课件24张PPT。第3章 导数及其应用3．1 导数的概念
3．1.1 平均变化率第3章 导数及其应用学习导航第3章 导数及其应用1．平均变化率的定义：一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的
平均变化率为____________.
2．平均变化率是曲线____________程度的“数量化”，或者
说，曲线陡峭程度是____________的“视觉化”．陡峭平均变化率斜率1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线y＝2x＋1在[1,3]上的平均变化率是零；直线y＝5在
[1,3]上的平化变化率不存在．( )
(2)甲、乙二人销售化妆品，从2014年2月开始的3个月内，甲投入资金5万元，获利4万元，乙投入资金8万元,获利6万元．
因此我们认为乙的经营效果较好．( )
(3)一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率．
( )
(4)函数f(x)在A(x1，y1)、B(x2，y2)上的平均变化率就是直线
AB的斜率．( )××√√2．函数y＝x2＋1在[2,3]上的平均变化率是________．51.5函数的平均变化率 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．(链接教材P58例1)(1)在实际问题中，具有函数关系的两个变量，都可以运用平均变化率描述在指定范围内变化快慢的程度．
(2)如果函数关系用图象(曲线)表示，平均变化率就近似地量化了某一指定曲线段的陡峭程度，它体现了平均变化率的几何意义．1. 如图是函数y＝f(x)的图象，则
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：
(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．
(链接教材P58例3)
甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？
(链接教材P59T2)
平均变化率的应用平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢． (本题满分12分)很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．试从平均变化率的角度，比较气球容量V从0增加到1 L及从1 L增加到2 L时平均膨胀率的大小关系，能否用来解释气球的半径增加得越来越慢？课件25张PPT。3．1.2 瞬时变化率——导数(一)第3章 导数及其应用学习导航第3章 导数及其应用0切线斜率0常数常数常数常数0常数A1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)曲线上给定一点P，过点P可以作该曲线的无数条割线．
( )
(2)过曲线上任一点一定可作出一条切线．( )
(3)有的曲线过它上面的某一点可作两条切线．( )
(4)平均速度刻画运动物体在某一时间段内变化的快慢程度，
瞬时速度刻画物体在某一时刻变化的快慢程度．( )√××√2．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为________．83．一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v＝t2＋t＋2(v单位：m/s；时间单位：s)则质点在t＝2 s时的瞬时加速度为________．5 m/s2曲线上某一点处的切线(1)解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的
斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线逼近的切线的斜
率．然后利用直线方程的点斜式可求出相应的切线方程．
(2)注意函数y＝f(x)在x＝x0处的切线，就是函数图象(曲线)上以点(x0，f(x0))为切点的曲线的切线，过点(x0，y0)也能作曲线y＝f(x)的切线，但点(x0，y0)不一定是切点．1．利用割线逼近切线的方法分别求曲线y＝2x2在x＝0，x＝－1，x＝2处的切线斜率．求瞬时速度和瞬时加速度 一质点按规律s＝2t2＋2t(位移单位：m，时间单位：s)做直线运动．求：
(1)该质点在前3 s内的平均速度；
(2)质点在2 s到3 s内的平均速度；
(3)质点在3 s时的瞬时速度．
(链接教材P64例2)(1)平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt趋于0时的极限值．
(2)已知运动物体在s＝s(t)解析式的前提下才可求某一时刻的
瞬时速度．2．有一作直线运动的物体，其速度v(单位：m/s)与时间t(单
位：s)的关系是v＝3t－t2,求此物体在t＝2 s时的瞬时加速度.求函数的瞬时变化率——导数x＋y－2＝0[错因与防范] (1)误认为所给点即切点，直接求曲线在给定
点处的斜率而致误，因此求曲线的切线方程时要先判断所给
点是否在曲线上，明确求的是在点x＝x0处的切线还是过点
(x0,y0)的切线．
(2)意识到给定点不在曲线上，而设出切点坐标后，无所适从,不知如何求切点坐标．实质上这里用的是待定系数法，将已
知点代入含切点坐标的切线方程中解关于x0的方程获得切点
坐标．课件23张PPT。3．2 导数的运算
3．2.1 常见函数的导数第3章 导数及其应用学习导航第3章 导数及其应用1．几个常见函数的导数
(1)若f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f′(x)＝____________，即
(kx＋b)′＝____________；
(2)若f(x)＝C(常数)，则f′(x)＝____________，即C′＝
____________；
(3)若f(x)＝x，则f′(x)＝____________，即x′＝________；kk00112x2x3x23x22．基本初等函数的求导公式
(1)(xα)′＝____________，(α为常数)；
(2)(ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；
(3)(logax)′＝____________＝____________(a>0，且a≠1)；
(4)(ex)′＝____________；
(5)(ln x)′＝____________；
(6)(sin x)′＝____________；
(7)(cos x)′＝____________.α·xα－1excos x－sin x√√√×3．若f(x)＝2x，则f′(2)＝________.
