1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
学习目标：1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的平均变化率
(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为＝，其中Δx＝x2－x1是相对于x1的一个“增量”，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)是相对于f(x1)的一个“增量”．
(2)平均变化率的几何意义
设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率＝＝为割线AB的斜率，如图1-1-1所示．
图1-1-1
思考：Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？
[提示] Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．平均变化率可正、可负、可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限即 ＝ .
3．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′| x＝x0，即f′(x0)＝ .
[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )
(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．( )
(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )
提示：(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．
(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．
(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．函数y＝f(x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( )
【导学号：31062000】
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
D [Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.]
3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是
( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
B [＝＝＝＝4.1，故选B.]
4．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．
[解析] ∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是
＝ ＝
＝ (2＋Δx)＝2.
[答案] 2
5．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于________．
[解析] f′(6)＝ ＝ ＝0.
[答案] 0
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的平均变化率
已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率.
【导学号：31062001】
[解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为
＝0.9.
(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5)
＝3x＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.
[规律方法] 1.求函数平均变化率的三个步骤?
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1；?
第二步，求函数值的增量Δy＝f?x2?－f?x1?；?
第三步，求平均变化率＝.?
2.求平均变化率的一个关注点?求点x0附近的平均变化率，可用的形式.
[跟踪训练]
1．如图1-1-2，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
图1-1-2
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B [平均变化率为＝－1.故选B.]
2．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( )
【导学号：31062002】
A．4 B．4x
C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx
D [＝＝4＋2Δx.故选D.]
求瞬时速度
[探究问题]
1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度？
提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.
2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
提示：当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
[思路探究]
―→
[解] ∵＝
＝＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．
[解] 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵＝
＝＝1＋Δt，
∴ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.
2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
[解] 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝
＝(2t0＋1)＋Δt.
＝ (2t0＋1＋Δt)
＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，
∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
[规律方法] 求运动物体瞬时速度的三个步骤?
?1?求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s?t0＋Δt?－s?t0?.?
?2?求平均速度＝.?
?3?求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，f(Δs,Δt)无限趋近于常数v，即为瞬时速度.
求函数在某一点处的导数
(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于( )
A．1 B．－1
C．－ D．
(2)求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数．
[思路探究] (1)类比f′(x0)＝ 求解．
(2)―→―→
(1)C [∵
＝ ＝－3f′(x0)＝1，
∴f′(x0)＝－，故选C.]
(2)∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋1－＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴f′(1)＝ ＝ ＝2.
[规律方法] 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称：一差、二比、三极限．
[跟踪训练]
3．已知f′(1)＝－2，则 ＝________.
【导学号：31062003】
[解析] ∵f′(1)＝－2，
∴ ＝
＝－2 ＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4.
[答案] 4
4．求函数y＝3x2在x＝1处的导数．
[解] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx，
∴f′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是
( )
A．0.4 B．2
C．0.3 D．0.2
B [＝＝＝2.]
2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝＝＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是( )
【导学号：31062004】
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确．]
3．函数f(x)＝在x＝1处的导数为________．
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1，
∴＝＝，
∴f′(1)＝ ＝ ＝.
[答案]
4．设f(x)在x0处可导，若 ＝A，则f′(x0)＝________.
[解析]
＝3 ＝3f′(x0)＝A.
故f′(x0)＝A.
[答案]
5．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)；(2)f′(1).
【导学号：31062005】
[解] (1)＝
＝＝2＋Δx.
(2)f′(1)＝
＝ (2＋Δx)＝2.
1.1.3 导数的几何意义
学习目标：1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求导函数．(重点、难点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．导数的几何意义
(1)切线的定义：
图1-1-6
如图1-1-6，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：
导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)．
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导函数
对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝ .
思考： f′(x0)与f′(x)有什么区别？
[提示]f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点x＝x0处切线的斜率．( )
(2)若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在．( )
(3)f′(x0)(或y′|x＝x0)是函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．( )
(4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＝0
C．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在
C [由题意可知，f′(x0)＝－2＜0，故选C.]
3．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________.
【导学号：31062012】
[解析] 设切线的倾斜角为α，则
tan α＝f′(x0) ＝1，又α∈[0°，180°)，
∴α＝45°.
[答案] 45°
4．若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．
[解析] 切线的斜率为k＝－1.
∴点 A(1,2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
[答案] x＋y－3＝0
[合 作 探 究·攻 重 难]
导数几何意义的应用
(1)已知y＝f(x)的图象如图1-1-7所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
图1-1-7
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
(1)B (2)A [(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．
(2)由题意，知k＝y′|x＝0
＝ ＝1，∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.]
[规律方法] 1.本例?2?中主要涉及了两点：①f′?0?＝1，②f?0?＝b.?
2.解答此类问题的关键是理解导数的几何意义.?
3.与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.
[跟踪训练]
1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于
( ) 【导学号：31062013】
A．1 B．
C．－ D．－1
A [由题意可知，f′(1)＝2.
又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a.故由2a＝2得a＝1.]
2．如图1-1-8，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
图1-1-8
A．－4
B．3
C．－2
D．1
D [直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.
又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，
∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1.]
求切点坐标
过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1) 平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
[解] f′(x)＝ ＝ ＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)∵切线与直线y＝4x－5平行，
∴2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．
(2)∵切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
∴2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
(3)∵切线与x轴成135°的倾斜角，
∴其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P是满足条件的点．
[规律方法] 1.本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标.?
2.根据切线斜率求切点坐标的步骤?
?1?设切点坐标?x0，y0?；?
?2?求导函数f′?x?；?
?3?求切线的斜率f′?x0?；?
?4?由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；?
?5?x0代入f?x?求y0得切点坐标.
[跟踪训练]
3．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标. 【导学号：31062014】
[解] 设切点P(m，n)，切线斜率为k，
由y′＝ ＝
＝ (4x＋2Δx)＝4x，
得k＝y′|x＝m＝4m.
由题意可知4m＝8，∴m＝2.
代入y＝2x2－7得n＝1.
故所求切点P为(2,1)．
求曲线的切线方程
[探究问题]
1．如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程？
提示：y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．
2．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？
提示：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．
3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？
提示：不一定．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．
已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程．
[思路探究] (1)―→―→
(2)―→―→
―→
[解] (1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)．
y′|x＝1＝ ＝
＝[3＋3Δx＋Δx2]＝3.
∴k＝y′|x＝1＝3.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0，
即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－.
①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0.
②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0.
母题探究：1.(变结论)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解] 由
解得或
从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)．
2．(变条件)求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
[解] 设切点为Q(a，a2＋1)，＝＝2a＋Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，＝2a，解得a＝1±，所求的切线方程为y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
[规律方法] 利用导数的几何意义求切线方程的方法?
?1?若已知点?x0，y0?在已知曲线上，求在点?x0，y0?处的切线方程，先求出函数y＝f?x?在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′?x0??x－x0?.?
?2?若点?x0，y0?不在曲线上，求过点?x0，y0?的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝
( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
D [由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.]
2．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．]
3．已知二次函数y＝f(x)的图象如图1-1-9所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：
f′(a)________f′(b)(填“＜”或“＞”)．
图1-1-9
[解析] f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，
由图象可得f′(a)＞f′(b)．
[答案] ＞
4．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________.
