课件17张PPT。第2章 圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线第2章 圆锥曲线与方程学习导航第2章 圆锥曲线与方程1．椭圆
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的__________,两焦点间的距离叫做椭圆的____________．
2．双曲线
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的_________，两焦点间的距离叫做双曲线的_______．焦点焦距焦点焦距3．抛物线
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的____________，定
直线l叫做抛物线的____________．
4．圆锥曲线
椭圆、双曲线、抛物线统称为____________．焦点准线圆锥曲线1．平面内到两点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和等于8的点的
轨迹是________．
2．已知两点F1(－5,0)，F2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值
是6的点M的轨迹是________．
3．到定点A(4,0)和到定直线l：x＝－4的距离相等的点的轨迹
是________．
4．若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，
则动点P的轨迹是________．椭圆双曲线抛物线直线椭圆的定义 已知△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，且AB，BC，AC成等差数列．
(1)求证：点A在一个椭圆上运动；
(2)写出这个椭圆的焦点坐标．
(链接教材P25T1)
[解] (1)证明：在△ABC中，由AB，BC，AC成等差数列?AB＋AC＝2BC＝12>BC满足椭圆定义，所以点A在以B，C为焦点的椭圆上运动．
(2)焦点坐标为(－3,0)，(3,0)．在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，往往忽视条件“常数大于两定点间的距离”而导致错误：看到动点到两个定点的距离之和为常数，就认为是椭圆，不管常数与两个定点之间的距离的大小．因此，我们在做此类题目时，要养成一种良好的思维习惯：看到动点到两定点的距离之和是常数后，马上判断此常数与两定点之间的距离的大小关系．若常数大于两定点间的距离，则是椭圆；若常数等于两定点之间的距离，则是以两定点为端点的线段;若常数小于两定点之间的距离，则不表示任何图形．1．平面内有定点A、B及动点P，命题甲：PA＋PB是定值，命题乙：点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，那么甲是乙的______________条件．必要不充分双曲线、抛物线的定义 曲线上的点到两个定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值分别等于(1)6，(2)10，(3)12.若满足条件的曲线存在,则是什么样的曲线；若不存在，请说明理由．
(链接教材P25T3)
[解] (1)由于F1F2＝10>6，
∴满足该条件的曲线是双曲线．
(2)由于F1F2＝10，
∴满足该条件的不是曲线，而是两条射线．
(3)由于F1F2＝10<12，
∴满足条件的点的轨迹不存在．在根据双曲线定义判断动点的轨迹时,易出现以下两种错误:
(1)忽视定义中的条件“常数小于两定点之间的距离且大于
0”；(2)忽视条件“差的绝对值”．因此当看到动点到两定点的距离之差是常数时，就草草下结论误认为动点的轨迹是双曲线．因此，我们要养成一种良好的思维习惯：看到动点到两定点的距离之差的绝对值是常数时，要先判断常数与两定点之间的距离的大小关系．若常数小于两定点间的距离，则是双曲线；若常数等于两定点间的距离，则是以两定点为端点的两条射线；若常数大于两定点间的距离，则不表示任何图形(即无轨迹)．2．已知直线l：x＋2y－3＝0，点F(2,1)，P为平面上一动点，过P作PE⊥l于E，PE＝PF，则点P的轨迹为________．
解析：∵点F(2,1)不在直线l上，且PE＝PF，
∴点P的轨迹为抛物线．抛物线利用圆锥曲线的定义求轨迹求解轨迹问题时，应首先联想三种圆锥曲线定义，若条件满足定义要求则套用相应圆锥曲线方程即可解决问题． 如图，P为正方体ABCD—A1B1C1D1侧面BCC1B1内一动点，若点P到棱AB的距离与到平面A1B1C1D1的距离相等．则动点P的轨迹是________．
①线段； ②椭圆；
③圆； ④抛物线．④[解析] 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，连结PB(图略)．
∵AB⊥平面BCC1B1，PB?平面BCC1B1，∴AB⊥PB.
∴P到棱AB的距离，即PB的长．
∵平面BCC1B1⊥平面A1B1C1D1，交线为B1C1.
