第一章 1.1 1.1.1 第1课时 集合的含义
1．下列判断正确的个数为( )
(1)所有的等腰三角形构成一个集合．
(2)倒数等于它自身的实数构成一个集合．
(3)质数的全体构成一个集合．
(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：(1)正确，(2)若＝a，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，－1}，∴(2)正确，(3)也正确，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在．(3)正确，(4)不正确，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2,3,4,6}，含4个元素，故选C.
答案：C
2．若a∈R，但a?Q，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C． D．
解析：由题意知a是实数但不是有理数，故a应为无理数．
答案：D
3．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( )
A．1 B．－2
C．6 D．2
解析：验证，看每个选项是否符合元素的互异性．
答案：C
4．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有________个元素．( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.
答案：B
5．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中，共有________个元素．
解析：方程x2－5x＋6＝0的解是2,3；方程x2－x－2＝0的解是－1,2.由集合元素的互异性知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素．
答案：3
6．设A是满足x＜6的所有自然数组成的集合，若a∈A，且3a∈A，求a的值．
解：∵a∈A且3a∈A，∴a＜6且3a＜6.∴a＜2.
又a是自然数，∴a＝0或1.
第一章 1.1 1.1.1 第2课时 集合的表示
1．下列集合表示法正确的是( )
A．{1,2,2} B．{全体实数}
C．{有理数} D．{2x－5＞0}
答案：C
2．集合{x∈N|x<5}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：∵x∈N，又x<5，∴x＝0,1,2,3,4.
答案：A
3．集合A＝{1,3,5,7，…}用描述法可表示为( )
A．{x|x＝n，n∈N} B．{x|x＝2n－1，n∈N}
C．{x|x＝2n＋1，n∈N} D．{x|x＝n＋2，n∈N}
解析：集合A表示所有的正奇数组成的集合，故C正确．
答案：C
4．用列举法表示由大于2小于15的偶数组成的集合为______________________ .
答案：{4,6,8,10,12,14}
5．能被3整除的正整数的集合，用描述法可表示为__________________________．
答案：{x|x＝3k，k∈N*}
6．用适当的方法表示下列集合：
(1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；
(2)平面直角坐标系中所有第二象限的点．
解：(1)∵x∈N*，y∈N*，
∴x＝1，y＝3或x＝2，y＝2或x＝3，y＝1.
∴A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}．
(2){(x，y)|x＜0，y＞0}．
第一章 1.1 1.1.2 集合间的基本关系
1．集合{0}与?的关系是( )
A．{0}?? B．{0}∈?
C．{0}＝? D．{0}??
解析：空集是任何非空集合的真子集，故选项A正确．集合与集合之间无属于关系，故选项B错误；空集不含任何元素，{0}含有一个元素0，故选项C、选项D均错误．
答案：A
2．设A＝{x|－13}，则( )
A．A∈B B．B∈A
C．A?B D．B?A
解析：∵－1又1∈B，但1?A，∴A?B.
答案：C
3．集合{a，b}的子集个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：当子集不含元素时，即为?；当子集中含有一个元素时，其子集为{a}，{b}；当子集中有两个元素时，其子集为{a，b}．
答案：D
4．集合U，S，T，F的关系如图所示，下列关系错误的有________．(填序号)
①S?U；②F?T；③S?T；
④S?F；⑤S?F；⑥F?U.
解析：根据子集、真子集的Venn图，可知S?U，S?T，F?U正确，其余错误．
答案：②④⑤
5．用适当的符号填空(“∈、?、?、＝”)．
(1)a________{a，b，c}；
(2)?________{x∈R|x2＋1＝0}；
(3){0}________{x|x2＝x}；
(4){2,1}________{x|x2－3x＋2＝0}．
解析：(1)为元素与集合的关系，(2)(3)(4)为集合与集合的关系．易知a∈{a，b，c}；
∵x2＋1＝0在实数范围内的解集为空集，
故?＝{x∈R|x2＋1＝0}；
∵{x|x2＝x}＝{0,1}，∴{0}?{x|x2＝x}；
∵x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2.
