2.1 圆锥曲线
学习目标：1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它的定义．(重点、难点) 2.通过用平面截圆锥面感受、了解双曲线、抛物线的定义．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．用平面截圆锥面得到的图形
用平面截圆锥面能得到的曲线图形是两条相交直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线．
2．圆锥曲线定义
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．
3．三种圆锥曲线
设P为相应曲线上任意一点，常数为2a.
定义(自然语言)
数学语言
椭圆
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
PF1＋PF2＝2a＞F1F2
双曲线
平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
|PF1－PF2|＝2a＜F1F2
抛物线
平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
PF＝d，其中d为点P到l的距离
[基础自测]
1．判断正误：
(1)到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )
(3)椭圆上的一点与椭圆的两焦点，一定构成一个三角形．( )
(4)平面内到一定点与一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( )
【解析】 (1)×.当常数大于两定点间的距离时，动点的轨迹才是椭圆．
(2)×.应该是差的绝对值，否则轨迹是双曲线的一支．
(3)×.当椭圆上的点在F1F2的延长线上时，不能构成三角形．
(4)×.定点不能在定直线上才是抛物线．
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．动点P(x，y)，到定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为6，则点P的轨迹为________.
【导学号：95902065】
【解析】 ∵AB＝4，PA＋PB＝6＞4，∴点P的轨迹为椭圆．
【答案】 椭圆
[合 作 探 究·攻 重 难]
椭圆的定义及应用
(1)在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(－4,0)，且＝，则△ABC的顶点C的轨迹为________．
(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹．
[思路探究] 根据椭圆的定义判断．
【自主解答】 (1)由正弦定理，得＝，又AB＝8，∴BC＋AC＝10＞AB，
由椭圆定义可知，点C的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．
【答案】 (1)以点A、B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个定点)．
(2)如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r. 由题意得动圆M内切于圆C1，
∴MC1＝13－r.圆M外切于圆C2，
∴MC2＝3＋r.∴MC1＋MC2＝16>C1C2＝8，
∴动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．
[规律方法] 已知平面内动点P及两个定点F1，F2：
(1)当PF1＋PF2>F1F2时，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆；
(2)当PF1＋PF2＝F1F2时，点P的轨迹是线段F1F2；
(3)当PF1＋PF2
[跟踪训练]
1．已知△ABC中，A(0，－3)，B(0,3)，且△ABC的周长为16，试确定顶点C的轨迹.
【导学号：95902066】
【解】 由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，
又△ABC的周长为16，
所以CA＋CB＝16－6＝10＞6，
由椭圆的定义可知点C在以A，B为焦点的椭圆上，
又因为A、B、C为三角形的顶点，
所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线上的两个点).
抛物线的定义及应用
(1)已知点M到F的距离比它到y轴的距离大，则点M的轨迹为________．
(2)若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹是________．
[思路探究] (1)把条件转化为M到定点与定直线的距离相等；(2)利用圆心到A的距离与到切线的距离相等．
【自主解答】 (1)由于动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．
(2)圆心与A点的距离等于圆心到直线l的距离，所以圆心的轨迹是抛物线．
【答案】 (1)抛物线 (2)抛物线
[规律方法]
1．(1)要首先判断定点是否在定直线上；
(2)要准确判断准线的位置．
2．已知平面内定点F及定直线l，动点P满足PF＝d(d为点P到直线l的距离)：
(1)当定点F不在定直线l上时，动点P的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线；
(2)当定点F在定直线l上时，动点P的轨迹是以定点F为垂足且与定直线l垂直的一条直线．
[跟踪训练]
2．动点P(x，y)满足＝，则点P的轨迹为________.
【导学号：95902067】
【解析】 的几何意义是点P(x，y)到定直线3x－4y＋1＝0的距离，的几何意义是点P(x，y)到定点(2,1)的距离，由＝可知动点P(x，y)满足到定直线3x－4y＋1＝0的距离与到定点(2,1)的距离相等，且定点不在定直线上，所以点P的轨迹为抛物线．
【答案】 抛物线
双曲线的定义及应用
[探究问题]
1．双曲线的定义是什么？
【提示】 平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线．
2．如果把双曲线定义中的动点设为P，常数设为 2a，你可以用一个数学式来表示双曲线的定义吗？
【提示】 |PF1－PF2|＝2a(2a＜F1F2)
3．如果把定义中的“绝对值”去掉，变为动点P满足PF1－PF2＝2a(2a＜F1F2)，那么点P的轨迹是什么？
【提示】 动点P的轨迹是双曲线的一支(靠近焦点F2的一支)．
4．如果把双曲线定义中的条件“2a＜F1F2”去掉，动点P的轨迹是什么？
【提示】 如果2a＝F1F2，则动点P的轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
如果2a＞F1F2，则动点P的轨迹不存在．
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹.
【导学号：95902068】
[思路探究] 根据动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，分别转化为两圆外切的条件，利用这两个条件寻找圆心M与两定点C1、C2距离之间的关系，并结合圆锥曲线的定义进行判断．
【自主解答】 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1－AC1|＝MA，
|MC2－BC2|＝MB，因为MA＝MB，
所以|MC1－AC1|＝|MC2－BC2|，即|MC2－MC1|＝|BC2－AC1|＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2，
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)．
[规律方法]
1．本题以圆与圆的位置关系为载体融点的轨迹求法于其中，求解时可利用圆与圆的位置关系找出动点的等量关系(如本例中得到|MC1－AC1|＝MA，|MC2－BC2|＝MB)在此基础上对等量关系化简变形，得出相应动点的轨迹．
2．在解与双曲线有关的轨迹问题时，要注意双曲线定义中的条件“距离的差的绝对值”，判断所求的轨迹是双曲线的一支还是两支．
[跟踪训练]
3．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹是________．
【解析】 设动圆M的半径为r.因为动圆M与圆C1外切且与圆C2内切，
所以|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1.相减得|MC1－MC2|＝4.
又因为C1(－3,0)，C2(3,0)，并且C1C2＝6>4，
所以点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支．
【答案】 以C1，C2为焦点的双曲线的右支
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．动点P到两定点A(－1,0)，B(1,0)的距离之和为4，则点P的轨迹为________．
【解析】 因为AB＝2，PA＋PB＝4，所以点P的轨迹为椭圆．
【答案】 椭圆
2．若动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则点P的轨迹为________.
【导学号：95902069】
【解析】 动点P到定点F和到定直线x＝－2的距离相等，∴P点的轨迹为抛物线．
【答案】 抛物线
3．平面内动点P到定点F1(－4,0)的距离比它到定点F2(4，0)的距离大6，则动点P的轨迹方程是________．
【解析】 由|PF1－PF2|＝6<8＝F1F2知，P点轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支．
【答案】 以F1，F2为焦点的双曲线的右支
4．已知F1，F2是定点，F1F2＝8，动点M满足MF1＋MF2＝8，则动点M的轨迹是________．
【解析】 ∵MF1＋MF2＝8＝F1F2，∴点M的轨迹是线段F1F2.
