3．1.1 数系的扩充和复数的概念
学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
知识点一 复数的概念及代数表示
思考 为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
答案 设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
梳理 (1)复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
(2)复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
知识点二 两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
知识点三 复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
1．若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( × )
2．复数z＝bi是纯虚数．( × )
3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ )
类型一 复数的概念
例1 (1)给出下列几个命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②2i－1虚部是2i；
③2i的实部是0；
④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
⑤实数集的补集是虚数集．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 (1)C (2)±，5
解析 (1)令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故①不正确．
②中2i－1的虚部应是2，故②不正确．
④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确，
∴只有③，⑤正确．
(2)由题意知∴a＝±，b＝5.
反思与感悟 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪训练1 下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③实数集是复数集的真子集．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 B
解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误．对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.
类型二 复数的分类
例2 求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是(1)虚数；(2)纯虚数．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 (1)复数z是虚数的充要条件是
?m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．
(2)复数z是纯虚数的充要条件是
??m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数．
引申探究
1．若本例条件不变，m为何值时，z为实数．
解 由已知得，复数z的实部为，
虚部为m2＋5m＋6.
复数z是实数的充要条件是
??m＝－2.
∴当m＝－2时，复数z是实数．
2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝＋(m2－2m－15)i，则当m＝________时，z为纯虚数．
答案 3或－2
解析 由题意知解得m＝3或－2.
反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪训练2 当实数m为何值时，复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是
(1)纯虚数；(2)实数．
考点 复数的分类
题点 由复数的分类求未知数
解 (1)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数，
则解得m＝4.
(2)复数lg(m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是实数，
则解得m＝－2或m＝－3.
类型三 复数相等
例3 (1)已知x0是关于x的方程x2－(2i－1)x＋3m－i＝0(m∈R)的实根，则m的值是________．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案
解析 由题意，得x－(2i－1)x0＋3m－i＝0，
即(x＋x0＋3m)＋(－2x0－1)i＝0，
由此得?m＝.
(2)已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
解 由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以即所以a＝－1.
反思与感悟 (1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
跟踪训练3 复数z1＝(2m＋7)＋(m2－2)i，z2＝(m2－8)＋(4m＋3)i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案 5
解析 因为m∈R，z1＝z2，
所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.
由复数相等的充要条件得解得m＝5.
1．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于( )
A．－2＋i B．2＋i
C．1－2i D．1＋2i
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案 B
解析 由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
2．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为( )
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
考点 复数的分类
题点 由复数的分类求未知数
答案 D
解析 因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
3．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中真命题的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 B
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
4．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________．
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，
解得a>3或a<－1，
因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．
5．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 －2
解析 由题意知得x＝－2.
1．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.
一、选择题
1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 B
解析 因为a，b∈R，当“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R”．
而当“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．
所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．
2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是( )
A．2－2i B．－＋i
C．2＋i D.＋i
考点 复数的概念
题点 求复数的实部和虚部
答案 A
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
由题意知复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.
3．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A. B．2 C．0 D．1
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案 D
解析 由复数相等的充要条件知，
解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.
4．下列命题中：
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.
正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 A
解析 ①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错；②③错，故选A.
5．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 B
解析 由题意，得
解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
6．若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为( )
A．7 B．－
C．－7 D．－7或－
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 C
解析 ∵复数z＝＋i是纯虚数，
∴cos θ－＝0，sin θ－≠0，
∴sin θ＝－，∴tan θ＝－，
则tan＝＝＝－7.
7．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案 B
解析 由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得
∴z＝3－i，故选B.
二、填空题
8．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 －2
解析 由即m＝－2.
9．已知z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的______条件．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
答案 充分不必要
解析 当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
10．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 0或1
解析 z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
所以m2－m＝0，所以m＝0或1.
11．复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 (－∞，－1)∪(－1，＋∞)
解析 若复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝(a2－2a－3)＋(|a－2|－1)i不是纯虚数．
12．已知log(m＋n)－(m2－3m)i≥－1，且n∈N*，则m＋n＝________.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
答案 1或2
解析 由题意得
由②，得m＝0或m＝3.
当m＝0时，由(m＋n)≥－1，得0
∴n＝1或n＝2.
