2.1.1 离散型随机变量
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．下面给出四个随机变量：
①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y；
③某网站未来1小时内的点击量；
④一天内的温度η.
其中是离散型随机变量的为( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
解析：①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出．②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出．③是，1小时内网站的访问次数可一一列出；④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．
答案：C
2．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是( )
A．小球滚出的最大距离
B．倒出小球所需的时间
C．倒出的三个小球的质量之和
D．倒出的三个小球的颜色的种数
解析：A.小球滚出的最大距离不是一个离散型随机变量，因为不能明确滚动的范围；B.倒出小球所需的时间不是一个离散型随机变量，因为不能明确所需时间的范围；C.三个小球的质量之和是一个定值，不是随机变量，就更不是离散型随机变量了；D.颜色的种数是一个离散型随机变量．
答案：D
3．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A．6 B．5 C．4 D．2
解析：由于是逐次试验，可能前5次都打不开锁，那么剩余钥匙一定能打开锁，故选B.
答案：B
4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是( )
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标 D．第4次击中目标
解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．
答案：C
5．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是( )
A．6 B．7 C．10 D．25
解析：X的所有可能值为1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．
答案：C
二、填空题
6．抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数记为(x，y)，且设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验的结果是________．
解析：抛掷一枚骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，而X表示抛掷两枚骰子所得到的点数之和，X＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2，所以X＝4表示的随机试验的结果是一枚是1点，另一枚是3点或者两枚都是2点，即(1，3)，(3，1)，(2，2)．
答案：(1，3)，(3，1)，(2，2)
7．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为______________．
解析：ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5.
答案：{0，1，2，3，4，5}
8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为ξ，则{ξ＜2}表示的试验结果是______________．
解析：应分ξ＝0和ξ＝1两类．ξ＝0表示取到3件正品；ξ＝1表示取到1件次品、2件正品．故{ξ＜2}表示的试验结果为取到1件次品，2件正品或取到3件正品．
答案：取到1件次品、2件正品或取到3件正品
三、解答题
9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值及其所表示的结果．
解：ξ的可能取值为0，1，2.
ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；
ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品．
ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．
10．某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中的次数ξ是一个随机变量．
(1)写出ξ的所有取值及每一个取值所表示的结果；
(2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η，写出所有η的取值及每一个取值所表示的结果．
解：(1)ξ可取0，1，2，3，4，5.表示5次罚球中分别命中0次，1次，2次，3次，4次，5次．
(2)η可取0，2，4，6，8，10.表示5次罚球后分别得0分，2分，4分，6分，8分，10分．
B级 能力提升
1．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为( )
A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z
解析：两次掷出点数均可取1～6所有整数，
所以X∈[－5，5]，X∈Z.
答案：D
2．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则{ξ＝6}表示的试验结果有________种．
解析：{ξ＝6}表示前5局中胜3局的球队，第6局一定获胜，共有C·C＝20(种)．
答案：20
3．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．
在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.
解：因为x，y可能取的值为1，2，3，
所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3，所以ξ可能的取值为0，1，2，3，
用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，
第二次抽到卡片号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为：ξ＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)．
ξ＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)．ξ＝2表示(1，2)，(3，2)．
ξ＝3表示(1，3)，(3，1)．
第1课时 离散型随机变量的分布列
A级 基础巩固
一、选择题
1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )
A．25 B．10 C．9 D．5
解析：第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．
答案：C
2．若随机变量X的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X
A．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
解析：由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X答案：C
3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1，2，…，则P(2＜X≤4)等于( )
A. B. C. D.
解析：P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
答案：A
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m，k＝1，2，3，则m的值为( )
A. B. C. D.
解析：P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝.
答案：B
5．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)等于( )
A. B. C. D.
解析：因为＋＋＝1，所以a＝3，
P(X＝2)＝＝.
答案：C
二、填空题
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a、b、c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________．
解析：由a＋b＋c＝1及2b＝a＋c，得b＝，所以P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝－1)＝.