【答案】 线段F1F2
5．已知：圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝25，动圆C与圆C1外切与圆C2内切，求动圆圆心C的轨迹.
【导学号：95902070】
【解】 设圆C的半径为r，由动圆C与圆C1外切，与圆C2内切得CC1＝r＋1，CC2＝5－r，所以CC1＋CC2＝(r＋1)＋(5－r)＝6＞C1C2＝2，故C轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆．
2.2.1 椭圆的标准方程
学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点) 2.掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程．(重点) 3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．
[自 主 预 习·探 新 知]
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2
[基础自测]
1．判断正误：
(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.( )
(2)方程2x2＋y2＝4表示的曲线不是椭圆．( )
(3)圆是椭圆的特殊形式．( )
(4)方程＋＝1(a>0)，表示焦点在x轴上的椭圆．( )
【解析】 (1)√.由椭圆方程的推导过程可知a2＝b2＋c2.
(2)×.把方程2x2＋y2＝4化为标准形式为＋＝1，易知其表示的曲线是椭圆．
(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误．
(4)×.当a2＞2a，即a＞2时，方程＋＝1(a＞0)才表示焦点在x轴上的椭圆，否则不是．
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．a＝5，c＝3，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为______.
【导学号：95902077】
【解析】 ∵a＝5，c＝3，∴b2＝25－9＝16，
又∵焦点在y轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
[合 作 探 究·攻 重 难]
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[思路探究] (1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解．
【自主解答】 (1)方法一：由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二：由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵2a＝＋＝10，∴a＝5.
又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法三：由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆经过点(5,0)，所以a＝5，又因为椭圆的焦点为(－4,0)和(4,0)，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)方法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有，解得.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有，解得，因为a＞b＞0，所以无解．
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
依题意有，解得.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[规律方法]
1．确定椭圆方程的“定位”与“定量”
2．巧设椭圆方程
(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
(2)与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程可设为＋＝1.
[跟踪训练]
1．求焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程．
【解】 由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
∴，?.
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
与椭圆有关的轨迹问题
如图2-2-1所示，圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且P′M＝λPP′(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？
图2-2-1
[思路探究] 设出点M和点P的坐标，根据P′M＝λPP′找到二者的联系，用点M的坐标表示点P的坐标，利用点P在圆上代入可得点M的轨迹方程，讨论λ可得点M的轨迹．
【自主解答】 设M(x，y)，P(x0，y0)，∵PP′⊥x轴，且P′M＝λPP′，∴x＝x0，y＝λy0，即x0＝x，y0＝y.
∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.
把x0＝x，y0＝y代入上式得x2＋＝1.
当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；
当λ＝1时，点M的轨迹是圆；
当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆.
[规律方法] 求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为(x，y)，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.
[跟踪训练]
2．已知点P(x0，y0)是椭圆＋＝1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程．
【解】 设M(x，y)，则∴
∵点P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.
把代入＋＝1，得＋＝1，即＋y2＝1为所求．
椭圆的定义及标准方程的应用
[探究问题]
1．椭圆的定义是什么？能否用一个数学式来表示椭圆的定义？
【提示】 平面内与两个定点F1，F2距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．即PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)．
2．若点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点，则PF1＋PF2的值为多少？
【提示】 PF1＋PF2＝2a.
3．在三角形PF1F2中，F1F2的长是多少？设∠F1PF2＝θ，结合余弦定理，PF1·PF2能否用椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)中的参数来表示？
【提示】 F1F2＝2c.在三角形PF1F2中，由余弦定理可得
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos θ＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2(1＋cos θ)，
即4c2＝4a2－2PF1·PF2(1＋cos θ)，所以PF1·PF2＝.
4．根据探究3的讨论，能把三角形PF1F2的面积表示出来吗？根据基本不等式，PF1·PF2和PF1＋PF2存在不等关系吗？
【提示】 S＝PF1·PF2sin θ＝，
根据基本不等式PF1·PF2≤＝a2.
5．设点F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则三角形PF1F2叫做该椭圆的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？
【提示】 要注意充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式，若涉及范围问题，往往要利用基本不等式解决．
已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
(1)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积；
(2)求PF1·PF2的最大值．
[思路探究] (1)在焦点三角形PF1F2中，应用椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式可求解；
(2)利用椭圆的定义和基本不等式可求PF1·PF2.
【自主解答】 (1)由椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝20， ①
在△PF1F2中，由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2，
即122＝PF＋PF－PF1·PF2. ②
①2＋②，并整理，得PF1·PF2＝.
∴S＝ PF1·PF2·sin＝.
(2)由＋＝1可知，a＝10，c＝6.
∴PF1＋PF2＝20，
∴PF1·PF2≤＝100.当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立．
∴PF1·PF2的最大值是100.
[规律方法]
1．椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P到两焦点F1，F2的距离的和为常数2a，则已知点P到一个焦点的距离就可以利用PF1＋PF2＝2a求出该点到另一个焦点的距离．
2．椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．
3．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absin C把PF1·PF2看成一个整体，运用公式PF＋PF＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2及余弦定理求出PF1·PF2，而无需单独求出，这样可以减少运算量．
[跟踪训练]
3．已知椭圆＋＝1的左、右两个焦点分别是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是__________.
【导学号：95902078】
【解析】 因为＋＝1，焦点在x轴上，则a＝2，由椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝2，又|PF1|－|PF2|＝2，可得|PF1|＝3，|PF2|＝1，由12＋(2)2＝9，所以△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF2|·|F1F2|＝.
【答案】
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1＋PF2＝________.
【导学号：95902079】
【解析】 由标准方程得a2＝25，∴2a＝10，由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝10.
【答案】 10
2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为 ________.
【解析】 c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
3．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________.
【导学号：95902080】
【解析】 由于椭圆焦点在x轴上，∴即?a>3或－6【答案】 a>3或－64．已知点P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为椭圆的焦点，若∠F1PF2为直角，则PF1·PF2＝__________.
【解析】 由∠F1PF2为直角得PF＋PF＝F1F，(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝F1F.
又a2＝49，b2＝24得c2＝25，
所以142－2PF1·PF2＝102得PF1·PF2＝48.
【答案】 48
5．已知椭圆过点P和点Q，求此椭圆的标准方程.
【导学号：95902081】
【解】 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则∴
∴椭圆方程为x2＋＝1.
2.2.2 椭圆的几何性质
学习目标：1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质．(重点) 2.感受如何运用方程研究曲线的几何性质(难点) 3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
长轴长＝2a，短轴长＝2b
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
F1F2＝2c
对称性
对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝(0＜e＜1)
2.椭圆的离心率
[基础自测]
1．判断正误：
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.( )
(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．( )
【解析】 (1)×.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a.
