26.3 第3课时 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
一、选择题
1．2018·襄阳已知二次函数y＝x2－x＋m－1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )
A．m≤5 B．m≥2
C．m＜5 D．m＞2
2．下表是二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 …
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
3．2017·徐州若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b<1且b≠0 B．b>1
C．04．已知二次函数y＝ax2＋2ax－3的部分图象如图K－11－1，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋2ax－3＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝( )
图K－11－1
A．－1.3 B．－2.3
C．－0.3 D．－3.3
5．已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象如图K－11－2所示，若y1
图K－11－2
A．－2或x<－
C．－2
二、填空题
6．抛物线y＝x2－1与直线y＝2x的交点横坐标就是方程________________的解．
7．若关于x的函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为________．
8．如图K－11－3，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的解是____________．
图K－11－3
9．已知y＝x2＋mx－6，当1≤m≤3时，y＜0恒成立，那么实数x的取值范围是__________．
10．2017·武汉已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是________．
三、解答题
11．利用函数图象求方程组的解．
12．2018·黄冈已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
(2)设直线l与该抛物线的两个交点为A，B，O为坐标原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．
13．如图K－11－4，已知二次函数的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
图K－11－4
14．如图K－11－5，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．
图K－11－5
1．[解析] A ∵二次函数的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×≥0，解得m≤5.故选A.
2．[解析] C 观察表格得，方程x2＋3x－5＝0的一个近似根为1.2.
3．[解析] A 令x＝0，得抛物线与y轴的交点坐标是(0，b)；令y＝0，则x2－2x＋b＝0，由题意得b≠0且b2－4ac＞0，即4－4b＞0，解得b＜1且b≠0.
4．[解析] D 由二次函数y＝ax2＋2ax－3，得其图象的对称轴是直线x＝－1.
∵点(x1，0)与(x2，0)关于对称轴对称，结合图象可得1.3－(－1)＝－1－x2，
解得x2＝－3.3.
5．[答案] C
6．[答案] x2－2x－1＝0
7．[答案] 0或－1
[解析] 当k≠0时，b2－4ac＝4＋4k＝0，可求出k＝－1；当k＝0时，也成立．
[点评] 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点；当b2－4ac＝0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点；当b2－4ac＜0时，二次函数的图象与x轴没有交点．其实二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数．
8．[答案] x1＝0，x2＝2
9．[答案] －3＜x＜
[解析] 当∵1≤m≤3时，y＜0，
∴当m＝3时，x2＋3x－6＜0，
由y＝x2＋3x－6＜0，
得＜x＜；
当m＝1时，x2＋x－6＜0，
由y＝x2＋x－6＜0，得－3＜x＜2.
∴实数x的取值范围为－3＜x＜.
10．[答案] ＜a＜或－3＜a＜－2
[解析] 由题意，得a≠0.y＝ax2＋(a2－1)x－a＝(ax－1)(x ＋a), 当 y＝0 时，ax2＋(a2－1)x－a＝0，解得x1＝，x2＝－a，∴抛物线与 x 轴的交点坐标为(，0)和(－a，0)．∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(m，0) 且 2＜m＜3，∴当 a＞0 时，2＜＜3，解得＜a＜；当 a＜0 时，2＜－a＜3，解得－3＜a＜－2.
11．[解析] 在同一平面直角坐标系内分别画出一次函数y＝－2x＋6和二次函数y＝x2－x的图象，其交点的坐标即为方程组的解．
解：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝－2x＋6和y＝x2－x的图象，如图．设两个图象的交点是A，B，由图象可知A，B两点的坐标分别是(－3，12)和(2，2)，
所以方程组的解为
[点评] 利用函数图象解方程及方程组是解方程及方程组的一种方法，在利用这种方法求方程及方程组的解时，图象应画得准确一些，使求得的解更准确．
12．[解析] (1)根据一元二次方程和二次函数的关系可知，联立表达式后，如果Δ＞0，那么直线与抛物线总有两个交点；(2)先求出直线l与抛物线的交点坐标，然后将△OAB分割成两个三角形，通过坐标求出两个三角形的底和高，利用三角形面积公式进行计算．
解：(1)证明：联立两个函数表达式，得
即x2－(4＋k)x－1＝0，其中Δ＝(4＋k)2＋4＞0，所以一元二次方程x2－(4＋k)x－1＝0有两个不相等的实数根，即直线l与抛物线总有两个交点．
(2)因为k＝－2，
所以直线l的表达式为y＝－2x＋1.
联立直线l与抛物线的表达式，得
解得
设点A在点B的左侧，直线l与y轴的交点为C，连结OA，OB，如图．
在一次函数y＝－2x＋1中，令x＝0，得y＝1，所以C(0，1)，即OC＝1，
所以S△ABO＝S△AOC＋S△BOC＝OC·|xA|＋OC·|xB|＝OC·|xA－xB|＝×1×2 ＝.
13．解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.
∵二次函数的图象过A(2，0)，B(0，－1)，C(4，5)三点，
∴
解得
∴二次函数的表达式为y＝x2－x－1.