解析：∵f′(x)＝(2x)′＝2xln 2，
∴f′(2)＝22ln 2＝4ln 2.4ln 2利用求导公式求函数的导数(1)对于简单的函数只要能写成幂函数、指数函数、对数函数或正余弦函数就可以直接运用基本初等函数求导公式求其导数．
(2)记住基本初等函数求导公式是正确求解的关键．要特别注意求导公式的结构特征，弄清(ln x)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′的差异，防止混淆而导致求导错误．先化简再求导(1)对于可化为基本初等函数的求导问题，往往需要先对函数解析式化简变形为符合基本初等函数的特征，再用求导公式进行求导．
(2)对于含根号的函数通常化简为分数指数幂形式．含指数式的函数化简为ax的形式，含对数符号的函数化简为logax的形
式、三角函数化简为sin x或cos x形式．导数几何意义的应用(1)利用求导公式求出曲线在某点处的导数后根据导数几何意义可知该点的切线斜率k＝f′(x0)，进而求出切线方程
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(2)用求导公式求导数比用定义求导数简单快捷．1课件30张PPT。3．2.2 函数的和、差、积、商的导数第3章 导数及其应用学习导航第3章 导数及其应用函数的和、差、积、商的求导法则
设两个函数分别为f(x)和g(x)f′(x)＋g′(x)f′(x)－g′(x)cf′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)√√××2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R且a≠0)，则f′(x)＝_______________.
解析：f′(x)＝(ax2)′＋(bx)′＋c′＝2ax＋b.2ax＋bx2＋4x－34．(tan x)′＝____________________.直接运用求导法则求函数的导数[解] (1)y′＝(x2sin x)′＋(2cos x)′
＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＋2(cos x)′
＝2xsin x＋x2cos x－2sin x
＝2(x－1)sin x＋x2cos x.(1)熟记函数和、差、积、商的求导法则是灵活进行求导运算的前提；特别是积、商的求导法则，若不能掌握法则的结构特征就可能在求导运算过程中出现错误．
(2)和、差、积、商的求导法则与求导公式紧紧联系在一起，混合在一起运用时，要分清使用的是哪个法则，哪个公式．先将函数化简然后求导(1)本例中各题也可以直接运用积和商的求导法则求导．
例如(3)，y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋
3)]′
＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)[(x＋2)′(x＋3)＋(x＋2)(x＋3)′]
＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x2＋5x＋6)＋(x2＋4x＋3)＋(x2＋3x＋2)
＝3x2＋12x＋11.
(2)有些函数先将函数解析式化为和差形式，然后利用和差求导法则求导,比直接运用积、商求导法则求导运算简便快捷.导数几何意义和物理意义的应用3x－y＋1＝0(－2,15)(1)求导公式仅能解决基本初等函数求导问题．求导法则能解决函数的和、差、积、商的求导问题，应记熟并能运用求导公式和四个求导的运算法则．
(2)利用导数的几何意义可解决函数曲线的切线问题，利用导数的物理意义可解决速度和加速度问题．－125 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式．[感悟提高] 用待定系数法求函数解析式是近几年高考常见的题型，此类题型往往隐含条件较多，因此，充分挖掘题目的条件再列方程(组)是解决此类型题目的关键．课件30张PPT。3．3 导数在研究函数中的应用
3．3.1 单调性第3章 导数及其应用学习导航第3章 导数及其应用1.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系:2.一般地，可导函数y＝f(x)在区间(a，b)内是增(减)函数的充要条件是：对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.递增递减1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点都有导数则该函数
在区间(a，b)内可导．( )
(2)任何一个函数在定义域或它的一个区间(a，b)上都是可导
函数．( )
(3)如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)>0，那么f(x)在
区间(a，b)内单调递增．( )
(4)如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么它对区间
(a,b)上都有f′(x)>0.( )√×√×2．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是
____________________________________．3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为___________；单
调减区间为_________________．4．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所
示，则函数y＝f(x)的图象可能是________．(填图象对应的
序号)④解析：由导函数图象知，当x<0时，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞,
0)上单调递增，淘汰①③.
