北师大八年级上4.2一次函数与正比例函数课件(共25张PPT)

2 一次函数与正比例函数
某登山队大本营所在地的气温为5℃ ，海拔每升高1km气温下降6℃ ，登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y℃ ,试用解析式表示 y 与x 的关系.
分析：y随x变化的规律是，向海拔增加xkm时，气温减少 ，而原来的温度是 .因此y与x的函数关系式为：
6x℃
5℃
y=-6x+5
( x≥0）
1.知识目标
（1）在现实情景中体会和理解一次函数与正比例函数的意义，
以及它们之间的关系.
（2）在具体情景中，会写出较简单问题的正比例函数和一次函
数的解析式.
2.教学重点
一次函数和正比例函数概念的理解及它们之间的关系.
3.教学难点
根据实际问题写出正比例函数和一次函数的解析式，
并明确自变量取值范围.
1、下列问题中变量间的对应关系可用怎样的函数表示？
（1）圆的周长 C 随半径 r 大小变化而变化；
C =2πr
（2）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化.
T= -2 t

（3）有人发现，在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t（单位：℃）有关，即c的值约是t的7倍与35的差；
(4)一种计算成年人标准体重G（单位：千克）的方法是，以厘米为单位量出身高值 h 减去常数105，所得差是G的值；
解:C=7t-35
解:G=h-105

（5）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费按0.1元/分收取;
（6）把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：cm2）随x的值而变化.
解:y=0.1x+22
解:y= -5x+50
可以得出上面问题中的函数解析式分别为：
（3）c=7t-35
（4）G=h-105
（5）y=0. 1x+22
(6)y= -5x+50
思考：上述关系式的共同点及区别在哪里？
(1) C =2πr
(2)T= -2 t
（3）（4）（5）（6）这些函数的形式都是自变量x的k(常数) 倍与一个常数的和.
（1）（2）的共同点是：这些函数都是常数与自变量的乘积的形式---正比例函数.


一般地，形如ｙ＝kx＋b（k，b为常数，k≠０）的函数，叫做一次函数.
（1）k≠0 .
（2）x 的次数是1.

（3）常数项ｂ可以为一切实数.
思考：一次函数的结构特征有哪些？
（5）y=0.1x+22
（4）G= h -105
一次函数
正比例函数
定义：
当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx,所以说正比例函数是
一种特殊的一次函数.
例1：下列函数中y是x的一次函数的有 ，y是x的正比例函数的有 .（只填序号）
①y=-8x
④y=5x-6
②y=-
③y=5x2+6
⑤y=-
⑥y=kx+b
8
-
x
x-1
3

①④⑤
①
例2：已知函数y=（k+1）x+（k2-1）
①当k取什么值时，y是x的一次函数？
②当k取什么值时，y是x的正比例函数？
解：
①由已知得 k+1≠0
∴k≠-1
故当k≠-1时，y是x的一次函数.
②由已知得
故当k=1时，y是x的正比例函数.

k+1≠0 ①
k2-1=0　 ②

由 ①得k≠-1
由 ②得k=±1
∴k=1


汽车油箱中原有油50升,如果行驶中每小时用油5升,求油箱的油量y(单位:升)随行使时间x(单位:时)变化的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.y是x的一次函数吗?
（1）油箱中的油为什么会减少？
（2）耗油量与什么有关，怎样表示？
（3）余油量与什么有关？
（4）你能否确定这个函数关系式？
（5）这道题是实际问题，汽车能否一直开着？
什么时候汽车就不能动了呢？
耗油
余油量=原油量 -耗油量
y=50-5x
耗油量=5x

例 3
解:由题意：余油量=原油量 - 耗油量
得，函数关系式为：y=50-5x.
自变量x的取值范围是0≤x≤10.
y是x的一次函数.
跟踪练习

D
　A．1个
　B．2个
　C．3个
　D．4个
　A．一次函数不一定是正比例函数
　B．不是一次函数就一定不是正比例函数
　C．正比例函数是特殊的一次函数
　D．不是正比例函数就不是一次函数
1．已知下列函数: y = 2x + 1；
； s = 60 t , 其中表示一次函数的有( )


x
y
1
=
y =100 - 25x；
C
　2．下列说法不正确的是( )
3. 下列函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
它是一次函数，不是正比例函数.


它不是一次函数，也不是正比例函数.
它是一次函数，也是正比例函数.
它不是一次函数，也不是正比例函数.

它是一次函数，也是正比例函数.
（1）y=-x-4
（2）y=5x2+6
（3）y=2πx
(5)y=-8x
(4)
4.已知函数y=(2-m)x+2m-3.求当m为何值时,
(1)此函数为一次函数；
(2) 此函数为正比例函数.
解:(1)由题意得， k = 2-m≠0, m≠2,所以m≠2时,此函数为一次函数.
(2)由题意, k = 2-m≠0, 解得，m≠2，
又因为b = 2m-3= 0, 解得，m=
所以当 m= 时,函数为正比例函数y= x.
写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为 y (千米)与行驶时间 x (时)之间的关系;
解：由路程=速度×时间，得y=60x , y 是 x 的 一次函数,也是 x 的正比例函数.
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解：由圆的面积公式，得y= πx2,y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（2）圆的面积y ( 平方厘米 )与它的半径x ( 厘米)之间的关系
（3）一棵树现在高5 0 厘米，每个月长高2 厘米，x月后这棵树的高度为y 厘米.
解：这棵树每月长高2厘米，x个月长高了2x厘米，因而y=50+2x,y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.



(3) 要使y=(m-3)xn-3+1是关于x的一次函数, m, n应满足 , .
n=4
m≠3

1．已知函数y=(k-1)x+2k - 1，
当 k________时，它是一次函数，

当 k =_______时，它是正比例函数．
≠ 1

2．（1）要使y=(m-2)x+1是关于x的一次函数,则m____；
（2）要使
是关于x的一次函数,则n ____.

≠2
= 2
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3．若y+3与x-2成正比例，则y是x的( )
A．正比例函数 B．比例函数
C．一次函数 D．不存在函数关系
4．某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米时，花　费为y元，y与x的关系式是( )
A．y=2.2x B．x=2.2y
C．y=1.1x D．y=2.2
C
A
5. 如图,在△ABC中, ∠B与∠C 的平分线交于点P, 设∠A=x, ∠BPC=y, 当∠A变化时,求y与x之间的函数关系式,并判断y是不是x的一次函数.
解: y = x + 90 .

y是x的一次函数.






P
A
B
C
? 6.已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时， y是x　　　　　　　　的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例函数？

解：（1）因为y是x的一次函数
所以 m+1 ≠ 0 m≠-1．
（2）因为y是x的正比例函数
所以 m2-1=0 m=1或-1，
又因为 m≠ -1 所以 m=1．

7.一种移动通讯服务的收费标准为：每月基本服务费30元，每月免费通话时间为120分，以后每分收费0.4元.
（1）写出每月话费y关于通话时间x(x>120)的函数解析式；
（2）分别求每月通话时间为100分，200分的话费.
y=0.4x-18 (x > 120)
当x=100时,y=30（元），
当x=200时,y=62（元）.
本节课你学到了什么?
感悟与反思
一般形式
一次函数
正比例函数
注:正比例函数是一种特殊的一次函数.
1．一次函数、正比例函数定义及一般形式？
2．确定实际问题的自变量取值范围应注意什么？
小 结


祝同学们学习进步！
再见！