(2)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
(3)√.离心率e＝越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆．
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
2．椭圆＋＝1的离心率是________.
【导学号：95902089】
【解析】 由方程可知a2＝25，a＝5，c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，∴e＝＝.
【答案】
[合 作 探 究·攻 重 难]
已知椭圆方程求其几何性质
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[思路探究] →→→
【自主解答】 椭圆方程可化为＋＝1.
∵m－＝>0，∴m>，
即a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝得＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；
两焦点分别为F1，F2；
四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
[规律方法] 用标准方程研究几何性质的步骤
?
?
?
[跟踪训练]
1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
【导学号：95902090】
【解】 把已知方程化成标准方程＋＝1，于是a＝4，b＝3，c＝＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝，
两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3).
由椭圆的几何性质求方程
(1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点C在椭圆上，则椭圆的标准方程为__________．
(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为________．
[思路探究] 解决问题的关键是根据已知条件求出a2 和b2.
【自主解答】 (1)由e＝＝得＝，又c2＝a2－b2，
所以＝得＝. ①
又点C在椭圆上得＋＝1， ②
由①，②解得a2＝9，b2＝5.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由已知∴从而b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
【答案】 (1)＋＝1 (2)＋＝1或＋＝1.
[规律方法]
1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法．
2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数”，一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．
[跟踪训练]
2．直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________.
【导学号：95902091】
【解析】 直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.
直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1.故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为＋y2＝1.
【答案】 ＋y2＝1
求椭圆的离心率
(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为________．
(2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，则椭圆的离心率为________．
[思路探究] (1)求出点P的坐标，利用点P在椭圆上其坐标满足椭圆的方程构建关于离心率e的方程，解方程可得离心率．
(2)在焦点三角形PF1F2中利用椭圆的定义与勾股定理得到a，b的关系式，可求离心率；或仿照(1)题的做法也可以求解．
【自主解答】 (1)依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有＋＝1，
整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，又因为b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0，
即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2(3＋2舍去)，从而e＝－1.
(2)方法一：设焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，b)．在Rt△MF1F2中，F1F＋MF＝MF，即4c2＋b2＝MF，而MF1＋MF2＝＋b＝2a，整理，得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2 ∴3b＝2a.
∴＝.
∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.
法二：设M，代入椭圆方程，得＋＝1，
∴＝，∴＝，即e＝.
【答案】 (1)－1 (2)
[规律方法] 求椭圆离心率及范围的两种方法
?1?直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解.
?2?方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.
[跟踪训练]
3．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为__________.
【导学号：95902092】
【解析】 因为MF2垂直于x轴， ∠MF1F2＝45°，所以△MF1F2是等腰直角三角形，以MF1为斜边．设MF1＝m(m＞0)，则MF2＝F1F2＝m，又因为F1，F2是椭圆的左、右焦点，所以MF1＋MF2＝2a，即2a＝(1＋)m，而2c＝F1F2＝m，所以e＝＝＝＝－1.
【答案】 －1
直线与椭圆的综合应用
[探究问题]
1．已知直线y＝kx＋m和椭圆＋＝1(a>b>0)，如何判断直线与椭圆的位置关系？
【提示】 由得(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0，设该二次方程的判别式为Δ，若Δ＞0，则直线与椭圆有两个交点；若Δ＝0，则直线与椭圆有一个交点；若Δ＜0，则直线与椭圆没有交点．
2．如果直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究1中得到的关于x的二次方程有什么关系？
【提示】 探究1中得到的关于x的二次方程(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标．
3．设直线与椭圆有两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，那么如何求线段AB的长和M的坐标？
【提示】 方法一：解方程(a2k2＋b2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0，可得x1，x2，由y＝kx＋m可得y1，y2，即得A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标，然后利用两点间距离公式和中点坐标公式可求线段AB的长和M的坐标．
方法二：根据根与系数的关系，采取“设而不求”思路解决问题．
即 AB＝
＝
＝
＝·
＝·，
点M的坐标可直接利用根与系数的关系求解．
上述两种方法，第一种方法运算太过繁琐，一般采用第二种方法求解此类问题．
如图2-2-2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2，过右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，当l与x轴垂直时，AB长为.
图2-2-2
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上存在一点P，使得＝＋，求直线l的斜率.
【导学号：95902093】
【自主解答】 (1)由题意可知2c＝2，c＝1，当l与x轴垂直时|AB|＝＝，由a2＝b2＋c2，得a＝，b＝，故椭圆的标准方程是：＋＝1.
(2)设直线l的斜率为k，则直线l的方程：y＝k(x－1)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)由，可得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为＝＋则，代入椭圆方程＋＝1，
又＋＝1，＋＝1，
化简得2x1x2＋3y1y2＋3＝0，即(3k2＋2)x1x2－3k2(x1＋x2)＋3k2＋3＝0
将x1＋x2＝，x1x2＝代入得3k2－6－＋3k2＋3＝0，
化简得k2＝2，k＝±，故直线l的斜率为±.
[规律方法] 椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其它章节知识结合考查，如不等式、三角函数及平面向量，特别是与直线方程，解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函数是常用的技巧.
[跟踪训练]
4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求该椭圆的方程；
(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值．
【解】 (1)设椭圆的半焦距为c，由题意＝，且a＝2，得c＝，b＝1，
∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝x2＋－3＝x2－2，
∵x∈[－2,2]，∴当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，
·有最小值－2；当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是________.
【导学号：95902094】
【解析】 由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
2．已知椭圆＋＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．
【解析】 ∵直线x＋2y＝2过(2,0)和(0,1)点，∴a＝2，b＝1，∴c＝，椭圆焦点坐标为(±，0)．
【答案】 (±，0)
3．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m的值为________.
【导学号：95902095】
【解析】 将原方程变形为x2＋＝1.由题意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1.
∴＝2，∴m＝.
【答案】
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．
【解析】 设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则AF1＝c，AF2＝c，有2a＝(1＋)c，
∴e＝＝＝－1.
【答案】 －1
5．当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144.
(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点.
【导学号：95902096】
【解】 由
消去y得，9x2＋16(x＋m)2＝144，
化简整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0，
Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14 400.
(1)当Δ<0时，得m<－5或m>5，直线l与椭圆无公共点.
(2)当Δ＝0时，得m＝±5，直线l与椭圆有且仅有一个公共点．
(3)当Δ>0时，得－52.3.1 双曲线的标准方程
学习目标：1.了解双曲线标准方程的推导过程．(难点) 2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点) 3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
双曲线的标准方程
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c之间的关系
b2＝c2－a2
[基础自测]
1．判断正误：
(1)－＝1表示焦点在y轴上的双曲线．( )
(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.( )
(3)双曲线的标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.( )
【解析】 (1)×.方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线．
(2)×.当a＝b时方程也表示双曲线．
(3)×.双曲线的标准方程中a，b的大小关系不确定．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，＝，则C的方程是________.