当0
x>2时，f′(x)>0，∴f(x)在(2，＋∞)上单调递增．因此只有
④符合．判断或证明函数的单调性用导数判断或证明函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的步骤：
(1)求出y＝f(x)的导数f′(x)；
(2)证明导数y＝f′(x)在区间(a，b)内恒正(恒负)；
(3)下结论y＝f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)．求函数的单调区间[解] (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)．
令f′(x)>0，则4x(x＋1)(x－1)>0，
解得－11，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)，求解函数y＝f(x)的单调区间的具体步骤如下：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．2．设函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋1(a≠0)，求函数f(x)的单调区间． 若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．由函数单调性求参数的取值范围本题知道了函数的单调性，而去求参数的范围，这是一种非常重要的题型．在某个区间上，f′(x)>0(或f′(x)<0)，f(x)在这个区间上单调递增(或递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到f′(x)>0(或f′(x)<0)是不够的，即还有可能f′(x)≥0(f′(x)≤0)也能使得f(x)在这个区间上单调递增(递减)，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证．解：函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1,
a－1)内为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．依题意有当x∈(1,4)时，f′(x)<0，
当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0，
所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7，
所以a的取值范围是[5,7]．[名师点评] (1)第(1)问由f′(2)＝0可求参数a,解析式能确定,转化为单调区间的问题．
(2)第(2)问知单调性求参数范围转化为f′(x)≥0恒成立的题型.[感悟提高] 首先构造函数，然后再采用求导的方法，利用函数的单调性证明不等式，这也是证明不等式常用的方法，也是作差法的一个延伸，要掌握好．课件42张PPT。3．3.2 极大值与极小值第3章 导数及其应用学习导航第3章 导数及其应用1．函数极值的概念
(1)极大值与极小值的直观解释
如图，函数图象在点P处从左侧到右侧由“____________”变
为“____________”(函数由单调递增变为单调递减)，这时
在点P附近，点P的位置最高，也就是说f(x1)比它附近点的函
数值都要____________．我们称f(x1)为函数f(x)的极____________值．类似地，图中f(x2)为函数f(x)的极小值．函
数的极大值、极小值统称为函数的____________．上升下降大大极值(2)极大值与极大值点
定义：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)____________f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)
的一个极_________值；点x0叫做函数f(x)的__________．<大极大值点(3)极小值与极小值点
定义：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)____________f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)
的一个极__________值；点x0叫做函数f(x)的__________．>小极小值点(4)①极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻域而言的．
②极值点总是f(x)定义域中的点，因而端点绝对不是函数的极值点．
③连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有，函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，函数的极小值也不一定比极大值小．
④若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函
数，即在区间上单调的函数没有极值．2．函数的极值与函数的导数之间的关系
(1)极大值与导数之间的关系><极大值f(x1)(2)极小值与导数之间的关系<>极小值f(x2)3.求函数f(x)极值的方法与步骤
(1)解方程f′(x)＝0；
(2)根据函数的极值与导数之间的关系验证判断：
①如果在x0两侧f′(x)符号相同，那么x0不是f(x)的极值点．
②如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值．
③如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值．
注意：可导函数的极值点一定是其导数为零的点；但是，导数为零的点不一定是该函数的极值点，因此导数为零的点(又称驻点、可疑点)仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是这点两侧的导数异号．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导数为零的点一定是函数的极值点．( )
(2)函数的极小值一定小于它的极大值．( )
(3)f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值．( )
(4)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a，b)内不是单调函数．
( )×√××②3．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a
的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1，
∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，
∴－2令f′(x)＝0解得x1＝－3，x2＝1.当x在定义域R内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可知：当x＝－3时f(x)有极大值57.
当x＝1时，f(x)有极小值－7.(3)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex(x2－7x＋13)＋ex(2x－7)＝ex(x2－5x＋6)＝ex(x－2)(x－3)．
令f′(x)＝0解得x1＝2，x2＝3.
