2018_2019版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末检测试卷新人教A版选修2_2

第三章 数系的扩充与复数的引入
章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　复数的乘除法运算法则
题点　运算结果与点的对应
答案　A
2．“复数z是实数”的充分不必要条件为(　　)
A．|z|＝z B．z＝
C．z2是实数 D．z＋是实数
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　A
解析　由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故“|z|＝z”是“z为实数”的充分不必要条件．
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于(　　)
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的运算法则
答案　A
解析　∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，
∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
4．若复数z满足＝i，其中i是虚数单位，则z等于(　　)
A．－1－i B．1＋i
C．1－i D．－1＋i
考点　共轭复数的定义与应用
题点　利用定义求共轭复数
答案　C
解析　＝(1－i)i＝－i2＋i＝1＋i，z＝1－i.
5．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A．(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．i(1＋i)2 D．i(1＋i)
考点　复数的乘除法运算法则
题点　复数的乘除法运算法则
答案　A
解析　A项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝2i2＝－2，不是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选A.
6．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，i为虚数单位，那么对应的复数为(　　)
A．4＋7i B．1＋3i
C．4－4i D．－1＋6i
考点　复数的加减法运算法则
题点　复数加减法与向量的对应
答案　C
解析　因为，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，＝－＝－(＋)，所以对应的复数为3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.
7．已知复数z＝－＋i，i为虚数单位，则＋|z|等于(　　)
A．－－i B．－＋i
C.＋i D.－i
考点　复数加减法的运算法则
题点　复数加减法的运算法则
答案　D
解析　因为z＝－＋i，
所以＋|z|＝－－i＋
＝－i.
8．已知i是虚数单位，若z(i＋1)＝i，则|z|等于(　　)
A．1 B.
C. D.
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　B
解析　∵z(i＋1)＝i，∴z＝＝＝(1＋i)，
则|z|＝.
9．已知复数z满足(1－i)z＝i2 016(其中i为虚数单位)，则的虚部为(　　)
A. B．－
C.i D．－i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　利用乘除法求复数中的未知数
答案　B
解析　∵i4＝1，∴i2 016＝(i4)504＝1，
∴z＝＝，则＝－i，∴的虚部为－.
10．已知关于复数z＝的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为(　　)
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p2，p4 D．p3，p4
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
答案　D
解析　z＝＝＝1－i，
p1：|z|＝＝.
p2：z2＝(1－i)2＝－2i.
p3：z的共轭复数为1＋i，真命题．
p4：z在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.
11．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足1·z2是实数，则z2等于(　　)
A．1－i B．1＋i
C.＋i D.－i
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
答案　B
解析　由z1＝2＋i，得1＝2－i，
由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，
可设z2＝1＋bi(b∈R)，
则1·z2＝(2－i)·(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.
又1·z2为实数，所以2b－1＝0，b＝.
所以z2＝1＋i.
12．如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1 B.
C．2 D.
考点　复数几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积
答案　A
解析　设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，|Z1Z2|＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值．
因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，|Z0Z3|＝1.故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知i是虚数单位，若＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的方程问题
答案　－3
解析　∵＝b＋i，∴a＋3i＝(b＋i)i，
则a＋3i＝－1＋bi，可得∴ab＝－3.
14．已知复数z＝，i为虚数单位，是z的共轭复数，则z·＝________.
考点　共轭复数的定义与应用
题点　与共轭复数有关的综合问题
答案　
解析　z＝－(－i)，|z|＝，
∴z·＝|z|2＝.
15．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)为纯虚数，复数z＝m＋ni的对应点在直线x＋y－2＝0上，则|z|＝________.
考点　复数的几何意义
题点　复数与点的对应关系
答案　2
解析　由纯虚数的定义知
解得m＝4，所以z＝4＋ni.
因为z的对应点在直线x＋y－2＝0上，
所以4＋n－2＝0，所以n＝－2.
所以z＝4－2i，
所以|z|＝＝2.
16．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有
②2＋i>1＋i；
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在；
⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．
考点　复数的概念
题点　复数的概念及分类
答案　⑤
解析　由y∈?CR，知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？(2)z是纯虚数？
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
18．(12分)已知复数z＝.
(1)求z的共轭复数；
(2)若az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
考点　复数四则运算的综合应用
题点　与混合运算有关的方程问题
解　(1)因为z＝＝＝1＋i，
所以＝1－i.
(2)由题意得a(1＋i)＋b＝1－i，
即a＋b＋ai＝1－i.
解得a＝－1，b＝2.
19．(12分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范围．
考点　转化与化归思想在复数中的应用
题点　转化与化归思想的应用
解　因为z1＝＝2＋3i，
z2＝a－2－i，
2＝a－2＋i，
所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|
＝|4－a＋2i|＝，
又因为|z1|＝，|z1－2|<|z1|，
所以<，
所以a2－8a＋7<0，
解得1所以a的取值范围是(1,7)．
20．(12分)已知z1＝m2＋i，z2＝(2m－3)＋i，m∈R，i为虚数单位，且z1＋z2是纯虚数．
(1)求实数m的值；
(2)求z1·2的值．
考点　复数加减法的运算法则
题点　复数加减法的综合应用
解　(1)z1＋z2＝(m2＋2m－3)＋i，
∵z1＋z2是纯虚数，∴则m＝1.
(2)由(1)得z1＝1＋i，z2＝－1＋i，
则2＝－1－i，
∴z1·2＝
＝－2＝－＝－－i.
21．(12分)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
考点　复数的乘除法运算法则
题点　乘除法的综合应用
解　∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1－2＝＝＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，
则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
22．(12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
考点　复数的几何意义的综合应用
题点　利用几何意义解决距离、角、面积问题
解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，
由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，
解得a＝b＝1或a＝b＝－1，
所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝1.综上，△ABC的面积为1.