九年级数学下册27.2与圆有关的位置关系同步练习（4份打包，含答案）

27.2　3.　第2课时　切线长定理及三角形的内切圆
一、选择题
1．2017·广州如图K－19－1，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　　)


图K－19－1
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2．如图K－19－2，一圆内切于四边形ABCD，且BC＝10，AD＝7，则四边形ABCD的周长为(　　)

图K－19－2
A．32 B．34 C．36 D．38
3．如图K－19－3，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F都为切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为(　　)

图K－19－3
A．68° B．52° C．76° D．38°
4．如图K－19－4，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，D是上不与点A，C重合的一个动点，连结AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是(　　)

图K－19－4
A．15° B．20° C．25° D．30°


5．如图K－19－5，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 ，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为(　　)

图K－19－5
A. B. C．2 D．3
6．如图K－19－6所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，4)，则Rt△ABO的内心的坐标是(　　)

图K－19－6
A．(，2) B．(1，2)
C．(1，1) D．无法确定
7．如图K－19－7，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则(　　)

图K－19－7
A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF
C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF
二、填空题
8．如图K－19－8，△ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，如果AF＝2 cm，BD＝6 cm，CE＝4 cm，那么BC＝________cm，AC＝________cm，AB＝________cm.

图K－19－8
9．如图K－19－9，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若PA＝5，则△PCD的周长为________.

图K－19－9
10．2018·湖州如图K－19－10，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是________．

图K－19－10　　　
11．如图K－19－11，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是它的内切圆，∠BOC＝105°，AB＝12，则BC的长为________．

图K－19－11
三、解答题
12．如图K－19－12，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AB交OP于点C.
求证：OP⊥AB且AC＝BC.

图K－19－12









13．如图K－19－13，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D.
求证：(1)△BFD∽△ABD；
(2)DE＝DB.


图K－19－13








14．2018·绵阳如图K－19－14，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上(点D不与点A，B重合)．直线AD交过点B的切线于点C，过点D作⊙O的切线DE交BC于点E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若DE∥AB，求sin∠ACO的值．

图K－19－14









素养提升　　　　　　　　　　　思维拓展　能力提升

分类思想如图K－19－15，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s，当t为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？

图K－19－15



教师详解详析
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[答案] B　
3．[解析] C　∵⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F都为切点，
∴ID⊥AB，IF⊥AC，
∴∠IDA＝∠IFA＝90°，
∴∠A＋∠DIF＝180°.
∵∠DIF＝2∠DEF＝2×52°＝104°，
∴∠A＝180°－104°＝76°.
4．[解析] C　因为PA，PB是⊙O的两条切线，由切线长定理得∠APO＝∠OPB＝ ∠APB＝40°. 连结OA，则∠OAP＝90°，所以∠AOP＝90°－40°＝50°，
所以∠ADC ＝ ∠AOP＝25°.故选C.

5．[解析] C　在Rt△MBC中，∵∠C＝60°，MB＝2 ，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.
6．[答案] C
7．[解析] C　如图所示，连结OA，OB，则AO，BO分别是∠CAB与∠CBA的平分线，则∠EAO＝∠OAB.又因为EF∥AB，所以∠EOA＝∠OAB＝∠EAO，所以AE＝OE，同理可求出OF＝BF，则EF＝AE＋BF.


8．[答案] 10　6　8
9．[答案] 10　
[解析] ∵PA，PB为⊙O的两条相交切线，
∴PA＝PB.同理可得CA＝CE，DE＝DB.∵△PCD的周长＝PC＋CE＋DE＋PD，∴△PCD的周长＝PC＋CA＋BD＋PD＝PA＋PB＝2PA，
∴△PCD的周长＝10.
10．[答案] 70°
[解析] ∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，∴OB平分∠ABC，∠ODB＝90°.∵∠ABC＝40°，∴∠OBD＝20°，
∴∠BOD＝70°.故填70°.
11．[答案] 6
12．证明：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO(切线长定理)，
∴OP⊥AB，AC＝BC(等腰三角形“三线合一”)．
13．证明：(1)如图．∵E是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2.
又∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3.
又∵∠D为△BFD与△ABD的公共角，
∴△BFD∽△ABD.
(2)连结BE，如图．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠EBF.
又∵∠BED＝∠1＋∠ABE，∠DBE＝∠EBF＋∠3，
由(1)得∠1＝∠3，
∴∠BED＝∠DBE，
∴DE＝DB.
14．[解析] (1)连结OD，利用切线长定理得到BE＝DE，利用切线的性质得OD⊥DE，AB⊥CB，再根据等角的余角相等得到∠CDE＝∠ACB，则CE＝DE，从而得到BE＝CE；
(2)过点O作OH⊥AD于点H，如图．设⊙O的半径为r，先证明四边形OBED为正方形得DE＝CE＝r，再利用△AOD和△CDE都为等腰直角三角形得到OH＝DH＝r，CD＝r，接着根据勾股定理计算出OC＝r，然后根据正弦的定义求解．