【导学号：31062015】
[解析] f′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，
∴切线方程为y＋1＝－(x＋2)，
即x＋2y＋4＝0.
[答案] x＋2y＋4＝0
5．已知直线y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切，求切点坐标及a的值．
[解] 设直线l与曲线相切于点P(x0，y0)，则
f′(x)＝
＝3x2－4x.
由导数的几何意义，得k＝f′(x0)＝3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，
有＝4×＋a，
∴a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，
∴a＝－5，
因此切点坐标为或(2,3)，
a的值为或－5.
1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
学习目标：1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)3.能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f(x)＝
2．导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)积的导数
①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
②[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)商的导数
′＝(g(x)≠0)．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若y＝e2，则y′＝e2.( )
(2)若y＝，则y′＝.( )
(3)若y＝ln x，则y′＝.( )
(4)若y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于( )
A． B．10
C．10ln 10 D．
C [∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]
3．(1)′＝________；(2)(xex)′＝________.
【导学号：31062021】
[答案] (1)′＝
＝；
(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
[合 作 探 究·攻 重 难]
利用导数公式求函数的导数
求下列函数的导数.
【导学号：31062022】
(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos.
[解] (1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0.
(2)∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6.
(3)∵y＝＝＝x，∴y′＝x.
(4)∵y＝lg x，∴y′＝.
(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5.
(6)y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x.
[规律方法] 1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解.?
2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误.?
3.要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
[跟踪训练]
下列结论，
①(sin x)′＝cos x；②′＝x；
③ (log3x)′＝；④(ln x)′＝.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C [①(sin x)′＝cos x，正确；
② ′＝，错误；
③(log3x)′＝，错误；
④(ln x)′＝，正确；
所以①④正确，故选C.]
利用导数的运算法则求导数
[探究问题]
1．如何求函数y＝tan x的导数？
提示：y＝tan x＝，故y′＝＝＝.
2．如何求函数y＝2sin cos 的导数？
提示：y＝2sin cos ＝sin x，故y′＝cos x.
求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝；
(4)y＝x2－sin cos.
[解] (1)y′＝2x－2x－3.
(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
(3)y′＝.
(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，
∴y′＝2x－cos x.
母题探究：1.(变条件)把(4)的函数换成“y＝xtan x”，求其导数．
[解] y′＝(x·tan x)′＝′
＝
＝
＝.
2．(变结论)求函数(3)在点(1,0)处的切线方程．
[解] ∵y′|x＝1＝，
∴函数y＝在点(1,0)处的切线方程为y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝；
②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln 2；
④y＝log2x，则y′＝.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故②正确；显然③，④正确，故选C.]
2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于( )
A． B．
C． D．
D [∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.]
3．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
【导学号：31062023】
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
D [∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)．]
4．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．
[解析] ∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.
[答案] x＋y－6＝0
5．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝log2x2－log2x；
(3)y＝；
(4)y＝－2sin .
【导学号：31062024】
[解] (1)y′＝
＝.
(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，
∴y′＝(log2x)′＝.
(3)法一：y′＝′＝′cos x＋(cos x)′＝′cos x－sin x＝－x－cos x－sin x＝－－sin x＝－－sin x＝－.
法二：y′＝′＝
＝＝－
＝－.
(4)∵y＝－2sin
＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x．
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学习目标：1.了解复合函数的概念(易混点).2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数f(x)＝是复合函数．( )
(2)函数f(x)＝ln(1－x)的导数是f′(x)＝.( )
(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．函数y＝的导数是( )
A． B．
C．－ D．－
C [∵y＝，
∴y′＝－2××(3x－1)′
＝－.]
3．函数y＝是由________三个函数复合而成的．
[答案] y＝，u＝v2＋1，v＝sin x
[合 作 探 究·攻 重 难]
复合函数的导数
求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x.
【导学号：31062030】
[解] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数．
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
＝3u2·cos x＋3cos v
＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
[规律方法] 1.解答此类问题常犯两个错误
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
2．复合函数求导的步骤
[跟踪训练]
1．求下列函数的导数．
(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；
(3)y＝2sin；(4)y＝.
[解] (1)令u＝3x－2，
则y＝10u，
所以y′x＝y′u·ux′＝10uln 10·(3x－2)′
＝3×103x－2ln 10.
(2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u，
所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(3)设y＝2sin u，u＝3x－，
则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos.
(4)设y＝u，u＝1－2x，
则y′x＝y′u·u′x＝′·(1－2x)′＝－u×(－2)＝(1－2x) .
复合函数与导数的运算法
则的综合应用
求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝x；
(3)y＝xcossin.
[解] (1)∵(ln 3x)′＝×(3x′)＝，
∴y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′＝x′＋x()′
＝＋
＝.
(3)∵y＝xcossin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，
∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x·4
＝－sin 4x－2xcos 4x.
[规律方法] 1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的.?
2.复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.
[跟踪训练]
2．求下列函数的导数．
(1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sin x3；
(3)y＝；(4)y＝xln(1＋x).
【导学号：31062031】
[解] (1)∵y＝，
∴y′＝′＝sin x.
(2)y′＝(sin3x＋sin x3)′
＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(3)y′＝＝
＝.
(4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′
＝ln(1＋x)＋.
导数运算法则的综合应用
[探究问题]
1．若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？
提示：设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0，
所以ex0＝1，即x0＝0，
∴点P(0,1)．
由点P(0,1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.
2．若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离？
提示：如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A． B．2
C．3 D．0
(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
[思路探究] (1)―→
―→
(2)―→
[解析] (1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，
∴y′|x＝x0＝＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，
即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
(2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.
[答案] (1)A (2)2
母题探究：1.(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
[解] 由题意可知，设切点P(x0，y0)，则
y′|x＝x0＝＝2，∴x0＝1，即切点P(1,0)，
∴＝2，解得m＝8或－12.
即实数m的值为8或－12.
2．(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积．
[解] 由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.
令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝.∴SΔ＝××1＝.
[规律方法] 本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
[答案] A
2．函数y＝(2 017－8x)3的导数y′＝( )
A．3(2 017－8x)2 B．－24x
C．－24(2 017－8x)2 D．24(2 017－8x)2
C [y′＝3(2 017－8x)2×(2 017－8x)′
＝3(2 017－8x)2×(－8)＝－24(2 017－8x)2.]
3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
B [y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.]
4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.
[解析] ∵f′(x)＝，
∴f′(1)＝＝.
[答案]
5．设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．求a，b的值．
[解] 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0.
1.3.1 函数的单调性与导数
学习目标：1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2.掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3.会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)＞0
单调递增
f′(x)＜0
单调递减
思考：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
[提示]f(x)是常数函数．
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．不确定
A [∵f(x)＝2x－sin x，
∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]
3．函数y＝f(x)的图象如图1-3-1所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
图1-3-1
D [∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.]
4．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________.
【导学号：31062036】
[解析] ∵f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex－1.
由f′(x)＞0得，ex－1＞0，
即x＞0.
∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
[答案] (0，＋∞)
[合 作 探 究·攻 重 难]
函数与导函数图象间的关系
(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图1-3-2所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
图1-3-2
(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图1-3-3所示，则f(x)的图象只可能是( )
图1-3-3
(1)D (2)D [(1)由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．]
[规律方法] 研究函数与导函数图象之间关系的方法?
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.
[跟踪训练]
1．已知y＝xf′(x)的图象如图1-3-4所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是( )
图1-3-4
C [当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，
∴f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，
故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C.]
利用导数求函数的单调区间
角度1 不含参数的函数求单调区间
求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2·e－x；
(3)f(x)＝x＋.
【导学号：31062037】
[解] (1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)．∵f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定义域D，得下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f′(x)
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．
(3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域D，得下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
－
0
＋
f(x)
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
角度2 含参数的函数的单调区间
讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．
[思路探究] ―→―→
[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－
＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝，
由f′(x)＞0，得x＞1，
由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
(2)当a＞0时，
f′(x)＝，
∵a＞0，∴－＜0.
由f′(x)＞0，得x＞1，
由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.
[规律方法] 利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．
(4)结合定义域写出单调区间．
[跟踪训练]
2．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.
【导学号：31062038】
[解] f(x)的定义域为
(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.
若a≤0，则f′(x)＞0，
所以f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增．
若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
已知函数的单调性求参数的范围
[探究问题]
1．在区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？
提示：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)＞0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．
2．若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
提示：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．
已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
[思路探究] ―→―→
[解] 由已知得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，
f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
母题探究：1.(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的取值范围．
[解] 由f′(x)＝3x2－a，
①当a≤0时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
∴f(x)在上为减函数，
∴f(x)的单调递减区间为，
∴＝1，即a＝3.
2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的范围．
[解] 由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
∴，即，∴a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的范围．
[解] ∵f(x)＝x3－ax－1，
∴f′(x)＝3x2－a，
由f′(x)＝0，
得x＝±(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
∴0＜＜1，即0＜a＜3.
故a的取值范围为(0,3)．
[规律方法] 1.解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x) ≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设函数f(x)的图象如图1-3-5所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
图1-3-5
C [∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，
∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；
当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.]
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
【导学号：31062039】
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
D [∵f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，∴x＞2.
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]
3．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
B [函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1.]
4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a的取值范围是
( ) 【导学号：31062040】
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
A [∵f′(x)＝3x2－2ax－1，
且f(x)在(0,1)内单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，
∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.]
5．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间．
[解] 函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝.
当k≤0时，kx－1＜0，
∴f′(x)＜0，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当k＞0时，由f′(x)＜0，即＜0，
解得0＜x＜；
由f′(x)＞0，即＞0，解得x＞.
∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；
当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
1.3.2 函数的极值与导数
学习目标：1.了解极大值、极小值的概念．(难点)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3.会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
思考：导数为0的点一定是极值点吗？
[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0, 但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．
2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数f(x)在(a，b)内一定存在极值点．( )
(2)函数的极大值一定大于极小值．( )
(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )
(4)函数f(x)＝有极值．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图1-3-8所示，则函数f(x)( )
图1-3-8
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
C [设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]
3．函数f(x)＝－的极值点为( )
【导学号：31062047】
A．0 B．－1
C．0或1 D．1
D [∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)
由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又当x＞1时f′(x)＞0，
0＜x＜1时f′(x)＜0，
∴1是f(x)的极小值点．
又x＜0时f′(x)＜0，
故x＝0不是函数的极值点．]
4．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，1是函数f(x)的________值．
[解析] 由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，
∴f′(1)＝0,1是函数f(x)的极大值．
[答案] 0 极大
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的极值点和极值
角度1 不含参数的函数求极值
求下列函数的极值
(1)y＝x3－3x2－9x＋5；
(2)y＝x3(x－5)2.
[解] (1)∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
极大值
极小值
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)
＝5x2(x－3)(x－5)，令y′＝0，
即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,3)
3
(3,5)
5
(5，＋∞)
y′
＋
0
＋
0
－
0
＋
y
无极值
极大值108
极小值0
∴x＝0不是y的极值点；
x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.
角度2 含参数的函数求极值
已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当a∈R且a≠时，求函数的极值.
【导学号：31062048】
[思路探究]
―→
[解] f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.
由a≠知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论：
若a＞，则－2a＜a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2a)
－2a
(－2a，a－2)
a－2
(a－2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
∴f(x)在(－∞，－2a) ，(a－2，＋∞)内是增函数，在(－2a，a－2)内是减函数．
∴函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a；
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
若a＜，则－2a＞a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，a－2)
a－2
(a－2，－2a)
－2a
(－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
∴f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．
∴函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2；
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae－2a.
[规律方法] 求可导函数f?x?的极值的步骤为：
?1?求函数的定义域；
?2?求函数的导数f′?x?；
?3?令f′?x?＝0，求出全部的根x0；
?4?列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′?x?，f?x?在每个区间内的变化情况列在一个表格内；
?5?判断得结论：若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值.
[跟踪训练]
1．若函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝.
(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．
(2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.
当0＜x＜a时，f′(x)＜0；
当x＞a时，f′(x)＞0.
∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－ln a，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
由极值求参数的值或取值范围
(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.
(2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围. 【导学号：31062049】
[思路探究] (1)由f′(1)＝0及f(1)＝10求a，b，注意检验极值的存在条件；
(2)f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，等价于f′(x)＝0在(1，＋∞)内有两个不等实根．
[解] (1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以，不符合题意，应舍去．
而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.
(2)f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
[规律方法] 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：?
?1?根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
?2?因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[跟踪训练]
2．若x＝2是函数f(x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f(x)的极大值.
【导学号：31062050】
[解] ∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0
∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6.
(1)当m＝2时，f′(x)＝(x－2)(3x－2)，
由f′(x)＞0得x＜或x＞2；
由f′(x)＜0得＜x＜2.
∴x＝2是f(x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．
(2)当m＝6时，f′(x)＝(x－6)(3x－6)，
由f′(x)＞0得x＜2或x＞6；
由f′(x)＜0得2＜x＜6.
∴x＝2是f(x)的极大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32.
即函数f(x)的极大值为32.
极值问题的综合应用
[探究问题]
1．如何画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．
提示：f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．
由f′(x)＞0得x＜－2或x＞3，
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．
由f′(x)＜0得－2＜x＜3，
∴函数f(x)的递减区间是(－2,3)．
由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一)．
2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x ＋16＝a有几解？
提示：方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：
(1)当a＞60或a＜－65时， 方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；
(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；
(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a三解．
已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
[思路探究] 求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．
[解] 令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1
当x>1时，f′(x)>0.
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；
当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a.
因为方程f(x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－2母题探究：1.(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？
[解] 由例题，知函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，
若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2.
2．(改变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．
[解] 由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2.
[规律方法] 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基本上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图1-3-9所示，则下面结论错误的是( )
图1-3-9
A．在(1,2)上函数f(x)为增函数
B．在(3,4)上函数f(x)为减函数
C．在(1,3)上函数f(x)有极大值
D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
D [由图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，
当2＜x＜4时，f′(x)＜0，
当4＜x＜5时，f′(x)＞0，
∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]
2．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
【导学号：31062051】
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
B [∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
∴f′(2)＝0,24＋4a＋36＝0，a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.]
