2018_2019版高中数学第一章计数原理滚动训练二新人教A版选修2_3

第一章 计数原理
滚动训练二(§1.1～§1.3)
一、选择题
1．设二项式n的展开式各项系数的和为a，所有二项式系数的和为b，若a＋2b＝80，则n的值为(　　)
A．8 B．4 C．3 D．2
考点　展开式中系数的和问题
题点　二项展开式中系数的和问题
答案　C
解析　由题意a＝4n，b＝2n，∵a＋2b＝80，
∴4n＋2×2n－80＝0，
即(2n)2＋2×2n－80＝0，解得n＝3.
2．已知甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(　　)
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
考点　排列的应用
题点　元素“在”与“不在”问题
答案　D
解析　由题知共有CCC＋CCC＝345(种)选法．
3．3对夫妇去看电影，6个人坐成一排，若女性的邻座只能是其丈夫或其他女性，则不同的坐法种数为(　　)
A．54 B．60 C．66 D．72
考点　排列的应用
题点　元素“相邻”与“不相邻”问题
答案　B
解析　记3位女性为a，b，c，其丈夫依次为A，B，C,3位女性都相邻的可能情形有两类：第一类，男性在两端(如BAabcC)，有2A种坐法；第二类，男性在一端(如BCAabc)，有2AA种坐法，故共有A(2A＋2)＝36(种)坐法．仅有两位女性相邻的可能情形也有两类：第一类，这两人在一端(如abBACc)；第二类，这两人两端都有其他人(如AabBCc)，共有2A(1＋1)＝24(种)坐法．综上，满足题意的坐法共有36＋24＝60(种)．
4．9名同学分别到数学、物理、化学3个学习小组参加研究性学习活动，每组3人，则不同的分配方案种数为(　　)
A．CCA B.
C．CCC D．以上都不对
考点　排列组合综合问题
题点　分组分配问题
答案　C
解析　分配方案分三步完成：第一步，从9名同学中选3人到数学学习小组，有C种方法；第二步，从其余的6名同学中选3人到物理学习小组，有C种方法；第三步，剩余的3名同学到化学学习小组，有C种方法．根据分步乘法计数原理知，不同的分配方案共有CCC种．
5.(1＋x)4的展开式中，含x2的项的系数为(　　)
A．10 B．6 C．4 D．12
考点　二项展开式中的特定项问题
题点　求多项展开式中特定项的系数
答案　A
解析　根据乘法公式，得因式1＋中的1和(1＋x)4展开式中含x2的项相乘可得含x2的项；因式1＋中的和(1＋x)4展开式中含x3的项相乘可得含x2的项．(1＋x)4展开式的通项为Tk＋1＝Cxk(k＝0,1，…，4)，故(1＋x)4展开式中含x2的项为1·Cx2＋·Cx3＝10x2，即含x2的项的系数为10.
6．从集合{1,2,3，…，10}中选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的子集共有(　　)
A．10个 B．16个 C．20个 D．32个
考点　组合的应用
题点　有限制条件的组合问题
答案　D
解析　因为这10个数中两数之和为11的共有5组，即(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，所以从10个数中任取5个数组成一个子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11的子集个数共有CCCCC＝32(个)．
7．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图1,2,3,4,5,6,7，所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有(　　)
A．2 680种 B．4 320种
C．4 920种 D．5 140种
考点　排列的应用
题点　排列的简单应用
答案　B
解析　先将7盆花全排列，共有A种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5AA(种)，故所求摆放方法有A－5AA＝4 320(种)．
8．在(ax＋1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数和x5的系数的等比中项，则实数a的值为(　　)
A. B. C. D.
考点　展开式中系数的和问题
题点　多项展开式中系数的和问题
答案　A
解析　∵(ax＋1)7的二项展开式的通项为Tk＋1＝C(ax)7－k，∴x3的系数是Ca3，x2的系数是Ca2，x5的系数是Ca5.∵x3的系数是x2的系数与x5的系数的等比中项，∴(Ca3)2＝Ca2×Ca5，∴a＝.
二、填空题
9．不等式A－n<7的解集为________．
考点　排列数公式
题点　解含有排列数的方程或不等式
答案　{3,4}
解析　由不等式A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，整理得n2－4n－5<0，解得－110．若(x－m)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，其中a5＝56，则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝________.
考点　展开式中系数的和问题
题点　二项展开式中系数的和问题
答案　128
解析　由已知条件可得a5＝C·(－m)3＝－56m3＝56，∴m＝－1，
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28，①
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝0，②
由①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝＝128.
11．若(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．
考点　展开式中系数的和问题
题点　二项展开式中系数的和问题
答案　－1
解析　(1－2x)2 017＝a0＋a1x＋…＋a2 017x2 017，令x＝，则2 017＝a0＋＋＋…＋＝0，
其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.
12．将A，B，C，D，E，F 6个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)
考点　排列的应用
题点　排列的简单应用
答案　480
解析　按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘2即可．当C在左边第1个位置时，有A种排法，当C在左边第2个位置时有AA种排法，当C在左边第3个位置时，有AA＋AA(种)排法．所以不同的排法共有2(A＋AA＋AA＋AA)＝480(种)．
三、解答题
13．学校选派5名同学参加“华约”“北约”“卓越联盟”自主招生考试，每项考试至少选派1人参加，共有多少种不同的选派方法？
考点　排列组合综合问题
题点　分组分配问题
解　可先分组，再分配，分两个步骤完成．先把5名同学分成三组：①一组3人，另两组各1人，有种方法；②一组1人，另两组各2人，有种方法．再把三组学生分配到“华约”“北约”“卓越联盟”参加考试，有A种方法．故不同的的选派方法共有A＝150(种)．
四、探究与拓展
14．若n∈N*，n<100，且n的展开式中存在常数项，则所有满足条件的n的值的和是________．
考点　二项式定理的应用
题点　二项式定理的简单应用
答案　950
解析　n的展开式的通项为Tk＋1＝C(x3)n－k·k＝Cx3n－5k，令3n－5k＝0，得n＝k.当k＝3,6，…，57时，n＝5,10，…，95，故所有满足条件的n的值的和是5＋10＋…＋95＝＝950.
15．已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，且a2＝60，求：
(1)n的值；
(2)－＋－＋…＋(－1)n的值．
考点　二项式定理的应用
题点　二项式定理的简单应用
解　(1)因为T3＝C(－2x)2＝a2x2，
所以a2＝C(－2)2＝60，
化简可得n(n－1)＝30，且n∈N*，
解得n＝6.
(2)Tk＋1＝C(－2x)k＝akxk，所以ak＝C(－2)k，
所以(－1)k＝C，
－＋－＋…＋(－1)n
＝C＋C＋…＋C＝26－1＝63.