答案：
7．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ＞8)＝________．
解析：依题意有P(ξ＞8)＝×8＝.
答案：
8．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________．
解析：设10个球中有白球m个，则＝1－，
解得m＝5.
P(X＝2)＝＝.
答案：
三、解答题
9．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X.求随机变量X的分布列．
解： X可取3，4，5，6，7.其中X＝3表示取出分别标有1，2的2张卡片，P(X＝3)＝＝；
X＝4表示取出分别标有1，3的2张卡片，P(X＝4)＝＝；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的2张卡片，P(X＝5)＝＝；
X＝6表示取出分别标有2，4的2张卡片，P(X＝6)＝＝；
X＝7表示取出分别标有3，4的2张卡片，P(X＝7)＝＝.
所以变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
7
P
10.抛掷一颗正方体骰子，用随机变量ξ表示出现的点数，求：
(1)ξ的分布列；
(2)P(ξ>4)及P(2≤ξ<5)．
解：(1)ξ所有可能的取值为1，2，3，4，5，6.因为骰子是均匀的，所以出现每一点数的概率均为，
故ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
6
P
(2)P(ξ>4)＝P(ξ＝5)＋P(ξ＝6)＝.
P(2≤ξ<5)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝＋＋＝.
B级 能力提升
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝( )
A. B. C. D.
解析：由＜ξ＜知ξ＝1，2，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
答案：D
2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么n＝________．
解析：由ξ＜4知ξ＝1，2，3时，有P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10.
答案：10
3．将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
解：将一颗骰子连掷两次共出现的等可能基本事件有6×6＝36(种)，其最大点数ξ可能取的值为1，2，3，4，5，6.
P(ξ＝1)＝.
ξ＝2包含三个基本事件(1，2)，(2，1)，(2，2)，其中(x，y)表示第一枚骰子点数为x，第二枚骰子点数为y.所以P(ξ＝2)＝＝.
同理可求得P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
6
P
第2课时 两点分布与超几何分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为( )
A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7
C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，5
解析：可能第一次就取到白球，也可能红球都取完才取到白球，所以ξ的可能取值为1，2，3，…，7.
答案：B
2．若随机变量X的概率分布列为
X
x1
x2
P
p1
p2
且p1＝p2，则p1等于( )
A. B. C. D.
解析：由p1＋p2＝1且p2＝2p1可解得p1＝.
答案：B
3．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2，3，则c＝( )
A. B.
C. D.
解析：依题意c＋＋＋＝1，所以c＝.
答案：C
4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是( )
A．都不是一等品
B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品
D．至多有一件一等品
解析：设取到一等品的件数是ξ，则ξ＝0，1，2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，因为P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”．
答案：D
5．一盒中有12个大小、形状完全相同的小球，其中9个红的，3个黑的，从盒中任取3球，x表示取出的红球个数，P(x＝1)的值为( )
A. B. C. D.
解析：由题意知，取出3球必是一红二黑，故P(x＝1)＝＝，选C项．
答案：C
二、填空题
6．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，则出现次品的概率为__________(用数字作答)．
解析：含1件次品的概率P1＝，含2件次品的概率P2＝，
所以出现次品的概率P＝P1＋P2＝.
答案：
7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
解析：P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
答案：
8．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，令Y＝2X－2，则P(Y＞0)＝________．
解析：由已知Y取值为0，2，4，6，8，且P(Y＝0)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝8)＝.
则P(Y>0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝.
答案：
三、解答题
9．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6.
(1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
(2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；
(3)若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．
解：(1)设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，则两次取球的编号的一切可能结果(m，n)有6×6＝36种，其中和为6的结果有(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，共5种，则所求概率为.
(2)每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p＝＝.
所以在3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为Cp2(1－p)＝3××＝.
(3)随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6.
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝＝，P(X＝6)＝＝＝.