(2)当y＝0时，得x2－x－1＝0，
解得x1＝2，x2＝－1，
∴点D的坐标为(－1，0)．
(3)经过D(－1，0)，C(4，5)两点的直线就是直线y＝x＋1.
由图象得，当－1
14．解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3，
∴点C的坐标为(0，3)．
∵抛物线的对称轴为直线x＝－2，点B，C关于对称轴对称，
∴点B的坐标为(－4，3)．
∵直线y＝kx＋b经过点A，B，
∴解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－1.
(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x≤－4或x≥－1.
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26.3 第1课时 物体的运动轨迹等问题
一、选择题
1．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s＝gt2(g为常数)，则s关于t的函数图象大致是图K－9－1中的( )
图K－9－1
2．一名学生投实心球，以他的脚为原点建立平面直角坐标系，球飞行的轨迹为抛物线y＝－x2＋4x＋1的一部分，则球在飞行过程中的最高点的坐标是( )
A．(2，3) B．(－2，3)
C．(2，1) D．(2，5)
3．2018·北京跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．图K－9－2记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )
图K－9－2
A．10 m B．15 m
C．20 m D．22.5 m
4．斜向上发射一枚炮弹，炮弹飞行x秒后的高度为y米，且飞行时间与高度的关系式为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则下列哪一个时间的高度是最高的( )
A．第8秒 B．第10秒
C．第12秒 D．第15秒
5．如图K－9－3，花坛水池中央有一喷泉，水管OP的高度为3 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4 m，P距抛物线对称轴1 m，则为使水不落到池外，水池半径最小为( )
图K－9－3
A．1 m B．1.5 m C．2 m D．3 m
6．如图K－9－4，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线y＝－x2＋x(图中标出的数据为已知条件)的一部分，则运动员在空中运动的最大高度离水面的距离为( )
图K－9－4
A．10 m B．10 m
C．9 m D．10 m
二、填空题
7．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图K－9－5所示)，若球命中篮筐中心，则他与篮底的距离l是________m.
图K－9－5
8．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)之间的部分数据如下表：
时间t(s) 1 2 3 4 …
距离s(m) 2 8 18 32 …
则s关于t的函数关系式为______________．(不要求写出自变量的取值范围)
9．某炮弹从炮口射出后飞行的高度h(m)与飞行的时间t(s)之间的函数关系式为h＝v0t－5t2，其中v0是发射的初速度，当v0＝300 m/s时，炮弹飞行的最大高度为________m，该炮弹在空中飞行了________s后落到地面上．
三、解答题
10．其杂技团在人民广场进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的运动路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图K－9－6.
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，则这次表演是否能够成功？请说明理由.
图K－9－6
11．2017·金华甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图K－9－7，甲在点O正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h，已知点O与球网的水平距离为5 m，球的高度为1.55 m.
(1)当a＝－时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为 m的Q 处时，乙扣球成功，求a的值．
图K－9－7
1．[解析] B 函数的图象是由函数的关系式和自变量的取值范围所决定的，题中s＝gt2是二次函数，a＝g>0，故图象开口向上，而自变量t不能取负值．故选B.
2．[解析] D 通过配方法或顶点坐标公式求得球的最高点的坐标．
3．[解析] B 根据题意知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(0，54.0)，(40，46.2)，(20，57.9)，则
解得
所以x＝－＝－＝15.
故选B.
4．[解析] B 对称轴为直线x＝(7＋14)÷2＝10.5，当x＝10.5时炮弹达到最高点．∵四个选项中，10秒最接近10.5秒，故四个选项中，在第10秒的高度是最高的．
5．[解析] D 建立如图所示的坐标系．抛物线的顶点坐标是(1，4)，设抛物线的关系式是y＝a(x－1)2＋4，把(0，3)代入，得a＋4＝3，解得a＝－1.则抛物线的关系式是y＝－(x－1)2＋4.
当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，解得x1＝3，x2＝－1(舍去)．则水池的最小半径是3 m．故选D.
6．[解析] D ∵y＝－＝－)＋，∴抛物线的顶点坐标是，∴运动员在空中运动的最大高度离水面的距离为10＋＝10(m)．故选D.
7．[答案] 4
8．[答案] s＝2t2
9．[答案] 1125 30
[解析] 将v0＝300 m/s代入h＝v0t－5t2，得h＝150t－5t2，根据抛物线的顶点坐标公式可求得炮弹飞行的最大高度为1125 m．令h＝0，则0＝150t－5t2，所以t1＝0(舍去)，t2＝30，所以该炮弹在空中飞行了30 s后落地．
10．解：(1)将二次函数y＝－x2＋3x＋1化成y＝－(x－)2＋，
∴当x＝时，y有最大值，y最大值＝＝4.75，
因此演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．
(2)这次表演能够成功．理由：
当x＝4时，y＝－×42＋3×4＋1＝3.4.
即点B(4，3.4)在抛物线y＝－x2＋3x＋1上，
因此这次表演能够成功．
11．解：(1)①当a＝－时，y＝－(x－4)2＋h.
由题意易知点P的坐标为(0，1)．
将(0，1)代入上式，得－×16＋h＝1，解得h＝.