解：(1)证明：连结OD，如图．
∵BE，DE为⊙O的切线，∴BE＝DE，OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ADO＋∠CDE＝90°，∠A＋∠ACB＝90°.
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠CDE＝∠ACB，∴CE＝DE，∴BE＝CE.
(2)过点O作OH⊥AD于点H，如图．
设⊙O的半径为r.
∵DE∥AB，∴∠DOB＝∠DEB＝90°，
∴四边形OBED为矩形．又∵OB＝OD，
∴四边形OBED为正方形，∴DE＝BE＝r.
易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形，
∴OH＝DH＝r，CD＝r.
在Rt△OCB中，OC＝＝r.
在Rt△OCH中，sin∠OCH＝＝＝，
即sin∠ACO的值为.
[素养提升]
解：设运动t s时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC于点H，
则PH＝AB＝8，BH＝AP＝t，
可得HQ＝|26－3t－t|＝|26－4t|，
由切线长定理，得AP＝PG，QG＝BQ，
则PQ＝PG＋QG＝AP＋BQ＝t＋26－3t＝26－2t.
由勾股定理，得PQ2＝PH2＋HQ2，
即(26－2t)2＝82＋(26－4t)2，
化简，得3t2－26t＋16＝0，
解得t1＝，t2＝8，
所以当t＝或t＝8时，直线PQ与⊙O相切．
因为t＝0时，直线PQ与⊙O相交，
当t＝时，点Q运动到点B，点P尚未运动到点D，但也停止运动，直线PQ也与⊙O相交，
所以可得以下结论：
当t＝或t＝8时，直线PQ与⊙O相切；
当0≤t＜或8＜t≤时，直线PQ与⊙O相交；
当＜t＜8时，直线PQ与⊙O相离．







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27.2　1.点与圆的位置关系
一、选择题
1．下列说法中正确的是(　　)
A．三点确定一个圆
B．任何一个三角形有且只有一个外接圆
C．任何一个四边形都有一个外接圆
D．等腰三角形的外心一定在三角形内部
2．下面四个命题中真命题的个数是(　　)
①任何一个矩形都有一个确定的外接圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图K－16－1，点O是△ABC外接圆的圆心，连结OB.若∠1＝37°，则∠2的度数是(　　)

图K－16－1
A．52° 　　　 B．51° C．53° 　　　 D．50°
4．在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图K－16－2所示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建一座以O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为 (　　)

图K－16－2
A．E，F，G B．F，G，H
C．G，H，E D．H，E，F
5．2017·枣庄如图K－16－3，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(网格线的交点称为格点)，如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为(　　)

图K－16－3
A．26．若⊙O的面积为25π cm2，圆心O在坐标原点，点P的坐标为(2，4)，则(　　)
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O上或⊙O外 D．点P在⊙O外
二、填空题
7．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以点D为圆心，r为半径作⊙D，若A，B，C三个点中至少有一个点在⊙D外，至少有一个点在⊙D内，则r的取值范围是________________．
8．2018·泰安如图K－16－4，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为________．

图K－16－4
9．若点B(a，0)在以点A(－1，0)为圆心，2为半径的圆外，则a的取值范围为________．
三、解答题
10．如图K－16－5，点A，B，C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别供水，为使三条输水管线长度相等，深水井泵站应在何处选址？请画出示意图，并说明理由．


图K－16－5



1．[答案] B
2．[解析] B　命题③的后半部分错误，其余三个命题都正确．
3．[解析] C　如图，连结OC.
∵∠1＝37°，
∴∠BOC＝2∠1＝74°.
∵OB＝OC，∴∠2＝(180°－74°)÷2＝53°.故选C.

