5.1.3同位角、内错角、同旁内角
一、教学目标
（一）知识与技能目标：
①．理解同位角、内错角、同旁内角的概念；
②．能在基本的图形中找出同位角、内错角、同旁内角；
（二）过程与方法目标：
①．经历由已知知识，发展推广到新知识的过程；
②．从现实生活中抽象出数学问题并进行探索归纳过程；
③．体会分类分步、化归等思维方法；
（三）情感与发展目标：
①．从实际情景引入新课，培养学生学习数学的兴趣；
②．从两直线相交到两直线被第三条所截的变化过程，感受数学的发展与变化关系；
③．培养学生独立思考、合作学习等能力。
二、教学的重点和难点
教学重点：从对顶角发展到同位角、内错角、同旁内角，牢固理解概念；
教学难点：在具体图形中运用概念辨别同位角、内错角、同旁内角。
三、教学方法与手段：对比探索、合作归纳、动手实践
四、教学过程：
一、创设情景，引入主题
引入语：风筝起源于中国，是一门古老的艺术。相传最早在春秋战国时期，墨翟“费时三年，斫木为鸢，飞升天空 ”。汉朝时期，蔡伦发明造纸术，开始以纸为材料制作；唐朝时期，有人加入了琴弦，风一吹，就发出像古筝那样的声音，始叫“风筝”！随着马可.波罗自中国返回欧洲后，风筝传到世界各地，据说莱特兄弟发明飞机就是源于对风筝的着迷。
学生朗读：“时间是人类发展的空间 , 发展是人类唯一的选择!”
观察风筝的骨架结构，共同发现单线风筝的骨架是我们熟悉的“两条直线相交”（学生可能会认为是两条直线互相垂直，这是正确的，可以引导到一般的相交情况）
展示双线风筝，它的骨架可以抽象成两条直线与中间的一条连接线。（横着的两条线可以认为是平行的，本身同位角、同旁内角、内错角就是为平行线的判定服务，抽象的时候可以推广到一般情况）抽象出几何图形：“两条直线被第三条直线所截！”需要强调：第三条直线是联系前两条直线的纽带，起着桥梁作用，为后面抓住截线识别角与角的位置关系打下基础。
（设计说明：由学生熟悉的生活中的风筝引入，介绍数学文化，调动学生的情绪，提高学习兴趣。同时从复习两条直线相交的过程，自然的过度到两条直线被第三条所截，印证数学是发展变化着的。）
二、归纳同位角、同旁内角、内错角的概念
（一）明确研究对象（从两条线到三条线的延伸，从四个角到八个角的发展）
在第一幅图得到的“两条直线相交”几何图形中，我们得到除平角外的四个角，有对顶角、邻补角是描述角与角的位置关系。从下面几个方面思考第二幅图：
（1） 根据已有知识，你能找到对顶角吗？
（2） 能看成第一幅图的一种发展变化吗？
（3） 除了对顶角，角与角还有哪些位置关系呢？这就是今天我们要学习的内容。
（设计说明：复习对顶角是以类比的方式提出这节课的研究核心知识：角与角的位置关系；知识之间的联系：从对顶角延伸到同位角、内错角、同旁内角。找的过程中：第一、把复杂问题转化为已知简单图形，化归的思维方法；第二、渗透分类的方法，为分类研究角与角的位置关系设下伏笔。）
（二）共同探索同位角的概念
问题探究：∠1与∠5具有什么样的位置关系？
接上面的方法，先观察上面的4个角，他们是两条直线被第三条所截形成的，可以从下面几个方面逐步思考它们的位置关系：
（1） 它们在被截直线A.b的位置？
（2） 它们在截线c的位置？
学生表述得到的位置关系，可能会得出右侧、上方等说法，利用教具规范说法，得到关键词：同侧、同旁，再给出概念：我们把在被截直线同侧、截线同旁的一对角，叫做：同位角。并完整叙述：∠1与∠5是直线A.b被直线c所截得到的一对同位角。（在图中把∠1与∠5分离出来）
（3）还能发现其他同位角吗？（依次把同学得到的另外3对同位角分离出来）
（4）分离出来的4对同位角，从形状上观察，发现了什么？（字母F型）
（设计说明：这里依然采用分类分步的方法，从简单开始探索。由于同位角、内错角、同旁内角的名称已经固定，所以探索的重点在发现位置关系和用准确词语概括这种位置关系，按照观察—描述—归纳—再现的流程，认识同位角。）
（三）小组合作探索同旁内角、内错角的位置特征
问题探索：类比上面的探索过程，小组合作完成∠1与∠6 、∠1与∠7的位置关系（见附表1），班级交流规范说法后，再统一给出名称。
