3.5 探索与表达规律课时作业

3.5 探索与表达规律课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
1.学校阶梯教室的第一排有个座位，后面每排都比前一排多2个座位，那么第排的座位数有（ ）个．
A． B． C． D．
2.如图表示的是用火柴棒搭成的一个个图形，第1个图形用了5根火柴，第2个图形用了8根火柴，，照此规律，用288根火柴搭成的图形是（ ）．
A．第80个图形 B．第82个图形 C．第72个图形 D．第95个图形
3.算式结果的末尾数字是（ ）
A． 1 B． 3 C． 5 D． 7
4.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ）
A． 38 B． 52 C． 66 D． 74
5.观察如图图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中的小点一共有（　　）
A． 162个 B． 135个 C． 30个 D． 27个
6.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（ ）
A． 12 B． 14 C． 16 D． 18
7.将全体正奇数排成一个三角形数阵：
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
21 23 25 27 29
…
按照以上排列的规律，第25行第20个数是（　　）
A．639 B．637 C．635 D．633
8.观察下列等式：①1=12；②2+3+4=32；③3+4+5+6+7=52；④4+5+6+7+8+9+10=72；…请根据上述规律判断下列等式正确的是（　　）
A． 1008+1009+…+3025=20162 B． 1009+1010+…+3026=20172
C． 1009+1010+…+3025=20172 D． 1010+1011+…+3029=20192
二 、填空题
9.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，通过观察，用所发现的规律确定215的个位数字是_______.
10.如图①，②，③，④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第8个“广”字中的棋子个数是_____．
11.把正整数1，2，3，4，5，，按如下规律排列：
1
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
……
按此规律，可知第n行有_________个正整数.
12.如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子的数为　 　．
3
a
b
c
﹣1
2
……
13.将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆　 　个．
14.将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　 　．
15.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有　 　个○．
三 、解答题
16.已知平面内任意三个点都不在同一直线上，过其中任两点画直线.
（1）若平面内有三个点，一共可以画几条直线？
（2）若平面内有四个点，一共可以画几条直线？
（3）若平面内有五个点，一共可以画几条直线？
（4）若平面内有n个点，一共可以画几条直线？
17.观察下列单项式：－x，2x2，－3x3，…，－19x19，20x20，…．
(1)你能发现它们的排列规律吗？
(2)根据你发现的规律，写出第101个和第102个单项式；
(3)请写出第n个单项式．
18.按照规律填上所缺的单项式并回答问题：
、、、，________，________；
试写出第个和第个单项式；
试写出第个单项式．
19.观察下列等式：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
第四个等式：
按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：a6=　 　=　 　；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=　 　=　 　；
（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=　 　（得出最简结果）；
（4）计算：a1+a2+…+an．
20.我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.杨辉法则：如图，两侧的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，第三行的三个数1、2、1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1、3、3、1，恰好对应展开式中的系数.
（1）根据上面的规律，写出的展开式；
（2）利用上面的规律计算：.
21.观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别
相加得：．
（1）猜想并写出： = ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
.
.
（3）探究并计算：
答案解析
一 、选择题
1.【考点】探索规律
【分析】根据第1排m个座位，后面每排比第一排多2个座位，可直接求出第2排、第3排、第n排的座位数.
解：根据题意可得：第二排有（m+2）个座位，
第三排有（m+4）个座位，
第四排有（m+6）个座位，
则第n排有[m+2（n－1）]个座位．
【点睛】考查列代数式,得到每排座位数是在m的基础上增加多少个2是解决本题的关键．
2.【考点】探索规律
【分析】分两种情况讨论：n为奇数和n为偶数．n为奇数时，n=1，火柴数是5，n=3，火柴数是5+3+4，n=5，火柴数是5+3+4+3+4，即5+2（3+4），n=7，火柴数是5+3（3+4），n=9，火柴数是5+4（3+4），第n个图形，火柴数是5+（3+4）×，若5+（3+4）×=288，解出的n不是正整数，故n不是奇数．探索n为偶数的规律，n=2，火柴数是5+3，n=4，火柴数是5+3×2+4×1，n=6，火柴数是5+3×3+4×2，n=8，火柴数是5+3×4+4×3，第n个图形，火柴数是5+3×+4×（），若5+3×+4×（）=288，解出n=41，符合题意，所以用288根火柴搭成的图形是41×2=82，故选B．
3.【考点】探索规律
【分析】首先求出3的n次幂末尾数字的规律，然后将末尾数字相加得出答案．
解：∵，
∴的末尾数字是以3、9、7、1这四个数字进行循环，2018÷4=504……2，2016÷4=504，
∴的末尾数字是9，的末尾数字是1，∴的末尾数字为1，故选A．
【点睛】本题主要考查的就是幂的规律的发现，属于中等难度的题型．解答这个问题的关键找出规律，然后根据规律得出答案．
4.【考点】探索规律
【分析】根据前四个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数，据此解答.
