5.2.3平行线的性质
教学目标
知识与技能
掌握平行线的三个特征,体会平行线特征与平行线识别的区别,能运用平行线的识别与特征解决问题.
过程与方法
经历观察、操作、推理、交流等活动,进一步发展空间观念,加强推理能力和有条理的表达能力,经历探索平行线的特征的过程,掌握平行线的特征并解决一些问题.
情感态度与价值观
通过操作、观察、合作、交流,进一步感受学习数学的意义,培养学生主动探索、合作以及解决问题的能力.
教学重难点
重点:平行线的特征.
难点:平行线的特征与识别法的综合运用.
教学过程
一、复习回顾
设计意图:本节课所学知识与前一节课的内容有着密切的联系,两者既有相同之处又有本质的区别.在课的开始以习题化方式复习已学知识,一方面为本节课的学习奠定好基础,另一方面为“对比发现,加深理解”环节作好铺垫.
教师出示问题:如图,直线A.b被直线l所截,在横线上填空:
(1)因为∠1=∠2(已知),所以a∥b .?
(2)因为∠3=∠2(已知),所以a∥b .?
(3)因为∠2+∠4=180°(已知),所以a∥b .?
【答案】(1)同位角相等，两直线平行
(2)内错角相等，两直线平行?
(3)同旁内角相等，两直线平行
学生完成后,组内交流结果.
二、情境引入
设计意图:通过提出一个极具趣味性的问题,学生可能通过猜测得到答案,但并不理解其中真正的原因所在,从而激发学生强烈的求知欲和好奇心,引入新课的学习.
教师出示问题:如图,是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个残缺玉片,工作人员从玉片上已经量得∠A=115°,∠D=100°,已知四边形ABCD的AD∥BC,请你求出另外两个角的度数.
学生经过思考,然后小组进行讨论,在教师的引导下得出结论.
三、探究发现
设计意图:教师要通过设计问题是,让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程,获得数学活动的经验,要发散学生思维,让学生尽可能用多种方法来说明自己猜测的正确性,培养学生合情说理的能力.
问题:已知直线A.b被l所截,a∥b.
让学生自己画出符合要求的图形后,提出问题.
(1)合作交流一:请找出图中的同位角,并猜测它们有何关系?
你能想办法验证你的猜测吗?
(2)合作交流二:请找出图中的内错角,并猜测它们有何关系?
你能想办法验证你的猜测吗?
(3)合作交流三:图中还有其他位置关系的角吗?它们有何关系呢?
说一说你是怎样得到结论的.
以上问题在经过学生独立思考后,再进行小组讨论,互相补充,并派代表回答.
(4)师生共同总结平行线的特征.
四、巩固练习
设计意图:通过练习,落实基础,特别是学生刚刚接触到新的知识时,往往应用起来会感到生疏,或者说对它的感觉仍旧停留在“雾里看花”的状态,这就需要一个过程,也就是对新知识从熟悉到熟练的过程.
教师出示练习:1.完成下列填空:
(1)因为AD∥BC(已知),所以∠B=∠1( );
(2)因为AB∥CD(已知),所以∠D=∠1( );
(3)因为AD∥BC(已知),所以∠C+∠D=180°( ).
【答案】
(1)两直线平行，同位角相等;
(2)两直线平行，内错角相等;
(3)两直线平行，同旁内角互补.
学生完成后集中评议.
五、课堂小结
设计意图:课堂小结并不只是课堂知识点的回顾,教师要对教学目标的达成情况进行反馈,对相关知识点进行整合,要能够提出明确的具有反思性的问题,让学生有所思,有所得,达到巩固所学知识的目的.
1.平行线的三个特征?
2.直线平行的特征与直线平行条件的区别.
(1)平行线识别与特征的条件与结论有什么关系?
(2)使用平行线识别时是已知 ,说明 ;使用平行线特征时是已知 ,说明 .?
【答案】角相等线平行线平行角相等
师生共同交流总结以上所学的知识.
六、课后作业
1.如图,若AB∥CD,则正确的结论是( )
A.∠1=∠2+∠3 B.∠1=∠2=∠3
C.∠1+∠2+∠3=180° D.∠1=∠2+∠3=180°
【答案】A
2.如图,AB∥CD,AC∥BD,试说明∠1=∠3.