②把x＝5代入y＝－(x－4)2＋，得y＝－×(5－4)2＋＝1.625.
∵1.625>1.55，
∴此球能过网．
(2)把(0，1)，代入y＝a(x－4)2＋h，得
解得∴a＝－.
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26.3 第2课时 二次函数实物或几何模型
一、选择题
1．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设其边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为( )
A．6厘米 B．12厘米 C．24厘米 D．36厘米
2．图K－10－1是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为( )
图K－10－1
A．16米 B.米
C．16米 D.米
3．汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶的时间t(单位：s)的函数关系式是s＝15t－6t2，汽车从刹车到停下来前进的距离是( )
A. m B. m C. m D. m
二、填空题
4．如图K－10－2所示，济南建邦黄河大桥有一段抛物线形的桥梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．
图K－10－2
5．2018·绵阳如图K－10－3是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加________m.
图K－10－3
6．学校组织“美丽校园我设计”活动．某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园．如图K－10－4，其中矩形植物园的两邻边长之和为4 m，设矩形的一边长为x m，矩形的面积为y m2，则y关于x的函数表达式为____________(不必写出自变量的取值范围)，该矩形植物园的最大面积是________ m2.
图K－10－4
7．如图K－10－5，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面的高度都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．
图K－10－5
8．廊桥是我国古老的文化遗产．如图K－10－6是某座抛物线形廊桥的示意图，已知抛物线所对应的函数关系式为y＝－x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是________米．(精确到1米)
图K－10－6
9．某海滨浴场有100个遮阳伞，每个每天收费10元时，可全部租出，若每个每天提高2元，则减少10个伞租出，若每个每天收费再提高2元，则再减少10个伞租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每个伞每天应提高________元．
三、解答题
10．2018·衡阳一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图K－10－7所示．
图K－10－7
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出当销售价为多少时，每天的销售利润最大，最大利润是多少．
11．一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元/件，则每周可卖出300件，为提高利润，决定对该T恤进行涨价销售．经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖出10件，试确定该T恤涨价后每周销售利润y(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，每周的销售利润最大．
1．[解析] A 设y与x之间的函数表达式为y＝kx2，把x＝3，y＝18代入可得9k＝18，k＝2，∴y＝2x2.把y＝72代入上式，得2x2＝72，解得x＝±6.∵正方形的边长不能为负数，∴x＝6.故选A.
2．[答案] B
3．[解析] D ∵s＝15t－6t2＝－6＋，
∴当t＝时，s取得最大值，
即汽车从刹车到停下来前进的距离是 m.
4．[答案] 36
5．[答案] (4 －4)
[解析] 以水面AB所在的直线为x轴，抛物线形拱桥的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，如图．由题意知抛物线顶点C的坐标为(0，2)，点A的坐标为(－2，0)，设抛物线的表达式为y＝ax2＋2，代入(－2，0)，得a＝－0.5，所以抛物线的表达式为y＝－0.5x2＋2.当y＝－2时，－2＝－0.5x2＋2，解得x＝±2 ，所以水面宽度增加到4 m，与原先的宽度相比增加了(4 －4)m.
6．[答案] y＝－x2＋4x 4
[解析] 由矩形的一边长为x m，可知与其相邻的另一边长为(4－x)m，所以矩形的面积y＝x(4－x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，则当x＝2时，矩形的面积取得最大值，最大值为4 m，故答案为y＝－x2＋4x，4.
7．0.5 [解析] 如图，以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A(0，2.5)，B(2，2.5)，C(0.5，1)，设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，把A，B，C三点的坐标分别代入，得解得
∴y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5.∵2＞0，∴当x＝1时，y最小＝0.5.
8．[答案] 18
[解析] 由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处”，可知点E，F的纵坐标y＝8，把y＝8代入y＝－x2＋10，得x＝±4 ，∴EF＝8 ≈18(米)．
9．[答案] 6
[解析] 设每个遮阳伞每天应提高x元，每天获得的利润为S元，由此可得S＝(10＋x)(100－×10)，整理得S＝－5x2＋50x＋1000＝－5(x－5)2＋1125，因为每天提高2元，则减少10个，所以当提高4元或6元的时候，获利最大，又因为为了投资少而获利大，因此应提高6元．
10．[解析] (1)由图可知y是x的一次函数，设函数关系式为y＝kx＋b，把(10，30)，(16，24)代入求出k，b的值即可．由成本价为10元/千克，销售价不高于16元/千克，得出自变量x的取值范围；
(2)根据销售利润＝销售量×每一件的销售利润得到W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质得最值即可．
解：(1)由图可知y是x的一次函数，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
把(10，30)，(16，24)代入，得
解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋40(10≤x≤16)．
(2)W＝(x－10)(－x＋40)
＝－x2＋50x－400
＝－(x－25)2＋225(10≤x≤16)．
∵10≤x≤16，
∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144.
即当销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
11．解：根据题意得y＝(x－40)[300－10(x－60)]＝－10x2＋1300x－36000(60≤x≤90)．
∵a＝－10＜0，－＝－＝65，
∴当x＝65时，y的值最大，
即当销售单价定为65元/件时，每周的销售利润最大．
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