当m＝3时，由(m＋n)≥－1，得0∴－3∴m，n的值分别为m＝0，n＝1或m＝0，n＝2.
故m＋n的值为1或2.
三、解答题
13．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，
且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
四、探究与拓展
14．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
解 由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以
得得x＝－1，y＝2.
15．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N?M，且M∩N≠?，求整数a，b的值．
考点 复数相等
题点 由复数相等求参数
解 由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①
或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②
或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③
由①，得a＝－3，b＝±2，
由②，得a＝±3，b＝－2，
③中，a，b无整数解，不符合题意．
综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
3.1.2 复数的几何意义
学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
知识点一 复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点二 复数的几何意义
知识点三 复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ )
2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × )
3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.( × )
类型一 复数与复平面内的点的关系
例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点对应的关系
解 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
引申探究
若本例中的条件不变，其对应的点在：
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解 (1)当实数x满足x2＋x－6＝0，
即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
跟踪训练1 在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.
考点 复数的几何意义
题点 复数与点对应的关系
解 若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.
若复数z的对应点在实轴负半轴上，
则所以m＝1，所以z＝－2.
类型二 复数的模
例2 设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值．
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵z＋1＝(a＋1)＋bi，且|z|＝|z＋1|＝1，
∴即
即解得
∴|z－1|＝|(a＋bi)－1|＝
＝＝.
反思与感悟 利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
跟踪训练2 已知0A．(1，) B．(1，)
C．(1,3) D．(1,10)
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案 A
解析 0则|z|＝∈(1，)．
类型三 复数与复平面内的向量的关系
例3 (1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
(2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是( )
A．－5＋5i B．－5－5i
C．5＋5i D．5－5i
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 (1)C (2)D
解析 (1)由复数的几何意义，可得
＝(5，－4)，＝(－5,4)，
所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，
所以＋对应的复数为0.
(2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)．
所以对应的复数是5－5i.
反思与感悟 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
跟踪训练3 在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数为________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 2－i
解析 复数2＋i表示的点A(2,1)关于实轴对称的点为B(2，－1)，∴对应的复数为2－i.
1．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 D
解析 ∵∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限．
2．若＝(0，－3)，则对应的复数为( )
A．0 B．－3 C．－3i D．3
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 C
3．设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i(i为虚数单位)，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．a<－1或a>1 B．－1C．a>1 D．a>0
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用模的定义求参数
答案 B
解析 因为|z1|＝，|z2|＝＝，
所以<，即a2＋4<5，
所以a2<1，即－14．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案 3
解析 复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.
5．当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴的负半轴上．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
解 (1)由
得所以－7(2)由
得所以m＝4.
1．复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.
一、选择题
1．在复平面内，复数z＝cos 3＋isin 3的对应点所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 ∵<3<π，∴sin 3>0，cos 3<0，
故复数z＝cos 3＋isin 3的对应点位于第二象限．
2．已知复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1) B．(－1,3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 A
解析 由题意得解得－33．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，
则得得a＝－1，
则复数a－ai＝－1＋i对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.
4．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0或a＝2 D．a＝0
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 C
解析 ∵z在复平面内对应的点在虚轴上，
∴a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.
5．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 B
解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，
∴向量对应的复数为－2＋i.
6．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用模的定义求复数
答案 A
解析 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知， ＝2，解得a＝±1，
故a＝－1，所以z＝－1＋i.
7．在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2等于( )
A．4＋5i B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
考点 复数模的定义与应用
题点 利用模的定义求复数
答案 D
解析 设z2＝x＋yi(x，y∈R)，
由条件得，
∴或
二、填空题
8．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 5
解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.
9．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．
考点 复数的几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决轨迹、图形
答案 (x－2)2＋y2＝8
解析 由模的计算公式得＝2，
∴(x－2)2＋y2＝8.
10．在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为3－4i，若点B关于原点的对称点为A，点A关于虚轴的对称点为C，则向量对应的复数为________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
答案 3＋4i
解析 因为点B的坐标为(3，－4)，
所以点A的坐标为(－3,4)，
所以点C的坐标为(3,4)，
所以向量对应的复数为3＋4i.
11．若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案
解析 复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，
因为该点位于第二象限，
所以解得－1由条件得|z|＝＝
＝ ＝ .
