27.1 3.圆周角
一、选择题
1．如图K－15－1，在⊙O中，直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则图中的圆周角有( )
图K－15－1
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个
2．2018·聊城如图K－15－2，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连结AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )
图K－15－2
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
3．如图K－15－3，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是( )
图K－15－3
A．60° B．45° C．35° D．30°
4．2018·盐城如图K－15－4，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为( )
图K－15－4
A．35° B．45° C．55° D．65°
5．如图K－15－5，一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB＝45°，则这个人工湖的直径AD为( )
图K－15－5
A．50 m B．100 m
C．150 m D．200 m
6．在⊙O中，如果∠AOB＝78°，那么弦AB所对的圆周角的度数为( )
A．78° B．39°
C．156° D．39°或141°
7．四边形ABCD内接于⊙O，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比可能是( )
A．1∶3∶2∶4 B．7∶5∶10∶8
C．13∶1∶5∶17 D．1∶2∶3∶4
8．如图K－15－6，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( )
图K－15－6
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
9．2017·泰安如图K－15－7，△ABC内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC等于( )
图K－15－7
A．180°－2α B．2α
C．90°＋α D．90°－α
二、填空题
10．2017·重庆如图K－15－8，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连结AO，AC，∠AOB＝64°，则∠ACB＝________°.
图K－15－8
11．如图K－15－9，AB为半圆的直径，C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，连结AC，BC，则与∠ACD互余的角是________．
图K－15－9
12．如图K－15－10，AB为⊙O的直径，D为⊙O上异于A，B的一点，连结BD并延长至点C，使CD＝BD，连结AC，则△ABC的形状为____________．
图K－15－10
三、解答题
13．如图K－15－11，已知圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E.
(1)请写出四个不同类型的正确结论；
(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长．
图K－15－11
14．如图K－15－12，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，连结AD，CD，BC.
(1)求证：△ADE∽△BCE；
(2)如果AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
图K－15－12
15．2018·张家界如图K－15－13，P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB＝4，M为上的一个动点(不与点A，B重合)，射线PM与⊙O交于点N(不与点M重合)．
(1)当点M在什么位置时，△MAB的面积最大？并求岀这个最大值；
(2)求证：△PAN∽△PMB.
图K－15－13
1．[答案] B
2．[解析] D ∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝∠ADC－∠A＝85°－60°＝25°，∴∠O＝2∠B＝2×25°＝50°，∴∠C＝∠ADC－∠O＝85°－50°＝35°，故选D.
3．[答案] D
4．[解析] C ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ABC＝∠ADC＝35°，∴∠CAB＝55°.故选C.
5．[答案] B
6．[答案] D
7．[答案] C
8．[答案] B
9．[解析] D 连结OC，则∠BOC＝2∠A＝2α.因为OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝×(180°－2α)＝90°－α.
10．[答案] 32
[解析] 从图形中可以看出，∠AOB，∠ACB分别是⊙O中所对的圆心角、圆周角，利用圆周角定理可得∠AOB＝2∠ACB，代入∠AOB的度数即可得∠ACB的度数．具体的解题过程如下：
∵∠AOB，∠ACB分别是⊙O中所对的圆心角、圆周角，∴∠AOB＝2∠ACB.∵∠AOB＝64°，∴∠ACB＝32°.
11．[答案] ∠CAD和∠BCD
12．[答案] 等腰三角形
[解析] 方法一：如图，连结AD.
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC.
又∵CD＝BD，
∴AD为BC边的垂直平分线，
∴AB＝AC，故△ABC为等腰三角形．
方法二：如图，连结OD.
∵OA＝OB，BD＝CD，
∴OD∥AC且OD＝AC.
又∵OB＝AB＝OD，
∴AC＝AB，
∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．
13．解：(1)答案不唯一，如BE＝CE，＝，∠BED＝90°，AC∥OD，△BOD是等腰三角形，△BOE∽△BAC等．
(2)∵AB是⊙O的直径，
∴OA＝OB.