∴{2,1}＝{x|x2－3x＋2＝0}．
答案：(1)∈ (2)＝ (3)? (4)＝
6．已知集合A＝{x，xy，x－y}，集合B＝{0，|x|，y}．若A＝B，求x＋y的值．
解：∵0∈B，A＝B，∴0∈A.又由集合中元素的互异性，可以断定|x|≠0，y≠0，
∴x≠0，xy≠0.故x－y＝0，即x＝y.
此时A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，
∴x2＝|x|.当x＝1时，x2＝1，与元素互异性矛盾，
∴x＝－1，即x＝y＝－1.
∴x＋y＝－2.
第一章 1.1 1.1.3 第1课时 并集、交集
1．下列关系：Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.
答案：C
2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3}，则A∩B＝( )
A．{2} B．{1,2}
C．{1,3} D．{1,2,3}
解析：∵1∈A,1∈B,3∈A,3∈B，∴A∩B＝{1,3}．
答案：C
3．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∪B＝( )
A．{x|－1＜x＜1} B．{x|－2＜x＜2}
C．{x|－2＜x＜1} D．{x|0＜x＜1}
解析：因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜2}，所以A∪B＝{x|－2＜x＜2}．
答案：B
4．已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝________.
解析：由条件得A∪B＝{1,2,4,6}．
答案：{1,2,4,6}
5．已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋3}，B＝{(x，y)|y＝3x－1}，则A∩B＝________.
解析：由得，
∴A∩B＝＝＝{(2,5)}．
答案：{(2,5)}
6．设A＝{x|x＜－3，或x＞3}，B＝{x|x＜1，或x＞4}，求A∪B和A∩B.
解：如图，集合A，B在数轴上可以表示为：
∴A∪B＝{x|x＜1，或x＞3}，
A∩B＝{x|x＜－3，或x＞4}．
第一章 1.1 1.1.3 第2课时 补集及集合运算的综合应用
1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩{?UB}＝( )
A．{1,2,5,6} B．{1}
C．{2} D．{1,2,3,4}
解析：因为?UB＝{1,5,6}，所以A∩(?UB)＝{1}，故选B.
答案：B
2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}
解析：由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以?U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．
答案：D
3．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|0≤x≤2}，则?U(A∩B)是( )
A．{x|1≤x≤2} B．{x|0≤x≤1}
C．{x|x＞2或x＜1} D．{x|0≤x＜1}
解析：∵A∩B＝{x|1≤x≤2}，
∴?U(A∩B)＝{x|x＞2或x＜1}．
答案：C
4．设集合S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则?SA＝____________________.
答案：{锐角三角形或钝角三角形}
5．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(?UC)＝________.
解析：A∪B＝{2,3,4,5}，?UC＝{1,2,5}，故(A∪B)∩(?UC)＝{2,5}．
答案：{2,5}
6．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x＜3或x＞4}，求a，b的值．
解：∵A＝{x|a≤x≤b}，
∴?UA＝{x|x＜a或x＞b}．
又?UA＝{x|x＜3或x＞4}，
∴a＝3，b＝4.
第一章 1.2 1.2.1 第1课时 函数的概念
1．下列四个方程中，表示y是x的函数的是( )
①x－2y＝6；②x2＋y＝1；③x＋y2＝1；④x＝.
A．①② B．①④
C．③④ D．①②④
解析：判断y是否为x的函数，主要是看是否满足函数的定义，即x与y的对应关系是否是一对一或多对一．因为函数的一个自变量不能对应多个y值，所以③错，选①②④.故选D.
答案：D
2．函数f(x)＝的定义域是( )
A．R B．{x|x≥0}
C．{x|x＞0} D．{x|x≠0}
解析：要使解析式有意义，需∴x＞0，故选C.