因为－1三、解答题
12．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用模的定义求复数
解 因为z为纯虚数，所以可设z＝ai(a≠0，且a∈R)，
则|z－1|＝|ai－1|＝.
又|－1＋i|＝，所以＝，解得a＝±1，
所以z＝±i.
13．已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
考点 复数的几何意义
题点 复数的模及其应用
解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，
∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，
∴a2<7，∴a∈(－，)．
方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．
由图可知－四、探究与拓展
14．设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cos B－tan A)＋itan B对应的点位于复平面的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 B
解析 因为A，B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B>，即A>－B，sin A>cos B，cos B－tan A＝cos B－0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选B.
15．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，求复数z.
考点 复数的几何意义
题点 复数与向量的对应关系
解 根据题意可画图形如图所示，
设点Z的坐标为(a，b)，
∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，
∴a＝－1，b＝±，
即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)，
∴z＝－1＋i或z＝－1－i.
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
知识点一 复数代数形式的加减法
思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？
答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
梳理 (1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
答案 如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，
则＝(a，b)，＝(c，d)，
由平面向量的坐标运算，得＋＝(a＋c，b＋d)，
所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
思考2 怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
答案 z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.
梳理
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )
2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ )
3．复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( × )
类型一 复数的加法、减法运算
例1 (1)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，复数z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________.
(2)已知复数z满足|z|i＋z＝1＋3i，则z＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 (1)－1 (2)1＋i
解析 (1)z1＋z2＝(2＋i)＋(3＋ai)＝5＋(a＋1)i，
由题意得a＋1＝0，则a＝－1.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，
∴|z|i＋z＝i＋x＋yi＝x＋(＋y)i
＝1＋3i，
∴解得
∴z＝1＋i.
反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)当一个等式中同时含有|z|与z时，一般用待定系数法，设z＝x＋yi(x，y∈R)．
跟踪训练1 (1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 (1)6－2i (2)－a＋(4b－3)i (3)－4＋3i
解析 (1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
∴解得
∴z＝－4＋3i.
类型二 复数加、减法的几何意义
例2 (1)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求：
①表示的复数；
②表示的复数；
③表示的复数．
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
解 ∵A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i，
由复数的几何意义，知与表示的复数分别为3＋2i，－2＋4i.
①因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
②因为＝－，
所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③＝＋，
所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
考点 复数加减法的几何意义及应用
题点 与加减法几何意义有关的模的问题
解 根据复数加减法的几何意义，由|z1|＝|z2|知，以，为邻边的平行四边形OACB是菱形．
如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2，
∴||＝||，对应的复数为z1＋z2，∴||＝.
在△AOC中，||＝||＝1，||＝，
∴∠AOC＝30°.同理得∠BOC＝30°，
∴△OAB为等边三角形，则||＝1，对应的复数为z1－z2，∴|z1－z2|＝1.
引申探究
若将本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，求|z1＋z2|.
解 如例2(2)图，向量表示的复数为z1－z2，
∴||＝1，则△AOB为等边三角形，∴∠AOC＝30°，
则||＝，∴||＝，表示的复数为z1＋z2，
∴|z1＋z2|＝.
反思与感悟 (1)常用技巧
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点．
①四边形OACB为平行四边形；
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪训练2 (1)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________.
(2)若z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________．
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数的加减法与向量的对应
答案 (1) (2)(－∞，1)
解析 (1)∵＝＋，
∴表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
∴||＝＝.
(2)z2－z1＝1＋(a－1)i，由题意知a－1<0，即a<1.
1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 D
解析 ∵z1－z2＝5－7i，
∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．
2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－2 D．－2或1
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 C
解析 由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得得a＝－2.
3．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，则表示的复数为( )
A．2＋8i B．4－4i
C．6－6i D．－4＋2i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 B
解析 ＝－＝－(＋)＝4－4i.
4．设f(z)＝|z|，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A. B．5
C. D．5
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 D
解析 因为z1－z2＝5＋5i，
所以f(z1－z2)＝f(5＋5i)＝|5＋5i|＝5.
5．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是__________．
考点 复数加减法的几何意义及应用
题点 与加减法几何意义有关的综合应用
答案 5－2i
解析 设AC与BD的交点为E，则E点坐标为，设点C坐标为(x，y)，则x＝5，y＝－2，故点C对应的复数为5－2i.
