3.1.1 数系的扩充和复数的概念
学习目标：1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．(重点)2.理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)
3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．
2．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
3．复数的分类
z＝a＋bi(a，b∈R)
思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
[提示]
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)复数i的实部不存在，虚部为0.( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．复数i－2的虚部是( )
A．i B．－2
C．1 D．2
C [i－2＝－2＋i，因此虚部是1.]
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为( )
A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0
A [∵(x＋y)i＝x－1，
∴
∴x＝1，y＝－1.]
4．在下列数中，属于虚数的是________，属于纯虚数的是________.
【导学号：31062191】
0,1＋i，πi，＋2i，－i，i.
[解析] 根据虚数的概念知：1＋i，πi，＋2i，－i，i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，i都是纯虚数．
[答案] 1＋i，πi，＋2i，－i，i πi，i
[合 作 探 究·攻 重 难]
复数的概念及分类
实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是①实数？②虚数？③纯虚数？
[解] ①当x满足即x＝5时，z是实数．
②当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
③当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
[规律方法] 复数分类的关键?
?1?利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z＝a＋bi?a，b∈R?时应先转化形式.?
?2?注意分清复数分类中的条件?
设复数z＝a＋bi?a，b∈R?，则①z为实数?b＝0，②z为虚数?b≠0，③z为纯虚数?a＝0，b≠0，④z＝0?a＝0，且b＝0.
[跟踪训练]
1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________.
【导学号：31062192】
[解析] (1)由条件知a2－3＋2a＝0，
∴a＝1或a＝－3.
[答案] 1或－3
2．实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是①实数；②虚数；③纯虚数；④零．
[解] 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
①当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
②当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
③当时，z是纯虚数，解得k＝4.
④当时，z＝0，解得k＝－1.
复数的相等的充要条件
[探究问题]
1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
提示：由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
提示：若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0.
(1) 若复数z＝(m＋1)＋(m2 －9)i<0，则实数m的值等于________．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
[思路探究] (1)等价转化为虚部为零，且实部小于零；
(2)根据复数相等的充要条件求解．
(1)－3 [∵z<0，∴，∴m＝－3.]
(2)设a是原方程的实根，
则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－且2－＋3m＝0，
所以m＝.
母题探究：1.(变条件)若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．
[解] 由题意可知，1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－＋i.
2．(变条件)若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围．
[解] 由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝ x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0，
故 ，
解得 .
所以实数m的取值范围为.
[规律方法] 复数相等问题的解题技巧?
?1?必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解.?
?2?根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.?
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
【导学号：31062193】
A.，1 B.，5
C．±，5 D．±，1
C [令，得a＝±，b＝5.]
2．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B [(1)错误，例如z＝i，则z2＝－1；(2)错误，因为2i－1虚部是2；(3)正确，因为2i＝0＋2i.]
3．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x＝________，y＝________.
[解析] ∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
[答案] 解得或
4．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为________．
[解析] 由题意得解得m＝2.
[答案] 2
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
【导学号：31062194】
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.
[解] 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，
∴m＝5或－3；
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，
∴m≠5且m≠－3.
(3)当时，复数z是纯虚数，
∴m＝－2.
(4)当时，复数z是0，
∴m＝－3.
3.1.2 复数的几何意义
学习目标：1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．(重点、难点)2.掌握实轴、虚轴、模等概念. (易混点)3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．复平面
思考：有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
[提示]不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2．复数的几何意义
3．复数的模
(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)复平面内的点与复数是一一对应的．( )
(2)复数即为向量，反之，向量即为复数．( )
(3)复数的模一定是正实数．( )
(4)复数与向量一一对应．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4) ×
2．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为( )
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
A [复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．]
3．向量a＝(－2, 1)所对应的复数是( )
【导学号：31062199】
A．z＝1＋2i B．z＝1－2i
C．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i
D [向量a＝(－2,1)所对应的复数是z＝－2＋i.]
4．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.
[解析] ∵z＝1＋2i，
∴|z|＝＝.