∵OD⊥BC，
∴BE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝AC＝×6＝3.
在Rt△OBE中，由勾股定理，得
OB＝＝＝5，
∴OD＝OB＝5，
∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.
14．证明：(1)∵∠A与∠B均是所对的圆周角，
∴∠A＝∠B.
又∵∠AED＝∠BEC，
∴△ADE∽△BCE.
(2)∵AD2＝AE·AC，
∴＝.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC.
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴直径AC垂直于弦BD，
∴CD＝CB.
15．[解析] (1)已知三角形的底边一定，当底边的高最大时，三角形有最大面积，即当点M在的中点处时，△MAB的面积最大．
(2)如果两个三角形中，其中两个角相等，那么这两个三角形相似．因为所对的两个圆周角相等，∠P＝∠P，所以△PAN∽△PMB.
解：(1)当M在的中点处时，△MAB的面积最大．
连结AM，OM.当M为的中点时，OM⊥AB，OM＝AB＝×4＝2，
∴S△MAB＝AB·OM＝×4×2＝4.
(2)证明：∵∠PMB＝∠PAN，∠P＝∠P，
∴△PAN∽△PMB.
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27.1 1.圆的基本元素
一、选择题
1. 下列语句中正确的个数是( )
(1)过圆上一点可以作圆的无数条最长弦；
(2)等弧的弧长一定相等；
(3)圆上的点到圆心的距离都相等；
(4)同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图K－12－1所示，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A，B，且OA＝1，则点B的坐标是( )
图K－12－1
A．(0，1) B．(0，－1)
C．(1，0) D．(－1，0)
3. M，N是⊙O上的两点，已知OM＝3 cm，那么一定有( )
A．MN＞6 cm B．MN＝6 cm
C．MN＜6 cm D．MN≤6 cm
4．如图K－12－2，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上．若∠A＝∠B＝22.5°，则∠ACB的度数为( )
图K－12－2
A．45° B．35° C．25° D．20°
5．如图K－12－3，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连结AC，BC.若∠ABC＝54°，则∠1的大小为( )
图K－12－3
A．36° B．54° C．72° D．73°
6．如图K－12－4，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与点M，N重合，当点P在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度( )
图K－12－4
A．不变 B．变小 C．变大 D．不能确定
二、填空题
7．(1)过圆内一点可以作圆的最长弦——直径，可以作____________条；
(2) 如图K－12－5所示，在⊙O中，______是直径，________是弦，____________是劣弧，____________是优弧.
图K－12－5
8．如图K－12－6所示，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB＝40°，则∠C等于________度．
图K－12－6
9．如图K－12－7，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD＝________°.
图K－12－7
10．在平面直角坐标系中，以点(3，0)为圆心，2为半径画圆，则圆与x轴的交点坐标为____________．
11．如图K－12－8，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥BC.若OD＝1，则BC的长为________．
图K－12－8
12．如图K－12－9所示，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连结OD，OE.若∠A＝65°，则∠DOE＝________°.
图K－12－9
三、解答题
13．已知：如图K－12－10，OA，OB，OC是⊙O的三条半径，∠AOC＝∠BOC，M，N分别为OA，OB的中点．求证：MC＝NC.
图K－12－10
14．已知：如图K－12－11，BD，CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上．
图K－12－11
15．如图K－12－12所示，在平面直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，5为半径画圆，交x轴于B，C两点，交y轴于D，E两点．求点B，C，D，E的坐标．
图K－12－12
16．有一块长为8米，宽为6米的长方形草地，现要安装自动旋转喷水装置，这种装置喷水的半径为5米，则安装几个最节省费用？怎样安装？请说明理由．
17．如图K－12－13，已知两个同心圆的圆心为O，大圆的半径OA，OB分别交小圆于点C，D，则AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
图K－12－13
1. [答案] C
2．[答案] B
3. [解析] D ∵OM＝3 cm，∴⊙O的半径为3 cm，∴⊙O的直径为6 cm，即在⊙O中的最长弦的长度为6 cm，∴MN最长为6 cm，∴MN≤6 cm.
