新湘教版 数学 八年级上 3.1.2 无理数及用计算器求平方根 教学设计
课题
3.1.2 无理数及用计算器求平方根
单元
第三单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、了解无理数概念；通过动手操作感受无理数的存在、加深理解；
2、会用计算器求算术平方根的近似值、掌握计算的方法、发展数感和估算能力。
3、通过求一个数的算术平方根的近似值，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义。www-2-1
重点
理解无理数的概念.
难点
会判断一个数是否是无理数.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，上节课我们学习了有关平方根的知识，下面请同学们回答：
问题1、什么是平方根？算术平方根？
答案：如果有一个数r，使得r2=a，那么我们把r叫做a的一个平方根,也叫做二次方根.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根.
问题2、非负数a的平方根和算术平方根应如何表示呢？
答案：a的平方根表示为：
a的算术平方根表示为：
问题3、说一说平方根的性质.
答案：（1）正数有两个平方根,它们互为相反数;
（2）0的平方根是0；
（3）负数没有平方根.
4、与的结果是多少呢？
答案：
学生回想上节课所学知识，并根据老师的提问回答问题.
通过回顾平方根的相关知识，为平方根的估算、无理数的定义做好铺垫。
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的操作：
做一做：如图所示，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形.最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？
操作过程：
/
追问1：这个正方形的边长是多少呢？
答案：正方形的面积为8cm2，
由于22=4，32=9，
又4＜8＜9，
且面积较大的正方形的边长也较大，
因此面积为8cm2的正方形的边长不是整数.
追问2：观察下列结果，从数据中，你能猜出面积为8的正方形的边长是多少吗？
2.82=7.84，
2.92=8.41；
2.822=7.9524
2.832=8.0089
2.8282=7.997584
2.8292=8.003241
……
答案：面积为8的正方形，它的边长应该比2.828大，比2.829小，……
/
归纳1：我们把无限不循环小数叫作无理数.
指出：由于正方形的边长的平方等于它的面积，
因此面积为8cm2的正方形的边长可以记作cm.
从上述分析知道，是一个无限不循环小数，即是一个无理数.
想一想：都有哪些数是无理数呢？
归纳2：
（1）开方开不尽的数：如， ，……
（2）含有?的数：，，……
（3）有规律，但不循环的数：（两个1之间依次多一个0），（两个2之间依次多一个0），……
归纳3：无理数可分为正无理数和负无理数
实际上，许多正有理数的算术平方根：
/等等，都是无限不循环小数。
例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
解：有理数：
无理数：
提示：有理数和无理数的区别：
(1)小数区别：有理数包括有限小数和无限循环小数；而无理数是无限不循环小数．
(2)根本区别：有理数能化为分数，而无理数不能化为分数．
练习1：把下列各数分别填入相应的集合内：
解：有理数集合：
无理数集合：
指出：根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个无理数.
例如?=3.14159265…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到?=3.14，?=3.142，…，我们称3.14，3.142是?的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.
3.14，3.142，3.1416，…都是?的近似值，称它们为近似数.
利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.
例2：用计算器求下列各式的值.
提示：求一个正数的算术平方根的按键顺序为：
/
解：（1）依次按键：
/
显示：32
所以：
（2）依次按键：
/
显示：2.828427125
所以：
练习2：面积为6cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器求边长的近似值（精确到0.001cm）？
解：因为正方形的面积是6cm2，
所以它的边长为cm.
用计算器计算：显示2.4494897
所以，
例3 通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 与1.9； (2) 与1.5.
/
比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值
学生认真读题，并与老师一起进行操作，操作后，认真思考并回答教师的提问，然后仔细听老师的讲解.
认真思考并回答老师所提出的问题，然后听老师的讲解..
学生认真审题，并独立完成例题及练习题，然后班内交流，并认真听老师的讲评.
学生认真听老师讲解利用计算器求一个正的算术平方根的方法，然后独立完成例题及练习题，小组交流后认真听老师的讲评.
体会面积是8的正方形形成的过程，了解无理数的概念..
掌握无理数的三种形式及无理数的分类.
加强对无理数概念的理解及应用.
掌握利用计算器求一个正的算术平方根的方法
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1．下面的这些数中，无理数的个数是________.
答案：3个
2．用计算器计算，在计算器上依次输入________________，显示结果为___________，所以＝_________.
答案：，14，14
3.的整数部分为_______，小数部分为_________.