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
一、选择题
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( )
A．－2 B．4
C．3 D．－4
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 B
解析 ∵z＋(3－4i)＝1，
∴z＝－2＋4i，故z的虚部是4.
2．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1 B．2
C．－2 D．－1
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 A
解析 z1－z2＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，
即 ∴x＝y＝1，则xy＝1.
3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
考点 复数加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 D
解析 z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i
＝5＋(1＋a)i.
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
4．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 D
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝2＋i，
则 解得
∴z＝＋i.
5．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是( )
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 A
解析 由图知z＝－2＋i，则z＋1＝－1＋i，由复数的几何意义可知，A是正确的．
6．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 A
解析 因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，
所以4＋b＝0，b＝－4.
因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，
所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.
7．在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是( )
A．1－3i B．－3－i
C．3＋5i D．5＋3i
考点 复数加减法的几何意义及应用
题点 与加减法几何意义有关的综合应用
答案 C
解析 ∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，
∴对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，
∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2,2)，
∴ 解得
∴点D表示的复数为3＋5i.
二、填空题
8．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 5－9i －8－7i
解析 ∵z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
9．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限．
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与点的对应
答案 三
解析 因为z＝3－4i，所以|z|＝5，
所以z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i.
复数z＝－1－5i在复平面内的对应点Z(－1，－5)位于第三象限．
10．已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的综合应用
答案 ±2－2i
解析 因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，
由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±2，
所以z＝±2－2i.
11.如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好构成平行四边形，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R)，则zA－zC＝________.
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 2－4i
解析 因为＋＝，
所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.
因为a，b∈R，
所以所以
所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，
所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.
三、解答题
12．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法的运算法则
解 因为z1＝＋(m－15)i，
z2＝－2＋m(m－3)i，
所以z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
因为z1＋z2是虚数，
所以m2－2m－15≠0且m≠－2，
所以m≠5且m≠－3且m≠－2，
所以m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．
13．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；
(2)若z1＝2cos θ－i，z2＝－＋2isin θ(0≤θ≤2π)，且z1＋z2在复平面内对应的点位于第二象限，求θ的取值范围．
考点 复数加减法的几何意义及应用
题点 与加减法几何意义有关的综合应用
解 (1)z1－z2＝(3＋4i)－(－2＋i)＝5＋3i，
f(z1－z2)＝f(5＋3i)＝(5＋3i)＋1－i＝6＋2i.
(2)z1＋z2＝(2cos θ－)＋(2sin θ－1)i，
由题意得即
又θ∈[0,2π]，所以θ∈.
四、探究与拓展
14．复数z1＝1＋icos θ，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为( )
A．3－2 B.－1
C．3＋2 D.＋1
考点 复数加减法的几何意义及应用
题点 与加减法几何意义有关的模的问题
答案 D
解析 |z1－z2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i|
＝
＝
＝ .
∵max＝1，
∴|z1－z2|max＝＝＋1.
15．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
考点 复数加减法的几何意义及应用
题点 与加减法几何意义有关的综合应用
解 (1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1)．
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·＝||||cos B，
所以cos B＝＝＝.
所以sin B＝.
所以S＝||||sin B＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．
知识点一 复数的乘法及其运算律
思考 怎样进行复数的乘法运算？
答案 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
梳理 (1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点二 共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.
知识点三 复数的除法法则
思考 类比根式除法的分母有理化，比如＝，你能写出复数的除法法则吗？
答案 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i.
1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，再加减．( √ )
2．两个共轭复数的和与积是实数．( √ )
3．若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( × )
类型一 复数代数形式的乘除运算
例1 计算：
(1)(1＋i)；
(2)；
(3).
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
解 (1)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(2)＝
＝＝＝＋i.
(3)＝
＝＝
＝＝＝1－i.
反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
跟踪训练1 计算：
(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；
(2)＋；
(3).
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
解 (1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)
＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)
＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.
(2)＋
＝＋＝i－i＝0.
(3)＝
＝＝
＝＝＝－1＋i.
类型二 i的运算性质
例2 计算：(1)＋2 016；
(2)i＋i2＋…＋i2 017.