4．[解析] A　设图中小正方形的边长为1，结合网格图可知OA＝，OE＝OF＝2，OG＝1，OH＝2 ，所以E，F，G，H四棵树中需要被移除的为E，F，G.故答案为A.
5．[解析] B　给各点标上字母，如图所示．由勾股定理可得：AB＝＝2，AC＝AD＝＝，AE＝＝3，AF＝＝，AG＝AM＝AN＝＝5，∴当＜r＜3 时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内．

6．[答案] A
7．[答案] 2＜r＜2
[解析] 由题意，得DA＝BC＝4，DC＝AB＝2.由勾股定理，得DB＝＝＝2 .
∵2＞4＞2，故r的取值范围是2＜r＜2.
8．[答案] 4
[解析] 如图，连结OB，OC.
∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.又∵BC＝4，∴OB＝OC＝BC·cos45°＝2，∴⊙O的直径为4.

9．[答案] a＜－3或a＞1　
[解析] 以A(－1，0)为圆心，2为半径的圆与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)．∵点B(a，0)在以A(－1，0)为圆心，2为半径的圆外，∴a＜－3或a＞1.

10．解：如图，深水井泵站应建在点O处. 点O在线段AB，BC的垂直平分线上，所以点O到点A，点B和点C的距离相等．








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27.2　2.直线与圆的位置关系
一、选择题
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)

A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
2．已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为4 cm，以等腰三角形的顶角的顶点为圆心，5 cm为半径画圆，那么该圆与底边的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．不能确定
3．如果一个圆的圆心到一条直线的距离为5，并且直线与圆相离，那么这个圆的半径R的取值范围是(　　)
A．0＜R≤5 B．R≥5
C．0＜R<5 D．R>5
4．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(　　)
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
5．已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，d和r是方程x2－11x＋30＝0的两个根，则直线l和⊙O的位置关系是(　　)
A．相交或相切 B．相切或相离
C．相交或相离 D．以上都不对
6．已知⊙O的半径为13，P为直线l上一点，OP＞13，则直线l与⊙O的公共点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．以上情况均有可能
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
8．图K－17－1是两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3.若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是(　　)

图K－17－1
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10
C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5

9．如图K－17－2，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1 cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm.如果⊙P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么几秒时⊙P与直线CD相切(　　)

图K－17－2
A．4 s B．8 s
C．4 s或6 s D．4 s或8 s　　　
10．如图K－17－3所示，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2＝6.若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现(　　)

图K－17－3
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
二、填空题
11．如果⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为d，那么当直线l和⊙O相交时，d的取值范围为________；当直线l和⊙O相切时，d应该满足的条件是________；当d________时，直线l和⊙O相离.
12．如图K－17－4，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴有两个公共点，则平移的距离d的取值范围是________．

图K－17－4
13．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以点A为圆心，作⊙A与BC相切，则这个圆的半径等于________．
14．如图K－17－5所示，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P在x轴上运动(不与原点重合)，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是__________________．

图K－17－5
　　　


15．如图K－17－6，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个点到直线l的距离等于1，即m＝4，由此可知：
(1)当d＝3时，m＝________；
(2)当m＝2时，d的取值范围是________．

图K－17－6
三、解答题
16．如图K－17－7，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则直线BC与⊙A的位置关系如何？并证明你的结论.

图K－17－7




17．如图K－17－8，已知∠AOB＝30°，P是OA上的一点，OP＝24，以r为半径作⊙P.
(1)若r＝12，试判断⊙P与OB的位置关系；
(2)若⊙P与OB相离，试求出半径r需满足的条件．

图K－17－8



18．如图K－17－9所示，要在东西方向的两地之间修一条公路MN，已知点C周围200 m范围内为森林保护区，在MN上的点A处测得C在点A的北偏东45°方向上，从A向东走600 m到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．
(1)MN是否会穿过森林保护区？为什么？(参考数据：≈1.732)
(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？

