认识一元二次方程
学习目标
了解一元二次方程的概念及其相关概念；2、会判别一元二次方程及能根据条件列出一元二次方程，并能把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式。
学习过程一、自研自探 (一)、温故知新
1、下列方程中是一元一次方程的有: (填序号即可)
（1）、x+5=0； (2)、 10y+3=8； (3)、6x－=1 ； (4)x-7=3x；
(5)； (6)x-6y=9； (7) 2x2+2x+1=0 。
2、某村有一块200 m2的长方形空地，已知宽为8 m,设长为x m,求x。
3、解方程： (1)、(x+1)-2(x-1)=1-3x ； (2)、=y+1 。
（二）、探究新知 知识点一:请认真观察课本 p31页至 p32页，探索一元二次方程的概念。
1、幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m。现准备地面的正中间铺设一块面积为18 m2
的地毯如图所示，四周未铺地毯的宽度都相同，试这个宽度是多少？
如果设所求的宽度为xm，那么地毯中央长方形图案的长 8
为 m，宽为 m。则根据题意， 5
可得方程 。
2、试找出五个连续整数，使其前三个数的平方和等于后两个数的平方和.
解：设这五个连续整数中的第一个数为x，则其它四个数依次为 ，
则根据题意，可列方程为： .
3、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少m？
由构股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m,如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m。
则根据题意，可得方程 。
10
8
【尝试练习】 知识点二:
4、请观察由上面所得到的三个方程：
（8－2x）(5－2x)=18 ，(x＋6) 2＋72=10 2 x2＋(x＋1) 2＋(x＋2) 2=(x＋3) 2＋(x＋4) 2
有什么共同特点？
上面的方程都是只 ，并且都可以化为ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)的形式，这样的方程叫做 。
5、一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，且a不等于0)
其中一元二次方程ax2＋bx＋c=0中的二次项是 ，一次项是 ，常数项为 ，二次项系数为 ， 一次项系数为 。
二、互动合作 小组成员之间交换导学案，看看同学的结论(答案)与你的有什么不同。把你的修改意见在导学案上直接写(标注)下来。
【内容一】 1、下列方程中，属于是一元二次方程的有: （填序号）
(1)、2x2+7=0； （2）、x2++4=0； (3)、2x2+2x+1=0 ；(4)、2x2+3x=0。
【内容二】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
三、展示提升 请组长组织，全组同学完成互动合作，并在白板上展示出来.
四、课堂小结(你学到了什么?) 把下列重点内容理解并记忆下来。
1、只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
2、关于x的一元二次方程的一般形式为：ax2＋bx＋c=0(a,b,c为常数，a不等于0)，其中一元二次方程的二次项、一次项、常数项分别为：ax2、bx、c 。
二次项系数为：a 一次项系数为：b
五、巩固训练 一、基础题
1、下列方程中，不是一元二次方程的是( )
A.2x2+7=0 B.2x2+2x+1=0 C.5x2++4=0 D.3x2+ (1+x) +1=0
2、方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )
A.x2－5x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x2+5x－5=0 D.x2+5=0
3、一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是( )
A.7x2,2x,0 B.7x2,－2x，无常数项 C.7x2,0,2x D.7x2,－2x,0
4、方程x2－=(－)x化为一般形式，它的各项系数之和可能是( )
A. B.－ C. D.
5、方程x(2x－1)=5(x+3)的一般形式是 ，其中一次项系数是 ，二次项系数是 ，常数项是
6、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则( )
A.a+b+c=1 B.a－b+c=0 C.a+b+c=0 D.a－b－c=0
7、、关于x的方程(m－4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m 时，
是一元二次方程，当m 时，是一元一次方程。
8、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米? （只列方程，不求解）
认识一元二次方程
学习目标 1、探索一元二次方程的解或近似解
学习过程一、自研自探 (一)、温故知新
(一)、判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）
1.5x2+1=0 ( ) 2.3x2++1=0 ( ) 3.4x2=ax(其中a为常数) ( )
4.2x2+3x=0 ( ) 5. =2x ( ) 6.｜x2+2x｜=4 ( )
(二)、指出下列一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
（1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (3)―x2=0
、探究新知
知识点一:请认真研读课本 p33页中的探索内容，了解求一元二次方程的解的方法.
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2，那么花边有多宽?估算地毯花边的宽
地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18。
也就是：2x2―13x+11=0中的x你能求出吗？
（1）x可能小于0吗？
（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
(8―2x)(5―2x)
（3）完成下表
（4）求地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？
二、互动合作 小组成员之间交换导学案，看看同学的结论(答案)与你的有什么不同。把你的修改意见在导学案上直接写(标注)下来。
【内容一】 研读课本p33页中的“做一做”。
梯子底端滑动的距离x(m)满足方程： (x+6)2+72=102 即x2+12x―15=0
⑴、小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗?为什么?
⑵、底端滑动的距离可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?
⑶、你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?
⑷、x的整数部分是几?十分位是几?
【内容二】求方程x2 +2x-9=0的近似解。
三、展示提升 请组长组织，全组同学完成互动合作，并在白板上展示出来.
四、课堂小结(你学到了什么?)
把下列重点内容理解并记忆下来。
本节课主要学习了求一元二次方程的解或近似解的方法是列表取值“取值法。
五、巩固训练 一、基础题
1把化为一般形式后是 ，其中方程中的a= ， b= ，c=
2、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）。
A、 B、 C、 D、
3、方程，化为一般形式为 ，其中二次项系数和一次项系数的和为 .