【导学号：95902104】
【解析】 右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c＝3.
又离心率为＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，
故C的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
[合 作 探 究·攻 重 难]
求双曲线的标准方程
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)过点P，Q；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上；
(3)与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2,1)．
[思路探究] 解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式，将两点代入，简化运算过程，解答(2)可设双曲线的标准方程－＝1(a＞0，b＞0)，也可将方程设为－＝1(0＜λ＜6)，把点(－5,2)的坐标代入求解；(3)根据条件设出双曲线的标准方程解方程组可求．
【自主解答】 (1)方法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∵点P和Q在双曲线上，
∴解得(舍去)
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为
－＝1(a＞0，b＞0)，
将P，Q两点坐标代入可得
解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
方法二：设双曲线的标准方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，因为双曲线过点P，Q，
所以，解得，所以所求双曲线方程为－＝1.
(2)方法一：依题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题设有解得
∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
方法二：∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，
∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
(3)由题意，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵两双曲线有相同焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2. ①
又点P(2,1)在双曲线－＝1上．
∴－＝1. ②
由①、②联立，得a2＝b2＝3.
故所求双曲线方程为－＝1.
[规律方法] 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：
?1?定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论.
?2?设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1?a>0，b>0?，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1?m·n<0?；
?3?寻关系：根据已知条件列出关于a、b?或m、n?的方程组；
?4?得方程：解方程组，将a、b、c?或m、n?的值代入所设方程即为所求.
[跟踪训练]
1．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2).
【导学号：95902105】
【解】 (1)由已知得，c＝5,2a＝8，即a＝4.∵c2＝a2＋b2，∴b2＝c2－a2＝52－42＝9.
∵焦点在x轴上，∴所求的双曲线标准方程是－＝1.
(2)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n<0)，则，∴，
∴双曲线方程为－＝1.
曲线类型的讨论
已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路探究] 由方程满足圆、椭圆、双曲线的条件，对k的值分类讨论，确定曲线类型．
【自主解答】 (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[规律方法] 将方程化为标准方程的形式，假如方程为＋＝1，
(1)当mn<0时，方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线.
(2)当mn>0且m>0，n>0，m≠n时表示椭圆.
(3)当m＝n>0时表示圆.
[跟踪训练]
2．(1)如果方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是__________．
(2)“ab＜0”是方程ax2＋by2＝c表示双曲线的__________条件．(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)
【解析】 (1)由题意知(m＋2)(m＋1)＜0，解得－2＜m＜－1，故m的取值范围是(－2，－1)．
(2)若ax2＋by2＝c表示双曲线，即＋＝1表示双曲线，则＜0，这就是说“ab＜0”是必要条件，然而若ab＜0，c＝0时不表示双曲线，即“ab＜0”不是充分条件．
【答案】 (1)(－2，－1) (2)必要不充分
双曲线的定义及标准方程的应用
[探究问题]
1．双曲线的定义是什么？如果把双曲线定义中的动点设为P，常数设为2a，你可以用一个数学式来表示双曲线的定义吗？
【提示】 平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线．用数学式可表示为|PF1－PF2|＝2a(2a＜F1F2)．
2．设∠F1PF2＝θ，类比上一节对椭圆中焦点三角形的讨论，能否用双曲线方程－＝1(a>0，b>0)中的参数来表示三角形PF1F2的面积？
【提示】 在三角形PF1F2中，F1F2＝2c.由余弦定理可得
F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos θ＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2(1－cos θ)，
即4c2＝4a2＋2PF1·PF2(1－cos θ)，所以PF1·PF2＝，
所以S△PF1F2＝PF1·PF2sin θ＝.
3．设点F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则三角形PF1F2叫做该双曲线的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？
【提示】 要注意充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式．
如图2-3-1所示，已知双曲线中c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P是双曲线上的点，∠F1PF2＝60°；S△F1PF2＝12.求双曲线的标准方程.
【导学号：95902106】
图2-3-1
[思路探究] 设出双曲线的标准方程，利用双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式构建方程组，解之可得双曲线的标准方程．
【自主解答】 由题意可知双曲线的标准方程为－＝1.由于|PF1－PF2|＝2a，在△F1PF2中，
由余弦定理得cos 60°＝
＝
所以PF1·PF2＝4(c2－a2)＝4b2，所以S△F1PF2＝PF1·PF2·sin 60°＝2b2·＝b2，
从而有b2＝12，所以b2＝12，c＝2a，结合c2＝a2＋b2，得a2＝4.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
[规律方法]
1．在椭圆或双曲线中，凡涉及以两焦点和椭圆或双曲线上一点为顶点的三角形(称为焦点三角形)的问题，一般都可以从圆锥曲线的定义和勾股定理(或正、余弦定理)等知识入手来解决问题．
2．在解题过程中，应注意到椭圆与双曲线定义的不同，配方时，一个配成(PF1＋PF2)2，另一个配成(PF1－PF2)2.
[跟踪训练]
3．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若PF1∶PF2＝3∶2，则△PF1F2的面积为________．
【解析】 由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1－PF2|＝2，又PF1∶PF2＝3∶2，
∴PF1＝6，PF2＝4.又F1F2＝2c＝2.
由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝0.
∴三角形为直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12.
【答案】 12
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．双曲线－＝1的焦距为________.
【导学号：95902107】
【解析】 c2＝m2＋12＋4－m2＝16，∴c＝4,2c＝8.
【答案】 8
2．满足条件a＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________．
【解析】 由a＝2，c＝4，得b2＝c2－a2＝12，又一焦点(4,0)在x轴上，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
3．双曲线－＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为________.
【导学号：95902108】
【解析】 ∵a2＝25，∴a＝5，由双曲线定义可得|PF1－PF2|＝10，由题意知PF1＝12，
∴PF1－PF2＝±10，∴PF2＝22或2.
【答案】 22或2
4．双曲线－y2＝1的两焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，且满足∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积等于__________．
【解析】 设|PF1|＝x，|PF2|＝y，(x＞y)根据双曲线定义可知x－y＝4，∵∠F1PF2＝，∴x2＋y2＝20，∴2xy＝x2＋y2－(x－y)2，∴xy＝2，∴S△PF1F2＝1.
【答案】 1
5．如图2-3-2所示，已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
【导学号：95902109】
图2-3-2
【解】 圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1；
圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4.
设动圆M的半径为R，
则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，
∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，
且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝.
∴动圆圆心M的轨迹方程是－＝1.