图K－17－9










素养提升　　　　　　　　　　　思维拓展　能力提升

转化与分类讨论思想在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆，探究、归纳：
(1)当r＝________时，⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于3；
(2)当r＝________时，⊙O上有三个点到直线l的距离等于3；
(3)随着r的变化，⊙O上到直线l的距离等于3的点的个数有哪些变化？并求出相对应的r的值或取值范围(不必写出计算过程)．

教师详解详析
[课堂达标]
1．[解析] A　已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，
∵2<3，即d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
2．[解析] A　如图所示，
在等腰三角形ABC(AB＝AC)中，过点A作AD⊥BC于点D，
则BD＝CD＝BC＝2 cm，
∴AD＝＝
＝4 (cm)＞5 cm，即d＞r，
∴该圆与底边的位置关系是相离．

3．[答案] C
4．[答案] C
5．[答案] C
6．[答案] D
7．[解析] A　过点C作CD⊥AB于点D，如图所示．

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5.
∵AC·BC＝AB·CD，
∴4×3＝5CD，
∴CD＝2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5 cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是相交．
故选A.
8．[解析] A　当AB与小圆相切时，AB的长最小．∵大圆的半径为5，小圆的半径为3，
∴AB＝2×＝8.
当AB过圆心时，AB的长最大，此时AB＝10，∴8≤AB≤10.
故选A.
9．[解析] D　⊙P可以在直线CD的左侧与直线CD相切，也可以在直线CD的右侧与直线CD相切，故要分情况讨论，不要漏解．
10．[答案] B
11．[答案] 0≤d<6　d＝6　>6
12．[答案] 1＜d＜5　
[解析] 当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故平移的距离d的取值范围是1＜d＜5.
13．[答案] 3
14．[答案] －≤x≤且x≠0
[解析] 作与OA平行且与圆相切的直线，这两条直线与x轴的交点的横坐标即为x的最值，过点O向直线作垂线，因为∠AOB＝45°，所以得到腰长为1的等腰直角三角形，根据勾股定理可得－≤x≤.但点P与O重合时，不符合题意，故x≠0，即－≤x≤且x≠0.
15．[答案] (1)1　(2)1＜d＜3
[解析] (1)当d＝3时，
∵3＞2，即d＞r，
∴直线与圆相离．
∵3－2＝1，∴m＝1，
故答案为1.
(2)当d＝3时，m＝1；
当d＝1时，m＝3；
∴当1＜d＜3时，m＝2，
故答案为1＜d＜3.
16．[解析] 首先判定直线BC与⊙A相切，再证明该结论．
解：直线BC与⊙A相切．
证明：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵BC＝4，∴BD＝BC＝2，
∴AD＝BD·tanB＝2 ×＝2.
又∵⊙A的半径为2，即圆心A到直线BC的距离等于⊙A的半径，
∴⊙A与直线BC相切．
17．解：如图，过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP＝90°.

∵∠AOB＝30°，
∴PC＝OP＝12.
(1)当r＝12时，r＝PC，
∴⊙P与OB相切．
(2)当⊙P与OB相离时，r＜PC，
∴r需满足的条件是0＜r＜12.
18．解：(1)不会．理由：过点C作CH⊥MN，垂足为H.
设AH＝x m.
由题意得∠CAH＝45°，∠CBH＝30°，
∴CH＝x m.
在Rt△CHB中，tan30°＝，
∴＝，∴HB＝x m.
∵AH＋HB＝AB，∴x＋x＝600，
解得x＝＝300×(－1)≈219.6＞200，
∴以点C为圆心，200 m为半径的⊙C与直线MN相离，
∴MN不会穿过森林保护区．
(2)设原计划完成这项工程需要y天．依题意，得＝(1＋25%)×，解得y＝25.
经检验，y＝25是原方程的根且符合题意．
答：原计划完成这项工程需要25天．
[素养提升]
解：(1)2　(2)8
(3)当0当r＝2时，⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于3；
当2当r＝8时，⊙O上有三个点到直线l的距离等于3；
当r>8时，⊙O上有四个点到直线l的距离等于3.