4．[答案] A
5．[答案] C
6．[解析] A 连结OP.∵四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，∴AB＝OP＝⊙O的半径．当点P在上移动时，⊙O的半径一定，∴AB的长度不变．故选A.
7．[答案] (1)1条或无数
(2)AD AC和AD 和 和
8．[答案] 25
9．[答案] 40
[解析] ∵∠BOC＝110°，∠BOC＋∠AOC＝180°，∴∠AOC＝70°.∵AD∥OC，OD＝OA，∴∠D＝∠A＝∠AOC＝70°，
∴∠AOD＝180°－2∠A＝40°.
10．[答案] (1，0)和(5，0)
11．[答案] 2
12．[答案] 50
[解析] ∵∠A＝65°，
∴∠B＋∠C＝180°－65°＝115°.
∵OB＝OD，OC＝OE，
∴∠BDO＝∠DBO，∠OEC＝∠OCE，
∴∠BDO＋∠DBO＋∠OEC＋∠OCE＝2×115°＝230°，
∴∠BOD＋∠EOC＝2×180°－230°＝130°，
∴∠DOE＝180°－130°＝50°.
13．[解析] 要证MC＝NC，可以证明MC和NC所在的两个三角形全等．
证明：∵OA，OB都是⊙O的半径，
∴OA＝OB.
∵M，N分别为OA，OB的中点，
∴OM＝ON.
又∵∠AOC＝∠BOC，OC＝OC，
∴△OMC≌△ONC，
∴MC＝NC.
14．解：连结ME，MD.
∵BD，CE是△ABC的高，M为BC的中点，
∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，
∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上．
15．解：因为点A的坐标为(3，0)，而AB＝AC＝5，
所以点B的坐标为(－2，0)，点C的坐标为(8，0)．
如图，连结AD，AE.
在Rt△AOD中，AD＝5，AO＝3，
所以OD＝＝＝4.
同理OE＝4，
所以点D的坐标为(0，4)，点E的坐标为(0，－4)．
16．解：安装一个最节省费用，安装在这块长方形草地的对角线交点处．因为以对角线的交点为圆心，以5米为半径的圆能够把这块长方形草地完全覆盖．
17．解：AB∥CD.
理由如下：∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCD＝∠ODC，
∴∠OAB＝(180°－∠O)，∠OCD＝(180°－∠O)，
∴∠OAB＝∠OCD，∴AB∥CD.
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27.1 2. 第1课时 弧、弦、圆心角之间的关系
一、选择题
1．如图K－13－1，在⊙O中，＝，下列结论错误的是( )
图K－13－1
A．AB＝CD
B．∠AOC＝∠DOB
C．∠OCD＝∠OBA
D.＝
2．下列说法中正确的是( )
①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，圆心到这两条弦的距离也相等；④在等圆中，圆心角不相等，它们所对的弦也不相等．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
3．在⊙O和⊙O′中，已知∠AOB＝∠CO′D，则( )
A.＝ B.< C.> D.与的大小无法确定
4．在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法中正确的有( )
①的度数＝的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦的长度等于所对的弦的长度．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图K－13－2，已知AB是⊙O的直径，＝＝，∠BOC＝40°，那么∠AOE的度数为( )
图K－13－2
A．40° B．60° C．75° D．120°
6．如图K－13－3，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论中正确的是( )
图K－13－3
A．AB＝AD B．BC＝CD
C.＝ D．∠BCA＝∠DCA
二、填空题
7．如图K－13－4，AB，CD是⊙O的两条弦．
(1)如果AB＝CD，那么∠AOB＝________，＝________；
(2)如果＝，那么AB＝________，∠BOC＝________；
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么AB＝________，＝________；
(4)如果AB＝CD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，那么OE________OF.