2.3.2 双曲线的几何性质
学习目标：1.了解双曲线的几何性质．(重点) 2.会求双曲线的渐近线、离心率、顶点、焦点坐标等．(重点) 3.会用双曲线的几何性质处理简单的问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
范围
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
对称性
对称轴：x轴，y轴，对称中心：原点O
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
离心率
e＝
渐近线
y＝±x
y＝±x
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的离心率e＝.
3．离心率对双曲线开口大小的影响
以双曲线－＝1(a>0，b>0)为例．
e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)等轴双曲线的离心率是.( )
(2)方程－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x.( )
(3)离心率越大，双曲线－＝1的渐近线斜率绝对值越大．( )
【解析】 (1)√.因为a＝b，所以c＝a，所以e＝＝.
(2)×.由－＝1，得y＝±x，所以渐近线方程为y＝±x.
(3)√.由＝＝(e＞1)，所以e越大，渐近线y＝±x斜率的绝对值越大．
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
2．双曲线x2－＝1的渐近线方程为________，离心率e＝________.
【导学号：95902117】
【解析】 a＝1，b＝，∴渐近线方程为y＝±x，
离心率e＝＝＝2.
【答案】 y＝±x 2
[合 作 探 究·攻 重 难]
由双曲线的标准方程求几何性质
求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
[思路探究] →→
【自主解答】 把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)，
由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝.
顶点坐标为(－，0)，(，0)．∴渐近线的方程为y＝±x＝±x.
[规律方法]
1．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键．
(2)由标准方程确定焦点位置，确定a、b的值．
(3)由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质．
2．(1)由双曲线方程求其几何性质时，要与椭圆区分开，不能混淆，如对椭圆a2＝b2＋c2，而对双曲线则是c2＝a2＋b2；对椭圆e＝＝，对双曲线则是e＝＝.
(2)求双曲线的渐近线方程时，只需将双曲线方程中的常数项化为零即可得到．
[跟踪训练]
1．求双曲线x2－3y2＋12＝0的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
【导学号：95902118】
【解】 将方程x2－3y2＋12＝0化为标准方程为－＝1，∴a＝2，b＝2，c＝4，因此顶点A1(0，－2)，A2(0,2)，焦点坐标F1(0，－4)，F2(0,4)，实轴长2a＝4，虚轴长2b＝4，离心率e＝2，渐近线方程为y＝±x.
由双曲线的几何性质求标准方程
求适合下列条件的双曲线标准方程：
(1)离心率为2，焦点到渐近线的距离等于；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共的渐近线，且过点M(2，－2)．
[思路探究] →→→
【自主解答】 (1)依题意，b＝，＝2?a＝1，c＝2，
∴双曲线的方程为x2－＝1或y2－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6?λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6?λ＝－1.
∴所求的方程为－＝1和－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为－＝1.
[规律方法]
1．根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．
2．利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线系方程－＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．
[跟踪训练]
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________.
【导学号：95902119】
【解析】 由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)，离心率是.故在双曲线中c＝，e＝＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是－＝1.
【答案】 －＝1
双曲线的离心率
[探究问题]
1．双曲线离心率的定义式是什么？你能从其定义式得到其离心率的范围吗？
【提示】 e＝，因为c2＝a2＋b2，所以c＞a＞0，所以e＝＞1.
2．利用a，b，c的关系c2＝a2＋b2，双曲线的离心率还有其它表达方式吗？
【提示】 e＝或e＝.
3．根据探究2可知，求双曲线的离心率并不一定要求出a，b，c的具体数值，只要知道a，b，c三个参数中任意两个的比值就可以求出离心率，如果c2－ac－2a2＝0，那么双曲线的离心率是什么？
【提示】 由c2－ac－2a2＝0可得－－2＝0，即e2－e－2＝0，
所以(e＋1)(e－2)＝0，因为e＞1，所以e＝2.
4．如何求双曲线的离心率的取值范围？
【提示】 解关于离心率e的不等式，或者利用基本不等式、双曲线上点的坐标的范围求出或的取值范围可求离心率的取值范围．
(1)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(PF1－PF2)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为________．
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是________．
[思路探究] (1)(PF1－PF2)2＝b2－3ab4a2＝b2－3ab离心率
(2)利用双曲线的定义及基本不等式寻找a，c之间的不等关系，可求出双曲线离心率的取值范围．
【自主解答】 (1)由双曲线的定义知，(PF1－PF2)2＝4a2，又(PF1－PF2)2＝b2－3ab，
所以4a2＝b2－3ab，等号两边同除a2，化简得－3·－4＝0，解得＝4，或＝－1(舍去)故离心率e＝＝＝＝＝.
(2)因为P为双曲线右支上的任意一点，所以PF1＝2a＋PF2，
所以＝PF2＋＋4a≥2＋4a＝8a，
当且仅当PF2＝2a，PF1＝4a，可得2a＋4a≥2c解得e≤3，
又因为双曲线离心率大于1，故答案为(1,3]．
【答案】 (1) (2)(1,3]
[规律方法] 求双曲线离心率的两种方法
?1?直接法：若已知a，c，可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝求解.
?2?方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解.
[跟踪训练]
3．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为________．
【解析】 依题意·＝－1，∴a＝b.则e2＝＝＝2，∴e＝.
【答案】
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是________．
【解析】 双曲线的标准方程为－＝1，∴a2＝4，∴2a＝4.
【答案】 4
2．已知双曲线－＝1(m＞0)的离心率为， 则m＝__________.
【导学号：95902120】
【解析】 这里a2＝m2＋3，b2＝4m，c2＝m2＋4m＋3，
∴＝2，解得m＝1或m＝3.
【答案】 1或3
3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1,3)，离心率为的双曲线的标准方程为________．
【解析】 由离心率为，∴e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b，
∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(1,3)
在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
4．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(m＞0)的离心率为，则该双曲线的两条渐近线方程是__________．
【解析】 a2＝2，b2＝m，∴c2＝2＋m，又e＝，∴e2＝，即＝，得m＝1，故渐近线方程为y＝±x＝±x.
【答案】 y＝±x
5．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率.
【导学号：95902121】
【解】 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，∴设双曲线方程为－＝1.又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，得e2＝＝2，又e>0，∴e＝.
2.4.1 抛物线的标准方程
学习目标：1.掌握抛物线的标准方程．(重点) 2.掌握求抛物线标准方程的基本方法．
[自 主 预 习·探 新 知]
抛物线的标准方程
标准方程
y2＝2px
y2＝－2px
x2＝2py
x2＝－2py
图形
焦点坐标
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
开口方向
向右
向左
向上
向下
[基础自测]
1．判断正误：
(1)标准方程y2＝2px(p＞0)中p的几何意义是焦点到准线的距离．( )
(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定．( )
(3)x2＝－2y表示的抛物线开口向左．( )
【解析】 (1)√.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为，准线为x＝－，故焦点到准线的距离是p.