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27.2　3.　第1课时　切线的判定与性质
一、选择题
1．2018·哈尔滨如图K－18－1，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为(　　)

图K－18－1
A．3 B．3 C．6 D．9
2．2018·眉山如图K－18－2所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC.若∠P＝36°，则∠B等于(　　)

图K－18－2
A．27° B．32° C．36° D．54°
3．如图K－18－3，⊙O与AC相切于点A，且AB＝AC，BC与⊙O相交于点D，下列说法中不正确的是(　　)

图K－18－3
A．∠C＝45° B．CD＝BD
C．∠DAB＝∠DAC D．CD＝AB
4．如图K－18－4所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，连结BC，AD，则下列结论中不一定正确的是(　　)

图K－18－4
A．AG＝BG B．AB∥EF
C．AD∥BC D．∠ABC＝∠ADC

5．如图K－18－5，∠ABC＝80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转(旋转角小于360°)(　　)

图K－18－5
A．40°或80° B．50°或100°
C．50°或110° D．60°或120°
6．如图K－18－6，已知等腰三角形ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是(　　)

图K－18－6
A．3 B．4 C. D.
7.如图K－18－7，在△ABC中，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，连结OD，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则下列补充的条件不正确的是 (　　)


图K－18－7
A．DE＝DO B．AB＝AC
C．CD＝DB D．AC∥OD
8．2017·泰安如图K－18－8，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M.若∠ABC＝55°，则∠ACD等于(　　)

图K－18－8
A．20° B．35° C．40° D．55°
9．如图K－18－9所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切．若点A的坐标为(0，8)，则圆心M的坐标为(　　)

图K－18－9
A．(－5，6) B．(－5，4)
C．(－4，6) D．(－4，5)
二、填空题
10．2018·连云港如图K－18－10，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝________°.

图K－18－10
11．如图K－18－11，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4.有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切时，菱形的边长为________．

图K－18－11
三、解答题
12．如图K－18－12，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，F是DA的延长线上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为E.
求证：CE是⊙O的切线.

图K－18－12







13．2018·天津已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°.
(Ⅰ)如图K－18－13①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；
(Ⅱ)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P.若DP∥AC，求∠OCD的大小．

图K－18－13




14．如图K－18－14，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连结PC，BC.
(1)猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；
(2)求证：PC是⊙O的切线．

图K－18－14



素养提升　　　　　　　　　　　思维拓展　能力提升

结论探究题如图K－18－15，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.
(1)求证：∠A＝∠BCD；
(2)若M为线段BC上一点，则当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？请说明理由．


图K－18－15

教师详解详析
[课堂达标]
1．[解析] A　连结OA.∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，OB＝3，∴OA＝3，∴OP＝6，∴BP＝6－3＝3.故选A.
2．[解析] A　∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP＝90°.
∵∠P＝36°，∴∠AOP＝54°，∴∠B＝27°.
故选A.
3．[答案] D
4．[解析] C　∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD，∴AG＝BG.又∵直线EF与⊙O相切于点D，∴CD⊥EF，∴AB∥EF.∵∠ABC和∠ADC均是所对的圆周角，∴∠ABC＝∠ADC.
5．[解析] C　①如图，当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连结OP，则∠OPB＝90°；在Rt△OPB中，∵OB＝2OP，∴∠A′BO＝30°，∴∠ABA′＝50°；②当BA″与⊙O相切，且BA″位于BC下方时，同①，可求得∠A″BO＝30°，此时∠ABA″＝80°＋30°＝110°，故旋转角α的度数为50°或110°.故选C.

6．[答案] D
7．[解析] A　由于D是圆上一点，所以要说明DE是切线，只需证明OD⊥DE即可．因为DE⊥AC，所以当AC∥OD时，可得OD⊥DE；当CD＝DB时，即D为BC的中点，而O为AB的中点，所以OD∥AC；当AB＝AC时，连结AD，因为AB是⊙O的直径，所以AD⊥BC，所以CD＝DB，因此选项B，C，D的条件均可以说明DE是⊙O的切线．
8．[解析] A　连结OC，因为CM为⊙O的切线，所以OC⊥MC.因为AM⊥MC，所以AM∥OC，所以∠MAB＝∠COB，∠MAC＝∠OCA.因为OB＝OC，所以∠OCB＝∠ABC＝55°，所以∠MAB＝∠COB＝180°－2×55°＝70°.因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA＝∠MAC，所以∠MAC＝∠MAB＝35°.因为∠ADC＋∠ABC＝180°，所以∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－55°＝125°，所以∠ACD＝180°－∠ADC－∠MAC＝180°－125°－35°＝20°.
9．[解析] D　如图所示，过点M作PN⊥AB交AB于点P，交OC于点N，连结AM.

