2.1.1合情推理
学习目标：1.了解合情推理的含义．(易混点)2.理解归纳推理和类比推理的含义，并能利用归纳和类比推理进行简单的推理．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．归纳推理与类比推理
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)
特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
类比推理是由特殊到特殊的推理
思考：归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
[提示]归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
2．合情推理
[基础自测]
1．思考辨析
(1)利用合情推理得出的结论都是正确的．( )
(2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( )
(3)由个别到一般的推理为归纳推理．( )
[答案] (1) × (2)× (3)√
2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．该过程体现了( )
A．归纳推理 B．类比推理
C．没有推理 D．以上说法都不对
B [推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是类比推理．]
3．等差数列{an}中有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．
[解析] 类比等差数列，可以类比出结论b＝bn－1bn＋1(n≥2，且n∈N*)．
[答案] b＝bn－1bn＋1(n≥2，且n∈N*)
4．如图2-1-1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________，an＝________(n>1，n∈N*).
【导学号：31062121】
图2-1-1
[解析] 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得an＝3n－3(n>1，n∈N*)．
[答案] 15 3n－3
[合 作 探 究·攻 重 难]
数、式中的归纳推理
(1)观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，
…
照此规律，第n个等式可为________．
(2)已知：f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．
(3)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，满足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)．
①求a2，a3，a4的值；
②猜想an的表达式．
[解析] (1)12＝1，
12－22＝－(1＋2)，
12－22＋32＝1＋2＋3，
12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，
…
12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2
＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)
＝(－1)n＋1.
(2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f2(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f3(f3(x))＝＝，
f5(x)＝f4(f4(x))＝＝，
根据前几项可以猜想fn(x)＝.
[答案] (1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1
(2)f3(x)＝ fn(x)＝
(3)①因为a1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，
所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝，
又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋，解得a3＝，
又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋＋，
解得a4＝.
②由①知a1＝3＝，a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，…，猜想an＝(n∈N*)．
[规律方法] 进行数、式中的归纳推理的一般规律?
1.已知等式或不等式进行归纳推理的方法?
?1?要特别注意所给几个等式?或不等式?中项数和次数等方面的变化规律；? ?2?要特别注意所给几个等式?或不等式?中结构形式的特征；?
?3?提炼出等式?或不等式?的综合特点；?
?4?运用归纳推理得出一般结论.?
2.数列中的归纳推理?在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和.?
?1?通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；?
?2?根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；?
?3?运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.
[跟踪训练]
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于________.
【导学号：31062122】
[解析] 因为4＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33猜测x＝64＋1＝65.
[答案] 65
2．观察下列等式：
－2＋－2＝×1×2；
－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；
……
照此规律，
－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.
[解析] 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．
[答案] n(n＋1)
几何图形中的归纳推理
(1)黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图2-1-2的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________. 【导学号：31062123】
图2-1-2
(2)根据图2-1-3中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．
① ② ③ ④
图2-1-3
[解析] (1)观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.
(2)图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为29－3＝509.
[答案] (1)5n＋1 (2)509
[规律方法] 归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
[跟踪训练]
3．如图2-1-4，由火柴棒拼成的一列图形中，第n个图形中由n个正方形组成：
图2-1-4
通过观察可以发现：第5个图形中，火柴棒有________根；第n个图形中，火柴棒有________根. 【导学号：31062124】
[解析] 数一数可知各图形中火柴的根数依次为：4,7,10,13，…，可见后一个图形比前一个图形多3根火柴，它们构成等差数列，故第五个图形中有火柴棒16根，第n个图形中有火柴棒(3n＋1)根．
[答案] 16 3n＋1
类比推理及其应用
[探究问题]
三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，完成下列探究点：
1．在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？
提示：四面体中的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
2．三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？
提示：四面体的体积等于底面积与高的积的.
(1)在等差数列{an}中，对任意的正整数n，有＝an.类比这一性质，在正项等比数列{bn}中，有________．
(2)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出对△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系，并给予必要证明．
[思路探究] (1)类比等差数列及等比数列的性质求解．
(2)将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC.
[解析] (1)由a1＋a2＋…＋a2n－1类比成b1·b2·b3…b2n－1，除以n，即商类比成开n次方，即在正项等比数列{bn}中，有＝bn.
[答案] ＝bn
(2)△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为S＝S△OBC·S△DBC.