证明：∵AB∥CD(已知),∴∠1=∠2(两直线平等,内错角相等),
又∵AC∥BD(已知),∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等),
∴∠1=∠3(等量代换).
1
1
5.2.1平行线
教学目标：
1.经历观察教具模式的演示和通过画图等操作,交流归纳与活动,进一步发展空间观念.
2.了解平行线的概念、平面内两条直线的相交和平行的两种位置关系,知道平行公理以及平行公理的推论.
3.会用符号语方表示平行公理推论,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
教学重点:
探索和掌握平行公理及其推论.
教学难点:
对平行线本质属性的理解,用几何语言描述图形的性质.
教学过程：
一、创设问题情境
1.复习提问:两条直线相交有几个交点?相交的两条直线有什么特殊的位置关系?
学生回答后,教师把教具中木条b与c重合在一起,转动木条a确认学生的回答.教师接着问:在平面内,两条直线除了相交外,还有别的位置关系吗?
2.教师演示教具.
顺时针转动木条b两圈,让学生思考:把A.b想像成两端可以无限延伸的两条直线,顺时针转动b时,直线b与直线a的交点位置将发生什么变化?在这个过程中,有没有直线b与c木相交的位置?
3.教师组织学生交流并形成共识.
转动b时,直线b与c的交点从在直线a上A点向左边距离A点很远的点逐步接近A点,并垂合于A点,然后交点变为在A点的右边,逐步远离A点.继续转动下去,b与a的交点就会从A点的左边又转动A点的左边……可以想象一定存在一个直线b的位置,它与直线a左右两旁都没有交点.
二、平行线定义表示法
1.结合演示的结论,师生用数学语言描述平行定义:同一平面内,存在一条直线a与直线b不相交的位置,这时直线a与b互相平行.换言之,同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
直线a与b是平行线,记作“∥”,这里“∥”是平行符号.
2.同一平面内,两条直线的位置关系
教师引导学生从同一平面内,两条直线的交点情况去确定两条直线的位置关系.
在同一平面内,两条直线只有两种位置关系:相交或平行,两者必居其一.即两条直线不相交就是平行,或者不平行就是相交.
三、画图、观察、归纳概括平行公理及平行公理推论
1.在转动教具木条b的过程中,有几个位置能使b与a平行?
本问题是学生直觉直线b绕直线a外一点B转动时,有并且只有一个位置使a与b平行.
2.用直线和三角尺画平行线.
已知:直线a,点B,点C.
(1)过点B画直线a的平行线,能画几条?
(2)过点C画直线a的平行线,它与过点B的平行线平行吗?
3.通过观察画图、归纳平行公理及推论.
(1)由学生对照垂线的第一性质说出画图所得的结论.
(2)在学生充分交流后,教师板书.
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
(3)比较平行公理和垂线的第一条性质.
共同点:都是“有且只有一条直线”,这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.
不同点:平行公理中所过的“一点”要在已知直线外,两垂线性质中对“一点”没有限制,可在直线上,也可在直线外.
4.归纳平行公理推论.
(1)学生直观判定过B点、C点的a的平行线B.c是互相平行.
(2)从直线B.c产生的过程说明直线b∥直线c.
(3)学生用三角尺与直尺用平推方验证b∥c.
(4)师生用数学语言表达这个结论,教师板书.
结果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.
结合图形,教师引导学生用符号语言表达平行公理推论:
如果b∥a,c∥a,那么b∥c.
四、作业：
教材练习题
1
3
5.2.2平行线的判定
教学目标
1.从“用三角尺和直尺画平行线的活动过程中发现”同位角相等，两直线平行.
2.掌握平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行”.
3.会用“同位角相等，两直线平行”判定两直线平行，会简单的推理和表述.
教学过程
（一）新课的引入
播放一段皮划艇比赛的视频.请同学边欣赏边在视频中找到三个问题的答案.