答案：4，
4．估计的值( )
A．在1和2之间 B．在2和3之间
C．在3和4之间 D．在4和5之间
答案：D
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
观察下表：
/
(1)你能发现什么规律？
(2)根据你对上述规律的理解，已知，求的值．
解：(1)被开方数的小数点向右或向左移动两位，算术平方根的小数点相应向右或向左移动一位；
(2)
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1、什么是无理数？无理数有正负性吗？
答案：无限不循环小数叫作无理数.
无理数可分为正无理数和负无理数.
2、如何利用计算器求一个正数a的平方根.
答案：按键顺序为：
/
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第110页习题3.1A组第4、5、6题
能力作业
教材第111页习题3.1B组第9、10题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
/
3.1.2 无理数及用计算器求平方根
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．用计算器求2018的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是( )
A．/ B．/ C．/ D． /
2．实数
2
，3，-π，
22
7
，
10
中，无理数的个数是( )
A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个
3．下列说法正确的是( )
A．无理数包括正无理数，0和负无理数 B．无理数是用根号形式表示的数
C．无理数是开方开不尽的数 D．无理数是无限不循环小数
4．如图1，每个小正方形的边长均为1，按虚线把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分重新拼成如图2所示的正方形，那么所拼成的正方形的边长为（ ）
/
A．
3
B． 2 C．
5
D．
6
5．若
13
的整数部分为a，小数部分为b，则a﹣b的值为（ ）
A． ﹣
13
B． 6-
13
C． 8﹣
13
D．
13
﹣6
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．请写出一个大于-4而小于-3的无理数__________．
7．
5
的整数部分是____________．
8．在实数
5
，0，π，3.1415，﹣3，
4
，2.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）中，无理数有______个．
9．1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根中，无理数的个数有 ______个．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．把下列各数分别填在相应的集合里：
﹣2.4，3，﹣1
1
3
，
22
7
，0.333…，0，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣2|，1.010010001…，﹣
??
2015
正有理数集合{ }
整数集合{ }
负分数集合{ }
无理数集合{ }．
11．已知的整数部分为a，小数部分为b，求代数式a2﹣a﹣b的值.
12．根据如表回答下列问题：
x
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17.0
x2
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289
（1）275.56的平方根是______ ；
（2）
2.8224
= ______ ；
（3）查看上表， <
270
< ．
试题解析
1．C
【解析】解：根据计算器的知识可知答案C，故选C．
2．B
【解析】根据无理数的概念和无理数的特点判断即可.
解：
2
， -π，
10
是无理数.
故选：B.
3．D
【解析】无限不循环小数叫无理数，故D对．0不是无理数，故A错．无理数不一定用根号表示，如π，故B错．开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数，如π2，故C错．
4．C
【解析】由图1可知阴影部分的面积是5，则图2所示的正方形的面积也是5，根据正方形的面积公式即可求出所拼成的正方形的边长．
解：由图1可知阴影部分的面积是5，即图2所示的正方形的面积也是5，
∴所拼成的正方形的边长=
5
．
故选C．
5．B
【解析】先估算出
13
的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可．
解：∵3＜
13
＜4，∴a=3，b=
13
﹣3，∴a﹣b=3﹣（
13
﹣3）
=6﹣
13
．
故选B．
6．?
15
【解析】根据无理数的定义结合题意可以写出一个符合题意的无理数.
解：?
15
大于-4而小于-3的无理数.
7．2
【解析】看
5
在哪两个整数之间即可得到它的整数部分．
解：∵
4
＜
5
＜
9
即2＜
5
＜3，
∴无理数
5
的整数部分是2．
故答案为：2.
8．3
【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：无理数有：
5
，π，2.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共有3个．
故答案为：3．
9．90
【解析】凡是平方等于1，2，3…，100中某一个数的数的算术平方根都是有理数，而其他数的算术平方根都是无理数，算术平方根是有理数的数是1,4,9,16,25,36,49,64,81,100.所以算术平方根是无理数的有90个.
故答案为：90.
10．详见解析.
【解析】根据正有理数、整数、负分数、无理数的概念区分之间的区别，从而得出答案.