所以随机变量X的分布列如下表所示：
X
3
4
5
6
P
10.生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P(X≤1)，
即P(X≤1)＝＋＝.
综上该批产品被接收的概率是.
B级 能力提升
1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( )
A．10% B．20%
C．30% D．40%
解析：设10件产品中有x件次品，
则P(ξ＝1)＝＝＝，解得x＝2或8.
因为次品率不超过40%，
所以x＝2，所以次品率为＝20%.
答案：B
2．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．
解析：将50名学生看作一批产品，其中选修A课程为不合格品，选修B课程为合格品，随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.
依题意所求概率为P(X＝1)＝＝.
答案：
3．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用教材的版本相同的概率；
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1 225，选出2人使用教材的版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350，故2人使用教材的版本相同的概率P＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2.
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
2.2.1 条件概率
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．在区间(0，1)内随机投掷一个点M(其坐标为x)，若A＝，B＝，则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
解析：P(A)＝＝.
因为A∩B＝，
所以P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：A
2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45
解析：已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.
答案：A
3．一盒中装有5个产品，其中有3个一等品，2个二等品，从中不放回地取出产品，每次1个，取两次，已知第1次取得一等品的条件下，第2次取得的是二等品的概率是( )
A. B. C. D.
解析：设事件A表示“第1次取得的是一等品”，B表示“第2次取得的是二等品”．
则P(AB)＝＝，P(A)＝.
由条件概率公式知
P(B|A)＝＝＝.
答案：A
4．某种电子元件用满3 000小时不坏的概率为，用满8 000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3 000小时不坏，还能用满8 000小时的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：记事件A：“用满3 000小时不坏”，P(A)＝；记事件B：“用满8 000小时不坏”，P(B)＝.因为B?A，所以P(AB)＝P(B)＝，P(B|A)＝＝＝÷＝.
答案：B
5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72 B．0.8
C．0.86 D．0.9
解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：A
二、填空题
6．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是________．
解析：因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
答案：
7．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为________．
解析：因为P(A|B)＝，
所以P(AB)＝0.3，
所以P(B|A)＝＝＝0.75.
答案：0.75
8．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．
解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，
则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.
答案：
三、解答题
9．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选出3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
10．某班级有学生40人，其中团员15人，全班分四个小组，第一小组10人，其中团员4人，如果要在班内任选一人当学生代表．
(1)求这个代表恰好在第一小组内的概率；
(2)现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？
解：设A＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任选一个学生，该学生是团员}．
(1)由古典概率知P(A)＝＝.
(2)法一 由古典概型知P(A|B)＝.
法二 P(AB)＝，P(B)＝，
由条件概率的公式，得P(A|B)＝.
B级 能力提升
1．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )
A. B. C. D.
解析：设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有1张假钞”，所以所求概率为P(A|B)．
而P(AB)＝，P(B)＝.
所以P(A|B)＝＝.
答案：D
2．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是________．
解析：令第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，
则P(AB)＝＝，P(A)＝＝.
所以P(B|A)＝＝×＝.
答案：
3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
于是P(AB)＝＝＝.
(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝÷＝.
法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
2.2.2 事件的相互独立性
A级 基础巩固
一、选择题
1．有以下三个问题：
①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；
③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．
这三个问题中，M，N是相互独立事件的有( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
解析：①中，M，N是互斥事件；②中，P(M)＝，P(N)＝，即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M，N不是相互独立事件；③中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件．
答案：C
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a，第二道工序的次品率为b，则产品的正品率为( )
A．1－a－b B．1－ab
C．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)
解析：设A表示“第一道工序的产品为正品”，B表示“第二道工序的产品为正品”，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．
答案：C
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转)，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
甲 乙
A. B. C. D.
解析：满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
所以所求事件的概率
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝×＋×＋×＝.
答案：C
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
解析：所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝.