∴P到平面A1B1C1D1的距离，即到棱B1C1的距离．
根据题意可知P到定点B的距离与到定直线B1C1的距离相等，从而可知动点P的轨迹是抛物线．[名师点评] (1)点P在侧面BCC1B1上，故动点P的轨迹是平面曲线．
(2)点P到棱AB的距离：抓住正方体的棱与侧面垂直，可知P到棱AB的距离即到点B的距离．
(3)点P到平面A1B1C1D1的距离：抓住正方体的侧面互相垂直,可知P到平面A1B1C1D1的距离，即到棱B1C1的距离．
(4)综合(2)，(3)及圆锥曲线的定义，可得正确结论．课件23张PPT。2．2 椭 圆
2．2.1 椭圆的标准方程第2章 圆锥曲线与方程学习导航第2章 圆锥曲线与方程1．椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和____________常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，____________的距离叫做椭圆的焦距．等于F1F2两焦点间2．椭圆的标准方程
(1)当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为
____________________________；
(2)当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为
_______________________________．
3．椭圆标准方程中a，b，c之间的关系为____________，其
中____________最大．a2＝b2＋c2a4．判断椭圆的焦点的位置的方法
在椭圆的标准方程中，看分母，分母大的分子所对应的轴就是焦点所在轴．88＜m＜258定义法求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程时，应从“定位”与“定量”两个方面去考虑，“定位”是指确定焦点所在的坐标轴，以判断方程的形式；“定量”是指确定方程中a2与b2的具体数值，常常通过待定系数法来求．利用椭圆的定义求方程，常常已知椭圆的两焦点及椭圆上一点．1．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．求椭圆C的方程．待定系数法求椭圆的标准方程在求椭圆的标准方程时，有时不知焦点在哪一个坐标轴上，通常需进行分类讨论，但计算较繁，我们可设所求椭圆的标准方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，不必考虑焦点位
置，用待定系数法求出A、B的值即可． 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在⊙C1的内部，且和⊙C1内切，和⊙C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．
(链接教材P27例2)
[解] 设动圆的圆心C(x，y)，半径为r，
如图，CC1＝13－r，CC2＝3＋r，
∴CC1＋CC2＝16，由椭圆的定义知
动圆圆心在以C1(4,0)和C2(－4,0)为
焦点的椭圆上，定义法求轨迹方程通过分析平面图形，利用平面几何知识，得到符合椭圆定义的几何条件，从而判断点的轨迹是椭圆，再由待定系数法求出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．3．一动圆与圆C1：x2＋y2＋6x＋5＝0内切，同时与圆C2：x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．
解：由圆C1：x2＋y2＋6x＋5＝0，得(x＋3)2＋y2＝4.
由圆C2：x2＋y2－6x－91＝0得(x－3)2＋y2＝100，必要不充分[错因与防范] (1)只注意a2>0，b2>0，忽略a2≠b2.
(2)对集合与充要条件的关系模糊不清．
(3)强化对椭圆标准方程形式特点的记忆，除要求x2，y2项的分母都大于0之外，还要求不能相等．
(4)对于范围形式的充要关系的判断，要从集合的角度理解，“小范围”是“大范围”的充分不必要条件，“大范围”是“小范围”的必要不充分条件．课件28张PPT。2．2.2 椭圆的几何性质第2章 圆锥曲线与方程学习导航第2章 圆锥曲线与方程1．椭圆的简单几何性质2b2a2cx轴、y轴(0,0)2.椭圆的离心率越____________，椭圆越扁；
椭圆的离心率越____________，椭圆越接近于圆．接近于1接近于01．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是
____________．3．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p千米，远地点距地面q千米,若地球半径为r千米,
则运行轨迹的短轴长为__________________．由标准方程确定椭圆的几何性质本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质,可以简化画图过程，保证图形的准确性：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．1．椭圆9x2＋y2＝81的长轴长为______，短轴长为______，半