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
D [令y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0.故当x＝－1时，y取得极小值．]
4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
[解析] f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f(x)既有极大值又有极小值，
∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)
5．求下列函数的极值
(1)f(x)＝x2－2ln x；
(2)y＝.
【导学号：31062052】
[解] (1)∵f′(x)＝2x－，
且函数定义域为(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1.
(2)∵函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，且y′＝，令y′＝0，得x1＝－1，x2＝2，
∴当x变化时，y′，y的变化情况如表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
(1,2)
2
(2，＋∞)
y′
＋
0
－
＋
0
＋
y
单调递
增
－
单调递
减
单调递
增
3
单调递
增
故当x＝－1时，y有极大值－.
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
学习目标：1.理解函数的最值的概念．(难点)2.了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点)3.会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．
思考：函数的极值与最值的区别是什么？
[提示]函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
A [f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．]
3．函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0 B．
C． D．
C [f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在区间[2,4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.]
4．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.
【导学号：31062058】
[解析] f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]．
令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2，
当x∈(－2,0)时，f′(x)＜0，
当x∈(0,2)时，f′(x)＞0，
∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值．
∴f(0)＝m＝1.
[答案] 1
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的最值
角度1 不含参数的函数最值
求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f(x)＝sin 2x－x，x∈.
[解] (1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
/
＋
0
－
0
＋
/
f(x)
－1
11
－1
11
从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.
当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.
(2)f′(x)＝2cos 2x－1，令f′(x)＝0，得cos 2x＝，
又∵x∈，∴2x∈[－π，π]．
∴2x＝±.∴x＝±.
∴函数f(x)在上的两个极值分别为
f＝－，f＝－＋.
又f＝－，f＝.
比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.
角度2 含参数的函数最值
a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值.
【导学号：31062059】
[解] f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
∵x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
(1)若0＜＜1，即0＜a＜1，
则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示)
x
0
(0，)
(，1)
1
f′(x)
＋
0
－
f(x)
0
2a
3a－1
(2)若≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a；
当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
[规律方法] 1.求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点?
?1?对函数进行准确求导，并检验f′?x?＝0的根是否在给定区间内.?
?2?研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.?
?3?比较极值与端点函数值的大小，确定最值.
2.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.
[跟踪训练]
1．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值．
[解] f′(x)＝3x2－2ax.
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当≤0，即a≤0时，
f(x)在[0,2]上单调递增，
从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.
②当≥2，即a≥3时，
f(x)在[0,2]上单调递减，
从而f(x)max＝f(0)＝0.
③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，
在上单调递增，
从而f(x)max＝
综上所述，f(x)max＝
已知函数的最值求参数
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.
【导学号：31062060】
[解] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
b
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，
f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
[规律方法] ?已知函数在某区间上的最值求参数的值?范围?是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程?不等式?解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.
[跟踪训练]
2．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
[解析] f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.
[答案] －1
与最值有关的综合问题
[探究问题]
1．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若f(x)≥c或f(x)≤c恒成立，则c满足的条件是什么？
提示：c≤f(x)min或c≥f(x)max.
2．对于函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若存在x0∈[a，b]，使得f(x)≥c或f(x)≤c成立，则c满足的条件是什么？
提示：c≤f(x)max或c≥f(x)min.
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.
【导学号：31062061】
[思路探究] (1)利用配方法，即可求出二次函数f(x)的最小值h(t)；
(2)构造函数g(t)＝h(t)－(－2t＋m)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范围．
[解] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
极大值1－m
∴g(t)在(0,2)内有最大值g(1)＝1－m.
h(t)<－2t＋m在(0,2)内恒成立等价于g(t)<0在(0,2)内恒成立，即等价于1－m<0.∴m的取值范围为(1，＋∞)．
母题探究：1.(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立”，则实数m的取值范围如何求解？
[解] 令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t
0
(0,1)
1
(1,2)
2
g′(t)
＋
0
－
g(t)
－1－m
极大值
1－m
－3－m
∴g(t)在[0,2]上有最小值g(2)＝－3－m，
存在t∈[0,2]，使h(t)<－2t＋m成立，
等价于g(t)的最小值g(2)<0.
∴－3－m<0，∴m>－3，
所以实数m的取值范围为(－3，＋∞)．
2．(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2∈(0,2)，都有h(t1)＜－2t2＋m”，求实数m的取值范围．
[解] ∵h(t)＝－t3＋t－1，t∈(0,2)
∴h′(t)＝－3t2＋1
由h′(t)＝0得t＝或t＝－(舍)
又当0＜t＜时，h′(t)＞0，
当＜t＜2时，h′(t)＜0.
∴当t＝时，h(t)max＝－＋－1＝.
令φ(t)＝－2t＋m，t∈(0,2)，
∴φ(t)min＞m－4.
由题意可知
≤m－4，
即m≥＋3＝.
∴实数m的取值范围为.
[规律方法] 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
所以实数的取值范围为
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
D [函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．]
2．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是( )
A．π－1 B．－1
C．π D．π＋1
C [因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.]
3．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
【导学号：31062062】
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
D [f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.]
4．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1,2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．
[解析] f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1，－.
f(－1)＝5，f＝5，f(1)＝3，f(2)＝7，
∴m＜3.
【答案】
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值，并求f(x)在[－2,2]上的最大值.
【导学号：31062063】
[解] f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－2
(－2,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
f(x)
－40＋a
极大值a
－8＋a
所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.
所以当x＝0时，f(x)取到最大值3.
1.4 生活中的优化问题举例
学习目标：1.体会导数在解决实际问题中的作用.2.能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．用导数解决优化问题的基本思路
思考：解决生活中优化问题应注意什么？
[提示](1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．
(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：大度、宽度应大于0，销售价为正数等．
[基础自测]
1．已知某生产厂家的年利润y(单位： 万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
( )
A．7万件 B．9万件
C．11万件 D．13万件
B [设y＝f(x)，
即f(x)＝－x3＋81x－234.
故f′(x)＝－x2＋81.令f′(x)＝0，即－x2＋81＝0，
解得x＝9或x＝－9(舍去)．
当0＜x＜9时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；
当x＞9时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减．
因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值．
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]
2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
【导学号：31062069】
A．8 B．
C．－1 D．－8
C [由题意，f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∵0≤x≤5，
∴x＝1时，f′(x)的最小值为－1，
即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]
3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为
( )
A．6 m B．8 m
C．4 m D．2 m
C [设底面边长为x m，高为h m，则有x2h＝256，所以h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0，得x＝8，因此h＝＝4(m)．]
4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为______元时，利润最大.
【导学号：31062070】
[解析] 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)
＝－x2＋230x－6 000，S′(x)＝－2x＋230，
由S′(x)＝0，得x＝115，这时利润达到最大．
[答案] 115
[合 作 探 究·攻 重 难]
面积、体积的最值问题
请你设计一个包装盒，如图1-4-1，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
图1-4-1
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
[规律方法] ?1?立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.?
?2?解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.