解：（1）正有理数集合{3， / ，0.333…，﹣（﹣2.28），3.14，1.010010001…， }
（2）整数集合{ 3，0，-2 }
（3）负分数集合{ ﹣2.4，﹣1/， }
（4）无理数集合{ 1.010010001…，﹣/ }．
/
/
课件28张PPT。无理数及用计算器求平方根数学湘教版 八年级上新知导入1、什么是平方根？算术平方根？ 如果有一个数r，使得r 2=a，那么我们把r叫做a的一个平方根,也叫做二次方根.我们把正数a的正平方根叫作a的算术平方根.2、非负数a的平方根和算术平方根应如何表示呢？a的平方根表示为：a的算术平方根表示为：新知导入3、说一说平方根的性质.（1）正数有两个平方根,它们互为相反数;
（2） 0的平方根是0；
（3）负数没有平方根.4、 与 的结果是多少呢？新知讲解 做一做：如图所示，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形.最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？沿虚线对折新知讲解 做一做：如图所示，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形.最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？再沿虚线对折新知讲解 做一做：如图所示，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形.最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？展开铺平新知讲解 做一做：如图所示，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形.最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？剪开拼图新知讲解 做一做：如图所示，将一个长为4cm，宽为2cm的长方形纸片剪拼成一个正方形.最后得到的这个正方形的面积是多少呢？它的边长是整数吗？正方形的面积为8cm2，
由于22=4，32=9，又4＜8＜9，
且面积较大的正方形的边长也较大，
因此面积为8cm2的正方形的边长不是整数. 这个正方形的边长是多少呢？新知讲解观察下列结果，2.82=7.84，
2.92=8.41；
2.822=7.9524
2.832=8.0089
2.8282=7.997584
2.8292=8.003241
…… 从数据中，你能猜出面积为8的正方形的边长是多少吗？ 面积为8的正方形，它的边长应该比2.828大，比2.829小，……2.82=7.84，
2.92=8.41；
2.822=7.9524
2.832=8.0089
2.8282=7.997584
2.8292=8.003241
……估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间新知讲解 由此猜想，面积为8cm2的正方形，它的边长是一个小数点后面的位数可以不断增加的小数. 事实上，我们可以说明这个边长不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数. 我们把无限不循环小数叫作无理数.新知讲解由于正方形的边长的平方等于它的面积，
因此面积为8cm2的正方形的边长可以记作 cm.从上述分析知道， 是一个无限不循环小数，
即 是一个无理数.新知讲解想一想：都有哪些数是无理数呢？（两个1之间依次多一个0）（两个2之间依次多一个0）正无理数负无理数开方
开不尽的数有规律
但不循环的数含有 p 的数 新知讲解实际上，许多正有理数的算术平方根：等等，都是无限不循环小数。新知讲解 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？解：有理数：
无理数：有理数和无理数的区别：
(1)小数区别：有理数包括有限小数和无限循环小数；而无理数是无限不循环小数．
(2)根本区别：有理数能化为分数，而无理数不能化为分数．新知讲解练习1：把下列各数分别填入相应的集合内： 有理数集合 无理数集合新知讲解 根据实际需要，我们往往用一个有限小数来近似地表示一个无理数. 例如p= 3.14159265…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到p= 3.14， p= 3.142， …，我们称3.14，3.142是p 的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值. 3.14，3.142，3.141 6，…都是p的近似值，称它们为近似数. 利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值.新知讲解a=按键顺序：新知讲解例2：用计算器求下列各式的值.解：（1）依次按键：显示：32所以：（2）依次按键：显示：2.828 427 125所以： 练习2：面积为6cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器求边长的近似值（精确到0.001cm）？解：因为正方形的面积是6cm2，
所以它的边长为 cm.
用计算器计算 ：显示2.4494897
所以，新知讲解新知讲解例3 通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 与1.9； (2) 与1.5.解：(1)因为5>4，所以 >2，所以 >1.9.(2)因为6>4，所以 > 2，所以 > =1.5. 比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值课堂练习1．下面的这些数中，无理数的个数是________.3个 2．用计算器计算 ，在计算器上依次输入________________，显示结果为___________，所以 ＝_________.14 14 课堂练习4 的整数部分为_______，小数部分为_________.
4．估计 的值( )
A．在1和2之间 B．在2和3之间
C．在3和4之间 D．在4和5之间D 拓展提高观察下表：
(1)你能发现什么规律？
(2)根据你对上述规律的理解，已知 ，求 的值． 解：(1)被开方数的小数点向右或向左移动两位，算术平方根的小数点相应向右或向左移动一位；
(2)课堂总结1、什么是无理数？无理数有正负性吗？2、如何利用计算器求一个正数a 的平方根.无限不循环小数叫作无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.按键顺序为：板书设计
课题：3.1.2 无理数及用计算器求平方根?
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1、无理数
2、利用计算器求一个正数a的平方根基础作业
教材第110页习题3.1A 组第4、5、6题
能力作业
教材第111页习题3.1B 组第9、10题作业布置