(2)√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确．
(3)×.x2＝－2y表示的抛物线开口向下．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)×
2．焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为________．
【解析】 由题意知p＝2×2＝4，焦点在y轴正半轴上，
∴方程为x2＝2×4y，即x2＝8y.
【答案】 x2＝8y
[合 作 探 究·攻 重 难]
求抛物线的标准方程
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
【导学号：95902128】
[思路探究] →→→
【自主解答】 (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)．又－＝－2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，
∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
[规律方法] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法
?1?若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；
?2?若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.
注意：焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax?a≠0?，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay?a≠0?.
[跟踪训练]
1．(1)焦点在x轴上，且焦点在双曲线－＝1上的抛物线的标准方程为________．
(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋16y2＝144的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的标准方程为__________．
【解析】 (1)由题意可设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，则焦点为.
∵焦点在双曲线－＝1上，∴＝1，求得m＝±4，∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
(2)椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在y轴上，
∴抛物线的对称轴为y轴，设抛物线的标准方程为
x2＝2py或x2＝－2py(p＞0)，由抛物线焦点到顶点的距离为3得＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.
【答案】 (1)y2＝8x或y2＝－8x x2＝12y或x2＝－12y
由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y＝x2；(2)x＝y2(a≠0).
【导学号：95902129】
[思路探究] →→
【自主解答】 (1)抛物线y＝x2的标准形式为x2＝4y，所以p＝2，所以焦点坐标是(0,1)，准线方程是y＝－1.
(2)抛物线x＝y2的标准形式为y2＝ax，所以p＝，故焦点在x轴上，坐标为，准线方程为x＝－.
[规律方法] 求抛物线焦点坐标和准线方程的步骤：
[跟踪训练]
2．求抛物线ay2＝x(a≠0)的焦点坐标与准线方程．
【解析】 把抛物线ay2＝x(a≠0)方程化为标准形式为y2＝x，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为x＝－.
抛物线的定义及标准方程的应用
[探究问题]
1．抛物线定义是什么？能否用数学式表示抛物线的定义？
【提示】 平面内到一定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．设抛物线上任意一点P，点P到直线l的距离为PD，则抛物线的定义可表示为PF＝PD.
2．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P的横坐标为x0，那么点P到其焦点F的距离是什么？
【提示】 抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，根据抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以点P到其焦点F的距离为PF＝x0－＝x0＋.
3．探究2中得到的用点P的横坐标表示其到焦点的距离的公式称为抛物线的焦半径公式，对于其它三种形式的方程的焦半径公式是什么？
【提示】 设抛物线上一点P的横坐标为x0，对于抛物线y2＝－2px(p＞0)，PF＝－x0；
设抛物线上一点P的纵坐标为y0，对于抛物线x2＝2py(p＞0)，PF＝y0－＝y0＋；
设抛物线上一点P的纵坐标为y0，对于抛物线x2＝－2py(p＞0)，PF＝－y0.
4．通过以上探究，你得到了什么启示？
【提示】 当题目中涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般转化为抛物线上的点到准线的距离较为简单，这样就将两点间的距离转化为点到直线的距离，将二次问题转化为一次问题．
已知抛物线的方程为y2＝2x，F是其焦点，点A(4,2)，在抛物线上是否存在点M，使MA＋MF取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
[思路探究] →→
【自主解答】 如图，由于点M在抛物线上，所以MF等于点M到其准线l的距离MN，于是MA＋MF＝MA＋MN，所以当A，M，N三点共线时，MA＋MN取最小值，亦即MA＋MF取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0,2)代入抛物线方程得x0＝2，
即M(2,2)．
[规律方法]
1．此类题目的实质是抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，从而化曲为直，利用点到直线的距离求最小值．
2．涉及抛物线上任意一点P与平面上的定点A以及抛物线焦点F的距离和PA＋PF的最小值问题，有以下处理思路：
(1)若点A在抛物线外部，则直线FA与抛物线的交点P使得PA＋PF最小，其最小值为AF；
(2)若点A在抛物线内部，则过A点作与准线l垂直的直线，它与抛物线的交点为P，则PA＋PF最小，其最小值为点A到准线l的距离．
[跟踪训练]
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________.
【导学号：95902130】
【解析】 如图，由抛物线定义知PA＋PQ＝PA＋PF，则所求距离之和的最小值转化为求PA＋PF的最小值，则当A、P、F三点共线时，PA＋PF取得最小值．又A(0,2)，F，
∴(PA＋PF)min＝AF＝＝.
【答案】
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．抛物线x2＝－16y的焦点坐标是________.
【导学号：95902131】
【解析】 ＝4，焦点在y轴上，开口向下，焦点坐标应为，即(0，－4)．
【答案】 (0，－4)
2．抛物线y＝x2的准线方程是________．
【解析】 由y＝x2得x2＝4y，所以抛物线的准线方程是y＝－1.
【答案】 y＝－1
3.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为__________．
【解析】 抛物线焦点F(1,0)，双曲线渐近线为3x±4y＝0，点F到直线3x±4y＝0的距离为d＝＝.
【答案】
4．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是________．
【解析】 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，
又点(－2,3)在抛物线上，∴p＝，p′＝，∴抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.
【答案】 y2＝－x或x2＝y
5．抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标.
【导学号：95902132】
【解】 设焦点为F，M点到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，
即9＋＝10，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线的方程，
得y＝±6.∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
2.4.2 抛物线的几何性质
学习目标：1.了解抛物线的简单的几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等． 2.会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
抛物线的几何性质
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性
质
焦点
F
F
F
F
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
[基础自测]
1．判断正误：
(1)抛物线是中心对称图形．( )
(2)抛物线的范围是x∈R.( )
(3)抛物线是轴对称图形．( )
【解析】 (1)×.在抛物线方程中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形．
(2)×.抛物线的方程不同，其范围就不同，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R.
(3)√.抛物线y2＝±2py(p＞0)的对称轴是x轴，抛物线x2＝±2py(p＞0)的对称轴是y轴．
【答案】 (1)× (2)× (3)√
2．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是a，则点M的横坐标是________.
【导学号：95902138】
【解析】 由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－.
【答案】 a－
[合 作 探 究·攻 重 难]
抛物线的方程及其几何性质
(1)设O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若PF＝4，则△POF的面积为________．
(2)已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程.
[思路探究] (1)利用抛物线的对称性及等边三角形的性质求解；
(2)设出抛物线的标准方程，根据抛物线的对称性表示出三角形的面积，解方程可得抛物线方程中的参数，即得抛物线的方程．
【自主解答】 (1)如图，设P(x0，y0)，由PF＝x0＋＝4，
得x0＝3，代入抛物线方程得y＝4×3＝24.
所以y0＝2.所以S△POF＝OF·y0＝××2＝2.
