2018_2019版高中数学模块综合试卷新人教A版选修2_2

模块综合试卷
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　共轭复数的定义与应用
题点　共轭复数与点的对应
答案　D
解析　∵z＝＝＝1＋i，
∴＝1－i，∴在复平面内对应的点位于第四象限．
2．曲线y＝sin x＋ex(其中e＝2.718 28…是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为(　　)
A．2 B．3
C. D.
考点　求函数在某点处的切线斜率或切点坐标
题点　求函数在某点处的切线的斜率
答案　A
解析　∵y′＝cos x＋ex，
∴k＝y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，故选A.
3．观察下列等式：
9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n(n∈N*)个等式应为(　　)
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数对(组)中的应用
答案　B
解析　注意观察每一个等式与n的关系，易知选项B正确．
4．?|sin x|dx等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
考点　分段函数的定积分
题点　分段函数的定积分
答案　D
解析　?|sin x|dx＝?sin xdx＋?(－sin x)dx
＝－cos x|＋cos x|＝1＋1＋1＋1＝4.
5．已知在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的重心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　类比推理的应用
题点　平面几何与立体几何之间的类比
答案　C
解析　由题意知，O为正四面体的外接球和内切球的球心．设正四面体的高为h，由等体积法可求得内切球的半径为h，外接球的半径为h，所以＝3.
6．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是(　　)
A. B．－1
C．0 D．1
考点　利用导数求函数的最值
题点　利用导数求不含参数函数的最值
答案　D
解析　由f′(x)＝3－12x2＝3(1＋2x)(1－2x)＝0，解得x＝±，
∵－?[0,1](舍去)．
当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在[0,1]上的极大值为
f?＝－4×3＝1.
又f(0)＝0，f(1)＝－1，∴函数最大值为1.
7．若函数f(x)＝ax2＋ln x的图象上存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
考点　导数与曲线的切线问题
题点　切线存在性问题
答案　A
解析　易知f′(x)＝2ax＋(x>0)．
若函数f(x)＝ax2＋ln x的图象上存在垂直于y轴的切线，
则2ax＋＝0存在大于0的实数根，
即a＝－<0.
8．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
考点　演绎推理的综合应用
题点　演绎推理在其他方面的应用
答案　B
解析　若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．
9．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　　)
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
考点　利用导数求解生活中的最值问题
题点　用料、费用最少问题
答案　D
解析　设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意，得l＝15×＋12×2
＝240＋72(x>0)，l′＝72.
令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．
当04时，l′>0.
故当x＝4时，l有最小值816.
因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.
10．已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导数为f′(x)，当x∈(－∞，0]时，恒有xf′(x)F(2x－1)的实数x的取值范围为(　　)
A．(－1,2) B.
C. D．(－2,1)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　已知函数值大小求未知数
答案　A
解析　∵f(x)是奇函数，∴不等式xf′(x)∵F(x)＝xf(x)，∴F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，即当x∈(－∞，0]时，F′(x)<0，函数F(x)为减函数．
∵f(x)是奇函数，∴F(x)＝xf(x)为偶函数，且当x>0时，为增函数，即不等式F(3)>F(2x－1)等价于F(3)>F(|2x－1|)，
∴|2x－1|<3，∴－3<2x－1<3，得－111．若由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3以及两坐标轴的正半轴所围成的图形的面积为S，则S等于(　　)
A. B. C．3 D.
考点　利用定积分求曲线所围成图形面积
题点　需分割的图形的面积求解
答案　D
解析　由
得或
所以所求面积为图中阴影部分的面积．
所以S＝?(x2＋1)dx＋?(3－x)dx＝＋1＋－＝.
12．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值
答案　C
解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)<0，
在x＝1附近的右侧f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．
考点　复数的模的定义与应用
题点　利用定义求复数的模
答案　5
解析　z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5.
14．已知不等式1－<0的解集为(－1,2)，则?dx＝________.
考点　利用微积分基本定理求定积分
考点　利用微积分基本定理求定积分
答案　2－3ln 3
解析　由1－<0，得－a又不等式1－<0的解集为(－1,2)，
∴解得a＝1，
∴?dx＝?dx
＝[x－3ln(x＋1)]|＝2－3ln 3.
15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
考点　利用导数求函数的单调区间
题点　已知函数的单调性求参数
答案　[－，]
解析　依题意可知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
则Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.
16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．
1
　
　　
　　　
　　　　
考点　归纳推理的应用
题点　归纳推理在数阵(表)中的应用
答案　
解析　设第n(n≥2且n∈N*)行的第2个数字为，其中a1＝1，则由数阵可知an＋1－an＝n，
∴a20＝(a20－a19)＋(a19－a18)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝19＋18＋…＋1＋1＝＋1＝191，
∴＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知复数z满足|z|＝，z的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限．
(1)求复数z；
(2)若m2＋m＋mz2是纯虚数，求实数m的值．
考点　复数的概念
题点　由复数的分类求未知数
解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则a2＋b2＝2，b＝1.
因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a<0，
所以a＝－1，b＝1，所以z＝－1＋i.
(2)由(1)得z＝－1＋i，
所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，
所以m2＋m＋mz2＝m2＋m－2mi.
又因为m2＋m＋mz2是纯虚数，
所以所以m＝－1.
18．(12分)已知a>5，求证：－<－.
考点　分析法及应用
题点　分析法解决不等式问题
证明　要证－<－，
只需证＋<＋，
即证(＋)2<(＋)2，
即证2a－5＋2<2a－5＋2，
只需证<，
只需证a2－5a显然0<6成立，所以－<－.
19．(12分)设函数f(x)＝sin x－cos x＋x＋1,0考点　函数在某点处取得极值的条件
题点　不含参数的函数求极值问题
解　f′(x)＝cos x＋sin x＋1
＝sin＋1(0令f′(x)＝0，即sin＝－，
解得x＝π或x＝π.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如表：
x
(0，π)
π