问1：这是一项什么体育运动？（生答皮划艇静水项目，师解释皮划艇有皮艇与划艇之分）
问2：你观察到每只皮艇的航线有怎样的位置关系？（生答平行，师解释这是由皮划艇的比赛规则决定的，每个航道只有9米，要求运动员必须在航道中间航行，稍一偏离，当相邻两只皮划艇之间的距离小到5米时，更靠近航线边缘的那只皮华艇就会被取消比赛的资格，所以你想顺利地进行完比赛，就必须保证自己的航向是不变的，因此你的航线与旁边运动员的航线是互相平行的）
问3：你观察到皮艇每次过白色标志线或冲向终点线的时候，皮划艇的航线与标志线或终点线有什么位置关系？（生答垂直，师解释这样做的好处之一就是可以保证航线互相平行）
问4：为什么保持垂直就可以保证平行了呢？（生无法回答）这个问题可以不知道，因为这就涉及到如何判定两直线平行的问题，今天老师就和大家一起来探求两直线平行的判定方法，学完今天的内容，这个问题你一定就可以迎刃而解了.
（二）探求新知
根据刚才了解到的信息，以及以前所学的知识，解决下面的问题.（幻灯片显示：若你是一位皮划艇运动员，你现在位于点P的位置，已知你旁边运动员的皮划艇的航线为L1，你能画出你自己的航线L2吗？??）
学生画好后，师利用动画演示一遍，一放二靠三移四画.根据画法，思考下列问题（1）若把尺边记为L3，那么在画图过程中，哪一对角始终是保持相等的？（让学生指一指）
（2）若把L1与L2看成被L3所截，那么这一对是什么角？
（3）由此你能发现两直线平行的判定方法了吗？
（生归纳，师补充，得出两直线平行的判定方法：同位角相等，两直线平行）
（三）巩固新知
问1：现在要判定两条直线平行,关键要找什么条件成立?(生答同位角相等)
问2：那么同位角在怎样的几何图形中才会出现?(生答两条直线被第三条直线所截,即“三线八角”)
判定两直线平行的关键步骤是找到需说明平行的两条直线被第三条直线所截形成的同位角.
1.玩中学
做一做手指游戏：利用你的拇指与食指，在同一平面内，你能根据今天学过的判定方法构造平行线吗?（学生小组合作讨论后，分别展示摆出的手型，一生摆出手型，另一生协助说明，所摆的手型是保证了哪两条直线被哪一条直线所截而形成的同位角相等，并说明是哪两条直线平行）
从摆手型中归纳出平行线判定方法的数学符号语言
∵∠1=∠2
∴∥
2.范例讲解
用多媒体展示例题：已知直线l1.l2被l3所截.（如图）∠1=45.，∠2=135.，判断l1与l2是否平行，并说明理由.
⑴猜测l1与l2?与平行吗？【答案】平行?
⑵要说明l1与l2?平行关键要得出什么？【答案】∠1=∠3）
⑶现∠1=45.,∠1+∠2=180.，那么能得出∠3=450吗？【答案】能，∠2与∠3互补
（一生讲，其他补充，师书写）
师生一起总结出：说明两直线平行的一般步骤：一找同位角，二说明同位角相等
（四）运用新知解决实际问题
问1：课前提出的问题：为什么每只皮划艇都沿着垂直于终点线的方向行驶，就能保证航线互相平行？转化为数学问题画出几何图形即为：
已知??AB⊥EF，CD⊥EF则，你如何得到AB∥CD？
解：∠ABD=∠CDF=90°，所以AB∥CD.理由是同位角相等，两直线平行.
从问题的解决中师生一起归纳出：在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行
（再请学生用这种判定方法找一找生活中的平行线：黑板的边缘，马路边的路灯杆等等）
问2：在比赛过程中，一皮划艇在前进过程中，不慎向右偏转50，为了与原来的方向保持一致，该运动员应如何调整航向？
（皮划艇用一个点来表示，师动画演示其运动过程.）
【解析】要使后来的方向与原来的方向一致，那么后来的航向与原来的航向有怎样的位置关系？（生答平行）让一学生画出后来的航向，并回答只要保证哪一对角相等？从而可求解.
解：如图，根据两直线平行，同位角相等，得第二次向右拐50°．
故答案为：50°．
（师总结：用今天所学的知识又解决了这两个实际问题，说明数学来源于生活，又应用于生活，所以我们学习的是有用的数学）
（五）归纳小结、
（分享与体会，以小组合作讨论的形式说一说：你学到了什么？你还有什么困惑吗？你有什么经验与收获和大家共享呢？）学生归纳，教师补充如下：
（1）判定两直线平行的两种方法
（2）判定两直线平行的关键步骤：一找同位角，二说明同位角相等
（3）注意说理过程的严密性
（4）体会数学来源于生活，又应用于生活的用数学的思想
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