，
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.跟踪训练1 直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝ .
解析 由题意知f(2)＝3，则a＝－3.
f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝3×22－3＝9＝k，
又点(2,3)在直线y＝9x＋b上，
∴b＝3－9×2＝－15.答案解析－15例2 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；类型二 函数的单调性、极值、最值问题解答解 由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，
知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a).(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.证明证明 设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0).
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，
即ex－x2＋2ax－1>0，
故ex>x2－2ax＋1.反思与感悟 本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力.跟踪训练2 已知函数f(x)＝xln x.
(1)求f(x)的最小值；解答解 f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x，(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；解答解 ∵f(x)＝xln x，
当x≥1时，f(x)≥ax－1恒成立，
等价于xln x≥ax－1(x≥1)恒成立，∴当x≥1时，g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为(－∞，1].(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.解答解 若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，
即y＝b和y＝f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的交点，类型三 定积分及其应用解答反思与感悟 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤
(1)画出函数的图象，明确平面图形的形状.
(2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标.
(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算.
(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和.跟踪训练3 如图所示，直线y＝kx将抛物线y＝x－x2与x轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k的值.解答解 抛物线y＝x－x2与x轴的两交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积S＝抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标分别为x1′＝0，x2′＝1－k，达标检测1.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于
A.－1 B.0
C.2 D.4√解析 ∵直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，∴f(3)＝1.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，12345答案解析解析12345答案A.有最大值0，无最小值D.既无最大值也无最小值√12345当F′(x)>0时，x>4或x<0，当F′(x)<0时，0∴F(x)在[0,4]上单调递减，在[－1,0]和[4,5]上单调递增.12345解析答案√解析 不妨取a＝1，又d＝0，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由题图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，
∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，12345答案解析4.体积为16π的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小.123452解析 设圆柱底面半径为r，母线长为l.∴当r＝2时，圆柱的表面积最小.解答12345令f′(x)>0，得x>1，令f′(x)<0，得0y＝f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0,1).令g′(x)＝0，解得x＝2或x＝0(舍去)，当x∈(0,2)时，g′(x)<0，
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，解答12345解答12345(3)试判断方程f(x)－mx＝0(m∈R且m为常数)的根的个数.12345结合(2)可得函数g(x)在区间(0,2)上单调递减，
在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增.
原问题转化为y＝m与y＝g(x)的交点个数，其图象如图，12345当m≤0时，方程f(x)－mx＝0(m∈R且m为常数)的根的个数为0；1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点.
2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.
3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.
4.不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.规律与方法