证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E，
∵AD⊥平面ABE，
∴AD⊥AE，AD⊥BC，
又∵AO⊥平面BCD，
∴AO⊥DE，AO⊥BC.
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AED，
∴BC⊥AE，BC⊥DE.
∴S△ABC＝BC·AE，
S△BOC＝BC·OE, S△BCD＝BC·DE.
在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S＝S△BOC·S△BCD.
母题探究：1.(变条件)把本例(2)中的射影定理的表示换为“a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边”．类比上述定理，写出对空间四面体(如图2-1-5所示)性质的猜想．
图2-1-5
[解] 如图所示，在四面体P－ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
2．(变条件)把本例(2)条件换为“在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有＝＋成立”．那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
[解] 猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.
下面证明上述猜想成立．
如图所示，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
[规律方法]
类比推理的一般步骤
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形面积公式为( )
【导学号：31062125】
A． B．
C． D．无法确定
C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S＝.]
2．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
图2-1-6
A. B.
C. D.
A [观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果. ]
3．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．
[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.
[答案] b4＋b8>b5＋b7
4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________.
【导学号：31062126】
[解析] 由前三个式子可得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次加1，等号的右边是从1开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加1，因此，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.
[答案] 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2
5．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．
[解] 如图，在Rt△ABC中，
cos2A＋cos2 B＝2＋2＝＝1.
于是把结论类比到四面体P- A′B′C′中，我们猜想，三棱锥
P-A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
2.1.2 演绎推理
学习目标：1.理解演绎推理的含义．(重点)2.掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单的推理．(重点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．三段论
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
思考：如何分清大前提、小前提和结论？
[提示]在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)“三段论”就是演绎推理．( )
(2)演绎推理的结论是一定正确的．( )
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．( )
(4)演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关．( )
[答案] (1)×(2)×(3)× (4)√
2．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
B [得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．]
3．三段论：
“①小宏在2018年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2018年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2018年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．
[解析] 在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．
[答案] ③
4．下列几种推理过程是演绎推理的是________. 【导学号：31062133】
①两条平行直线与第三条直线相交，内错角相等，如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角，则∠A＝∠B；②金导电，银导电，铜导电，铁导电，所以一切金属都导电；③由圆的性质推测球的性质；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
[解析] ①是演绎推理；②是归纳推理；③④是类比推理．
[答案] ①
[合 作 探 究·攻 重 难]
演绎推理与三段论
(1)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是
( )
A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
(2)将下列推理写成“三段论”的形式：
①向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
②0.332是有理数；
③y＝sin x(x∈R)是周期函数．
[解析] (1)对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．
[答案] B
(2)①大前提：向量是既有大小又有方向的量．
小前提：零向量是向量．
结论：零向量也有大小和方向．
②大前提：所有的循环小数都是有理数．
小前提：0.332是循环小数．
结论：0.332是有理数．
③大前提：三角函数是周期函数．
小前提：y＝sin x(x∈R)是三角函数．
结论：y＝sin x(x∈R)是周期函数．
[规律方法] 把演绎推理写成“三段论”的一般方法：?
?1?用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系.?
?2?在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提.
[跟踪训练]
1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的________是错误的.
【导学号：31062134】
[解析] f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提错误．
[答案] 小前提
2．将下列演绎推理写成三段论的形式．
①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；
③通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
[解] ①大前提：平行四边形的对角线互相平分，
小前提：菱形是平行四边形，
结论： 菱形的对角线互相平分．
②大前提：等腰三角形的两底角相等，
小前提：∠A，∠B是等腰三角形的底角，
结论： ∠A＝∠B.
③大前提：数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，小前提：通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，
结论： 通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列.
用三段论证明几何问题
如图2-1-12所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
图2-1-12
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以DE＝AF.(结论)
[规律方法]
1．用“三段论”证明命题的格式
×××××× (大前提)
×××××× (小前提)
×××××× (结论)
2．用“三段论”证明命题的步骤：
①理清楚证明命题的一般思路；
②找出每一个结论得出的原因；
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
[跟踪训练]
3．如图2-1-13，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD.