焦距为________，离心率为______，焦点坐标为_________，顶点坐标为____________________．618(0，±9)，(±3,0)由几何性质求椭圆的标准方程利用椭圆的几何性质求解椭圆的标准方程，条件一般反映了图形的位置关系或a、b、c的数量关系，关键在于把题目中的条件转化为关于a、b、c的方程(组)，求出a、b、c，再根据焦点位置确定椭圆的标准方程． (1)如图：从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴的端点B的连线AB∥OM，求该椭圆的离心率；求椭圆的离心率或离心率的范围要求离心率的值或取值范围，必须建立关于e或a、b、c的方程或不等式(组)，要善于利用题目条件及图形合理转化．[规范与警示] ??当焦点位置不确定时，分类讨论是正确求解的必要条件．
?设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，避免了繁琐的讨论和计算，是简化计算的关键．
?列出AP2的表达式，是讨论距离的最小值的关键．
?注意椭圆上点的横坐标的范围|x|≤3，是取决于P点是否存在的关键，这里极易忽略．
??这里是条件极值问题，一定要注意叙述的条理性和规
范性．课件20张PPT。2．3 双曲线
2．3.1 双曲线的标准方程第2章 圆锥曲线与方程学习导航第2章 圆锥曲线与方程1．平面内到两个定点F1、F2的距离的____________等于常数(小于____________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
与椭圆一样，双曲线的标准方程也有两种形式：
当焦点在x轴上时，方程为______________________；
当焦点在y轴上时，方程为_______________________．
2．双曲线标准方程中a、b、c的关系是：____________.差的绝对值F1F2的正数c2＝a2＋b21．写出适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上，其方程为________________；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)，其方程为
___________________．2．若k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是________________________．焦点在y轴上的双曲线7或234．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程．求双曲线的标准方程本题的两个小题都是利用待定系数法求解．要注意(1)中解方程组的技巧——用换元的思想把分式方程组化为整式方程组;
(2)在不能确定焦点在哪条坐标轴上时，可以考虑设成标准方程的统一形式．1．已知双曲线经过M(1,1)，N(－2,5)两点，则双曲线的标准
方程为_______________．对双曲线标准方程的认识(1)双曲线标准方程与选择的坐标系有关，选择不同的坐标系,可以得到不同的标准方程．
(2)两个标准方程的区别：x2和y2的系数决定了焦点所在的坐标轴，当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2系数为正时，焦点在y轴上；这一点和椭圆是不一样的．解析：由题意(|m|－2)(5－m)<0，解得m>5或－25椭圆、双曲线的焦点三角形问题在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件|PF1－PF2|＝2a的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用．[解析] 由双曲线的定义得|PF1－PF2|＝8，
所以|9－PF2|＝8，所以PF2＝1或17.
因为a＝4，c＝6，当PF2＝1时，
PF2(2)只注重双曲线的定义，而忽略隐含条件双曲线上的点到其焦点的最小距离．
(3)运用双曲线的定义解决相关问题时,①不能忽略“绝对值”
号，以免造成漏解；②求出解后，要注意检验根的合理性，以免出现增根．33课件25张PPT。2．3.2 双曲线的几何性质第2章 圆锥曲线与方程学习导航第2章 圆锥曲线与方程双曲线的几何性质F1(－c,0),F2(c,0)F1(0，－c),F2(0，c)F1F2＝2c焦点焦距范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，
x∈R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)2a2b1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲
线的方程为_____________e＞2双曲线几何性质的探求利用双曲线的性质时，应把双曲线化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的值，进而求出c、双曲线的实轴长和虚轴长、离心率、焦点和顶点坐标、渐近线方程等几何性质．1．求双曲线16x2－9y2＝－144的焦点坐标、焦距及离心率e.由双曲线的性质求标准方程与双曲线的离心率有关的问题在没有给出或无法求出双曲线的标准方程时，求双曲线离心率的关键是建立a，b，c之间的齐次关系式，再由b2＝c2－a2转化为a与c的齐次式进行求解，另外要注意双曲线离心率取值范围的限制．e≥22[名师点评] (1)由F1、F2分别是双曲线C的左、右焦点，B是虚轴的端点，可以写出直线F1B的方程．
(2)由F1B的方程可与双曲线C的渐近线方程分别联立求出P、Q两点的坐标，坐标内必含a、b、c.