答案：B
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( )
A. B. C. D.
解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，停车一次即为事件ABC＋ABC＋ABC的发生，
故概率P＝××＋××＋××＝.
答案：D
二、填空题
6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
答案：
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________．
解析：因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案：0.65 0.3
8．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．
解析：在同一时刻两颗卫星预报都不准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－0.05＝0.95.
答案：0.95
三、解答题
9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率．
解：因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P＝P(AB)[1－P(CD)]＝P(A)P(B)[1－P(CD)]＝××＝.
所以灯亮的概率为1－＝.
10．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工，绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为，，，且三个项目是否成功互相独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××＝，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为
××＝，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为
××＝，
所以恰有两个项目成功的概率为＋＋＝.
(2)三个项目全部失败的概率为
××＝，
所以至少有一个项目成功的概率为1－＝.
B级 能力提升
1．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于( )
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A、B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
答案：C
2．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．
解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B∪C，且B与C互斥，
又P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B∪C|A)
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
答案：
3．已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：
(1)事件A，B，C只发生两个；
(2)事件A，B，C至多发生两个．
解：(1)记事件“A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括A·B·C，A·B·C，A·B·C三种彼此互斥的情况．
由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得P(A1)＝P(A·B·C)＋P(A·B·C)＋P(A·B·C)＝＋＋＝，所以事件A，B，C只发生两个的概率为.
(2)记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，
记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，
故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝＋＋＝.
所以事件A，B，C至多发生两个的概率为.
2.2.3 独立重复试验与二项分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22 D．0.82×0.28
解析：因为X～B(10，0.8)，所以P(X＝k)＝C0.8k(1－0.8)10－k，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22.
答案：A
2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B，则P(ξ≤3)等于( )
A. B. C. D.
解析：P(ξ≤3)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝C×＋C·＋C·＋C·＝.故选C.
答案：C
3．在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中出现k次的概率为( )
A．1－pk B．(1－p)kpn－k
C．1－(1－p)k D．C(1－p)kpn－k
解析：出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得出现k次的概率为C(1－p)kpn－k.
答案：D
4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )
A. B. C. D.
解析：当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P＝C××＝3×××＝，故选A.
答案：A
5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于( )
A．C B．C
C．C D．C
解析：当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P(ξ＝12)＝C.
答案：B
二、填空题
6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M＜N)；
④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
解析：对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0，1，2，…，n)的概率P(ξ＝k)＝C，符合二项分布的定义，即有ξ～B.对于②，ξ的取值是1，2，3，…，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.故应填①③.
答案：①③
7．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且遇到红灯的概率都是.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________．
解析：如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟，所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P＝1－＝.
答案：
8．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．
解析：由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C×＝.
答案：
三、解答题
9．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中．
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
解：设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1，2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1，2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为P＝C·C＝×＝＝.
10. 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列．
解：依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果都是相互独立的，所以X～B.
故P(X＝k)＝C＝C，k＝0，1，2，…，6.
因此所求X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
B级 能力提升
1．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上和向右的概率都是，则质点P移动5次后位于点(2，3)的概率是( )
A. B．C
C．C D．CC
解析：点P移动5次后位于点(2，3)，需在5次移动中，向右2次，向上3次．
所以P＝C＝C.故选B.
答案：B
2．设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为________．
解析：设事件A在每次试验中发生的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，则有1－(1－p)3＝，得p＝，则事件A恰好发生一次的概率为C××＝.
答案：
3．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2分钟．
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列．
解：(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为
P(A)＝××＝.
(2)由题意，可得ξ可以取的值为0，2，4，6，8(单位：分钟)，
事件“ξ＝2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k＝0，1，2，3，4)，
所以P(ξ＝2k)＝C(k＝0，1，2，3，4)，
即P(ξ＝0)＝C××＝；
P(ξ＝2)＝C××＝；
P(ξ＝4)＝C××＝；
P(ξ＝6)＝C××＝；
P(ξ＝8)＝C××＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
6
8
P
2.3.1 离散型随机变量的均值
A级 基础巩固
一、选择题
1．一批种子的发芽率为80%，现播下100粒该种种子，则发芽的种子数X的均值为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
解析：易知发芽的种子数X～B(100，0.8)，
所以E(X)＝100×0.8＝80.