（设计说明：在认识了同位角的概念后，自主探索同旁内角、内错角是一种发展的眼光认识事物的过程。1.探索的意义在于描述和理解位置关系，并把同种位置关系的角归为一类；2.名称统一给出，给学生以规范，对∠2与∠5加以排除即可。）
三、巩固概念、深化概念
（一）用概念寻找生活中的同位角、内错角、同旁内角（发现）
给出3个简单的实际图形，学生完成：
（1） 图中可以看成是哪两条直线被哪条直线所截？
（2） 哪些角成同位角、内错角、同旁内角？
（设计说明：1.用实际图形呼应开头，体现数学是源于生活；2.简单图形中也要强调截线与被截直线为后面图形变换做准备；3.变式练习，通过一组摆放不同的图形加深对概念的认识。）
（二）用概念识别两个角是不是同位角、内错角、同旁内角（辨析）
展示如右图两个图形，思考：
（1）∠1与∠2是不是同位角、内错角、同旁内角？
（2）如果是，找出是哪两条直线被哪条直线所截形成的。
（3） 旋转到什么位置能构成同位角、内错角、同旁内角呢？
归纳总结：两个角一边共线（截线），再次体会F、U、Z型。
（设计说明：通过辨析错误图形，到改造成正确图形，深化概念的本质认识。课中小结：图形的产生是两条直线被第三条所截；图形的形状类似于字母F、Z、U；两个角的一条边共线—截线！）
（三）合作学习（创造）
在同一平面内，两只手的拇指和食指能构成同位角、内错角、同旁内角吗？同桌合作，一人拼图，一人描述（指出截线、被截直线，哪两个角成什么关系的角）。
（设计说明：让学生感受同位角、内错角、同旁内角是我们身边处处可见的；同桌配合可以提高合作能力；进一步让学生完整的叙述，继续强调截线和被截直线达到巩固和深化概念的目的）
三、应用概念、发展图形
如图,∠1是直线A.b相交所成的一个角,用量角器量出∠1的度数,画一条直线c,使直线c与直线b相交所成的角中有一个与∠1为一对同位角,并且自行找出一对内错角和同旁内角.
四、课堂小结
学生谈一谈这节课的收获，根据学生反映可以从下面三维目标上小结：我们主要学了哪些知识？我们体会到了哪些思维方法？你最大的收获是什么？
五、作业布置
? 必做题：习题5.1第2题
? 选做题1. 习题5.1第3题
2． 利用木条为骨架制作一个风筝，在结构图中找一找今天所学的同
位角、同旁内角、内错角。祝你成功！
（设计说明：分层布置作业让不同层次的学生得到适合自身的发展，选做题2首尾呼应，从实际中得到数学知识，再把数学知识运用到实际中去.）
1
5
5.1.1对顶角
教学目标
知识与技能
1.能准确理解对顶角的概念,会在图形中识别对顶角.
2.理解对顶角的性质并能运用对顶角的相关知识进行简单运算.
过程与方法
经历观察、猜想、说理、交流等过程,进一步发展空间观念和有条理的表达能力.
情感态度与价值观
在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验,建立自信心;感受数学与生活的密切联系,增强用数学的意识.
教学重难点
重点:对顶角的概念与性质.
难点:在复杂图形中找对顶角.
教学过程
一、情境引入
同学们,进入七年级学习以来,大家都有这样的感受:“生活中处处有——数学.”现在老师请各位同学看一组生活中的图片,(多媒体展示X型晾衣架、栅栏、剪刀、小孔成像原理等图片)在这些图形中都出现了两条相交直线,每两条相交直线形成几个角?这些角叫什么角?它们有没有特殊关系?
二、探究新知
1.问题导读
自学教材,回答下列问题:
什么是对顶角?对顶角满足什么条件?
举出生活中对顶角的例子.
2.合作交流
(1)互为对顶角的两个角的大小关系是怎样的?
可让学生动手画一画,学生两人一组,任取一个角∠2,得出∠2的度数,看这两个角的大小关系有什么特点,得出结论.最后全班汇总,看得出的结论是否相同.
(2)这个结论正确吗?
学生分组讨论,利用同角的补角相等说明.
先通过测量感知对顶角相等,然后再从理论上说明.
(3)结论:对顶角相等.
3.例题
例1：如图,∠1=30°,那么∠2.∠3.∠4各等于多少度？图中存在哪些相等关系？.