[答案]
[合 作 探 究·攻 重 难]
复数与复平面内的点的关系
[探究问题]
1．在复平面上，如何确定复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点所在的位置？
提示：看复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部和虚部所确定的点的坐标(a，b)所在的象限即可．
2．在复平面上，若复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点在第一象限，则实数a，b应满足什么条件？我们可以得到什么启示？
提示：a>0，且b>0.在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．
求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
【导学号：31062200】
(1)在复平面的第二象限内．
(2)在复平面内的x轴上方．
[思路探究] →
→
[解] (1)点Z在复平面的第二象限内，
则解得a＜－3.
(2)点Z在x轴上方，
则，
即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.
母题探究：1.(变结论)本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．
[解] 点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
2．(变结论)本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．
[解] 因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
所以＋a2－2a－15＋7＝0，
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±.
所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．
[规律方法] 利用复数与点的对应解题的步骤?
?1?首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标.?
?2?根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系.
复数的模及其应用
(1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝ ( )
【导学号：31062201】
A．1 B.
C. D．2
(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
(1)B [因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B.]
(2)设z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴，解得.
∴z＝－15＋8i.
[规律方法] 1.复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝.?
2.复数的模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离.?
3.转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想.
[跟踪训练]
1．(1)若复数z＝＋(a2－a－6)i是实数，则z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模为________．
(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
[解析] (1)∵z为实数，∴a2－a－6＝0，
∴a＝－2或3.
∵a＝－2时，z无意义，∴a＝3，
∴z1＝2－5i，∴|z1|＝.
[答案]
(2)法一：∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．
法二：利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．
由图可知：－
复数与复平面内向量的关系
(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
【导学号：31062202】
A．4＋80i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
①求向量，，对应的复数；
②判定△ABC的形状．
(1)C [两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，则C(2,4)．故其对应的复数为2＋4i.]
(2)①由复数的几何意义知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)， ＝－＝(－2,2), ＝－＝(－3,1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
②因为||＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
[规律方法] 复数与向量的对应和转化?
对应：复数z与向量OZ是一一对应关系.?
转化：复数的有关问题转化为向量问题求解.?
解决复数问题的主要思想方法有：?一?转化思想：复数问题实数化；?二?数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；?三?整体化思想：利用复数的特征整体处理.
[跟踪训练]
2．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为( )
A．－1＋i B．1－i
C．－5－5i D．5＋5i
D [由题意知，＝(2,3)，＝(－3，－2)
∴＝－＝(5,5)，
∴对应的复数为5＋5i，故选D.]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限. ]
2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
【导学号：31062203】
A．1或3 B．1
C．3 D．2
A [依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A.]
3．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
[解析] ∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2，解之得m＝9.
[答案] 9
4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
[解析] ∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.
[答案] (3，＋∞)
5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模.
【导学号：31062204】
z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
[解] 在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2， Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．
各复数的模分别为：|z1|＝＝；
|z2|＝＝1；
|z3|＝＝2；
|z4|＝＝2.
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
学习目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有
①z1＋z2＝z2＋z1；
②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数加减法的几何意义
如图3-2-1，设复数z1，z2对应向量分别为1，2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应．
图3-2-1
思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
[提示] |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则．( )
(2)复数与复数相加减后结果为复数．( )
(3)复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义．( )
[答案] (1) √ (2)√ (3) √
2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝ ( )
【导学号：31062210】
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
B [z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]
3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
A [(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.]
4．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( )
A．0 B．6i
C．6 D．6－6i
D [∵z＋3i－3＝3－3i，
∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.]
5．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________．
[解析] ＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.
[答案] 1－i
[合 作 探 究·攻 重 难]
复数加减法的运算
(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以
解得x＝1，y＝0，
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝.
[答案] (1)－2－i (2)
[规律方法] 复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加?减?，虚部与虚部相加?减?.
[跟踪训练]
1．计算：
(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝________.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝________.
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________. 【导学号：31062211】
[解析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)
＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋(2＋5)i＝－7＋7i.
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.
[答案] (1)6＋i (2)－7＋7i (3)－11i
复数加减运算的几何意义
(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝.则|z1－z2|＝________.
(2)如图3-2-2，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求
图3-2-2
①所表示的复数，所表示的复数；
②对角线所表示的复数；
③对角线所表示的复数及的长度．
[解析] (1)由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝.
(2)①＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
②∵＝－.
∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③对角线＝＋，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
[规律方法] 1.用复数加、减运算的几何意义解题的技巧?
?1?形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.?
?2?数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.?