考点 虚数单位i及其性质
题点 虚数单位i的运算性质
解 (1)原式＝＋1 008
＝i(1＋i)＋(－i)1 008
＝i＋i2＋(－1)1 008·i1 008
＝i－1＋i4×252
＝i－1＋1
＝i.
(2)方法一 原式＝＝
＝＝
＝＝＝i.
方法二 因为in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N*)，
所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＋i2 017
＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i.
反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；
②＝－i，＝i；
③＝－i.
跟踪训练2 (1)2 017＝________.
考点 虚数单位i及其性质
题点 虚数单位i的运算性质
答案 i
解析 2 017＝2 017＝2 017
＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i.
(2)化简i＋2i2＋3i3＋…＋100i100.
考点 虚数单位i及其性质
题点 虚数单位i的运算性质
解 设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，①
所以iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，②
①－②得
(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101
＝－100i101＝0－100i＝－100i.
所以S＝＝＝
＝50－50i.
所以i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.
类型三 共轭复数及其应用
例3 把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，
由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，
所以z＝2＋i.
引申探究
例3条件改为(z＋2)＝4＋3i，求z.
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)．则＝x－yi，
由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.
得
解得或
所以z＝－i或z＝－i.
反思与感悟 当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．
跟踪训练3 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝＝1，
即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i是纯虚数，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i或＝－＋i.
1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
A．－i B．i
C．－1 D．1
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 A
解析 z＝＝－i.
2．若z＝4＋3i(i为虚数单位)，则等于( )
A．1 B．－1
C.＋i D.－i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 D
解析 z＝4＋3i，|z|＝5，＝－i.
3．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z等于( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 D
解析 因为＝1＋i，
所以z＝＝＝＝－1－i.
4．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z＝，则＝________.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 －1＋i
解析 z＝＝＝－1－i，
所以＝－1＋i.
5．已知复数z满足：z·＋2zi＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
考点 共轭复数的定义与应用
题点 与共轭复数有关系的综合问题
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.
1．复数代数形式的乘除运算
(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
一、选择题
1．i为虚数单位，＋＋＋等于( )
A．0 B．2i
C．－2i D．4i
考点 虚数单位i及其性质
题点 虚数单位i的运算性质
答案 A
解析 ＝－i，＝i，＝－i，＝i，
∴＋＋＋＝0.
2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 D
解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.
3．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 C
解析 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.
4．已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b等于( )
A．6 B．－6
C．0 D.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 A
解析 ∵＝＝
＝是实数，
∴6－b＝0，∴实数b的值为6，故选A.
5．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数的点是( )
A．M B．N
C．P D．Q
考点 复数的乘除法运算法则
题点 运算结果与点的对应关系
答案 D
解析 由图可知z＝3＋i，
所以复数＝＝＝＝2－i表示的点是Q(2，－1)．故选D.
6．设复数z满足＝i，则|z|等于( )
A．1 B.
C. D．2
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 A
解析 由＝i，
得z＝＝＝＝i，
|z|＝|i|＝1.
7．若z＋＝6，z·＝10，则z等于( )
A．1±3i B．3±i
C．3＋i D．3－i
考点 共轭复数的定义与应用
题点 与共轭复数有关的综合问题
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，
所以解得则z＝3±i.
8．计算＋的值是( )
A．0 B．1
C．2i D．i
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 C
解析 原式＝＋
＝＋
＝＋i＝＋i
＝＋i＝2i.
二、填空题
9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 2
解析 因为(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，
又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，
得a＝2，b＝1，所以＝2.
10．若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 1
解析 因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.
则|z|＝1.
11．定义一种运算：＝ad－bc.则复数
的共轭复数是________．
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 －1－3i
解析 ＝3i(1＋i)＋2＝－1＋3i，
∴其共轭复数为－1－3i.
三、解答题
12．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i.
由题意得a－3b＝0,3a≠－b.
因为|ω|＝＝5，
所以|z|＝＝5，
将a＝3b代入，解得a＝15，b＝5或a＝－15，b＝－5，
故ω＝±＝±(7－i)．
13．已知复数z＝1＋i.