当x在定义域R内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可知：当x＝2时，f(x)有极大值3e2；当x＝3时，f(x)有极小值e3.(4)f(x)的定义域为R,由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2),
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
①当a－1≥2，即a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内为增函数，无极值；
②当0f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6；③当a－1＝0，即a＝1时，
f(x)在(a－1，a＋1)内为减函数，无极值．
④当a－1<0，即0f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2.(1)求可导函数f(x)的极值的步骤：
①由函数f(x)的解析式确定定义域，求出f′(x)并通过因式分解化为积(商)形式；
②令f′(x)＝0解方程求根；
③由f′(x)＝0的根顺次将函数定义域划分成若干开区间,并列成表格(f′(x)＝0只有一个根时可以不列表格)；
④根据表格指出极值及相应极值点(同时也可以得到单调区间)．
(2)函数解析式或给定的定义域中含有字母常数时要注意分类讨论．(2)函数的定义域为R，
f′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(2＋x)，
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝－2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可以看出，
当x＝－2时，函数有极大值为f(－2)＝4e－2.
当x＝0时，函数有极小值为f(0)＝0.已知函数的极值或极值点，求参数的值 设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
(2)试判断x＝1，x＝2处函数f(x)取得极大值还是极小值，并说明理由．已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式，需注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时f(x)取得极值－2.求f(x)的单调区间和极大值．
解：由奇函数的定义，有f(－x)＝－f(x)，即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，得d＝0.因此，f(x)＝ax3＋cx(a≠0)，f′(x)＝3ax2＋c，联立f(1)＝－2及f′(1)＝0，解得a＝1，c＝－3，则f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3.
所以，函数的单调增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调减区间为(－1,1)；当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝2.函数极值的综合应用(1)极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想，分类讨论的思想在解题中的应用．
(2)在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．3．(2012·高考江苏卷节选)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a,b是实数,1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．
解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b
＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3，
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以
g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－20，故－2是g(x)的极值点．
当－21时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点，所以g(x)的极值点为－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值
范围．[感悟提高] 本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以及方程、函数、不等式三者之间的相互转化，对理性思维能力要求比较高．课件35张PPT。3．3.3 最大值与最小值第3章 导数及其应用学习导航第3章 导数及其应用1．函数的最大值与最小值
如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值．最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大
值____________．
如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有
____________，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的_________．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．函数的最值必在端点处或极值点处取得．惟一f(x)≥f(x0)最小值注意：开区间(a，b)上连续函数y＝f(x)的最值有如下几种
情况：
图①中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值;
图②中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最小值无最大值;
图③中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既无最大值也无最
小值；
图④中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值也有最
小值．2．函数的最值与极值的区别和联系
(1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较．
(2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有惟一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取必定是极值．3．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤
第一步，求f(x)在区间(a，b)上的____________；
第二步，将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
注意：(1)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最小值在端点处取得．
(2)当连续可导函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时，若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以判定f(x)在该点处取得最大值(或最小值)，这里(a，b)也可以是无穷区间．极值1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)定义在闭区间[a，b]上的函数f(x)一定有最大值和最小值．
( )
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值是f(b)，f(x)的最小值是f(a)．( )
(3)定义在开区间(a，b)上的函数f(x)没有最大值．( )
(4)函数的所有极小值中最小的一个就是最小值．( )×√××2．函数f(x)＝x3－12x＋16，x∈[－2,3]的最大值是_______.
解析：f′(x)＝3x2－12＝0，∴x＝±2，
f(－2)＝－8＋24＋16＝32，
f(2)＝8－24＋16＝0，
f(3)＝27－36＋16＝7，
∴ymax＝32.32π4．若函数f(x)、g(x)在区间[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，
f(a)＝g(a)，则在区间[a，b]上有f(x)与g(x)的大小关系为
_________________．
解析：∵f′(x)>g′(x)，
∴f(x)－g(x)单调递增．
∵x≥a，∴f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)，
即f(x)－g(x)≥0，即f(x)≥g(x)．f(x)≥g(x)求函数的最值∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－3)(x－1)，
由f′(x)＝0，解得x＝1或x＝3.列表：若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)上可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，其最值一定在极值点处或区间端点处取得，因此在求闭区间[a，b]上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)的函数值．对于开区间(a,b)内可导的函数(定义域为开区间或半开半闭区间)求最值，除求出函数的极大值、极小值外,还应考虑函数在区间端点处的函数值或画出函数的大致图象,再判定函数的最大(小)
值，否则会犯错误，但定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．解：f′(x)＝2x－2x3，解方程2x－2x3＝0，
得x＝0或x＝±1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：含参数的最值问题求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论．由于函数的最值只能在极值点和端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理．2．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．
(1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[－1,0]上的最大值．函数最值的应用有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．即
①若f(x)f(x)max；
②若f(x)>c恒成立，则c[解] 法一：转化为求f(x)＝x3－6x2＋9x－4的零点的个数问
题．
f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＝0得x＝3或x＝1.
