第三章 3.1 3.1.1 方程的根与函数的零点
1．函数y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A.， B．，
C．－，－ D．，－
解析：由y＝2x－1＝0，得x＝，故交点坐标为，零点是.
答案：B
2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
答案：B
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
解析：由题意知，Δ＝4－4a＜0，∴a＞1.
答案：B
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c＜0，则函数零点的个数是________．
解析：∵a·c＜0，∴Δ＝b2－4ac＞0.∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，则函数有两个零点．
答案：2
5．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是________．
解析：∵a≠0，∴此函数为二次函数．设另一个零点为x2，由根与系数的关系，得1＋x2＝－＝－2.∴x2＝－3.
答案：－3
6．已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．
解：由题可知，f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2.
则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两根．
可得解得
所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)．要求其零点，令log2(－2x＋1)＝0，解得x＝0.
所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.
第三章 3.1 3.1.2 用二分法求方程的近似解
1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．
答案：A
2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
解析：∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，
f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．
答案：A
3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)＝0.200
f(1.587 5)＝0.133
f(1.575 0)＝0.067
f(1.562 5)＝0.003
f(1.556 2)＝－0.029
f(1.550 0)＝－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为( )
A．1.55 B．1.56
C．1.57 D．1.58
解析：由参考数据知，f(1.562 5)＝0.003＞0，
f(1.556 2)＝－0.029＜0，即f(1.562 5)·f(1.556 2)＜0，
∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01为1.56)．
答案：B
4．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
解析：由题意x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝0.625.
答案：0.625
5．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)
①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞).
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
答案：③④⑤
6．求的近似值(精确度0.01)．
解：设x＝，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值．
以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1,2]
1.5
1.375
[1,1.5]
1.25
－0.046 9
[1.25,1.5]
1.375
0.599 6
[1.25,1.375]
1.312 5
0.261 0
[1.25,1.312 5]
1.281 25
0.103 3
[1.25,1.281 25]
1.265 625
0.027 3
[1.25,1.265 625]
1.257 81
－0.01
[1.257 81,1.265 625]
由于区间[1.257 81,1.265 625]的长度|1.265 625－1.257 81|＝0.007 815＜0.01，所以这个区间内的点1.26可以作为函数f(x)零点的近似值，即的近似值是1.26.
第三章 3.2 3.2.1 几类不同增长的函数模型
1．当x增大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
解析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x增大时，函数y＝100x增长速度最快．
答案：D
2．今有一组数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.40
7.5
12
18.01
现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据( )
A．v＝log2t B．v＝logt
C．v＝ D．v＝2t－2
解析：将t的5个数值代入这四个函数，大体估算一下，很容易发现v＝的函数比较接近表中v的5个数值．
答案：C
3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )
A．310元 B．300元
C．290元 D．280元
解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.
答案：B
4．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
0
5
10
15
20
25
30
y1
5
130
505
1 130
2 005
3 130
4 505
y2
5
94.478
1 785.2
33 733
6.37×105
1.2×107
2.28×108
y3
5
30
55
80
105
130
155
y4
5
2.310 7
1.429 5
1.140 7
1.046 1
1.015 1
1.005
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析：由于指数函数呈爆炸式增长，结合表中数据可知，y2是指数型函数．
答案：y2
5．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动．某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树林面积比上年增加9%.
你觉得方案________较好．
解析：方案一：5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米)．方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)．∵15.386＞15，∴方案二较好．
答案：二
6．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行算集体票，按原价优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解：设家庭中孩子数为x，旅游收费为y，旅游原价为a.
甲旅行社收费：y＝a＋(x＋1)a＝(x＋3)a；
乙旅行社收费：y＝(x＋2)a.
∵(x＋2)a－(x＋3)a＝(x－1)a，
∴当有1个孩子时，两家旅行社收费相等；
当超过1个孩子时，乙旅行社收费较高，甲旅行社更优惠；当没有孩子时，乙旅行社更优惠．
第三章 3.2 3.2.2 函数模型的应用实例
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
解析：由图象知，在不同的时间段内，行驶路程的折线图不同，故对应函数模型应为分段函数．
答案：A
2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：由题意，生产者不亏本，应有3 000＋20x－0.1x2≤25x，
即x2＋50x－3 000≥0，
∴x≥150或x≤－200(舍去)．
又0＜x＜240，x∈N*，
∴当最低产量为150时，生产者不亏本．
答案：C
3．某人2010年1月1日到银行存入一年期存款a元，若年利率为x，并按复利计算，到2017年1月1日可取款(不计利息税)( )
A．a(1＋x)7元 B．a(1＋x)6元
C．a(1＋x7)元 D．a(1＋x6)元
解析：2011年1月1日可取款a(1＋x)元，2012年1月1日可取款a(1＋x)2元，同理可得2017年1月1日可取款a(1＋x)7元．
答案：A
4．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)．现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用______作为拟合模型较好．
解析：作出三个点，比较两个函数图象，选甲更好．
答案：甲
5．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，面积最大．此时x＝________，面积S＝________.
解析：根据题目条件0＜＜3，
即0＜x＜6，
所以S＝(4＋x)
＝－(x2－2x－24)
＝－(x－1)2(0＜x＜6)．
故当x＝1时，S取得最大值.
答案：1
6．某人开汽车以60 km/h的速度从A地到150 km远的B地，在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的位移x(km)表示为时间t(h)(从A地出发时开始)的函数，并画出函数的图象；再把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
解：汽车离开A地的位移x(km)与时间t(h)之间的关系式是：
x＝
它的图象如下图左所示．
速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是：
v＝
它的图象如下图右所示．