[跟踪训练]
1．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
【导学号：31062071】
[解析] 设矩形的长为x cm，
则宽为(10－x)cm(0＜x＜10)．
由题意可知圆柱体积为
V＝πx2(10－x)＝10πx2－πx3.
∴V′＝20πx－3πx2，
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝，
且当x∈时，V′(x)＞0，
当x∈时，V′(x)＜0，
∴当x＝时，V(x)max＝π cm3.
[答案] π
用料最省、成本(费用)最低问题
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
[思路探究] (1)由C(0)＝8可求k的值从而求出f(x)的表达式．
(2)求导数式f(x)的最小值．
[解] (1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0当50，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
[规律方法] 1.用料最省、成本?费用?最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.?
2.利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′?x?＝0时，如果函数在这点有极大?小?值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大?小?值.
[跟踪训练]
2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P＝v4－v3＋15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.
【导学号：31062072】
[解] (1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝－v2＋6 000(0(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，则v＝0(舍去)或v＝80，
当0当800，
∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元)．
利润最大、效率最高问题
[探究问题]
1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？
提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．
2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？
提示：(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[思路探究] (1)根据x＝5时，y＝11求a的值．
(2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)·(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
?
极大值42
?
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
母题探究：(变条件)本例条件换为：
该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋，(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
(1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大，(≈2.65)
[解] (1)由题意：x＝2时y＝800，∴a＋b＝800，
又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500.
∴y＝，
(2)由题意：
f(x)＝y(x－1)＝
，
当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200，
f′(x)＝500(3x－5)(x－3)，
∴由f′(x)＞0，得＜x＜3，
∴f(x)在，(3,4)上递增，在上递减，
∵f＝＋450＜f(4)＝1 800，
∴当x＝4时有最大值，f(4)＝1 800
当4＜x≤12时，
f(x)＝(x－1)＝2 900－100x＋≤2 900－400≈1 840，
当且仅当100x＝，即x＝2≈5.3时取等号，
∴x＝5.3时有最大值1 840，
∵1 800＜1 840，
∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元的值，使店铺所获利润最大．
[规律方法] 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.?
解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0【导学号：31062073】
A．30 B．40
C．50 D．60
B [V′(x)＝－x2＋60x＝－x(x－40)，
因为0＜x＜60，所以当0＜x＜40时，V′(x)>0，
此时V(x)单调递增；
当402．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28 000元 D．23 000元
D [设毛利润为L(p)，由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23 000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．]
3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________. 【导学号：31062074】
[解析] 设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r＞0)，则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r＞0)，求导数，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3.
当0＜r＜3时，S′＜0；当r＞3时，S′＞0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．
[答案] 3
4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．
[解析] 存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0,0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0＜x＜0.048)，由于y′＝0.096kx－3kx2，令y′＝0得x＝0.032或x＝0(舍去)，又当0＜x＜0.032时，y′＞0；当0.032＜x＜0.048时，y′＜0，所以当x＝0.032时，y取得最大值．
[答案] 0.032
5．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[解] 设长方体的宽为x m，则长为2x m，
高为h＝＝(4.5－3x)m(0＜x＜)．
故长方体的体积为
V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3.
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，
因此x＝1.
当0＜x＜1时，V′(x)＞0；
当1＜x＜时，V′(x)＜0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m)3，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3.
1．5 定积分的概念
1．5．1 曲边梯形的面积
1．5．2 汽车行驶的路程
1．5．3 定积分的概念
学习目标：、1.了解定积分的概念(难点).2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点).3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想(难点).4.能用定积分的定义求简单的定积分(重点)．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程
(1)曲边梯形的面积
①曲线梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图1-5-1①所示)．
②求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图1-5-1②所示)．
图① 图②
图1-5-1
③求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限．
(2)求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
2．定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝.其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
思考：f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx与积分变量有关系吗？
[提示]由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.
3．定积分的几何意义与性质
(1)定积分的几何意义
由直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴及一条曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积设为S，则有：
① ② ③
图1-5-2
①在区间[a，b]上，若f(x)≥0，则S＝f(x)dx，如图1-5-2①所示，即f(x)dx＝S.
②在区间[a，b]上，若f(x)≤0，则S＝－f(x)dx，如图1-5-2②所示，即f(x)dx＝－S.
③若在区间[a，c]上，f(x)≥0，在区间[c，b]上，f(x)≤0，则S＝f(x)dx－f(x)dx，如图1-5-2③所示，即(SA，SB表示所在区域的面积)．
(2)定积分的性质
①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)f(x)dx＝f(t)dt.( )
(2)f(x)dx的值一定是一个正数．( )
(3)2xdx<2xdx( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
C [作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．]
3．图1-5-3中阴影部分的面积用定积分表示为( )
图1-5-3
A.2xdx
B.(2x－1)dx
C.(2x＋1)dx
D.(1－2x)dx
B [根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx－1dx＝(2x－1)dx.]
4．已知x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，则(x2＋1)dx＝________.
【导学号：31062080】
[解析] ∵x2dx＝，x2dx＝，1dx＝2，
∴(x2＋1)dx＝x2dx＋x2dx＋1dx
＝＋＋2
＝＋2＝.
[答案]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求曲边梯形的面积
求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积．
图1-5-4
[解] (1)分割
将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[0,1]等分成n个小区间：
，，…，，…，，
简写作(i＝1,2，…，n)．
每个小区间的长度为Δx＝－＝.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.
(2)近似代替
用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，为了计算方便，取ξi为小区间的左端点，用f(ξi)的相反数－f(ξi)＝－为其一边长，以小区间长度Δx＝为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为
ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S的近似值，即
S＝Si≈－(ξi)Δx
＝·
＝－[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝－·n(n－1)(2n－1)＋·
＝－＝－.
(4)取极限
当分割无限变细，即Δx趋向于0时，n趋向于∞，
此时－趋向于S.从而有
S＝ ＝.
所以由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积为.
[规律方法] 求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．
(3)关键：近似代替．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如
1＋2＋3＋…＋n＝，
12＋22＋32＋…＋n2＝，
13＋23＋33＋…＋n3＝2.
[跟踪训练]
1．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积.
【导学号：31062081】
[解] ∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．由
得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间[0,2]n等分，
则Δx＝，
取ξi＝.
(2)近似代替求和
Sn＝ 2·
＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝.
(3)取极限
S＝Sn＝ ＝.
∴所求平面图形的面积为
S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为.
求变速直线运动的路程
已知汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2t(单位：km/h)，求它在1≤t≤2这段时间行驶的路程是多少？
[解] 将时间区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为，
在第i个时间段的路程近似为Δsi＝vΔt＝·，i＝1,2，…，n.
所以sn＝Δsi＝ ·
＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n]
＝－＋·
＝－＋＋3＋，
s＝sn＝
＝，所以这段时间行驶的路程为 km.
[规律方法] ?求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.
[跟踪训练]
2．一物体自200 m高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．(g＝9.8 m/s2)
【导学号：31062082】
[解] 自由落体的下落速度为v(t)＝gt.
将[3,6]等分成n个小区间，每个区间的长度为.
在第i个小区间(i＝1,2，…，n)上，以左端点函数值作为该区间的速度．
所以sn＝v＝ ·＝·＝9g＋·＝9g＋g·.