【答案】 2
(2)由题意，设拋物线方程为y2＝ax(a≠0)．焦点F，直线l：x＝，
∴A、B两点的坐标分别为，，
∴AB＝a，∵△OAB的面积为4，
∴··a＝4，∴a＝±4，∴拋物线的方程为y2＝±4x.
[规律方法]
1．求抛物线的标准方程时，目标就是求解p，只要列出一个关于p的方程即可求解．
2．求抛物线的标准方程要明确四个步骤：
(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；
(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；
(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；
(4)得出抛物线的标准方程．
[跟踪训练]
1．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，求抛物线C2的方程.
【导学号：95902139】
【解】 ∵双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
∴＝＝2，∴b＝a，
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝c，
∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8，
∴所求的抛物线方程为x2＝16y.
抛物线中的应用题
河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
[思路探究] →→→→
【自主解答】 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y.∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.
又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．
[规律方法]
1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．
2．以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程．(2)利用已求方程求点的坐标．
[跟踪训练]
2．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如2-4-1图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由.
【导学号：95902140】
图2-4-1
【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－3，－3)，A(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将B点的坐标代入，得9＝－2p·(－3)，
∴p＝，∴抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
∵车与箱共高4.5 m，
∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m．设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，
D′的坐标为(－x0，－0.5)，则x＝－3×(－0.5)，解得x0＝±＝±.
∴|DD′|＝2|x0|＝＜3，故此车不能通过隧道.
直线与抛物线的综合应用
[探究问题]
1．直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB的长是多少？
【提示】 由抛物线的定义可知AF＝x1＋，BF＝x2＋，
所以AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
2．斜率为k的直线l与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的长是多少？
【提示】 设直线l的方程为y＝kx＋m，则AB＝
＝
＝＝|x1－x2|.
这个公式称为弦长公式．
(1)已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________．
(2)求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为的抛物线方程．
[思路探究] (1)应用焦半径公式求解；(2)应用弦长公式求解．
【自主解答】 (1)抛物线的焦点为.设直线方程为y＝k，与方程y2＝6x联立得：4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0.设直线与抛物线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴x1＋x2＝，∴x1＋x2＋3＝＋3＝12.
∴k2＝1，∴k＝±1.
故弦所在直线的倾斜角是或π.
【答案】 或π
(2)设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0) ①
直线方程变形为y＝2x＋1 ②
设抛物线截直线得弦长为AB，将②代入①整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，
则AB＝＝.解得a＝12或a＝－4.
故所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.
[规律方法] 直线与抛物线相交的弦长问题
直线和抛物线相交于A?x1，y1?，B?x2，y2?两点，直线的斜率为k.
?1?一般的弦长公式：|AB|＝|x1－x2|.
?2?焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px?p＞0?的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.
?3?求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求x1，x2的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需要列出参数的方程或不等式即可求解，而?x1，y2?或?y1，x2?一般是求不出来的.
[跟踪训练]
3．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝__________.
【导学号：95902141】
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线倾斜角为45°，过抛物线焦点，所以可设直线方程为y＝x－，代入抛物线方程得＝2px，即x2－3px＋＝0，故x1＋x2＝3p，
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝4p＝8，因此p＝2.
【答案】 2
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝8，则PQ的值为________.
【导学号：95902142】
【解析】 PQ＝x1＋x2＋2＝10.
【答案】 10
2.如图2-4-2，已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝6x上，O是坐标原点，则△AOB的边长为________．
图2-4-2
【解析】 设△AOB边长为a，则A，∴＝6×a.∴a＝12.
【答案】 12
3.如图2-4-3所示是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米.
【导学号：95902143】
图2-4-3
【解析】 设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则22＝－2p×(－2)，得p＝1.
设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，－3)，则x＝6，解得x0＝±，所以水面宽为2米．
【答案】 2
4．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于__________．
【解析】 抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，焦点F到抛物线准线的距离等于4.
【答案】 4
5．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且AM＝，AF＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题知
M.∵AF＝3，∴y0＋＝3，∵AM＝，
∴x＋＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
2.5 圆锥曲线的共同性质
学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法．(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．圆锥曲线的共同性质：
圆锥曲线上的点到一个定点F和到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离之比是一个常数e.
这个常数e叫做圆锥曲线的离心率，定点F就是圆锥曲线的焦点，定直线l就是该圆锥曲线的准线．
2．圆锥曲线离心率的范围：
(1)椭圆的离心率满足0＜e＜1，
(2)双曲线的离心率满足e＞1，
(3)抛物线的离心率满足e＝1.
3．椭圆和双曲线的准线方程：
根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是x＝±.
[基础自测]
1．判断正误：
(1)到定点F与定直线l的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线．( )
(2)离心率e＝1时不表示圆锥曲线．( )
(3)椭圆的准线为x＝±(焦点在x轴上)，双曲线的准线为x＝±(焦点在x轴上)．
【解析】 (1)×.定点F不在定直线l上时才是圆锥曲线．
(2)×.当e＝1时表示抛物线是圆锥曲线．
(3)×.双曲线的准线也是x＝±.
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．离心率为，准线为x＝±4的椭圆方程为________.
【导学号：95902149】
【解析】 由题意知a＝2，c＝1，b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
[合 作 探 究·攻 重 难]
求焦点坐标及准线方程
求下列曲线的焦点坐标和准线方程：
(1)x2－y2＝2；
(2)4y2＋9x2＝36；
(3)x2＋4y＝0；
(4)3x2－3y2＝－2.
[思路探究] 把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解．
【自主解答】 (1)化方程为标准形式：－＝1.
焦点在x轴上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2.
∴焦点为(±2,0)，准线方程为x＝±＝±1.
(2)化方程为标准形式：＋＝1.
焦点在y轴上，a2＝9，b2＝4，c＝.
∴焦点坐标为(0，±)，准线方程为y＝±＝±.
(3)由方程x2＝－4y知，曲线为抛物线，p＝2，
开口向下，焦点为(0，－1)，准线为y＝1.
(4)化方程为标准形式－＝1，a2＝，b2＝，c＝＝，故焦点为.
准线方程为y＝±＝±＝±.
[规律方法]
1．已知圆锥曲线方程求焦点坐标、准线方程的一般思路是：首先确定圆锥曲线的类型，其次确定其标准方程的形式，然后确定相关的参数值a，b，c或p，最后根据方程的特征写出相应的焦点坐标、准线方程．
2．注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待．
[跟踪训练]
1．求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程：
(1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4.
【导学号：95902150】
【解】 (1)化方程为标准形式：＋＝1.
焦点在x轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1.
∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为x＝±＝±4.
(2)化方程为标准形式：－＝1.
焦点在x轴上，a2＝2，b2＝4，c2＝6，c＝.
∴焦点坐标为(±，0)，准线方程为x＝±＝±＝±.