2.常见结论?
在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB 为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.
[跟踪训练]
2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
【导学号：31062212】
[解] 设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
则＝－＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)．
＝－＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．
∵＝，∴，解得，故点D对应的复数为2－i.
复数模的最值问题
[探究问题]
1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？
提示：满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．
2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？
提示：∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．
3．复数|z1－z2|的几何意义是什么？
提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B．
C．2 D．
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
(1)A [设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.
所以|z＋i＋1|min＝1.]
(2)如图所示， ||＝＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
母题探究：1.(变条件)若本例题(2)条件改为“设复数z满足|z－3－4i|＝1”，求|z|的最大值．
[解] 因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应的点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.
2．(变条件)若本例题(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．
[解] 因为|z|＝1且z∈C，作图如图：
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
[规律方法] |z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1. a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为
( ) 【导学号：31062213】
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
D [∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i]
2．已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．]
3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
[解析] |(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5.
[答案] 5
4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
[解析] z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴
解得a＝－1.
[答案] －1
5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离.
【导学号：31062214】
[解] 向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.
∵＝－，∴向量对应的复数为
(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.
∴A，B两点间的距离为
|－8－2i|＝＝2.
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
学习目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)3.了解共轭复数的概念．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．复数代数形式的乘法法则
(1)复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
思考2：|z|2＝z2，正确吗？
[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.
2．共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.
3．复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)实数不存在共轭复数．( )
(2) 两个共轭复数的差为纯虚数．( )
(3) 若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．复数(3＋2i)i等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
B [(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]
3．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
【导学号：31062220】
A．5 B．
C．3 D．
A [z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.]
4．(2－i)÷i＝________.
[解析] (2－i)÷i＝＝＝－1－2i.
[答案] －1－2i
[合 作 探 究·攻 重 难]
复数乘法的运算
(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)计算：
①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
②(3＋4i)(3－4i)；
③(1＋i)2.
(1)B [z＝＝＋i，因为对应的点在第二象限，所以 ，解得a<－1，故选B.]
(2)①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i；
②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；
③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
[规律方法] 1.两个复数代数形式乘法的一般方法?
复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等?
2.常用公式?
?1??a＋bi?2＝a2＋2abi－b2?a，b∈R?；?
?2??a＋bi??a－bi?＝a2＋b2?a，b∈R?；?
?3??1±i?2＝±2i.
[跟踪训练]
1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
【导学号：31062221】
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
[解析] (1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i，故选C
(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，
所以z的实部是5.
[答案] (1)C (2)5
复数除法的运算
(1)如图3-2-3，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于( )
图3-2-3
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)计算：＋－.
(1)B [由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，
所以＝＝－1＋2i，
对应的点在第二象限．]
(2)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i.
[规律方法] ?1.两个复数代数形式的除法运算步骤?
?1?首先将除式写为分式；?
?2?再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；?
?3?然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.?
2.常用公式?
?1?＝－i；?2?＝i；?3?＝－i.
[跟踪训练]
2．(1)设复数z满足＝i，则|z|＝( )
A．1 B．
C． D．2
(2)计算：①；②.
(1)A [由＝i得1＋z＝i(1－z)，即z＝，z＝＝＝i，|z|＝1，选A.]
(2)①＝＝＝1－i.
②＝＝＝－1－3i.
共轭复数及其应用
[探究问题]
1．若z＝，则z是什么数？这个性质有什么作用？
提示：z＝?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．
2．若z≠0且z＋＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？
提示：z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．
3．三个实数|z|，||，z·具有怎样的关系？
提示：设z＝a＋bi，则＝a－bi，所以|z|＝，||＝＝，z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝||2＝z·.
(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
【导学号：31062222】
A． B．
C．1 D．2
(2)已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，求.
[思路探究] 可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．
(1)A [法一：∵z＝＝＝＝＝＝－＋，
∴＝－－，∴z·＝.
法二：∵z＝，
∴|z|＝＝＝＝，∴z·＝.]
(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5.解得a＝±1，b＝±2，所以z＝1＋2i或－1－2i，所以＝1－2i或－1＋2i，即＝±(1－2i)．
法二：因为(1－2i)z是实数，故可设z＝b(1＋2i)，b∈R，由|z|＝可知|b|＝，所以b＝±1，
即＝±(1－2i)．
母题探究：1.(变结论)在题设(1)条件不变的情况下，把题设(1)的结论改为求.