解：观察每个正方形里的数字，发现前四个图形的左上角与右下角数的和等于右上角与左下角数的积，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数，所以第四个正方形中左下角是8，右上角是10，则m为74.
故选D．
【点睛】本题考查了数字变化规律，解题的关键是通过观察，分析和归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解题问题.
5.【考点】探索规律
【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律的通项公式，然后代入9求解即可．
解：第1个图形有3=3×1=3个点，
第2个图形有3+6=3×（1+2）=9个点
第3个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；
……
第n个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n）= 个点；
当n=9时，==135，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够找到图形的变化规律，然后求解．
6.【考点】探索规律
【分析】观察第1个、第2个、第3个图案中的三角形个数，从而可得到第n个图案中三角形的个数为2（n+1），由此即可得.
解：∵第1个图案中的三角形个数为：2+2=4=2×（1+1）；
第2个图案中的三角形个数为：2+2+2=6=2×（2+1）；
第3个图案中的三角形个数为：2+2+2+2=8=2×（3+1）；
……
∴第n个图案中有三角形个数为：2（n+1）
∴第7个图案中的三角形个数为：2×（7+1）=16，
故选C.
【点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果是解题的关键.
7.【考点】规律型：数字的变化类
【分析】由三角形数阵，知第n行的前面共有1+2+3+…+（n﹣1）个连续奇数，再由等差数列的前n项和公式化简，再由奇数的特点求出第n行从左向右的第m个数，代入可得答案．
解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，
则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=个，
则第n行（n≥3）从左向右的第m数为为第+m奇数，
即：1+2[+m﹣1]=n2﹣n+2m﹣1
n=25，m=20，这个数为639，
故选：A．
【点评】本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键
8.【考点】探索规律
【分析】根据题目中各个式子的变化规律为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=（2n-1）2，可以判断各个选项中的等式是否成立，从而可以解答本题．
解：由题意可得：1008+1009+…+3022+（3023+3024+3025）=（）2+9072=20152+9072≠20162.故选项A错误．
1009+1010+…+3025+3026=（）2+3026=20172+3026．故选项B错误．
1009+1010+…+3025=（）2=20172．故选项C正确．
1010+1011+…+3029=（）2+3029=20192+3029．故选项D错误．
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现各个式子的变化规律，可以判断各个选项中的等式是否成立．
二 、填空题
9.【考点】探索规律分析:观察发现: 2n的个位数字是2,4,8,6四个一循环,所然后用15÷4，余数是几，个位数就是2,4,8,6中的第几个数..
解: 观察发现: 2n的个位数字是2,4,8,6四个一循环,
∵15÷4=3…3，
∴215的个位数字是8.
故答案为：8.
【点睛】此题考查了数字类的规律探究，主要是发现2n的个位数字循环的规律,根据规律分析计算.
10.【考点】探索规律
【分析】根据图中（1）的棋子个数是2×1+5,图中（2）的棋子个数是2×2+5,图中（3）的棋子个数是2×3+5，得出第n个图中的棋子个数是2n+5,再把n=8代入即可.
解：由题目得，第1个“广”字中的棋子个数是7；
第2个“广”字中的棋子个数是9；
第3个“广”字中的棋子个数是11；
4个“广”字中的棋子个数是13；
…
进一步发现：第n个“广”字中的棋子个数是（2n+5）．
当n=8时，2n+5=21，
故答案为：21
【点睛】此题考查了探索与规律---图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律：第n个图中的棋子个数是（2n+5）.
11.【考点】探索规律
【分析】观察已知排列的数，依次正整数的个数是，1，2，4，8，…，分析得出是规律，根据规律求出第n行的正整数个数．
解：由已知得出每行的正整数的个数是1，2，4，8，…，其规律：
1=21?1，
2=22?1，
4=23?1，
8=24?1，
…，
由此得出第n行的正整数个数为：2n?1.
故答案为：2n?1.
【点睛】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题,同时考查学生分析归纳问题的能力,其关键是从每行的正整数个数1,2,4,8,这列数找出规律解答.