答案：C
2．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( )
A. B. C. D.
解析：E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
答案：D
3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是( )
A．20 B．25 C．30 D．40
解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝.所以X～B.故E(X)＝80×＝25.
答案：B
4．若随机变量ξ～B(n，0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( )
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
解析：因为ξ～B(n，0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
答案：C
5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为( )
A. B. C．2 D.
解析：X＝2，3所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以E(X)＝2×＋3×＝.
答案：D
二、填空题
6．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是________．
解析：由已知条件可得
P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜，又由p∈(0，1)，可得p∈.
答案：
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：
答案：0.4
8．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________．
解析：P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，E(X)＝＝.
答案：
三、解答题
9．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0，1，2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
10．在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．
解：从10件产品中任取3件，共有C种结果．从10件产品任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，其中k＝0，1，2，3.
所以P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.
所以随机变量X的分布列是：
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
B级 能力提升
1．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于( )
A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22
解析：P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
答案：B
2．设离散型随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3，4)，且E(ξ)＝3，则a＋b＝________．
解析：因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，且E(ξ)＝30a＋10b＝3，所以a＝，b＝0，所以a＋b＝.
答案：
3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“？” 代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.？5
0.10
0.1？
0.20
(1)求P(X＝3)及P(X＝5)的值；
(2)求E(X)；
(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．
解：(1)由分布列的性质可知
0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1.
故0.？5＋0.1？＝0.40.
由于小数点后只有两位有效数字，
故0.1？中“？”处应填5，0.？5中的“？”处数字为2.
即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15.
(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.
(3)法一 由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，
E(η)＝E(X)＝3.50.
法二 由于η＝2X－E(X)，
所以η的分布列如下：
η
－1.5
0.5
2.5
4.5
6.5
8.5
P
0.20
0.10
0.25
0.10
0.15
0.20
所以E(η)＝－1.5×0.20＋0.5×0.10＋2.5×0.25＋4.5×0.10＋6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.
2.3.2 离散型随机变量的方差
[A级 基础巩固]
一、选择题
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C·，k＝0，1，2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为( )
A．8 B．12 C. D．16
解析：由题意可知ξ～B，
所以n＝E(ξ)＝24.
所以n＝36.
所以D(ξ)＝n××＝×36＝8.
答案：A
2．已知随机变量X～B(100，0.2)，那么D(4X＋3)的值为( )
A．64 B．256 C．259 D．320
解析：由X～B(100，0.2)知n＝100，p＝0.2，由公式得D(X)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4X＋3)＝42D(X)＝16×16＝256.
答案：B
3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( )
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A.甲 B．乙
C．一样 D．无法比较
解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．
答案：B
4．已知随机变量ξ的分布列如下：
ξ
m
n
P
a
若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于( )
A．0 B．2 C．1 D.
解析：由题意得a＝1－＝.
所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝×(m－2)2＋(n－2)2＝2(n－2)2，所以当n＝2时，D(ξ)取最小值为0.
答案：A
5．已知p，q∈R，X～B(5，p)．若E(X)＝2，则D(2X＋q)的值为( )
A．2.4 B．4.8 C．2.4＋q D．4.8＋q
解析：因为X～B(5，p)，
所以E(X)＝5p＝2，所以p＝，
D(X)＝5××＝，
所以D(2X＋q)＝4D(X)＝4×＝4.8，故选B.
答案：B
二、填空题
6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
答案：0.5
7．已知X的分布列为：
X
－1
0
1
P
若η＝2X＋2，则D(η)的值为________．
解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝，D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝.
答案：
8．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．
解析：设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，
则解得
所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.