(3)由(2)进而可以写出PQ的垂直平分线的方程．
(4)点M是x轴上的点，含(3)中方程的y＝0,即得M点的坐标．
(5)由MF2＝F1F2得关于a，c的齐次方程求得离心率e.课件23张PPT。2．4 抛物线
2．4.1 抛物线的标准方程第2章 圆锥曲线与方程学习导航第2章 圆锥曲线与方程1．抛物线的定义
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，________________叫做抛物线的准线．相等定直线l2．抛物线的标准方程
四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_____.
3．焦点在y轴上，且过点A(1，－4)的抛物线的标准方程是
___________．2求抛物线的标准方程 求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点坐标是F(－5,0)；
(2)经过点A(2，－3)；
(3)焦点到准线的距离为4.
(链接教材P44例2)利用待定系数法求抛物线的标准方程的一般流程：定类型；设方程；算参数．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故解题中要注意类型的确定，通常通过图形定类型．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就惟一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．x2＝16y由方程求抛物线的焦点与准线已知抛物线方程求抛物线的焦点坐标、准线方程，一定先要把方程化为标准方程，根据一次项系数的符号确定焦点、准线位置,进而利用焦点、准线与一次项系数的关系确定焦点、准线方程．2．求抛物线y＝2ax2的焦点坐标． 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．抛物线定义的应用由于抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离相等，所
以，在有关抛物线的问题中，常常会涉及两种距离的转换，特别是把到焦点的距离转化为到准线的距离．在涉及到距离之和最小或距离之差的绝对值最大的问题时，又常常结合三角形中的边边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等性质．3．已知抛物线x2＝4y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为(12,6)，求点P到点A的距离与到x轴的距离之和的最小值．
解：将x＝12代入x2＝4y,得y＝36>6,所以点A在抛物线外部．抛物线焦点为F(0,1)，准线l：y＝－1.如图所示，过P点作PB⊥l于点B，交x轴于点C，则PA＋PC＝PA＋PB－1＝PA＋PF－1.由图可知，当A、P、F三点共线时，PA＋PF的值最小，所以PA＋PF的最小值为FA＝13，故PA＋PC的最小值为12. (本题满分14分)动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程．
[解] 法一：(1)当x≥0?时，
∵动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，
∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等
?.2分
∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且p＝4，4分
∴抛物线的方程为y2＝8x(x≥0).6分[规范与警示] ??分x≥0或x<0两种情况讨论是完整解答的先决条件，这是易失分点．
?合理转化是本题的关键．
?对于分类讨论问题，漏掉此处会造成解答过程不完整，造成不必要的失分．
?根据已知条件，列出方程，这是此法的关键．
?此处化简要当心，否则会造成不必要的失分．课件25张PPT。2．4.2 抛物线的几何性质第2章 圆锥曲线与方程学习导航第2章 圆锥曲线与方程1．抛物线的几何性质x≥0x≤0关于x轴
对称y≥0y≤0关于y轴
对称原点向右向左向上向下2.焦半径与焦点弦
抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做____________，过
焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做____________，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦、焦半径公式为：焦半径焦点弦AB＝x1＋x2＋pAB＝p－x1－x2AB＝y1＋y2＋pAB＝p－y1－y21．圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相
切的圆的方程是______________________．
2．抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是________．
3．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．2相切4．某桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16 m，当水面上涨2
m时，水面宽变为12 m，此时桥洞顶部距水面高度为
___________________ m.抛物线几何性质的应用 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2x上，求这个三角形的边长．
(链接教材P45例2)抓住图形的对称是求解本题的关键．根据图形的性质，可以直观地看出对称性，但解题时仍需合理地证明，不能只凭主观判断而忽视推理证明．1．已知焦点在x轴上的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为4，求抛物线的标准方程，并求出它的焦点坐标及准线方程．抛物线的焦点弦问题 斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
(链接教材P46T6)
[解] 法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，本题法一利用传统的基本方法求出A、B两点坐标，再利用两点间距离公式求出AB的长；
法二充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特殊的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离的和，这是思维产生质的飞跃的表现．2．抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程． 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区．已知AB⊥BC,OA∥BC且AB＝BC＝2AO＝4 km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段．抛物线的实际应用(1)建立适当的坐标系，求曲线段的方程；
(2)如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点P落在OC上，设点P到AB的距离为2＋y，试求矩形工业园区的用地面积关于y的函数表达式．
(链接教材P45例2、P46T8)
[解] (1)以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系(如
图)，依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，(1)本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题,利用数学模型,通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．
(2)在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅
具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为
简单，便于应用．3. (2012·高考陕西卷)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m. 已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A,B,求PA＋PB的最小值．[名师点评] (1)抛物线方程为y2＝4x，且P为其上一点．
(2)A,B两点为过P点分别作y轴与直线x－y＋4＝0垂线的垂足.
