2018_2019版高中数学第一章计数原理章末检测试卷新人教A版选修2_3

第一章 计数原理
章末检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若A＝2A，则m的值为(　　)
A．5 B．3
C．6 D．7
考点　排列数公式
题点　利用排列数公式计算
答案　A
解析　依题意得＝2×，
化简得(m－3)·(m－4)＝2，
解得m＝2或m＝5，
又m≥5，∴m＝5，故选A.
2．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是(　　)
A．40 B．74
C．84 D．200
考点　组合的应用
题点　有限制条件的组合问题
答案　B
解析　分三类：第一类，从前5个题目中选3个，后4个题目中选3个；第二类，从前5个题目中选4个，后4个题目中选2个；第三类，从前5个题目中选5个，后4个题目中选1个，由分类加法计数原理得CC＋CC＋CC＝74.
3．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　)
A．32 B．－32
C．1 024 D．512
考点　二项式定理
题点　逆用二项式定理求和、化简
答案　A
解析　由二项式定理，得a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝C(－2)0a10＋C(－2)1a9＋C(－2)2a8＋…＋C(－2)10＝(a－2)10＝(－)10＝25＝32.
4．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有(　　)
A．A种 B．AA种
C．CA种 D．CCA种
考点　排列组合综合问题
题点　分组分配问题
答案　C
解析　先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有CA种．
5．(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为(　　)
A．5 B．3
C．2 D．0
考点　二项展开式中的特定项问题
题点　求多项展开式中特定项的系数
答案　A
解析　常数项为C·22·C＝4，x7系数为C·C·(－1)5＝－1，因此x7系数与常数项之差的绝对值为5.
6．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为(　　)
A．AA B．AAA
C．CAA D．AAA
考点　排列的应用
题点　元素“相邻”与“不相邻”问题
答案　D
解析　先把每个品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有A种放法，再考虑4幅油画本身排放有A种方法，5幅国画本身排放有A种方法，故不同的陈列法有AAA种．
7．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－1
考点　展开式中系数的和问题
题点　二项展开式中系数的和问题
答案　B
解析　令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35.两式相加除以2求得a0＋a2＋a4＝122，两式相减除以2可得a1＋a3＋a5＝－121.又由条件可知a5＝－1，故＝－.
8．圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是(　　)
A．16 B．24
C．32 D．48
考点　组合的应用
题点　与几何有关的组合问题
答案　C
解析　圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角，又每条直径对应着6个直角三角形，共有CC＝24(个)直角三角形，斜三角形的个数为C－CC＝32(个)．
9．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校，要求每所学校至少有1个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为(　　)
A．96 B．114
C．128 D．136
考点　排列组合综合问题
题点　分组分配问题
答案　B
解析　由题意可得每所学校至少有1个名额的分配方法种数为C＝136，分配名额相等有22种(可以逐个数)，则满足题意的方法有136－22＝114(种)．
10．已知二项式n的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2项的系数为(　　)
A．－19 B．19
C．－20 D．20
考点　二项式定理的应用
题点　二项式定理的简单应用
答案　D
解析　n的展开式Tk＋1＝C()n－kk＝C，由题意知－＝0，得n＝5，则所求式子中x2项的系数为C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故选D.
11．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人，后排6人)，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是(　　)
A．CC B．CA
C．CA D．CA
考点　排列组合综合问题
题点　排列与组合的综合应用
答案　C
解析　先从后排中抽出2人有C种方法，再插空，由题意知，先从4人中的5个空中插入1人，有5种方法，余下1人则要插入前排5人的空中，有6种方法，即为A，共有CA种调整方法．
12．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的(　　)
A．第9项 B．第10项
C．第19项 D．第20项
考点　二项式定理的应用
题点　二项式定理与其他知识点的综合应用
答案　D
解析　∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是C＋C＋C＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20.故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．
考点　组合数公式
题点　组合数公式的应用
答案　2或3
解析　设女生有x人，则CC＝30，
即·x＝30，解得x＝2或3.