答案：
三、解答题
9．袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的得分之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．
解：由题意可知，X的所有可能的取值为5，4，3.
P(X＝5)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为：
X
5
4
3
P
E(X)＝5×＋4×＋3×＝4，
D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝.
10．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求：
(1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；
(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X，求X的均值和方差．
解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A，
则P(A)＝＝.
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
因此，E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
D(X)＝×＋×＋×＋×＋×＝.
[B级 能力提升]
1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差D(ξ)等于( )
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
解析：随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
P
1－m
m
所以E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.
所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．
答案：D
2．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________．
解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ＝1)＝，所以C··＝，即n＝，解得n＝6，所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝.
答案：
3．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、期望E(X)及方差D(X)．
解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为
P(X＝0)＝C(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
2.4 正态分布
A级 基础巩固
一、选择题
1．设随机变量X～N(1，22)，则D＝( )
A．4 B．2 C. D．1
解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4.
所以D＝D(X)＝1.
答案：D
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P(ξ＜4)＝0.8，知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2，故P(0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.
答案：C
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
[附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%.
答案：B
4．若随机变量X～N(1，4)，P(X≤0)＝m，则P(0＜X＜2)＝( )
A. B. C．1－2m D．1－m
解析：由对称性：P(X≥2)＝P(X≤0)＝m，P(0＜X＜2)＝1－P(X≤0)－P(X≥2)＝1－m－m＝1－2m，故选C.
答案：C
5．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.
答案：A
二、填空题
6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．
解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
7．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
解析：法一 设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P(A)．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P1＝，P2＝，P3＝.因为P()＝P1P2P3＋P3＝××＋＝，所以P(A)＝1－P()＝.
法二 设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P(A)．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P1＝，P2＝，P3＝.故P(A)＝P1P2P3＋P1P2P3＋P1P2P3＝××＋××＋××＝.
答案：
8．若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．
解析：由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝10为对称轴知，
P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，
即P(10≤ξ≤11)＝0.2，
又P(ξ≥10)＝0.5，
所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
答案：0.3
三、解答题
9．公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N(173，72)(单位：cm)，问车门应设计多高(精确到1 cm)？[参考数据：φ(2.33)＝0.99]
解：设公共汽车门的设计高度为x cm，由题意，需使P(ξ≥x)＜1%.
因为ξ～N(173，72)，所以P(ξ≤x)＝φ＞0.99.
查表得＞2.33，所以x＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞．
10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比．
解：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，
结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式
P(x)＝e－＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
(2)因为P(7 500<ξ≤8 000)
＝P(8 000－500<ξ≤8 000＋500)
＝0.682 6.
所以P(8 000<ξ≤8 500)＝P(7 500<ξ≤8 500)＝0.341 3，
即农民工年均收入在8 000～8 500元的人数占总体的34.13%.
B级 能力提升
1．正态分布N(1，9)在区间(2，3)和(－1，0)上取值的概率分别为m，n，则( )
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定
解析：正态分布N(1，9)的曲线关于x＝1对称，区间(2，3)与(－1，0)到对称轴距离相等，故m＝n.
答案：C
2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
解析：依题意，P(60－20＜X≤60＋20)＝0.954 4，P(X＞80)＝(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
答案：229
3．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X～N(20，4)．若这批零件共有5 000个．
(1)试求这批零件中尺寸为18～22 mm的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸为24～26 mm的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？
解：(1)因为X～N(20，4)，
所以μ＝20，σ＝2.
所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22.
于是零件尺寸X为18～22 mm的零件所占百分比大约是68.26%，
(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
所以零件尺寸X为14～26 mm的百分比大约是99.74%，而零件尺寸X为16～24 mm的百分比大约是95.44%.
所以零件尺寸为24～26 mm的百分比大约是＝2.15%.
5 000×2.15%＝107.5，
因此尺寸为24～26 mm的零件大约有107个．