[解] 由例题(1)的解析可知z＝－＋，＝－－，z·＝，∴＝＝＝－i.
2．(变条件)把题设(2)的条件“(1－2i)z是实数”换成“(1－2i)z是纯虚数”，求.
[解] 设z＝a＋bi，则＝a－bi，由例题(2)的解可知a＝－2b，由|z|＝＝ ＝，得b＝1，a＝－2；或 b＝－1，a＝2.所以＝－2－i，或＝2＋i.
[规律方法] 1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数.?
2.注意共轭复数的简单性质的运用.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于( )
【导学号：31062223】
A．－i B．i
C．－1 D．1
A [z＝＝－i.]
2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
A [∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.]
3．复数(为虚数单位)的实部等于________．
[解析] 由题可得＝－3－i，－3－i的实部为－3.
[答案] －3
4．(1＋i)2－＝________.
[解析] ∵(1＋i)2－＝2i－
＝－＋i.
[答案] －＋i
5．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值.
【导学号：31062224】
[解] z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝＝＝＝＋i.由于z1和z2互为共轭复数，所以有
解得
第三课 数系的扩充与复数的引入
[核心速填]
1．复数的有关概念及分类
(1)代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部为a，虚部为b；
(2)共轭复数为z＝a－bi(a，b∈R)．
(3)复数的分类
①若 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数，则z与的关系为z＝.
②若z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则z与的关系为z＋＝0(z≠0)．
2．与复数运算有关的问题
(1)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di?(a，b，c，d∈R)．
(2)复数的模
复数z＝a＋bi的模|z|＝，且z·＝|z|2＝a2＋b2.
(3)复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)
①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；
②减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；
③乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；
④除法：＝＝＋i(z2≠0)；
3．复数的几何意义
(1)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.
(2)复数加法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量1、2不共线，则复数z1＋z2是以1、2为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．
(3)复数减法的几何意义
复数z1－z2是连接向量1、2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．
[体系构建]
[题型探究]
复数的概念
当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)对应的点在第一象限内；
(4)复数z对应的点在直线x－y＝0. 【导学号：31062230】
[解] (1)z∈R?a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.
(2)z为纯虚数，
即故a＝0.
(3)z对应的点在第一象限，则
∴∴a＜0，或a＞2.
∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(4)依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，
∴a＝2.
[规律方法] 处理复数概念问题的两个注意点?
?1?当复数不是a＋bi?a，b∈R?的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部.?
?2?求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.
[跟踪训练]
1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为
( )
A．0 B．－1
C．1 D．－2
(2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(1)A (2)D [(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.
(2)因为a－＝a－＝a－＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.]
复数的几何意义
(1)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝________，b＝________.
【导学号：31062231】
(1)B (2)－3 －10 [(1)＝＝＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．
(2)∵＝2＋
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)
即∴]
[跟踪训练]
2．若i为虚数单位，图3-1中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
图3-1
A．E B．F
C．G D．H
D [∵点Z(3,1)对应的复数为z，
∴z＝3＋i，＝＝＝＝2－i，
该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即H点．]
复数的四则运算
(1)已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
【导学号：31062232】
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝，则等于( )
A．－4＋3i B．3＋4i
C．3－4i D．4－3i
(1)A (2)D [(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，
∴
∴z＝1＋i，故选A.
(2)＝＝
＝＝4－3i.]
母题探究：1.(变结论)本例题(1)中已知条件不变，则＝__________.
[解析] 由解析知z＝1＋i，所以＝1－i.
＝＝i.
[答案] i
2．(变结论)本例题(2)中已知条件不变，则z1z2＝__________.
[解析] z1z2＝
＝＝
＝＝－i.
[答案] －i
[规律方法] ?1?复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；?
?2?复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi?a，b∈R?的结构形式. ?
?3?利用复数相等，可实现复数问题的实数化.
转化与化归思想
已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围.
【导学号：31062233】
[解] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.
又＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，
∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限．
∴，解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
[规律方法] 一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi?x，y∈R?，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.
[跟踪训练]
3．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
[解] 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，
∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
∴∴，或
或或∴
或或或