【导学号：31062135】
图2-1-13
[证明] 三角形的中位线平行于底面，(大前提)
点E、F分别是AB、AD的中点，(小前提)
所以EF∥BD.(结论)
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，
则这条直线与此平面平行，(大前提)
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，(小前提)
EF∥平面BCD. (结论)
用三段论证明代数问题
[探究问题]
1．数的大小比较常见方法有哪些？
提示：作差法、作比法、函数性质法(单调性、奇偶性等)、图象法、中间量法(常取0或1作为媒介)等．
2．证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是什么？试以函数单调性给予说明．
提示：证明函数性质(单调性、奇偶性、周期性)的依据是函数性质的相关定义及有关的知识原理．如函数单调性的证明常依据函数单调性的定义及单调性与导数的关系给予证明．
3．判断数列是等差(等比)数列的依据是什么？
提示：判断数列是等差(等比)数列的依据是等差(等比)数列的定义.
(1)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
【导学号：31062136】
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
(2)已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[思路探究] 1.借助于指对互化及不等式大小的比较方法求解；2.利用函数的单调性或导数法求解．
(1)D [令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t＞1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝＞0，
∴2x＞3y.
又∵2x－5z＝－＝
＝＜0，
∴2x＜5z，
∴3y＜2x＜5z.
故选D.]
(2)法一：(定义法)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，
且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)
＝ax2＋－ax1－
＝ax2－ax1＋－
＝ax1(ax2－x1－1)＋
＝ax1(a x2－x1－1)＋.
因为x2－x1＞0，且a＞1，
所以a x2－x1＞1.
而－1＜x1＜x2，
所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以f(x2)－f(x1)＞0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
法二：(导数法)f(x)＝ax＋＝ax＋1－.
所以f′(x)＝axln a＋.
因为x＞－1，所以(x＋1)2＞0，
所以＞0.
又因为a＞1，所以ln a＞0，ax＞0，
所以axln a＞0.所以f′(x)＞0.
于是得f(x)＝ax＋在(－1，＋∞)上是增函数．
母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变换如下：
已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c的关系是( )
A．成等差数列但不成等比数列
B．成等差数列且成等比数列
C．成等比数列但不成等差数列
D．不成等比数列也不成等差数列
A [由条件可知a＝log23，
b＝log26，c＝log212.
因为a＋c＝log23＋log212
＝log2 36＝2log2 6＝2b，
所以a，b，c成等差数列．
又因为ac＝log2 3log2 12≠(log2 6)2＝b2，
所以a，b，c不成等比数列．故选A.]
2．(变条件)把本例(2)的函数换成“y＝”，求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．
[证明] y＝＝1－，
所以f(x)的定义域为R.
f(－x)＋f(x)＝＋
＝2－
＝2－
＝2－＝2－2＝0.
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1 则f(x1)－f(x2)＝－
＝2＝2·.
由于x1所以f(x1)[规律方法] 五类代数问题中的三段论?
?1?函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.?
?2?导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等.?
?3?三角函数问题：利用三角函数公式进行三角恒等变换，证明三角恒等式.?
?4?数列问题：数列的通项公式，前n项和公式的应用，证明等差数列和等比数列.?
?5?不等式类问题：如不等式恒成立问题，线性规划以及基本不等式的应用问题.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为( )
A．合情推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
D [本题的推理模式是三段论，故该推理是演绎推理．]
2．三段论①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的，其中大前提是( )
【导学号：31062137】
A．① B．②
C．①② D．③
A [根据三段论的定义，①为大前提，③为小前提，②为结论，故选A.]
3．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在( )
A．大前提 B．小前提
C．推理过程 D．没有出错
A [要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．]
4．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：______________________________________________________.
小前提：______________________________________________________.
结论：________________________________________________________.
[解析] 本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．
[答案] 一次函数的图象是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线
5. 用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
[证明] 因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，
而直角三角形是三角形(小前提)，
所以直角三角形内角之和为180°(结论)．
设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，
(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，
所以∠A＋∠B＝90°(结论)．
2.2.1 综合法和分析法
学习目标：1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2.会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．综合法
定义
推证过程
特点
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法
→→→…→(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)
顺推证法或由因导果法
2．分析法
定义
框图表示
特点
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法
逆推证法或执果索因法
思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
[提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
思考2: 综合法与分析法有什么区别？
[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )
(2)分析法就是从结论推向已知．( )
(3)所有证明的题目均可使用分析法证明．( )
[答案] (1)× (2)× (3) ×
2．命题“对于任意角θ，cos4 θ－sin4 θ＝cos 2 θ”的证明：“cos4 θ－sin4 θ＝(cos2 θ－sin2 θ)(cos2 θ＋sin2 θ)＝cos2 θ－sin2 θ＝cos 2 θ”，其过程应用了
( )
A．分析法
B．综合法
C．综合法、分析法综合使用
D．间接证法
B [从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．]
3．要证明A＞B，若用作差比较法，只要证明________．
[解析] 要证A＞B，只要证A－B＞0.
