用公式法求解一元二次方程
学习目标：理解掌握求根公式的推导过程，并能利用求根公式解一元二次方程.
学习过程一、自研自探 (一)、温故知新
用配方法解下列方程：⑴、x2－2x－18＝0 ； ⑵、4x2+4=8x
（二）、探究新知 请你先阅读课本P41页至P43页，然后完成以下问题：
知识点一:研读课本 p41页的探究内容，理解求根公式的推导过程
尝试用配方法解方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)。
解：方程两边都除以a，得 。
移项，得： 。
配方，得： 。即：（x＋）2＝
∵a≠0，所以4a2>0
当b2－4ac≥0时，得
x＋＝ 。 ∴x＝ 。
即对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，
它的根是x＝ 。
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式
【探究二】请思考在【知识点一】中，当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根吗？并说出理由。
结论：一般地，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况有：
当b2－4ac≥0时，它的根是x＝
即 ， 。
(2)当b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。
其中 在解形如ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的一元二次方程时， b- 4ac叫做一元二次方程ax2 + bx + c = 0根的判别式，并用符号“”来表示。
二、互动合作 小组成员之间交换导学案，看看同学的结论(答案)与你的有什么不同。把你的修改意见在导学案上直接写(标注)下来。
【内容一】 1、用公式法解下列各方程：
⑴ ⑵. 5x2+2x－1=0
⑶x2+6x+9=7 (4)
2、关于x的一元二次方程x2-mx+（m-2）=0的根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定
【内容二】1、方程3x2－8=7x化为一般形式是 ，a= ，b= ，c= ,方程的根x1= ，x2= 。
2、方程x2+3x=14的解是 ( )
A.x= B.x= C.x= D.x=
3、解下列各方程：
(1) ； (2 ) ； (3) 。
三、展示提升 请组长组织，全组同学完成互动合作，并在白板上展示出来。
四、课堂小结(你学到了什么?)
1、任何一个有解的一元二次方程都能用公式法求解。
2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为 ，确定 的值，当 时，把a,b,c的值代入公式，x= 求得方程的解.x1= ,x2= 。
五、巩固训练
1、已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断
2、已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．
3、若在实数范围内定义一种运算“﹡”，使a﹡b＝－ab，则方程﹡5＝0的解为________．
4、用公式法解下列方程：
(1)2x2＝9x－8； (2)2y(y－1)＋3＝(y＋1)2.
5、已知关于x的一元二次方程mx2－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m＞0)．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值．
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1＜x2)．若y是关于m的函数，且y＝7x1－mx2，求这个函数的表达式；并求当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤3m.
用公式法求解一元二次方程
学习目标：会列一元二次方程解决实际面积问题
学习过程一、自研自探 (一)、温故知新
用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)3x+7x+2=0 (2)5x(x-3)=21-7x
、探究新知 请你先阅读课本P44页至P45页，然后探究以下问题：
知识点一:根据小明的设计方案，在下面试列出一元二次方程，并解答这个方程。
你认为小明的答案正确吗? 说明理由。
知识点二:根据小亮的设计方案，在下面空白处试列出一元二次方程，并解答这个方程.
知识点三：试思考课本p44页中除小明、小亮的设计方案外还有其它设计方案吗?若有，请写出你的设计方案，并画出图形。
二、互动合作 小组成员之间交换导学案，看看同学的结论(答案)与你的有什么不同。把你的修改意见在导学案上直接写(标注)下来。
【内容一】 1、如图，有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？
【内容二】2、如图4，一长为32 m、宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540 m2，求道路的宽．
三、展示提升 请组长组织，全组同学完成互动合作，并在白板上展示出来。
四、课堂小结(你学到了什么?)
列方程解应用题的三个重要环节：1、整体地，系统地审清问题；
2、把握问题中的等量关系； 3、正确求解方程并检验解的合理性。
五、巩固训练 1、一个矩形的面积是48平方厘米，它的长比宽多8厘米，则矩形的宽x（厘米），应满足方程 .
2、用10米长的铁丝围成面积是3平方米的矩形，则其长和宽分别是( )
A.3米和1米 B.2米和1.5米 C.（5+）米和（5－）米 D.
3、用公式法解方程－x2＋3x＝1时，需先确定a，b，c的值，则a，b，c的值依次为( )
A．－1，3，－1 B．1，3，－1 C．－1，－3，－1 D．－1，3，1
4、用公式法解方程x2＋5x－5＝0，下列代入公式正确的是( )
A．x1，2＝ B．x1，2＝
C．x1，2＝ D．x1，2＝
5、一元二次方程x2－2x＝0的根的判别式的值为( )
A．4 B．2 C．0 D．－4
6、若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
7、有一张长40厘米、宽30厘米的桌面，桌面正中间铺有一块垫布，垫布的面积是桌面的面积的，而桌面四边露出部分宽度相同，求这个宽度.