(1)设ω＝z2＋3－4，求ω；
(2)若＝1－i，求实数a，b的值．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的未知数求解
解 (1)因为z＝1＋i，
所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.
(2)因为z＝1＋i，
所以＝＝1－i，
即＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，
所以解得
四、探究与拓展
14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案
解析 易知(m＋ni)(n－mi)＝mn－m2i＋n2i＋mn＝2mn＋(n2－m2)i.
若复数(m＋ni)(n－mi)为实数，
则m2＝n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6种情况，
所以所求概率为＝.
15．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设μ＝，求证：μ为纯虚数．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与四则运算有关的问题
(1)解 因为z是虚数，
所以可设z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则ω＝z＋＝(x＋yi)＋＝x＋yi＋＝＋i.
因为ω是实数，且y≠0，
所以y－＝0，
即x2＋y2＝1.
所以|z|＝1，此时ω＝2x.
又－1<ω<2，所以－1<2x<2.
所以－即z的实部的取值范围是.
(2)证明 μ＝＝
＝
＝.
又x2＋y2＝1，所以μ＝－i.
因为y≠0，所以μ为纯虚数．
第三章 数系的扩充与复数的引入
章末复习
学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)．
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数．
(5)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ (r≥0，r∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
2．原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
3．方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )
类型一 复数的概念
例1 已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0.
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
(1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3)由a2－a－6＝0且a2＋2a－15＝0，得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
引申探究
例1中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，请说明理由．
解 由a2－a－6＝0且a2＋2a－15≠0，
且a2－4≠0，得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数．
反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．
(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．
跟踪训练1 复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：(1)z∈R；(2)z为虚数．
考点 复数的概念
题点 由复数的分类求未知数
解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
解得x>且x≠4.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
类型二 复数的四则运算
例2 (1)计算：＋2 018＋；
(2)已知z＝1＋i，求的模．
考点 复数四则运算的综合运用
题点 复数的混合运算
解 (1)原式＝＋1 009＋＝i＋(－i)1 009＋0＝0.
(2)＝＝＝1－i，
∴的模为.
反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．
(2)虚数单位i的周期性
①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)；
②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．
跟踪训练2 (1)已知＝2＋i，则复数z等于( )
A．－1＋3i B．1－3i
C．3＋i D．3－i
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 B
解析 ∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.
(2)已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位)．
①求复数z；
②求的模．
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的未知数求解
解 ①设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴由z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
又∵＝为纯虚数，
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
②＝＝
＝＝－2＋i，
∴＝|－2＋i|＝＝.
类型三 数形结合思想的应用
例3 已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
考点 分类讨论思想与数形结合思想在复数中的应用
题点 数形结合思想的应用
解 (1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)．
由点P在直线y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝.
反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．
跟踪训练3 在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的乘除法运算法则
题点 运算结果与点的对应关系
答案 A
解析 ∵＋z2＝＋(1＋i)2
＝＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i，
∴复数＋z2对应点的坐标为(1,1)，
故在第一象限．
1．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|等于( )
A．1 B.
C. D．2
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案 B
解析 由已知得x＋xi＝1＋yi，根据两复数相等的条件可得x＝y＝1，
所以|x＋yi|＝|1＋i|＝.
2．若z＝1＋2i，则等于( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
答案 C
解析 ＝＝i.
3．复数z＝(a∈R)在复平面内对应的点在虚轴上，则a等于( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
考点 乘除法的运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 D
解析 z＝＝
＝在复平面内对应的点的坐标为且在虚轴上，所以2＋a＝0，即a＝－2.
4．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若 z·i＋2＝2z，则z等于( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的未知数求解
答案 A
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
所以z·i＋2＝2z，即2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
根据复数相等的充要条件得2＝2a，a2＋b2＝2b，
解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
5．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的未知数求解
答案 3＋4i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，＝a－bi，
∵|z|－＝，∴|z|－＝2＋4i，
则－a＋bi＝2＋4i，
∴解得∴z＝3＋4i.
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．
2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题.
一、选择题
1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )
A．i∈S B．i2∈S
C．i3∈S D.∈S
考点 虚数单位i及其性质
题点 虚数单位i的运算性质
答案 B
2．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m＋i＝1＋ni，则等于( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 D
解析 由m＋i＝1＋ni(m，n∈R)，得m＝1且n＝1.