[答案] A－B＞0
4．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，
即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立.
【导学号：31062143】
[解析] 用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
[答案] a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
[合 作 探 究·攻 重 难]
综合法的应用
(1)已知a，b是正数，且a＋b＝1，证明：＋≥4.
(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B－(2c－b)sin C.
①求证：A的大小为；
②若sin B＋sin C＝，证明△ABC为等边三角形．
[解] (1)法一：∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，
∴＋＝＝≥4.
法二：∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，
＋≥2>0，
∴(a＋b)≥4.
又a＋b＝1，
∴＋≥4.
法三：＋＝＋＝1＋＋＋1
≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．
(2)①由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，
得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，
即bc＝b2＋c2－a2，
所以cos A＝＝，
所以A＝.
②因为A＋B＋C＝180°，
所以B＋C＝180°－60°＝120°，
由sin B＋sin C＝，
得sin B＋sin(120°－B)＝，
sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝，
sin B＋cos B＝，
即sin(B＋30°)＝1.
因为0°＜B＜120°，所以30°＜B＋30°＜150°，
所以B＋30°＝90°，B＝60°，
所以A＝B＝C＝60°，
即△ABC为等边三角形．
[规律方法] 综合法的解题步骤
[跟踪训练]
1.如图2-2-1，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
图2-2-1
[证明] (1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，
∴PD在底面ABCD内的射影是AD.
又AB⊥AD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
分析法的应用
设a，b为实数，求证： ≥(a＋b).
【导学号：31062144】
[证明] 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b＞0时，
用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2.
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式得证．
[规律方法] 用分析法证明不等式的三个关注点?
?1?分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等.?
?2?分析法是综合法的逆过程，即从“未知”“看”“需知” ，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件.?
?3?分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性，其格式一般为“要证……，只要证…….只需证……，……显然成立，所以……成立”.
[跟踪训练]
3．已知a，b是正实数，求证：＋≥＋.
[证明] 要证＋≥＋，
只要证a＋b≥·(＋)．
即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，
因为a，b是正实数，
即证a＋b－≥，
也就是要证a＋b≥2，
即(－)2≥0.
而该式显然成立，所以＋≥＋.
综合法和分析法的综合应用
[探究问题]
1．在实际解题时，综合法与分析法能否可以结合起来使用？
提示：在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．
2．你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路？
提示：用框图表示如下：
其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．
已知a、b、c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx[思路探究] 解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证明．
[解] 要证明：
logx＋logx＋logx只需要证明logx由已知0abc.
由公式≥>0，≥>0，≥>0，
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx母题探究：1.(变条件)删掉本例条件“0[证明] 要证lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c，只需证lg≥lg(a·b·c)，
即证··＞abc.
因为a，b，c为不全相等的正数，
所以≥＞0，≥＞0，≥＞0，
且上述三式中等号不能同时成立，
所以··＞abc成立，
所以lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c成立．
2．(变条件)把本例条件“0[证明] 法一：由左式推证右式
∵abc＝1，且a，b，c为互不相等的正数，
∴＋＋＝bc＋ac＋ab
＝＋＋
＞＋＋
＝＋＋.
∴＋＋＞＋＋.
法二：由右式推证左式
∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，
∴＋＋＝＋＋
＜＋＋(基本不等式)＝ ＋＋.
[规律方法] 分析综合法的解题思路?
分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．欲证－<－成立，只需证( )
【导学号：31062145】
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
C [∵－<0，－<0，
故－<－?＋<＋?(＋)2<(＋)2.]
2．在△ABC中，若sin Asin BA．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
C [由sin Asin B0，所以cos C<0, 即△ABC一定是钝角三角形．]
3．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________.