所以s＝sn＝ ＝9g＋g＝×9.8＝132.3(m)．
故该物体在下落后第3 s至第6 s之间的距离是132.3 m.
利用定积分的性质及
几何意义求定积分
[探究问题]
1．在定积分的几何意义中f(x)≥0，如果f(x)＜0，f(x)dx表示什么？
提示：如果在区间[a，b]上，函数f(x)＜0，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图所示)，
由于Δxi＞0，f(ξi)＜0，
故f(ξi)·Δxi＜0，从而定积分f(x)dx＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，
即f(x)dx＝－S或S＝－f(x)dx.
2．dx的几何意义是什么？
提示：是由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的圆的面积即dx＝π.
3．若f(x)为[－a，a]上的偶函数，则f(x)dx与f(x)dx存在什么关系？若f(x)为[－a，a]上的奇函数，则f(x)dx等于多少？
提示：若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.
说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值．
(1)2dx；
(2)xdx；
(3) dx.
[解] (1)2dx表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以2dx＝2.
① ② ③
(2)xdx表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以xdx＝.
(3) dx表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为，所以dx＝.
母题探究：1.(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求dx.
[解] dx表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的的面积，其值为，
∴dx＝.
2．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求dx.
[解] dx表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的圆的面积，其值为，
∴dx＝.
3．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求 (x＋)dx.
[解] 由定积分的性质得，
(x＋)dx＝ xdx＋dx.
∵y＝x是奇函数，∴xdx＝0.
由例3(3)知dx＝.
∴ (x＋)dx＝.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间中每个小区间的长度为( )
A. B.
C. D.
B [区间长度为2，n等分后每个小区间的长度都是，故选B.]
2．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
A [由定积分的定义可知A正确．]
3．由y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.
【导学号：31062083】
[解析] ∵0＜x＜，
∴sin x＞0.
∴y＝sin x，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为
sin xdx.
[答案] sin xdx
4．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．
[解析] ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
[答案] 55
5．计算： (2－5sin x)dx. 【导学号：31062084】
[解] 由定积分的几何意义得，
2dx＝×2＝2π.
由定积分的几何意义得，sin xdx＝0.
所以 (2－5sin x)dx
＝2dx－5sin xdx＝2π.
1.6 微积分基本定理
学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．微积分基本定理
内容
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．
符号
f(x)dx＝F(x) ＝F(b)－F(a).
思考：满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)唯一吗？
[提示]不唯一，如F1(x)＝x＋1，F2(x)＝x＋5，…等其导数为1，故F(x)不唯一．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下．则
(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图1-6-1①，则f(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图1-6-1②，则f(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形在x轴上方、x轴下方均存在时，如图1-6-1③，则f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则f(x)dx＝0.
图① 图② 图③
图1-6-1
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若f(x)dx＝g(x)dx，则f(x)＝g(x)( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．若a＝(x－2)dx，则被积函数的原函数为( )
A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝x－2＋C
C．f(x)＝x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x
[答案] C
3．cos xdx＝________.
[解析]
[答案] 1
4．如图1-6-2，定积分f(x)dx的值用阴影面积S1，S2，S3表示为f(x)dx＝________.
【导学号：31062090】
图1-6-2
[解析] 根据定积分的几何意义知
f(x)dx＝S1－S2＋S3.
[答案] S1－S2＋S3
[合 作 探 究·攻 重 难]
求简单函数的定积分
求下列定积分．
(1)(2x＋ex)dx；
(2)dx；
(3) 2dx；
(4)(x－3)(x－4)dx.
[解] (1)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex) ＝(1＋e1)－(0＋e0)＝e.
(2)dx
＝(ln x－3sin x)
＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)
＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.
(3)∵2
＝1－2sin cos ＝1－sin x，
＝－(0＋cos 0)＝－1.
(4)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，
∴(x－3)(x－4)dx
＝(x2－7x＋12)dx
＝27－＋36＝.
[规律方法] ?1?当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F?x?.?
?2?由微积分基本定理求定积分的步骤?第一步：求被积函数f?x?的一个原函数F?x?；
第二步：计算函数的增量F?b?－F?a?.
[跟踪训练]
1．计算下列定积分．
(1)dx；
(2) dx；
(3)(1＋)dx. 【导学号：31062091】
[解] (1)dx＝
＝－
＝ln 2＋.
＝－
＝－－8
＝
求分段函数的定积分
计算下列定积分．
(1)f(x)＝求f(x)dx；
(2)|x2－1|dx.
[思路探究] (1)按f(x)的分段标准，分成，，(2,4]三段求定积分，再求和．
(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．
[解] (1) (x－1)dx＝(－cos x)
＝1＋＋(4－0)＝7－.
(2)|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.
[规律方法] 1.本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号，可先求函数f(x)的零点，结合积分区间，分段求解．
2．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．
3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．
[跟踪训练]
2．(1)f(x)＝求f(x)dx.
(2)求|x2－x|dx的值. 【导学号：31062092】
[解] (1)f(x)dx＝(1＋2x)dx＋x2dx
＝(x＋x2)
＝2＋＝.
(2)∵|x2－x|＝
∴|x2－x|dx
＝＋＋＝.
利用定积分求参数
[探究问题]
1．求f(a)＝(2ax2－a2x)dx的表达式．
提示：f(a)＝(2ax2－a2x)dx＝＝a－a2.
2．试求f(a)取得最大时a的值．
提示：f(a)＝a－a2＝－＋
＝－2＋，
∴当a＝时，f(a)的最大值为.
(1)已知t＞0，f(x)＝2x－1，若f(x)dx＝6，则t＝________.
(2)已知2≤(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
[解] (1)f(x)dx＝(2x－1)dx＝t2－t＝6，
解得t＝3或－2，∵t＞0，∴t＝3.
(2)(kx＋1)dx＝＝k＋1.
由2≤k＋1≤4，得≤k≤2.
母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为
f(x)dx＝f，求t.
[解] 由f(x)dx＝(2x－1)dx
＝t2－t，
又f＝t－1，
∴t2－t＝t－1，得t＝1.
2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为f(x)dx＝F(t)，求F(t)的最小值．
[解] F(t)＝f(x)dx＝t2－t
＝2－(t＞0)，
当t＝时，F(t)min＝－.
[规律方法] 利用定积分求参数应注意的问题
利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列值等于1的是( )
【导学号：31062093】
A.xdx B.(x＋1)dx
C.1dx D.dx
C [选项A，因为′＝x，所以xdx＝＝；
选项B，因为′＝x＋1，所以(x＋1)dx＝＝；
选项C，因为x′＝1，所以1dx＝x＝1；
选项D，因为′＝，所以dx＝x＝.]
2．若dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
D [dx＝＝a2＋ln a－1，∴a2－1＝3，且ln a＝ln 2，故a＝2.]
3.dx＝________. 【导学号：31062094】
[解析] dx＝x2dx－xdx
＝－＝－＝
[答案]
4．设函数f(x)＝则f(x)dx＝________.
[解析] f(x)dx＝(x2＋1)dx＋(3－x)dx＝＋＝.