答案：C
3．下列图象中，表示函数图象的是( )
解析：作x轴的垂线，只有图象C与直线最多有一个交点，即为函数图象．
答案：C
4．把下列集合写成区间形式．
(1){x|x＞2}的区间形式为____________．
(2){x|x≤－5}的区间形式为____________．
解析：写成区间时应注意端点是否包含．
答案：(1)(2，＋∞) (2)(－∞，－5]
5．函数y＝的定义域为______________．
解析：依题意知，∴x≥－4，且x≠－2.
答案：{x|x≥－4，且x≠－2}
6．判断下列对应是否为A到B的函数．
(1)A＝N，B＝R，f：x→y＝±；
(2)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(3)＝2，f(2)＝3.
解：(1)取x＝4∈N，则y＝±＝±2，即在对应法则f下，B中有两个元素±2与之对应，不符合函数的定义，故f不是函数．
(2)满足函数的定义，故f是函数．
第一章 1.2 1.2.1 第2课时 函数概念的综合应用
1．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，M∩N等于( )
A．N B．M
C．R D．?
解析：∵M＝R，N＝[－1，＋∞)，∴M∩N＝N.
答案：A
2．函数y＝的值域是( )
A． B．
C．(0，＋∞) D．
解析：∵x2≥0，∴3x2≥0,2＋3x2≥2,0＜≤.
∴值域为，选A．
答案：A
3．下列函数：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝1(－1≤x＜1)．其中与函数y＝1相等的函数个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：(1)要求x≠0，与函数y＝1的定义域不同，两函数不相等；(2)虽然化简后为y＝1，但要求t≠－1，即定义域不同，不是相等函数；(3)显然定义域不同，故不是相等函数．
答案：D
4．函数y＝的定义域为________________________________．
解析：要使函数y＝有意义，需
即
∴定义域为{x|x≥－1，且x≠0}．
答案：{x|x≥－1，且x≠0}
5．设函数f(x)＝2x＋3的值域是[－1,5]，则其定义域为________________．
解析：由－1≤2x＋3≤5，
解得－2≤x≤1，
即函数定义域为[－2,1]．
答案：[－2,1]
6．求下列函数的值域：
(1)f(x)＝x2＋2x－3，x∈{－2，－1,0,1,3}；
(2)f(x)＝.
解：(1)∵f(－2)＝－3，f(－1)＝－4，f(0)＝－3，
f(1)＝0，f(3)＝12，
∴函数值域为{－4，－3,0, 12}．
(2)方法一 由y＝得yx＋2y＝3x－1，
即(3－y)x＝2y＋1，
只要3－y≠0，即y≠3，
就有x＝，即对应于这一x值的函数值是y.故该函数的值域是{y|y∈R且y≠3}．
方法二 由于y＝＝＝3＋，
当x≠－2时，≠0，
∴3＋≠3，即y≠3.
∴函数值域是{y|y∈R且y≠3}．
第一章 1.3 1.3.1 第1课时 函数的单调性
1．函数y＝－x2的单调减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析：画出y＝－x2在R上的图象，可知函数在[0，＋∞)上递减．
答案：A
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1] D．[－3,4]
解析：根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3,1]上单调递增．
答案：C
3．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0，则必有( )
A．函数f(x)先增后减
B．函数f(x)先减后增
C．函数f(x)是R上的增函数
D．函数f(x)是R上的减函数
解析：由＞0知，当a＞b 时，f(a)＞f(b)；当a＜b时，f(a)＜f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．
答案：C
4．函数y＝(3k＋1)x＋b在R上是减函数，k的取值范围是__________．
解析：由3k＋1<0，解得k<－.
答案：
5．函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则f(－3)与f(2)的大小关系是________________．
解析：∵－3<2，且f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，∴f(－3)>f(2)．
答案：f(－3)>f(2)
6．判断并证明函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在R上的单调性．
证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(kx1＋b)－(kx2＋b)
＝kx1＋b－kx2－b＝k(x1－x2)．
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0.