图K－13－4
8．如图K－13－5，圆心角∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数为________．
图K－13－5
9．如图K－13－6所示，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则与的大小关系是________．
图K－13－6
10．在⊙O中，AB是弦，∠OAB＝50°，则弦AB所对的圆心角的度数是__________，弦AB所对的弧的度数为____________．
11．如图K－13－7，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE.若BE＝3，则CE＝________．
图K－13－7
三、解答题
12．2017·牡丹江如图K－13－8，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：AD＝BE.
图K－13－8
13．已知：如图K－13－9，在⊙O中，AB＝CD.
求证：(1)＝；
(2)∠AOC＝∠BOD.
图K－13－9
14．如图K－13－10，以?ABCD的一个顶点A为圆心，AB长为半径作圆，分别交BC，AD于点E，F，BA的延长线交⊙A于点G.试说明＝.
图K－13－10
15．已知：如图K－13－11，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，且AE＝BF，则弦AC与BD相等吗？为什么？
图K－13－11
1．[答案] D
2．[答案] C
3．[解析] D 等圆心角对等弧定理成立的前提是“在同圆或等圆中”．在未交代半径关系时，相等的圆心角与其所对的弧的大小无法确定．
4．[解析] D 此题考查圆心角、弧、弦之间的关系及等弧、弧的度数等概念，它们对应相等的前提条件是“在同圆或等圆中”．
5．[答案] B
6．[解析] B A项，∵∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误．
B项，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝CD，故本选项正确．
C项，∵∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，
∴与不一定相等，故本选项错误．
D项，∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选B.
7．[答案] (1)∠COD (2)CD ∠DOA
(3)CD (4)＝
8．[答案] 20°
9．[答案] 相等
10．[答案] 80° 80°或280°
[解析] ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，
∴∠AOB＝80°，∴弦AB所对的劣弧的度数为80°，弦AB所对的优弧的度数为280°.
11．[答案] 3
[解析] 连结CO.∵AC∥DE,
∴∠ACO＝∠COE，∠EOB＝∠A.
∵OA＝OC, ∴∠ACO＝∠A，
∴∠COE＝∠EOB，∴CE＝BE＝3.
12．[解析] 连结OC，先根据＝得出∠AOC＝∠BOC，再由已知条件根据A.A.S.定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
证明：连结OC.
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC.
∵CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，∴∠CDO＝∠CEO＝90°.
在△COD与△COE中，
∵∠DOC＝∠EOC，∠CDO＝∠CEO＝90°，CO＝CO，
∴△COD≌△COE(A.A.S.)，∴OD＝OE.又∵AO＝BO，∴AD＝BE.
13．证明：(1)∵在⊙O中，AB＝CD，
∴＝，∴－＝－，
即＝.
(2)∵＝，∴∠AOC＝∠BOD.
14．解：连结AE.
∵AB＝AE，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠AEB, ∠FAE＝∠AEB，∠GAF＝∠ABE，
∴∠GAF＝∠FAE，∴＝.
15．解：弦AC与BD相等．
理由如下：连结OC，OD，如图．
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OE＝OF.
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°.
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
∵OE＝OF，OC＝OD，
∴Rt△OEC≌Rt△OFD，
∴∠COE＝∠DOF，
∴＝，∴AC＝BD.
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27.1 2. 第2课时 垂径定理
一、选择题
1．圆是轴对称图形，它的对称轴有( )
A．1条 B．2条
C．4条 D．无数条
2．在半径为3的圆中，一条弦的长度为4，则圆心到这条弦的距离是( )
A．3 B．4 C. D.
3．2018·张家界如图K－14－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE等于( )
图K－14－1
A．8 cm B．5 cm
C．3 cm D．2 cm
4．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 cm，则OM的长为( )
A. cm B. cm C．3 cm D．2 cm
5．2017·金华如图K－14－2，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )
图K－14－2
A．10 cm B．16 cm
C．24 cm D．26 cm
6．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图K－14－3所示．若油面AB＝160 cm，则油的最大深度为( )
图K－14－3
A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
7．如图K－14－4，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，⊙O的直径为 dm，若往这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是( )
图K－14－4
A. B. C. D.
二、填空题
8．如图K－14－5，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径为________．
图K－14－5
9．如图K－14－6，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是点________．
图K－14－6
10．如图K－14－7，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.若AC＝2 cm，则⊙O的半径为________．
图K－14－7
11．如图K－14－8，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则BD的长为________．
图K－14－8
12．如图K－14－9所示，若⊙O的半径为13 cm，P是弦AB上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为________cm.