[答案]
5．已知f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(0)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．
[解] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴a＋b＋c＝0.
∵f′(x)＝2ax＋b， ①
∴f′(0)＝b＝2. ②
f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
＝
＝a＋b＋c＝0.③
由①②③得
∴f(x)＝－x2＋2x－.
1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用
1.7.2 定积分在物理中的应用
学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．定积分与平面图形面积的关系
(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：
f(x)的符号
平面图形的面积与定积分的关系
f(x)≥0
S＝f(x)dx
f(x)＜0
S＝－f(x)dx
(2)一般地，如图1-7-1，如果在公共的积分区间[a，b]上有f(x)＞g(x)，那么直线x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝[f(x)－g(x)]dx.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．
图1-7-1
2．变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.
思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？
[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．
3．变力做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数y＝f(x)，x∈[a，b ]与x轴围成的图形的面积S＝f(x)dx.( )
(2)若物体的运动速度v＝5－2t，则其在1≤t≤3内的路程S＝(5－2t)dt.
( )
(3)曲线y＝x3与直线x＋y＝2，y＝0围成的图形面积为x3dx＋(2－x)dx.( )
(4)曲线y＝3－x2与直线y＝－1围成的图形面积为 (4－x2)dx.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于( )
【导学号：31062099】
C [由题意知，由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．
显然S＝2(x－x3)dx.]
3．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s间的运动路程为( )
【导学号：31062100】
A．46 m B．46.5 m
C．87 m D．47 m
B [s＝(3t＋2)dt＝
＝(54＋12)－＝46.5(m)．]
4．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所作的功为________J.
[解析] 由题意可知，力F(x)所作的功
W＝F(x)dx＝(4x－1)dx＝(2x2－x)
＝14 J.
[答案] 14
[合 作 探 究·攻 重 难]
利用定积分求平面图形的面积问题
[探究问题]
观察图形，完成下列探究问题：
图1-7-2
1．图中阴影部分的面积能否用定积分[－(x－4)]dx表示？为什么？
提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x∈[0,8]时，被积函数y＝－(x－4)表示的图形如图所示：
2．若以x为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？
提示：S＝2dx＋[－(x－4)]dx.
3．能否以y为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？
提示：能．可表示为S＝dy.
(1)已知函数y＝x2与y＝kx(k>0)的图象所围成的阴影部分(如图1-7-3所示)的面积为，则k＝________.
图1-7-3
(2)求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成的图形的面积．
[解] (1)由解得 或
故阴影部分的面积为(kx－x2)dx ＝＝k3－k3＝k3＝，解得k＝2.
(2)画出图形，如图所示．
解方程组
及
得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，
所以S＝dx＋(2－x)－dx＝dx＋dx
＝＋
＝＋＋
＝＋6－×9－2＋＝.
母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图1-7-4，已知点A，点P(x0，y0)(x0＞0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等”，则x0＝________.
图1-7-4
[解] 由题意知
即x0＝x，
解得x0＝或x0＝－或x0＝0.
∵x0＞0，∴x0＝.
2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y＝x2在点P(2,4)处的切线与曲线及x轴所围成的图形面积为S”，求S.
[解] ∵y′|x＝2＝4，故曲线在P点处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，故所求面积S＝x2dx＋(x2－4x＋4)dx＝x3＋＝.
3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y2＝x，y＝2－x所围成的图形的面积．”
[解] 由得或
∴阴影部分的面积
S＝ (2－y－y2)dy
＝
＝－＝.
[规律方法]
求曲边梯形面积的一般步骤如下：
求变速直线运动的路程
有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值.
【导学号：31062101】
[解] (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t＞4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P移动的路程
s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝－
＝.
当t＝6时，点P的位移为
(8t－2t2)dt＝＝0.
(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，
解得t＝0或t＝6，
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．
[规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t＝a到时刻t＝b?a＜b?所经过的路程s和位移s′情况如下：?
?1?若v?t?≥0，?
则s＝v?t?dt；s′＝v?t?dt.即s＝s′.?
?2?若v?t?≤0，?
则s＝－v?t?dt；s′＝v?t?dt.即s＝－s′.
?3?若在区间[a，c]上，v?t?≥0，在区间[c，b]上v?t?＜0，则s＝v?t?dt－v?t?dt，s′＝v?t?dt.?所以求路程时要事先求得速度的正负区间.
[跟踪训练]
1．有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车．设汽车以2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？
[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.
v0＝36 km/h＝10 m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t.
令v(t)＝0，解得t＝5.
所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s＝(10－2t)dt＝(10t－t2) ＝25(m)．
故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.
求变力做功
设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
[解] 设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)＝kx(其中常数k为比例系数)．
因为当f(x)＝100时，x＝5，所以k＝20.
所以f(x)＝20x.
弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm，故所做的功
W＝20xdx＝10x2＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．
[规律方法] 求变力做功的方法步骤
(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移．
(2)利用变力做功的公式W＝F(x)dx计算．
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
[跟踪训练]
2．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为( )
A．10 J B．12 J
C．14 J D．16 J
B [W＝2dx＋(2x－2)dx＝2x＋(x2－2x) ＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有( )
S＝[f(x)－g(x)]dx S＝(2－2x＋8)dx
① ②
③ ④
图1-7-5
A．①③ B．②③
C．①④ D．③④
D [①错误，S＝[f(x)－g(x)]dx；
②错误，S＝2dx＋(2－2x＋8)dx；
③④正确．]
2．曲线y＝cos x与坐标轴所围图形的面积是( )
【导学号：31062102】
A．2 B．3
C． D．4
B [S＝
＝sin －sin 0－sin ＋sin ＝1－0＋1＋1＝3.]
3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车( )
A．405 B．540
C．810 D．945
A [停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，
∴s＝v(t)dt＝ (27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2) ＝405.]
4．设a＞0，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.
[解析] 由已知得S＝＝a2，
所以a＝，所以a＝.
[答案]
5．一物体在变力F(x)＝(N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x＝8 m处运动到x＝18 m处，求力F(x)在这一过程中所做的功．
[解] 由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分，从而
W＝F(x)dx＝－36x－1＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－＝(J)．
从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为 J.
第一课 导数及其应用
[核心速填]
1．导数的概念
(1)定义：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ，称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0))处的切线斜率．
2．几个常用函数的导数
(1)若y＝f(x)＝c，则f′(x)＝0.
(2)若y＝f(x)＝x，则f′(x)＝1.
(3)若y＝f(x)＝x2，则f′(x)＝2x.
(4)若y＝f(x)＝，则f′(x)＝－.
(5)若y＝f(x)＝，则f′(x)＝.
3．基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0.
(2)若f(x)＝xα(α∈Q*)，则f′(x)＝αxα－1.
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos_x.
(4)若f(x)＝cos x ，则f′(x)＝－sin_x.
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝axln_a.
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex.
(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝.
(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝.
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝.
5．复合函数的求导法则
(1)复合函数记法：y＝f(g(x))．
(2)中间变量代换：y＝f(u)，u＝g(x)．
(3)逐层求导法则：y′x＝y′u·u′x.