(3)由PA⊥y轴，可想到利用抛物线的定义，即抛物线上的点
到焦点的距离等于到准线的距离．
(4)把PA＋PB的最小值问题结合图形转化为点到直线的距离
求解．课件20张PPT。2．5 圆锥曲线的共同性质第2章 圆锥曲线与方程学习导航第2章 圆锥曲线与方程1．圆锥曲线的统一定义
若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离的比是一个常数e(e>0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线．
(1)如果0(2)如果e>1，则动点P的轨迹是____________；
(3)如果e＝1，则动点P的轨迹是____________．椭圆双曲线抛物线1．双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为________．圆锥曲线的准线、离心率的求解与应用在圆锥曲线中，a，b，c，e，p是确定图形形状的特征量，把握它们之间的内在联系是解决此类问题的关键．用圆锥曲线的统一定义求轨迹方程解决此类问题常用两种方法：(1)直译法，即依据已知条件直接写出动点坐标满足的等式，整理得方程；(2)依据定义先判断轨迹形状，再由几何性质得方程．圆锥曲线两种定义的应用课件21张PPT。第2章 圆锥曲线与方程第2章 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义(1)椭圆的定义中，平面内动点与两焦点F1、F2的距离之和大于F1F2这一条件不可忽视．若这个距离之和小于F1F2，则这个动点轨迹不存在；若距离之和等于F1F2，则动点轨迹是线段F1F2.
(2)双曲线的定义中，要注意条件2aF1F2，则无轨迹．
双曲线定义中，M是双曲线上一点，若MF1MF2，则动点M的轨迹又为另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”．
(3)抛物线定义中，条件“点F不在直线l上”不能忽视，否则轨迹是过F且与直线l垂直的直线，而不是抛物线．
(4)圆锥曲线的统一定义
若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离的比是一个常数e(e＞0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线．
①如果0＜e＜1，则动点P的轨迹是椭圆；
②如果e＞1，则动点P的轨迹是双曲线；
③如果e＝1，则动点P的轨迹是抛物线． 已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O2＝4，动圆M与O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．?
[解] 如图以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
由O1O2＝4，有O1(－2,0)，O2(2,0)．
设动圆的半径为r，
由动圆M与圆O1内切，有MO1＝|r－1|.
由动圆M与圆O2外切，有MO2＝r＋2.
∴MO2＋MO1＝3或MO2－MO1＝3，
∵O1O2＝4，
∴MO2＋MO1>4，求圆锥曲线的标准方程轨迹问题求动点的轨迹方程，实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关
系，即动点坐标(x，y)所适合的等式f(x，y)＝0.因此要分析形成轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的形式，建立等式． 设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程．圆锥曲线中的最值问题与圆锥曲线有关的最值问题的求解策略与方法：
(1)平面几何法
两点间的任意折线段长之和，以两点间直线段长为最短．
|AB－AC|≤BC，当且仅当A、B、C三点共线，且A在B、C外侧时取“＝”．
(2)目标函数法
建立目标函数与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值． 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值．
[解] 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1；由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．定点、定值问题解决此类题目通常有两种思路：
(1)从特殊入手，求含变量的定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点(定值)．(1)设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时，PF1取得最小值与最大值；
(2)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆C的标准方程；(3)若直线l:y＝kx＋m与(2)中所述椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且满足AA2⊥BA2，求证：直线l过定点,并求出该定点的坐标．