当k＞0时，k(x1－x2)＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴此时f(x)为R上的增函数．
当k＜0时，k(x1－x2)＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)>f(x2)．
∴此时f(x)为R上的减函数．
第一章 1.3 1.3.1 第2课时 函数的最大（小）值
1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．f(－2)，0 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
解析：由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值f(－2)；当x＝1时，有最大值2.
答案：C
2．函数y＝在[2,3]上的最小值为( )
A．2 B.
C. D．－
解析：作出图象可知y＝在[2,3]上是减函数，ymin＝＝.
答案：B
3．函数y＝ax＋1(a＜0)在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为( )
A．1,2a＋1 B．2a＋1,1
C．1＋a,1 D．1,1＋a
解析：因为a＜0，所以一次函数在区间[0,2]上是减函数，当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.
答案：A
4．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最小值为________．
解析：∵x∈N*，∴y＝2x2＋1≥3.
答案：3
5．若函数y＝(k＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为________．
解析：因为k＞0，所以函数y＝在[2,4]上是减函数，所以当x＝4时，y最小＝，由题意知＝5，k＝20.
答案：20
6．如图为某市一天24小时内的气温变化图．
(1)上午6时的气温是多少？这天的最高、最低气温分别是多少？
(2)在什么时刻，气温为0℃？
(3)在什么时间段内，气温在0℃以上？
解：(1)上午6时的气温约是－1℃，全天的最高气温是9℃，最低气温是－2℃.
(2)在上午7时和晚上23时气温是0℃.
(3)从上午7时到晚上23时气温在0℃以上．
第一章 1.3 1.3.2 第1课时 函数奇偶性的概念
1．函数f(x)＝()2是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．故选D.
答案：D
2．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋14
解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．
答案：C
3．函数f(x)＝x3＋的图象关于( )
A．原点对称 B．y轴对称
C．y＝x对称 D．y＝－x对称
解析：由于f(x)是奇函数，故其图象关于原点对称．
答案：A
4．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，若f(a＋1)＝f(3)，则( )
A．a＝2 B．a＝－4
C．a＝2或a＝－4 D．不能确定
解析：由偶函数的定义知|a＋1|＝3，所以a＝2或a＝－4.故选C.
答案：C
5．已知函数y＝f(x)为奇函数，若f(3)－f(2)＝1，则f(－2)－f(－3)＝________.
解析：函数y＝f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，则f(－2)－f(－3)＝－f(2)＋f(3)＝1.
答案：1
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝x|x|.
解：(1)函数的定义域为R，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x),
∴f(x)为偶函数．
(2)函数的定义域为R，
又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
第一章 1.3 1.3.2 第2课时 函数奇偶性的应用
1．若点(－1,3)在奇函数y＝f(x)的图象上，则f(1)等于( )
A．0 B．－1
C．3 D．－3
解析：由题意知f(－1)＝3，因为f(x)为奇函数，所以－f(1)＝3，f(1)＝－3.
答案：D
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4 B．2
C．1 D．0
解析：根据偶函数图象关于y轴对称知，四个交点的横坐标是两对互为相反数的数，因此它们的和为0.
答案：D
3．如果奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是3，那么函数f(x)在区间[－5，－2]上有( )
A．最小值3 B．最小值－3
C．最大值－3 D．最大值3
解析：∵奇函数f(x)在[2,5]上有最小值3，
∴可设f(a)＝3，a∈[2,5]，
由奇函数的性质，
f(x)在[－5，－2]上必有最大值，
且其值为f(－a)，又f(－a)＝－f(a)＝－3.
答案：C
4．如果定义在区间[2－a,4]上的函数f(x)为偶函数，那么a＝________.
解析：由2－a＝－4，得a＝6.
答案：6
5．若函数f(x)＝是奇函数，则g(x)＝__________.
解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3.又函数f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝2x＋3.即g(x)＝2x＋3.
答案：2x＋3