图K－14－9
13．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图K－14－10所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为________mm.
图K－14－10
三、解答题
14．如图K－14－11，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD.
图K－14－11
15．如图K－14－12，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB＝8，AC＝2 ，求⊙O的半径．
图K－14－12
16．如图K－14－13，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB于点F，点E在CD上，且AE＝CE.
(1)求证：CA2＝CE·CD；
(2)已知CA＝5，AE＝3，求sin∠EAF的值．
图K－14－13
17．如图K－14－14，在一块残破的轮片上，量得弓形的弦AB＝24 cm，弓形的高为8 cm，求残破的轮片的直径．
图K－14－14
1．[答案] D
2．[答案] C
3．[解析] A ∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8 cm，∴CE＝CD＝4 cm.在Rt△OCE中，∵OC＝5 cm，CE＝4 cm，∴OE＝＝3 cm，∴AE＝AO＋OE＝5＋3＝8 (cm)．故选A.
4．[解析] A 过圆内一点最长的弦为直径，最短的弦为与这条直径垂直的弦，由垂径定理和勾股定理可求得OM＝ cm.
5．[解析] C 如图，在Rt△OCB中，OC＝5 cm，OB＝13 cm，根据勾股定理，得BC＝＝＝12(cm)．
∵OC⊥AB，∴AB＝2BC＝24 cm.
6．[答案] A
7．[答案] A
8．[答案]
9．[答案] Q
[解析] 根据垂径定理的推论，则作弦AB和BC的垂直平分线，交点Q即为圆心．
10．[答案] cm
11．[答案] 2
[解析] 如图，过点C作CE⊥AB于点E.
由题意易知∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°.
在Rt△BCE中，
∵∠CEB＝90°，
∠B＝30°，BC＝2，
∴CE＝BC＝1，BE＝CE＝.
∵CE⊥BD，∴DE＝BE，
∴BD＝2BE＝2 .
故答案为2 .
12．[答案] 24
[解析] 连结OA，当OP⊥AB时，OP最短，此时OP＝5 cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝＝＝12(cm)，所以AB＝24 cm.
13．[答案] 8
14．证明：过点O作OE⊥AB于点E，
则AE＝BE，CE＝DE，
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
15．解：如图，连结OA，OC，OC交AB于点D.
设⊙O的半径为r.
∵C是的中点，
∴＝，∴OC⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝4.
在Rt△ACD中，CD＝＝2，
在Rt△ADO中，∵OA2＝AD2＋OD2，
∴r2＝16＋(r－2)2，解得r＝5.
∴⊙O的半径为5.
16．解：(1)证明：∵弦CD垂直于直径AB，
∴＝，∴AC＝AD，
∴∠D＝∠C.
又∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠C，
∴∠CAE＝∠D.
又∵∠C＝∠C，
∴△CEA∽△CAD，
∴＝，即CA2＝CE·CD.
(2)∵CA2＝CE·CD，CA＝5，CE＝AE＝3，
∴52＝3CD，∴CD＝.
∵弦CD垂直于直径AB于点F，∴CF＝FD，
∴CF＝CD＝×＝，∴EF＝CF－CE＝－3＝.
在Rt△AFE中，sin∠EAF＝＝＝.
17．解：如图，设残破的轮片的圆心为O，过点O作OC⊥AB于点C，
延长OC交⊙O于点D，则CD＝8 cm，AC＝BC＝AB＝12 cm.连结OB.设⊙O的半径为R cm，由勾股定理，得R2＝122＋(R－8)2，解得R＝13，∴残破的轮片的直径为26 cm.
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