【导学号：31062146】
[解析] a＋b＞a＋b
?a－a＞b－b?a(－)＞b(－)
?(a－b)(－)＞0?(＋)(－)2＞0，
只需a≠b且a，b都不小于零即可．
[答案] a≠b且a≥0，b≥0
4．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
[解析] 因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，
所以＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝c时等号成立．
[答案] 9
5．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)
[证明] 法一：(综合法)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，
所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.
法二：(分析法)要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，
只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，
∵a≥b>0.
∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，
∴上式成立．
2.2.2 反证法
学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
反证法的定义及证题的关键
思考1：反证法的实质是什么？
[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．
思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？
[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )
(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题．( )
(3)反证法的实质是否定结论推出矛盾．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．“aA．a≠b B．a>b
C．a＝b D．a＝b或a>b
[答案] D
3．用反证法证明“如果a＞b，那么＞”，假设的内容应是________.
【导学号：31062152】
[答案] ≤
4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
[解析] 反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．
[答案] ①②③
[合 作 探 究·攻 重 难]
用反证法证明否定性命题
已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：，，不成等差数列．
[证明] 假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝，
∴a＋c＋2＝4，∴(－)2＝0，即＝.
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故，，不成等差数列．
[规律方法] 1.用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．用反证法证明数学命题的步骤
[跟踪训练]
1．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．
[证明] 假设AC⊥平面SOB，如图，
∵直线SO在平面SOB内，
∴SO⊥AC.
∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.
∴SO⊥平面SAB.
∴平面SAB∥底面圆O.
这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．
用反证法证明唯一性命题
求证方程2x＝3有且只有一个根.
【导学号：31062153】
[证明] ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，
则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1.
若b1－b2>0，则2 b1－b2>1，这与2 b1－b2＝1相矛盾．
若b1－b2<0，则2 b1－b2<1，这也与2 b1－b2＝1相矛盾．
∴b1－b2＝0，则b1＝b2.
∴假设不成立，从而原命题得证．
[规律方法] 巧用反证法证明唯一性命题?
?1?当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明.?
?2?用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立.?
?3?证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.
[跟踪训练]
2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[证明] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．
若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．
综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
用反证法证明“至多”“至少”问题
[探究问题]
1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？
提示：
量词
含义
至少有一个
有n个，其中n≥1
至多有一个
有0或1个
至少有n个
大于等于n个
2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n
个”等量词的反设词吗？
提示：
量词
反设词
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有n－1个
已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解. 【导学号：31062154】
[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：
??－＜a＜－1，
这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．
母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a的取值范围？
[解] 若方程没有一个有实根，则
解得即－＜a＜－1，
故三个方程至少有一个方程有实根，实数a的取值范围是.
2．(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a的取值范围．
[解] 假设三个方程都有实数根，则
即
解得
即a∈?.
所以实数a的取值范围为实数R.
[规律方法] 当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.
提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( ) 【导学号：31062155】
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
C [“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]
2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数
C [假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]
3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
[解析] ∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，
∴应假设b与c平行或相交．
[答案] b与c平行或相交
4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的序号排列为________. 【导学号：31062156】
[解析] 根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．
[答案] ③①②
5. 设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．
[证明] 假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾．
所以数列{Sn}不是等比数列．
2.3 数学归纳法
学习目标：1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?
[提示]不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.
2．数学归纳法的框图表示
[基础自测]
1．思考辨析
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下面四个判断中，正确的是( )
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k
C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
C [A中，n＝1时，式子＝1＋k；
B中，n＝1时，式子＝1；
C中，n＝1时，式子＝1＋＋；
D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是C.]
3．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立.
【导学号：31062162】
[答案] 2
4．已知Sn＝＋＋＋…＋，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.
[解析] 分别将1,2,3,4代入得S1＝， S2＝，S3＝，S4＝，观察猜想得Sn＝.
[答案]
[合 作 探 究·攻 重 难]
用数学归纳法证明等式
(1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________.
【导学号：31062163】
(2)用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
[解析] (1)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则
f(k)＝(k＋1) (k＋2)…(k＋k)，
f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．
[答案] 2(2k＋1)
(2)证明： ①当n＝1时，＝成立．
②假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋
＝，
即当n＝k＋1时等式也成立．
由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立．
[规律方法] 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：
?1?弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
?2?弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
?3?证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形.