π

f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
递增
π＋2
递减

递增
所以f(x)的单调增区间为(0，π)和，单调减区间为.
f(x)极大值＝f(π)＝π＋2，
f(x)极小值＝f?＝.
20．(12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3；
(2)猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
考点　数学归纳法证明数列问题
题点　利用数学归纳法证明数列通项问题
解　(1)a1＝S1＝＋－1，所以a1＝－1±.
又因为an>0，所以a1＝－1.
S2＝a1＋a2＝＋－1，
所以a2＝－.
S3＝a1＋a2＋a3＝＋－1，
所以a3＝－.
(2)由(1)猜想an＝－，n∈N*.
下面用数学归纳法加以证明：
①当n＝1时，由(1)知a1＝－1成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时，
ak＝－成立．
当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－
＝＋－，
所以a＋2ak＋1－2＝0，
所以ak＋1＝－，
即当n＝k＋1时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切n∈N*都成立．
21．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.
(1)求f(x)的单调区间和极大值；
(2)证明对任意x1，x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式问题
(1)解　由奇函数的定义，
应有f(－x)＝－f(x)，x∈R，
即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝0.
因此f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.
由条件f(1)＝－2为f(x)的极值，必有f′(1)＝0.
故解得a＝1，c＝－3.
因此f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
f′(－1)＝f′(1)＝0.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在区间(－1,1)上是减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
∴f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝2.
(2)证明　由(1)知，f(x)＝x3－3x(x∈[－1,1])是减函数，
且f(x)在[－1,1]上的最大值M＝f(－1)＝2，
f(x)在[－1,1]上的最小值m＝f(1)＝－2.
∴对任意的x1，x2∈(－1,1)，
恒有|f(x1)－f(x2)|22．(12分)已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.
(1)求证：函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点；
(2)当x≥时，若关于x的不等式f(x)≥x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．
考点　利用导数求函数中参数的取值范围
题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围
(1)证明　f′(x)＝ex＋4x－3，
∵f′(0)＝e0－3＝－2<0，f′(1)＝e＋1>0，
∴f′(0)·f′(1)<0.
令h(x)＝f′(x)＝ex＋4x－3，则h′(x)＝ex＋4>0，
∴f′(x)在区间[0,1]上单调递增，
∴f′(x)在区间[0,1]上存在唯一零点，
∴f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极小值点．
(2)解　由f(x)≥x2＋(a－3)x＋1，
得ex＋2x2－3x≥x2＋(a－3)x＋1，
即ax≤ex－x2－1，
∵x≥，∴a≤.
令g(x)＝，
则g′(x)＝.
令φ(x)＝ex(x－1)－x2＋1，则φ′(x)＝x(ex－1)．
∵x≥，∴φ′(x)>0.
∴φ(x)在上单调递增．
∴φ(x)≥φ＝－>0.
因此g′(x)>0，故g(x)在上单调递增，
则g(x)≥g＝＝2－，
∴a的取值范围是.