4、把一元二次方程：化成一般形式是 .
5、把方程整理为一般式后，它的二次项系数是 ，一次项系数是 .
6、下列叙述正确的是（ ）
A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程B.方程4x2+3x=6不含有常数项
C.(2－x)2=0是一元二次方程
D.一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0
7、方程(4－x)2=6x－5的一般形式为 ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .
8、如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对
9、关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
10、如果(a+2)x2+4x+3=0是关于x的一元二次方程，那么a所满足的条件为 .
11、若方程mx2+3x-4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
12、己知m是关于x的方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，则2（m2﹣2m）= ．
13、若a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根，则a3﹣3a2﹣2013a+1= ．
14关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
15、设a是方程x2﹣2006x+1=0的一个根，求代数式a2﹣2007a+的值．
课件16张PPT。第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时 一元二次方程1.了解一元二次方程的概念.（重点）
2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a、 b、c为常,a≠
0）.（重点）
3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型.（难点） 学习目标没有未知数代数式一元一次方程二元一次方程不等式分式方程复习引入2.什么叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.新课引入问题1：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m,宽为5 m,现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2 的地毯（如图） ,四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同,你能求出这个宽度吗？解：如果设所求的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m.根据题意,可得方程：(8 - 2x)(5 - 2x)xx(8 – 2x)xx(5 – 2x)( 8 - 2x)（ 5 - 2x）= 18.
化简：2x2 - 13x + 11 = 0 .①该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？新课讲解一元二次方程的相关概念问题2：观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 , , , .
根据题意，可得方程： x+1x+2x+3x+4x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2.
化简，得 x2 - 8x - 20＝0. ②该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？新课讲解解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙 m.如果设梯子底端滑动 x m ,那么滑动后梯子底端距墙 m .
根据题意，可得方程：问题3：如图，一个长为 10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m,那么梯子的底端滑动多少米？6x+672 + (x + 6)2 = 102.
化简，得 x2 + 12 x - 15 = 0. ③10m8m1mxm该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？新课讲解观察与思考：
① 2x2 - 13x + 11 = 0 ；② x2 - 8x - 20＝0；③ x2 + 12 x - 15 = 0.1.只含有一个未知数;
2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程． 方程①、 ②、 ③都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点:新课讲解 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0
(a、b、c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.ax2+bx +c = 0(a 、 b 、 c为常数, a≠0)ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.★一元二次方程的概念 ★一元二次方程的一般形式是知识要点想一想： 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？当 a = 0 时bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b 、 c 可以为任意实数.新课讲解1.关于x的方程(k - 3) x2 +2x - 1=0,当k 时,是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2 - 1) x2 +2 (k - 1) x + 2k + 2 = 0,当k 时,是一元二次方程.当k 时,是一元一次方程．≠3≠±1=-1新课讲解练一练：C不是整式方程含两个未知数化简整理成
x2-3x+2=0少了限制条件
a≠0提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.新课讲解例12.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：3x2 - 5x + 1 = 0x2 + x - 8 = 03-5 111-87x2 - 4 = 070 -4随堂即练8、如图，在宽为20m，长为32m的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米? （只列方程，不求解）随堂即练一元二次方程 只含有一个未知数x的整式方程，并且
都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数,
a≠0)的形式概念 ax2+bx+c=0(a 、 b 、 c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项,a 称为二次项系数;
bx 称为一次项,b 称为一次项系数;
c 称为常数项一般式课堂总结课件14张PPT。第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程第2课时 一元二次方程的解及其估算1.理解方程的解的概念.
2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点)
3.会估算一元二次方程的解.（难点）学习目标一元二次方程有哪些特点？一元二次方程的一般形式是什么？一元二次方程的特点：
① 只含有一个未知数;
②未知数的最高次数是2; ③是整式方程．
一元二次方程的一般形式：
ax2 +bx + c = 0(a 、 b、 c为常数, a≠0)新课引入一元二次方程的根的概念：使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解?
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4解：3和-2是方程 x2 – x – 6 = 0 的解.你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.新课讲解一元二次方程的根练一练： 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+
2018的值. 解：由题意，得方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．新课讲解例1 在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程2x2 - 13x + 11 = 0，你能求出这个宽度吗？新课讲解一元二次方程解的估算例2 对于方程2x2 - 13x + 11 = 0.
（1）x可能小于0吗?说说你的理由．
（2）x可能大于4吗?可能大于2.5吗?说说你的理由.
（3）完成下表：
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．1150-4-7新课讲解 在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程 x2 +12 x - 15 = 0.10m8m1mxm你能猜出滑动距离x的大致范围吗？新课讲解例3下面是小亮的求解过程：可知x取值的大致范围是1①在未知数x的取值范围内排除一部分取值;
②根据题意所列的具体情况再次进行排除;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. ★规律方法： 上述求解是利用了“两边夹”的思想.归纳总结直接开平方法求解一元二次方程（3）x2 + 2x + 1 = 5； （4）(x + 6)2 + 72 = 102 . 解：（3） x2 + 2x + 1 = 5,
（x + 1）2 = 5 ,
x1= , x2 =
（4）(x + 6)2 + 72 = 102 ,
(x + 6)2 = 102 - 72,
(x + 6)2 = 51,
x1= , x2 =新课讲解解一元二次方程
（“两边夹”方法）确定其解的大致范围列表、计算进行两边“夹逼”……求得近似解课堂总结