[跟踪训练]
1．求证：1－ ＋ － ＋… ＋ － ＝ ＋ ＋… ＋ (n∈N*)．
[证明] ①当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝，所以等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时， 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋成立．
那么当n＝k＋1时，
1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋，
所以n＝k＋1时，等式也成立．
综上所述，对于任何n∈N*，等式都成立.
归纳—猜想—证明
已知数列，，，…，，…，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.
【导学号：31062164】
[解] S1＝ ＝ ；
S2＝ ＋ ＝ ；
S3＝ ＋ ＝ ；
S4＝ ＋ ＝ .
可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.
于是可以猜想Sn＝ .
下面我们用数学归纳法证明这个猜想．
(1)当n＝1时，左边＝S1＝ ，
右边＝ ＝ ＝ ，
猜想成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即
＋ ＋ ＋… ＋ ＝ ，
当n＝k＋1时，
＋ ＋ ＋… ＋ ＋
＝ ＋ ＝
＝
＝，
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．
根据(1)和(2)，可知猜想对任何n∈N*都成立．
[规律方法]
(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节
(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型
①已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
[跟踪训练]
2．数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明.
【导学号：31062165】
[解] 由a1＝2－a1，得a1＝1；
由a1＋a2＝2× 2－a2，得a2＝ ；
由a1＋a2＋a3＝2× 3－a3，得a3＝ ；
由a1＋a2＋a3＋a4＝2× 4－a4，得a4＝ .
猜想an＝ .
下面证明猜想正确：
(1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立．
(2)假设当n＝k时猜想成立，
则有ak＝ ，
当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1，
∴ak＋1＝＝k＋1－ (2k－ )＝ ，
所以，当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)和(2)可知，an＝ 对任意正整数n都成立.
用数学归纳法证明不等式
[探究问题]
1．你能指出下列三组数的大小关系吗？
(1)n，，；
(2)，，；
(3)＋，.
提示：(1)(2)<<；
(3)∵＋<＋＝＝，
∴＋<.
2．结合探究点1，试给出一些常见的不等式放缩方法？
提示：在不等式证明时，我们可以使分母变大(小)，从而实现数值变小(大)．如：
(1)＝>
＝2，
＝<
＝2；
(2)<＝－ (k≥2), >＝－；
(3)<＝＝(－)(k≥2)．
用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．
[思路探究] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
[证明] (1)当n＝1时，左式＝1＋，
右式＝＋1，所以≤1＋≤，命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k，
则当n＝k＋1时，
1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ .
又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立．
母题探究：1.(变条件)用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)．
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋所以，当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
2．(变条件)用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2)．
[证明] (1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．
(2)假设n＝k时命题成立，即
1＋＋＋…＋<2－.
当n＝k＋1时，
1＋＋＋…＋＋
<2－＋
<2－＋
＝2－＋－＝2－.命题成立．
由(1)和(2)知原不等式在n≥2时均成立．
[规律方法] 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f?k?＞g?k?，求证f?k＋1?＞g?k＋1?时应注意灵活运用证明不等式的一般方法?比较法、分析法、综合法?.具体证明过程中要注意以下两点：
?1?先凑假设，作等价变换；
?2?瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是( )
【导学号：31062166】
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
C [当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．]
2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是( )
A．(2k＋1)＋(2k＋2)
B．(2k－1)＋(2k＋1)
C．(2k＋2)＋(2k＋3)
D．(2k＋2)＋(2k＋4)
C [当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3)．故选C.]
3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有________．
[答案] f(2n)＞
4．用数学归纳法证明：＋＋…＋＞－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
[解析] 从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－即，不等式为＋＋…＋＞－.
[答案] ＋＋…＋＞－.
5．用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，
·…·＝.
【导学号：31062167】
[证明] (1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立，
即…＝，
那么当n＝k＋1时，
…＝·
＝＝
＝.
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．
第二课 推理与证明
[核心速填]
1．合情推理：
(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理： 归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．
2．演绎推理：
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3．直接证明与间接证明
(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：
①综合法是从条件推导出结论的证明方法；
②分析法是由结论追溯到条件的证明方法；
(2)间接证明一种方法是反证法，它是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．
4．数学归纳法：
数学归纳法主要用于解决与自然数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立．
第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立．
特别要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．
[体系构建]
[题型探究]
合情推理
(1)观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
……，
据此规律，第n个等式可为________．
(2)类比三角形内角平分线定理：设△ABC的内角A的平分线交BC于点M，则＝.若在四面体P－ABC中，二面角B－PA－C的平分面PAD交BC于点D，你可得到的结论是________，并加以证明.