解：∠2=180°-∠1=180°-30°=150°，
∠3=180°-∠2=180°-150°=30°，
∠4=180°-∠1=180°-30°=150°，
由此，我们得到∠1＝∠3，∠2＝∠4.
例2：已知：直线AB与直线CD相交于E，∠AEC=50°，求∠BED的度数.
解：因为直线AB与直线CD相交于E，所以∠AEC和∠BED是对顶角.
根据对顶角相等，得，∠BED=∠AEC=50°.
三、课后作业
1.如图,其中共有 对对顶角.?
第1题图 第2题图
2.如图,AB.CD相交于点O,∠DOE=90°,∠AOC=70°,求∠BOE的度数.
【答案】
1.4
2.20°
1
1
5.1.2垂线
教学目标
知识与技能
认识生活中的垂直现象,理解垂直定义,并能用符号表示.掌握垂线的性质,会过一点作已知直线的垂线.
过程与方法
经历垂线画法,垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的画法,用不同方法得到垂线的性质.
情感态度与价值观
通过与生活相联系,让学生对数学产生兴趣,认识到数学的实用价值.
教学重难点
重点:垂线、垂线段、点到直线的距离的概念.
难点:垂线的性质和点到直线的距离.
教学过程
一、引入
设计意图:通过设置问题,引发学生的思考,激发学生的学习兴趣,在回忆旧知识的同时,自然切入本节课所要学习的内容.
教师提问学生:能在生活中找到互相垂直的直线吗?学生观察实例,这时教师可以问学生“是通过什么特征来确定它们是垂线的?”帮助学生回忆垂直的形象(小学已接触过垂直).
二、做一做
设计意图:通过让学生动手操作,加深对垂线的理解,明确垂线的不同画法,锻炼了学生的实际操作能力,开拓了他们的思维,积累了他们的数学活动经验.
1.请学生作出两条互相垂直的直线
教师鼓励学生用不同的方法画垂线,学生发现用三角尺、量角器都可以来画互相垂直的直线,然后让两位学生各自采用一种作图工具在黑板上演示作图过程.
2.引入垂直符号表示
通过以上画图过程,使学生明确两条直线相交只有一个交点,当相交所成的角中有一个角是直角时,则此时两条直线互相垂直,若直线AB与CD垂直,则用符号“⊥”表示,即“AB⊥CD”,从而引出垂直的符号表示及垂足的定义.
3.在方格纸上画出互相垂直的两条直线,用量角器验证你画出的两条直线是否垂直,如果是,能试着说明一下原因吗?
三、想一想
设计意图:让学生自主探究,从而经历垂线的性质得出过程,体会到经过一点,有且只有一条直线与已知直线垂直,通过动手测量,从而让学生了解到“垂线段最短”,这样学生得到的知识印象更深,更符合学生对新知识学习的接受过程.
1.过点A作l的垂线,你能作出多少条?
教师不仅要引导学生运用三角尺,过直线外一点和直线上一点作已知直线的垂线,还要鼓励学生运用自己的语言描述所得的结论,培养学生有条理的表达能力.
2.点到直线的距离
让学生量取直线外一点到直线的若干个线段的长,比较这一点到直线的垂线段的长度的大小,从而引出点到直线的距离的概念,其性质“垂线段最短”.
四、做一做
设计意图:让学生做出三角形的高,从而进一步巩固点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度.
让学生分别画出三个三角形AB边上的高(三个三角形分别是锐角三角形,直角三角形,钝角三角形),教师在学生的画图过程中注意发现问题,进行针对性的指导.
五、巩固练习
设计意图:通过练习,让学生进一步理解垂直的定义,怎样过一点画已知直线的垂线,加深对本节知识的理解和应用,从而学以致用,从学到的知识解决问题.
1.作一条直线l,在直线l上取一点A,在直线l外取一点B,分别经过点A.B,用三角尺或量角器作l的垂线.
2.如图所示,在某村庄中有一条街道,在街道的一侧有一公共汽车站,为了方便村民坐车,村委会决定修一条马路直达车站,你能设计一种方案,使得公共汽车站到街道的路程最近吗?
六、课堂小结
小结:以下几个方面由学生自己总结:①垂线的定义及垂直的符号表示;②垂线的有关性质;③过一点作已知直线的垂线的方法.
七、课后作业
1.如图,O是直线AB上一点,∠AOD=53°,∠BOE=37°,则OD与OE的位置关系是什么?
【答案】∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE=90°,所以OD⊥OE.
2.点P为直线l外一点,点A.B.C为直线l上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线l的距离为( )
A.4cm B.2cm C.小于2cm D.不大于2cm
【答案】D
1
3