8、如图，某公司计划用32 m长的材料沿墙建造长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16 m，设长方形的宽AB为x m.
(1)用含x的代数式表示长方形的长BC.
(2)能否建造成面积为120 m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．
(3)能否建造成面积为160 m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．
9、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2 cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q两点同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8 cm2?
(2)点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC面积的 ？若存在，求出运动的时间；若不存在，请说明理由．
课件15张PPT。第二章 一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程学习目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.会用公式法解一元二次方程.（重点）
3.会用根的判别式b2- 4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．（难点）问题：说一说用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？基本步骤如下：
①将二次项系数化为1.
②将常数项移到方程的右边，是左边只有二次项和一次项.
③两边都加上一次项系数一半的平方.
④直接用开平方法求出它的解.新课引入做一做：你能用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) 吗?解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 .
配方，得 x2 + x +（ ）2 -（ ）2 - = 0,
移项，得 （x + ）2 = 问题1：接下来能用直接开平方解吗？新课讲解一元二次方程求根公式的推导过程问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？（x + ）2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 .
当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根).
当 b2– 4ac ≥ 0 时,左右两边都是非负数.可以开方,得
x + =
x =新课讲解 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法.对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) , 当 b2- 4ac ≥ 0时， 归纳：这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解.新课讲解 解方程：
（2）5x2 +2x –1 = 0；
解：这里 a =5 , b =2 , c = -1.
∵ b2 - 4ac = (2)2 - 4×5×（-1 ）=24 >0,
即 x1 = x2 = .内容一（2）4x2 + 1 = 4x.
解：将原方程化为一般形式,得
4x2 -4x + 1 = 0 .
这里a = 4 , b = -4, c = 1.
∵ b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4×4×1 = 0 ,
∴
即 x1 = x2 =新课讲解 解方程：x2-2x+3=0.因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.解：这里a = 1, b = -2, c = 3.
∵ b2 - 4ac = ( -2)2 - 4×1×3 = -8 ,
新课讲解★公式法解方程的步骤 1.变形： 化已知方程为一般形式；
2.确定系数：用a、b、c写出各项系数；
3.计算： b2-4ac的值；
要点归纳问题：对于一元二次方程ax2 + bx +c = 0(a≠0),如何来判断根的情况？对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
我们把 b2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0), 的根的判别式，用符号“Δ”来表示.新课讲解用判别式判断一元二次方程的根 练一练： 不解方程判别下列方程的根的情况.
(1)x2 - 6x + 1 = 0; (2)2x2 – x + 2 = 0;
(3)9x2 + 12x + 4 = 0.解：(1) Δ = (-6 )2 – 4×1×1= 32 > 0 ,
∴有两个不相等的实数根.
(2) Δ = (-1 )2 – 4×2×2= -15 < 0 ,
∴无实数根.
(3) Δ = ( 12 )2 – 4×9×4= = 0,
∴有两个相等的实数根.新课讲解3. 判别根的情况，得出结论.1. 化为一般式，确定a、b、c的值.★根的判别式使用方法2. 计算Δ的值，确定Δ的符号.要点归纳公式法求根公式步骤一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）根的判别式b2-4ac务必将方程化为一般形式课堂总结课件13张PPT。第二章 一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第2课时 利用一元二次方程解决面积问题1.能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.（重点、难点）
2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.（难点）学习目标问题：在一块长16 m,宽12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,并 使花园所占面积为荒地面积的一半.想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？新课讲解利用一元二次方程解决面积问题解：设小路的宽为 x m, 根据题意，得
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解得 x1 = 2 , x2 = 12.
将x =12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为2 m.小明设计：
如图所示，其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程,
得到小路的宽为2 m或12 m.问题：你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？xx新课讲解解：设扇形半径为 x m. 根据题意，得
即 πx2 = 96.
解方程得 x1 = , x2 = (舍去),
答：扇形半径约为5.5 m.小亮设计：
如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？新课讲解 小颖设计：
如图所示，其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？解：设小路的宽为 x m. 根据题意，得
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解得 x1 = 4 , x2 = 24,
将x =24 代入方程中不符合题意，舍去.
答：小路的宽为4 m.新课讲解（内容一）如图，有一面积为150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少米？新课讲解（内容二）如图，一长为32 m、宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540 m2，求道路的宽．新课讲解 （1）主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
（2）与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程.方法归纳8、如图，某公司计划用32 m长的材料沿墙建造长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16 m，设长方形的宽AB为x m.
(1)用含x的代数式表示长方形的长BC.
(2)能否建造成面积为120 m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．
(3)能否建造成面积为160 m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．随堂即练9、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿边CB向点B以2 cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q两点同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8 cm2?
(2)点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形APQB的面积等于△ABC面积的随堂即练利用一元二次方程解决面积问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类 型花坛面积问题相框宽度问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程课堂总结