6．函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
(2)函数的极值与导数
①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x＜a时，f′(x)＞0，当x＞a时，f′(x)＜0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；
②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当x＜a时，f′(x)＜0，当x＞a时，f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
7．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值．
8．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．
9．定积分的性质
①kf(x)dx＝kf(x)dx；
②[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋g(x)dx；
③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．
[体系构建]
[题型探究]
导数的几何意义
已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程.
【导学号：31062107】
[解] (1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)法一：设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16.
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16.
整理得，x＝－8，
∴x0＝－2.
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，
则k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1.
解得，x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.
k＝3×(－2)2＋1＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1.
∴或
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
[规律方法] 1.导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′?x0??x－x0?，明确“过点P?x0，y0?的曲线y＝f?x?的切线方程”与“在点P?x0，y0?处的曲线y＝f?x?的切线方程”的异同点.?
2.围绕着切点有三个等量关系：切点?x0，y0?，则k＝f′?x0?，y0＝f?x0?，?x0，y0?满足切线方程，在求解参数问题中经常用到.
[跟踪训练]
1．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b＝________.
[解析] ∵y＝x3＋ax＋1过点(2,3)，
∴a＝－3，∴y′＝3x2－3，
∴k＝y′|x＝2＝3×4－3＝9，
∴b＝y－kx＝3－9×2＝－15.
[答案] －15
函数的单调性与导数
(1)f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有( ) 【导学号：31062108】
A．af(b)＜bf(a) B．bf(a)＜af(b)
C．af(a)＜bf(b) D．bf(b)＜af(a)
(2)设f(x)＝aln x＋，其中a为常数，讨论函数f(x)的单调性．
(1)A [令F(x)＝，则F′(x)＝.
又当x＞0时，xf′(x)－f(x)≤0，∴F′(x)≤0，
∴F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又a＜b，
∴F(a)＞F(b)，
∴＞，
∴bf(a)＞af(b)，故选A.]
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋＝.
当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，
由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，
①当a＝－时，Δ＝0，
f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0，
f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
③当－＜a＜0时，Δ＞0.
设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，
则x1＝，x2＝，
由x1＝＝＞0，
所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－＜a＜0时，
函数f(x)在，
上单调递减，
在上单调递增．
[规律方法] 利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f?x?与其导数f′?x?之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解.?求解参数范围的步骤为：?
?1?对含参数的函数f?x?求导，得到f′?x?；?
?2?若函数f?x?在?a，b?上单调递增，则f′?x?≥0恒成立；若函数f?x?在?a，b?上单调递减，则f′?x?≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；
?3?验证参数范围中取等号时，是否恒有f′?x?＝0.若f′?x?＝0恒成立，则函数f?x?在?a，b?上为常函数，舍去此参数值.
[跟踪训练]
2．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．
[解] 函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．
依题意当x∈(1,4)时，f′(x)＜0，
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)＞0.
故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
因此a的取值范围是[5,7]．
函数的极值、最值与导数
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值．
[解] (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，
得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f′(x)＜0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.
②当2＜t＜3时，当x变化时，f′(x)，
f(x)的变化情况如下表：
x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
f(x)
2
－2
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0，
所以f(x)max＝f(0)＝2.
母题探究：(变结论)在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
[解] 令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
则g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1,2)上，g′(x)＜0；在x∈(2,3]上，g′(x)＞0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
则解得－2＜c≤0.
[规律方法] ??1?求极值时一般需确定f′?x?＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.?
?2?求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.
[跟踪训练]
3．已知a，b为常数且a＞0，f(x)＝x3＋(1－a)x2－3ax＋b.
(1)函数f(x)的极大值为2，求a，b间的关系式；
(2)函数f(x)的极大值为2，且在区间[0,3]上的最小值为－，求a，b的值.
【导学号：31062109】
[解] (1)f′(x)＝3x2＋3(1－a)x－3a＝3(x－a)(x＋1)，
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a，
因为a＞0，所以x1＜x2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，a)
a
(a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以当x＝－1时，f(x)有极大值2，即3a＋2b＝3.
(2)当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0，a)上为减函数，在(a,3]上为增函数，
所以f(a)为最小值，
f(a)＝－a3－a2＋b.
即－a3－a2＋b＝－.
又由b＝，于是有a3＋3a2＋3a－26＝0，
即(a＋1)3＝27，所以a＝2，b＝－.
当a＞3时，由(1)知f(x)在[0,3]上为减函数，即f(3)为最小值，f(3)＝－，
从而求得a＝，不合题意，舍去．
综上，a＝2，b＝－.
生活中的优化问题
某企业拟建造如图1-1所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
图1-1
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．
[解] 由题意可知
＋πr2l＝，∴l＝－.
又圆柱的侧面积为2πrl＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2.
所以y＝×3＋4πr2×4＝＋8πr2.
又l＝－＞0?r＜2，所以定义域为(0,2)．
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
所以令y′＞0，得2＜r＜2；
令y′＜0，得0＜r＜2.
所以当r＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l＝米．
[规律方法] 解决优化问题的步骤
?1?要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.
?2?要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具.
?3?验证数学问题的解是否满足实际意义.
[跟踪训练]
4．现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
[解] (1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函数的定义域为(0,35]，即y＝＋300x(0＜x≤35)．
(2)由(1)知y＝＋300x(0＜x≤35)，所以y′＝－＋300.令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值．又当0＜x≤35时，y′＜0，所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/小时的速度行驶.
函数方程思想
设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求f(x)的极值点；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围.
【导学号：31062110】
[解] (1)f′(x)＝3(x2－2)，令f′(x)＝0，
得x1＝－，x2＝.
当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(－，) 时，f′(x)＜0，
因此x1＝－，x2＝分别为f(x)的极大值点、极小值点．
(2)由(1)的分析可知y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点需5－4＝f()＜a＜f(－)＝5＋4.则方程f(x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围为(5－4，5＋4)．
(3)法一：f(x)≥k(x－1)，
即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，
因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，
所以所求k的取值范围是为(－∞，－3]．
法二：直线y＝k(x－1)过定点(1,0)且f(1)＝0，
曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f′(1)＝－3，
由(2)中草图知要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值范围为(－∞，－3]．
[规律方法] 讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极?最?值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极?最?值列出，然后再借助单调性和极?最?值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解.
[跟踪训练]
5．已知函数f(x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数．
[解] 函数f(x)的定义域为{x|x≠a}．
(1)当x＞a时，ex＞0，x－a＞0，∴f(x)＞0，
即f(x)在(a，＋∞)上无零点．
(2)当x＜a时，f(x)＝，
令g(x)＝ex(x－a)＋1，则g′(x)＝ex(x－a＋1)．
由g′(x)＝0得x＝a－1.
当x＜a－1时，g′(x)＜0；
当x＞a－1时，g′(x)＞0，
∴g(x)在(－∞，a－1)上单调递减，在(a－1，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(a－1)＝1－ea－1.
∴当a＝1时，g(a－1)＝0，∴x＝a－1是f(x)的唯一零点；
当a＜1时，g(a－1)＝1－ea－1＞0，∴f(x)没有零点；
当a＞1时，g(a－1)＝1－ea－1＜0，∴f(x)有两个零点．