14．学校公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有________种．
考点　排列的应用
题点　元素“相邻”与“不相邻”问题
答案　240
解析　分两步完成：
第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A种种植方法；
第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A种种植方法．
由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有A·A＝240(种)．
15．(1＋sin x)6的二项展开式中，二项式系数最大的一项的值为，则x在[0,2π]内的值为____．
考点　二项式定理的应用
题点　二项式定理与其他知识点的综合应用
答案　或
解析　由题意，得T4＝Csin3x＝20sin3x＝，
∴sin x＝.
∵x∈[0,2π]，∴x＝或x＝.
16．将A，B，C，D四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有________种．
考点　两个计数原理的应用
题点　两个原理的综合应用
答案　30
解析　先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，
若C，D在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；
若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A或B的盒中，有2×2＝4(种)放法．
故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知A＝{x|1(1)从集合A和B中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
(2)从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？
考点　两个计数原理的应用
题点　两个原理的综合应用
解　A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．
(1)从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标的情况有4种，故共有5×5＋5＋4＝34(个)不同的点．
(2)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}，则这样的三位数共有C＝20(个)．
18．(12分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的倍，试求展开式中二项式系数最大的项．
考点　二项式定理的应用
题点　二项式定理的简单应用
解　二项式的通项为Tk＋1＝C(2k)，
由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的倍，
∴
解得n＝7.
∴展开式中二项式系数最大两项是
T4＝C(2)3＝280与T5＝C(2)4＝560x2.
19．(12分)10件不同厂生产的同类产品：
(1)在商品评选会上，有2件商品不能参加评选，要选出4件商品，并排定选出的4件商品的名次，有多少种不同的选法？
(2)若要选6件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？
考点　排列组合综合问题
题点　排列与组合的综合应用
解　(1)10件商品，除去不能参加评选的2件商品，剩下8件，从中选出4件进行排列，有A＝1 680(或C·A)(种)．
(2)分步完成，先将获金质奖章的两件商品布置在6个位置中的两个位置上，有A种方法，再从剩下的8件商品中选出4件，布置在剩下的4个位置上，有A种方法，共有A·A＝50 400(或C·A)(种)．
20．(12分)设m＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，若a0，a1，a2成等差数列．
(1)求m展开式的中间项；
(2)求m展开式中所有含x的奇次幂的系数和．
考点　二项式定理的应用
题点　二项式定理的简单应用
解　(1)依题意a0＝1，a1＝，a2＝C2.
由2a1＝a0＋a2，
求得m＝8或m＝1(应舍去)，
所以m展开式的中间项是第五项，
T5＝C4＝x4.
(2)因为m＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxm，
即8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝8，
令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝8，
所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝，
所以展开式中所有含x的奇次幂的系数和为.
21．(12分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数．
(1)求1,2,3,4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；
(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数．
考点　排列的应用
题点　数字的排列问题
解　(1)1,2,3,4的再生数的个数为A＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234.
(2)需要考查5个数中相同数的个数．
若5个数各不相同，有A＝120(个)；
若有2个数相同，则有＝60(个)；
若有3个数相同，则有＝20(个)；
若有4个数相同，则有＝5(个)；
若5个数全相同，则有1个．
22．(12分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7.
(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
(2)利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)
(3)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求.
考点　二项式定理的应用
题点　二项式定理的简单应用
解　(1)根据题意得C＋C＝7，
即m＋n＝7，①
f(x)中的x2的系数为
C＋C
＝＋
＝.
将①变形为n＝7－m代入上式得x2的系数为
m2－7m＋21
＝2＋，
故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.
当m＝3，n＝4时，x3的系数为C＋C＝5；
当m＝4，n＝3时，x3的系数为C＋C＝5.
(2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3
≈C＋C×0.003＋C＋C×0.003≈2.02.
(3)由题意可得a＝C＝70，再根据

即
求得k＝5或6，此时，b＝7×28，
∴＝.