则＝＝＝i.
3．若a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a等于( )
A. B．2
C. D．1
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 A
解析 ∵＝(a＋i)(－i)＝1－ai，
∴＝|1－ai|＝＝2，
解得a＝或a＝－(舍)．
4．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，i为虚数单位，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 D
解析 因为z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]
＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i
＝(2－m)＋(3m－1)i，
所以2－m＝3m－1，即m＝.
经检验，m＝能使2－m＝3m－1>0，
所以m＝满足题意．
5．已知复数z＝(b∈R)的实部为－1，i为虚数单位，则复数－b在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的乘除法运算法则
题点 运算结果与点的对应关系
答案 C
解析 z＝＝
＝＝＋i，
又复数z＝(b∈R)的实部为－1，
则＝－1，即b＝6.∴z＝－1＋5i，
则＝－1－5i.
复数－b＝－1－5i－6＝－7－5i，在复平面上对应的点的坐标为(－7，－5)，位于第三象限．故选C.
6．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，i为虚数单位，则以下结论正确的是( )
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不为纯虚数
C.对应的点在实轴的下方
D．z一定为实数
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 C
解析 ∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，
∴z对应的点在实轴的上方．
又∵z与对应的点关于实轴对称，∴C正确．
7．复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 D
解析 由(z－3)(2－i)＝5，得z－3＝＝2＋i，
∴z＝5＋i，∴＝5－i.
二、填空题
8．若复数z＝a＋i(a∈R)与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则a＝________.
考点 共轭复数的定义与应用
题点 与共轭复数有关的综合应用
答案 ±1
解析 ＝a－i，因为复数z与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，所以a2＝1，所以a＝±1.
9．i是虚数单位，复数z满足(1＋i)z＝2，则z的实部为________．
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 1
解析 因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝1－i，所以其实部为1.
10．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i(i为虚数单位)所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
考点 复数的几何意义
题点 复数与点的对应关系
答案 (3,4)
解析 ∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，
∴解得311．如图，在复平面内，点A对应的复数为z1，若＝i(i为虚数单位)，则z2＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 运算结果与点的对应关系
答案 －2－i
解析 由题图可知，z1＝－1＋2i，
由＝i，得z2＝z1i＝(－1＋2i)i＝－2－i.
三、解答题
12．已知复数z1＝(1＋bi)(2＋i)，z2＝3＋(1－a)i (a，b∈R，i为虚数单位)．
(1)若z1＝z2，求实数a，b的值；
(2)若b＝1，a＝0，求.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 复数的混合运算
解 (1)复数z1＝(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i，
z2＝3＋(1－a)i，
由z1＝z2，可得解得
所以a＝2，b＝－1.
(2)若b＝1，a＝0，则z1＝1＋3i，z2＝3＋i.
＝＝＝2.
13．已知复数z1满足z1(1－i)＝2(i为虚数单位)，若复数z2满足z1＋z2是纯虚数，z1·z2是实数，求复数z2.
考点 复数四则运算的综合运用
题点 与混合运算有关的未知数求解
解 ∵z1(1－i)＝2，
∴z1＝＝＝＝1＋i.
设z2＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z1＋z2＝1＋a＋(b＋1)i是纯虚数，
∴ ∴a＝－1，b≠－1.
∴z1·z2＝(1＋i)(－1＋bi)＝(－1－b)＋(b－1)i，
又z1·z2是实数，则b－1＝0，
∴b＝1，∴z2＝－1＋i.
四、探究与拓展
14．若a是复数z1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b是复数z2＝的实部，则ab＝________.
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 －
解析 z1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i，
由a是复数z1＝(1－i)(3＋i)的虚部，
得a＝－2.
z2＝＝＝＝＋i，
由b是复数z2＝的实部，得b＝.
则ab＝－2×＝－.
15．求虚数z，使z＋∈R，且|z－3|＝3.
考点 复数四则运算的综合应用
题点 与混合运算有关的未知数求解
解 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则
z＋＝a＋bi＋＝＋i.
由z＋∈R，得b－＝0，
又b≠0，故a2＋b2＝9.①
又由|z－3|＝3，得＝3.②
由①②，得
即z＝＋i或z＝－i.