∵四边形OABC为正方形，点A(0，8)，
∴AB＝OA＝8.
∵MP⊥AB，∴AP＝AB＝4.
设AM＝r，
则PM＝PN－MN＝OA－MN＝8－r.
在Rt△APM中，AP2＋PM2＝AM2，
∴42＋(8－r)2＝r2，解得r＝5，∴MN＝5.
∵ON＝AP＝4，∴点M的坐标为(－4，5)．
故选D.
10．[答案] 44
[解析] 连结OB.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝22°，∴∠AOB＝136°.∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，∴∠COB＝46°.∵CB是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∴∠OCB＝90°－46°＝44°，故答案为44.
11．[答案] 4 或或
[解析] 情况一：如图①，过点O作直线l的垂线，交AD于点E，交BC于点F，过点A作AG⊥l于点G，
由题意，得EF＝2＋4＝6.
∵四边形AGFE为矩形，∴AG＝EF＝6.
在Rt△ABG中，AB＝＝＝4 .

情况二：如图②，过点O作OE⊥l于点E，过点D作DF⊥l于点F，则OE＝4，DF＝2，CD＝DF＝.

情况三：如图③，过点O作EF⊥BA交BA的延长线于点E，交CD于点F，过点A作AG⊥CD于点G，则AG＝EF＝4，AD＝AG＝.


综上可得，菱形的边长为4 或或.
12．证明：如图，连结CO.

∵AC平分∠FAB，
∴∠CAF＝∠CAB.
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠CAB，
∴∠CAF＝∠OCA，
∴OC∥FD.
∵CE⊥FD，∴CE⊥OC.
又∵C为半径OC的外端点，
∴CE是⊙O的切线．
13．[解析] 本题考查了切线的性质与圆周角定理．运用切线的性质来进行计算或证明，常通过作辅助线连结圆心和切点，利用圆周角定理解决有关问题．
(Ⅰ)由直径所对的圆周角为直角，得∠ACB＝90°，再由圆周角定理可得∠ACD＝∠BCD＝∠ACB；
(Ⅱ)连结OD，先由DP∥AC得∠P，再由圆的切线的性质和三角形外角的性质，可得∠AOD的度数，最后根据圆周角定理求得∠ACD的度数，根据等腰三角形的性质可得∠OCD的度数．
解：(Ⅰ)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＋∠ABC＝90°.
又∵∠BAC＝38°，∴∠ABC＝90°－38°＝52°.
由D为的中点，得＝，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°.
(Ⅱ)如图，连结OD.∵DP切⊙O于点D，
∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°.
∵DP∥AC，∠BAC＝38°，∠AOD是△ODP的外角，
∴∠AOD＝∠ODP＋∠P＝128°，
∴∠ACD＝∠AOD＝64°.
又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC＝38°，
∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝64°－38°＝26°.
14．解：(1)OD∥BC，OD＝BC.
证明：∵OD⊥AC，∴AD＝DC.
∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB，∠ACB＝90°.
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，OD＝BC.
(2)证明：连结OC.设OP与⊙O交于点E.
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴＝，即∠AOE＝∠COE.
在△OAP和△OCP中，
∵OA＝OC，∠AOP＝∠COP，OP＝OP，
∴△OAP≌△OCP，∴∠OCP＝∠OAP.
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.
又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
[素养提升]
解：(1)证明：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°－∠ACD.
又∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD，
∴∠A＝∠BCD.
(2)当M为线段BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：
如图所示，连结OD，作DM⊥OD，交BC于点M，则DM为⊙O的切线．

∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC.
∵∠MCA＝∠MDO＝90°，∠MCD＝∠MCA－∠OCD，∠MDC＝∠MDO－∠ODC，
∴∠MCD＝∠MDC，
∴MD＝MC.
由(1)可知：CD⊥AB，
∴∠BDM＝90°－∠MDC＝90°－∠MCD，
∴∠BDM＝∠B，
∴DM＝BM，
∴CM＝BM，
即M为线段BC的中点．






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