2018_2019版高中数学第一章导数及其应用滚动训练一新人教A版选修2_2

第一章 导数及其应用
滚动训练一(§1.1～§1.2)
一、选择题
1．自变量x从x0变化到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)
A．从x0到x1的平均变化率
B．在x＝x1处的变化率
C．在x＝x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
考点　平均变化率
题点　函数的平均变化率
答案　A
解析　＝表示函数从x0到x1的平均变化率．
2．下列求导结果正确的是(　　)
A．(a－x2)′＝1－2x B．(2)′＝3
C．(cos 60°)′＝－sin 60° D．[ln(2x)]′＝
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　B
解析　根据题意，依次分析选项：
对于A，(a－x2)′＝a′－(x2)′＝－2x，故A错误；
对于B，(2)′＝()′＝2××＝3，故B正确；
对于C，(cos 60°)′＝0，故C错误；
对于D，[ln(2x)]′＝(2x)′＝，故D错误．故选B.
3．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为(　　)
A. B．0
C．1 D．2
考点　导数乘除法则及运算
题点　导数乘除法则及运算
答案　C
解析　y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′
＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]
＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，
由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)
＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，
解得a＝1.
4．曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜率为(　　)
A．1 B．e
C．－ D.
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　D
解析　设M(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝，
所以切线斜率k＝＝，
所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)．
由题意得0－ln x0＝(0－x0)＝－1，
即ln x0＝1，所以x0＝e.
所以k＝＝，故选D.
5．已知函数f(x)＝asin x＋bx3＋1(a，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)等于(　　)
A．2 017 B．2 016
C．2 D．0
考点　导数的加减法则及运算
题点　导数的加减法则及运算
答案　C
解析　函数的导数f′(x)＝acos x＋3bx2，
则f′(x)为偶函数，则f′(2 017)－f′(－2 017)
＝f′(2 017)－f′(2 017)＝0，
由f(x)＝asin x＋bx3＋1，
得f(2 016)＝asin 2 016＋b·2 0163＋1，
f(－2 016)＝－asin 2 016－b·2 0163＋1，
则f(2 016)＋f(－2 016)＝2，
则f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)＝2＋0＝2，故选C.
6．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R且为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切，则a＋b的值为(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．2
答案　A
解析　由y＝f(x)过点(0,0)得b＝－1，
∴f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax－1，
∴f′(x)＝＋＋a，
又∵曲线y＝f(x)与直线y＝x在点(0,0)相切，即曲线y＝f(x)在点(0,0)处切线的斜率为，
∴f′(0)＝，即1＋＋a＝，
∴a＝0，故a＋b＝－1，选A.
7．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出四个函数：①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝ln x，④f(x)＝tan x，其中有“巧值点”的函数的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　B
解析　根据题意，依次分析所给的函数：
①若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，①符合要求；
②若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；
③f(x)＝ln x，则f′(x)＝，若ln x＝，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；
④f(x)＝tan x，则f′(x)＝，即sin xcos x＝1，变形得sin 2x＝2，无解，④不符合要求，故选B.
8．若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图象在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值为(　　)
A．4 B．2
C．2 D.
考点　简单复合函数的导数
题点　简单复合函数的导数的综合应用
答案　D
解析　函数的导数为f′(x)＝－eax·a，
所以f′(0)＝－e0·a＝－，
即在x＝0处的切线斜率k＝－，
又f(0)＝－e0＝－，
所以切点坐标为，
所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0.
圆心到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝1，
即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，
所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，
即a＋b≤，
当且仅当a＝b＝时等号成立，
所以a＋b的最大值是，故选D.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝mxm－n的导数为f′(x)＝8x3，则mn＝________.
考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数
题点　常数、幂函数的导数
答案　
解析　∵函数f(x)＝mxm－n的导数为
f′(x)＝m(m－n)xm－n－1，
∴m(m－n)＝8且m－n－1＝3，解得m＝2，n＝－2，
由此可得mn＝2－2＝.
10．若某物体做运动方程为s＝(1－t)2(位移单位为m，时间单位为s)的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度v为________ m/s.
考点　导数的几何意义的应用
题点　导数的物理意义
答案　0.4
解析　∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2，
∴v＝s′|t＝1.2＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．
11．函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)的导数为f′(x)，则f′(1)＝________.
考点　导数的乘除法则及运算
题点　导数的乘除法则及运算
答案　－6
解析　∵f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，
令g(x)＝x(x－2)(x－3)(x－4)，
则f(x)＝(x－1)g(x)
∴f′(x)＝(x－1)′g(x)＋(x－1)g′(x)
＝g(x)＋(x－1)g′(x)，
则f′(1)＝g(1)＋(1－1)g′(1)＝g(1)，
∵g(1)＝1×(1－2)(1－3)(1－4)＝－6，
∴f′(1)＝g(1)＝－6.
12．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　
解析　令y′＝2x－＝1，得x＝1，
故当点P坐标为(1,1)时，它到已知直线的距离最小，最小距离d＝＝.
三、解答题
13．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线，求切线l的方程．
考点　求函数在某点处的切线方程
题点　求函数在某点处的切线方程
解　∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1，
∴f′(x)＝2ax－2＋，∴f′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，
∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
四、探究与拓展
14．已知函数f(x)＝cos x＋e－x＋x2 016，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2 017(x)等于(　　)
A．－sin x＋e－x B．cos x－e－x
C．－sin x－e－x D．－cos x＋e－x
考点　导数公式的应用
题点　导数公式的应用
答案　C
解析　f1(x)＝f′(x)＝－sin x－e－x＋2 016x2 015，
f2(x)＝f1′(x)＝－cos x＋e－x＋2 016×2 015×x2 014，
f3(x)＝f2′(x)＝sin x－e－x＋2 016×2 015×2 014x2 013，
f4(x)＝f3′(x)＝cos x＋e－x＋2 016×2 015×2 014×2 013x2 012，
…，
∴f2 016(x)＝f′2 015(x)＝cos x＋e－x＋2 016×2 015×2 014×2 013×…×1，
∴f2 017(x)＝－sin x－e－x，故选C.
15．已知函数f(x)＝x3－3x及曲线y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.
(1)若直线l与曲线y＝f(x)相切于点P，求直线l的方程；
(2)若直线l与曲线y＝f(x)相切，且切点异于点P，求直线l的方程．
考点　求函数过某点的切线方程
题点　求函数过某点的切线方程
解　(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3.
过点P且以P(1，－2)为切点的直线l的斜率为f′(1)＝0，
故所求直线l的方程为y＝－2.
(2)设过点P(1，－2)的直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，x－3x0)．
由f′(x0)＝3x－3，
得直线l的方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)．
又直线l过点P(1，－2)，
所以－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)，
即(x0－1)2(x0＋2)＝3(x－1)(x0－1)，
解得x0＝1(舍去)或x0＝－，
故直线l的斜率k＝－，
故直线l的方程为y－(－2)＝－(x－1)，
即9x＋4y－1＝0.