【导学号：31062174】
[解析] (1)等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋.
(2)画出相应图形，如图所示．
由类比推理得所探索结论为＝.
证明如下：由于平面PAD是二面角B－PA－C的平分面，所以点D到平面BPA与平面CPA的距离相等，所以＝. ①
又因为＝＝.②
由①②知＝成立．
[答案] (1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋ (2)＝
[规律方法] 1.归纳推理的特点及一般步骤
2．类比推理的特点及一般步骤
[跟踪训练]
1．(1)观察如图2-1中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.
图2-1
按此规律，推出Sn与n的关系式为________．
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn, 则T4，________，________， 成等比数列．
[解析] (1)依图的构造规律可以看出：
S2＝2×4－4，
S3＝3×4－4，
S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．
……
猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)．
(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ， 成等比数列．
[答案] (1)Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)
(2)
综合法与分析法
若a、b、c是△ABC的三边长，m＞0，求证：＋＞.
【导学号：31062175】
[思路探究] 根据在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立．
[证明] 要证明＋＞，
只需证明＋－＞0即可．
∵＋－＝
，
∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，
∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，
∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，
∵△ABC中任意两边之和大于第三边，
∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，
∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，
∴＋＞.
母题探究：1. (改变条件)本例删掉条件“m＞0”，证明：＞.
[证明] 要证 ＞.
只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c.
即证a＋b>c.而a＋b>c显然成立．
所以＞.
2．(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”，求证：＋＝.
[证明] 要证＋＝，
即证＋＝3，即证＋＝1.
即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2.
∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列．
∴B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac.
∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．
[规律方法] 分析综合法的应用?
综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.
反证法
已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
[证明] 假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，
则有a＋b＋c＜3，
而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，
两者矛盾，所以假设不成立，
故a，b，c至少有一个不小于1.
[规律方法] 反证法的关注点?
?1?反证法的思维过程：否定结论?推理过程中引出矛盾?否定假设肯定结论，即否定——推理——否定?经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”?即肯定原命题??.?
?2?反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法.
[跟踪训练]
2．若x，y，z∈(0,2)，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不可能都大于1.
【导学号：31062176】
[证明] 假设x(2－y)>1，且y(2－z)>1，且z(2－x)>1均成立，则三式相乘有xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1，①
由于0同理0三式相乘得0②与①矛盾，故假设不成立．
所以x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不可能都大于1.
数学归纳法
设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
[解] (1)∵a1＝1，
∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；
a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.
猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．
②假设n＝k(k∈N*)时猜想正确，
即ak＝，
则ak＋1＝f(ak)＝＝
＝＝.
这说明，n＝k＋1时猜想正确．
由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝.
[规律方法] 1.数学归纳法的两点关注?
?1?关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.?
?2?关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明.?
2.与“归纳—猜想—证明”相关的常用题型的处理策略?
?1?与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明.?
?2?与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法.
[跟踪训练]
3．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)
[证明] ①当n＝2时，＋＝＞.
②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立，
即＋＋…＋＞，
那么当n＝k＋1时，
＋＋…＋＝＋＋…＋ ＋＋＋－
＝＋＋－＞＋＋－＝＋－＝＋＞.
这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立．
转化与化归思想的应用
已知α，β≠kπ＋(k∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin2β.
求证：＝
【导学号：31062177】
[证明] 要证＝成立，
即证＝，
即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，
即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，
即证4sin2α－2sin2β＝1，
因为sin θ＋cos θ＝2sin α，
sin θcos θ＝sin2 β，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2 α，
即4sin2 α－2sin2β＝1.
故原结论正确．
[规律方法] 转化与化归思想?
转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归的原则是将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的、易解或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊问题；将实际应用问题转化为数学问题.本章中无论是推理过程还是用分析法、综合法、反证法、数学归纳法证明问题的过程中都用到了转化与化归思想.
[跟踪训练]
4．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.
(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．
[解] (1)证明：当a＋b≥0时，a≥－b且b≥－a.
∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，那么a＋b≥0”，此命题成立．
用反证法证明如下：
假设a＋b＜0，则a＜－b，∴f(a)＜f(－b)．
同理可得f(b)＜f(－a)．
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立，
∴a＋b≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立．