当x变化时，f′(x)、f(x)随x变化情况如下表：又当x→＋∞时，f(x)→＋∞.
x→－∞时，f(x)→－∞.
故f(x)的图象大致如图所示．
∴方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数为2个．法二：转化为求f1(x)＝x3－6x2＋9x与f2(x)＝4图象交点的个数问题．
∵f1(x)＝x3－6x2＋9x，
∴f′1(x)＝3x2－12x＋9.
令f′1(x)＝0得x＝3或x＝1.
当x变化时，f′1(x)，f1(x)随x变化情况如下表：又当x→＋∞时，f1(x)→＋∞.
当x→－∞时，f1(x)→－∞.
故f1(x)与f2(x)的图象大致如图所示．
由此知y＝f1(x)与y＝f2(x)图象有两个交点，故方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数为2个．[名师点评] (1)方程的根就是函数的零点，也就是函数图象与x轴的交点的横坐标，因此研究方程的根的问题，可以转化为求函数的零点问题，通过研究函数的图象加以解决．
(2)在讨论函数的大致图象时，利用导数得到函数的单调性以及极值和最值的情况，然后讨论交点的情况，从而得到方程根的情况.令f′(x)＝0，解得x＝1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：[感悟提高] 利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先要注意变量的取值范围，再正确的构造出函数，最后再求出函数的最值．课件22张PPT。第3章 导数及其应用第3章 导数及其应用导数运算问题(1)求一个函数的导数的方法有两种：一是利用定义，二是利用常见函数导数公式及导数四则运算法则．第一种方法过程繁琐，计算量大，因此第二种方法较为常见．
(2)注意：
①熟记常见函数导数公式，并掌握各种求导法则．
②求较复杂的函数的导数，要先化简函数式，再求导，尽量避开积或商的求导法则，化简方法一般由乘积式或商式展开化为多项式求导；利用三角恒等变换化简后求导．
③求较复杂又不能化简的函数积、商的导数,必须细心、耐心.导数的几何意义导数的几何意义把导数与解析几何紧密地联系在一起，利用导数的几何意义求出曲线上任意一点处的切线的斜率，使解析几何中的有关问题得以顺利解决，如求方程、点的坐标、面积计算等，导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，有关曲线的切线问题可尝试用导数的方法来解决．利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两种,一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得
y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．①
又y1＝f(x1)，②
由①②求出x1，y1的值．
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11,g(x)＝3x2＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由.利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一．
(1)导数与函数单调性的关系
①设函数y＝f(x)在某个区间内可导，若f′(x)>0，则f(x)在该区间内为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在该区间内为减函数．
②设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果在该区间内函数为增函数，则f′(x)≥0；如果函数在该区间内为减函数，则f′(x)≤0.由以上分析可知，在某区间内f′(x)>0(<0)只是f(x)在该区间内单调递增(递减)的充分条件．(2)求已知函数单调区间的步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；
④结合定义域写出函数的单调增区间或减区间．
当函数具有相同单调性的单调区间有多个时，绝对不能用“∪”连结，而应用“和”或“，”隔开．利用导数研究函数的极值和最值利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．
(1)可导函数极值与导数的关系
点是极值点的充分条件是在该点两侧的导数异号，点是极值点的必要条件是在该点的导数为0.
(2)求函数极值的一般步骤：
①确定函数f(x)的定义域；
②解方程f′(x)＝0的根；
③检验f′(x)＝0根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
(3)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的步骤：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将①求得的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值．
恒成立问题一些求题中参数取值范围的问题，常转化为恒成立问题．利用f(x)a恒成立?f(x)min>a的思想解题． 已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．