12.【考点】有理数的加法；规律型：数字的变化类
【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是3可得b=2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2018除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．
解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴a+b+c=b+c+（﹣1），3+（﹣1）+b=﹣1+b+c，
∴a=﹣1，c=3，
∴数据从左到右依次为3、﹣1、b、3、﹣1、b，
∵第9个数与第3个数相同，即b=2，
∴每3个数“3、﹣1、2”为一个循环组依次循环，
∵2018÷3=672…2，
∴第2018个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查数字的变化规律以及有理数的加法，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．
13.【考点】规律型：图形的变化类
【分析】先找出规律，确定出第n行圆的个数为2n个，即：第50行为100个，进而求2+4+6+8+…+100即可得出结论．
解：∵第一行有2个圆，
第二行有4个圆，
第三行有6个圆，
…
∴第n行有2n个圆，
∴前50行共有圆：2+4+6+8+…+2×50=2+4+6+8+…+100=2550个，
故答案为：2550
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出每行圆的个数即为行数的2倍．
14.【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，可得第45行第一个数是2025，推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018；
解：观察图表可知：第n行第一个数是n2，
∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018，
故答案为2018．
【点评】本题考查规律型﹣数字问题，解题的关键是学会观察，探究规律，利用规律解决问题．
15.【考点】规律型：图形的变化类
【分析】每个图形的最下面一排都是1，另外三面随着图形的增加，每面的个数也增加，据此可得出规律，则可求得答案．
解：
观察图形可知：
第1个图形共有：1+1×3，
第2个图形共有：1+2×3，
第3个图形共有：1+3×3，
…，
第n个图形共有：1+3n，
∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，
故答案为：6055．
【点评】本题为规律型题目，找出图形的变化规律是解题的关键，注意观察图形的变化．
三 、解答题
16.【考点】探索规律
【分析】根据过两点的直线有1条，过不在同一直线上的三点的直线有3条，过任何三点都不在一条直线上四点的直线有6条，按此规律，即可得到平面内有n个点，可画的直线数.
（1）平面内有三个点，一共可以画2+1=3条直线；
（2）平面内有四个点，一共可以画3+2+1=4×3÷2=6条直线；
（3）平面内有五个点，一共可以画4+3+2+1=5×4÷2=10条直线；
（4）平面内有n个点，一共可以画（n-1）+…+4+3+2+1=条直线．
【点评】本题是探索规律题，熟记：有n个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画条直线．
17.【考点】探索规律
【分析】本题考查了单项式，找出符号，系数，指数和项数之间的规律是解题的关键.
解： 奇数项系数为负，偶数项系数为正，系数的绝对值和字母的指数都等于项数.

.
18.【考点】探索规律
【分析】根据给出的几个式子我们可以发现第n个单项式的系数为：，次数为，然后根据规律进行填空即可得出答案．
解：（1）；
第个单项式为：，第个单项式为：；
个单项式的系数为：，次数为，
故第个单项式为：．
【点睛】本题主要考查的是代数式的规律，属于中等难度的题型．理解系数与n之间的关系是解决这个问题的关键．
19.【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】（1）根据已知4个等式可得；
（2）根据已知等式得出答案；
（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；
（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．
解：（1）由题意知，a6==﹣，
故答案为：，﹣；
（2）an==﹣，
故答案为：，﹣；
（3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
=﹣
=，
故答案为：；
（4）原式=﹣+﹣+…+﹣
=﹣
=．
20.【考点】探索规律
【分析】（1）根据规律可知原式的系数为第六行的六个数：1、5、10、10、5、1， a和b的指数和相加为5，观察即可写出展开式;
（2）将原式化成(a+b)5的形式，即可求解.
解：（1）
（2）
.
【点睛】本题考查的是探究规律，考查的是同学们的观察和归纳的能力，根据已知我们就不难发现塔形杨辉三角的特点：
①每行数字左右对称，且从左到右由1开始逐渐变大，然后变小，再回到1；
②第n行的数字个数为n个；③每个数字等于上一行的左右两个数字之和；
本题即是根据以上规律得到(a+b)5展开式中各项系数分别为1、5、10、10、5、1，从而使问题迎刃而解.
21.【考点】探索规律
【分析】（1）由算式可以看出=；
（2）①②由（1）的规律直接抵消得出答案即可；
（3）每一项提取，利用（1）的规律推得出答案即可．
解：（1）=．?
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①=；
②．
（3）
=×（）
= .
【点睛】此题考查有理数的混合运算以及数字的变化规律，根据数字的特点，拆项计算是解决问题的关键．