利用圆锥曲线的定义求距离
双曲线－＝1上有一点P，它到右准线的距离为，求它到左焦点的距离．
[思路探究] 首先判定点P在双曲线的左支还是右支上，然后利用性质把到准线的距离转化为到焦点的距离求解．
【自主解答】 双曲线－＝1的左准线和右准线分别为x＝－和x＝，若点P在双曲线的左支上，则点P到右准线的最小距离为－(－3)＝＞，故点P不可能在左支上，而在右支上，所以点P到右焦点的距离为e＝，再根据双曲线的定义知PF1－PF2＝6，即PF1＝6＋PF2＝6＋＝.
即点P到左焦点的距离为.
[规律方法] 解决这类圆锥曲线上点到焦点和准线的距离问题的一般思路有两种：(1)先利用统一定义进行曲线上点到焦点与相应准线距离之间的相互转化，再利用对应的圆锥曲线定义进行曲线上点到两不同焦点距离之间的转化来解决；(2)把思路(1)的两步过程交换先后顺序来解决.
[跟踪训练]
2．椭圆＋＝1上有一点P，它到椭圆的左准线的距离为，求点P到椭圆的右焦点的距离．
【解】 椭圆＋＝1中，a2＝25，b2＝16，则a＝5，c＝3，故离心率为e＝.
由圆锥曲线的性质得点P到椭圆的左焦点的距离为e＝，再根据椭圆的定义得，P到右焦点的距离为2a－＝10－＝.
利用圆锥曲线的定义求最值
[探究问题]
1．根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点P到其焦点F的距离PF，与点P到对应准线的距离d有什么关系？
【提示】 ＝e，即PF＝de(e为椭圆或双曲线的离心率)．
2．设椭圆＋＝1内一点A(1,1)，P为椭圆上一点，过P作椭圆的准线x＝4的垂线，垂足为D，则PA＋PD的最小值是什么？
【提示】 过A作直线x＝4的垂线交椭圆于P，垂足为D，则PA＋PD最小，最小值为AD＝4－1＝3.
3．设椭圆＋＝1外一点M(1,3)，F为其右焦点，P为椭圆上一点，P到椭圆的准线x＝4的距离为PD，则PA＋PD的最小值是什么？
【提示】 易知椭圆的离心率是e＝，由＝，得PF＝PD，故PA＋PD＝PA＋PF≥AF＝3.即PA＋PD的最小值是3.
已知椭圆＋＝1内有一点M(1,2)，F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，在椭圆上求一点P，使得MP＋3PF的值最小.
【导学号：95902151】
[思路探究] 因为椭圆离心率为，∴＝(d为P到相应准线的距离)，∴3PF＝d，将MP＋3PF转化为MP＋d.
【自主解答】 设P点坐标为(x0，y0)，P到F对应准线的距离为d，
由方程知a2＝9，a＝3，b2＝8，c2＝1，∴e＝，
∴＝，∴3PF＝d，∴MP＋3PF＝MP＋d.
当MP与准线l垂直时MP＋d最小．
此时P点的横坐标为x0＝1，将x0＝1代入椭圆方程＋＝1，得y0＝.
∴P点坐标为，最小距离为－2＝9－2＝7.即MP＋3PF的最小值为7.
[规律方法] 求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.
[跟踪训练]
3.如图2-5-1所示，已知F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(3,1)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为多少？
图2-5-1
【解】 由－＝1知a＝2，c＝4，e＝2.设点M是点P在左准线上的射影．
则PM是P到左准线x＝－1的距离，则＝2.
所以PF＝PM，所以PF＋PA＝PM＋PA.
显然当A，P，M三点共线时，PF＋PA的值最小，
即PF＋PA的最小值为点A到双曲线左准线的距离：3＋＝3＋＝4.故PF＋PA的最小值为4.
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．椭圆＋＝1的准线方程是________．
【解析】 由方程可知a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴c＝1，则准线方程为x＝±＝±3.
【答案】 x＝±3
2．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1的一条准线的方程为x＝3，则实数a的值是__________.
【导学号：95902152】
【解析】 由方程可得c＝，∴x＝＝3，解得a＝12或a＝－3(舍)，故a＝12.
【答案】 12
3．若椭圆的焦点坐标为(1,0)，准线方程是x＝12，则该椭圆的方程是________．
【解析】 易知椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，故准线方程是x＝＝a2＝12，则b2＝a2－c2＝11，故椭圆方程是＋＝1.
【答案】 ＋＝1
4．椭圆＋＝1上一点P到其焦点的距离为2，则点P到对应的准线的距离为________．
【解析】 由题意知a＝2，c＝1，∴e＝，所以p到准线的距离为2÷＝4.
【答案】 4
5．椭圆＋＝1上有一点P，它到椭圆的左准线的距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离.
【导学号：95902153】
【解析】 椭圆＋＝1中，a2＝100，b2＝36，则a＝10，c＝＝8，故离心率为e＝.
根据圆锥曲线的统一定义得，点P到椭圆的左焦点的距离为10e＝8.
再根据椭圆的定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12.
第二课 圆锥曲线与方程
[体系构建]
[题型探究]
圆锥曲线的定义的应用
圆锥曲线的定义在解题中有着重要作用，要注意灵活运用，可以优化解题过程，圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，“回归定义”是一种重要的解题策略．
运用定义解题主要体现在以下几个方面：
(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，则可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；
(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决．
设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的一点，若·＝0，且PF1＞PF2，求的值.
【导学号：95902159】
[思路探究] ·＝0→
【规范解答】 由·＝0，知PF1⊥PF2，∴F1F＝PF＋PF，
由椭圆方程＋＝1，知a2＝9，b2＝4，
∴c＝＝，F1F2＝2.因此PF＋PF＝20. ①
又由椭圆定义，得PF1＋PF2＝6. ②
由题意知，PF1＞PF2，联立①、②得PF1＝4，PF2＝2.从而的值为2.
[跟踪训练]
1．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且· ＝0，PF1·PF2＝2，则双曲线的标准方程为________．
【解析】 由题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由· ＝0，得PF1⊥PF2.
根据勾股定理得PF＋PF＝(2c)2，即PF＋PF＝20.
根据双曲线定义有PF1－PF2＝2a.两边平方并代入PF1·PF2＝2得：
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，所以双曲线方程为－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
圆锥曲线的方程与性质的应用
1.本类问题主要有两种考查类型：
(1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点；
(2)已知圆锥曲线的性质求其方程．
2．对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：
(1)代入法就是代入公式e＝求离心率；
(2)列方程法就是根据已知条件列出关于a，b，c的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e的方程，解方程即可求出e值．
3．求曲线方程的基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量．”
已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝________.
[思路探究] →→
【规范解答】 ∵e＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设A＝，B，则AB＝p，又三角形的高为，则S△AOB＝××p＝，即p2＝4，又p>0，∴p＝2.
【答案】 2
[跟踪训练]
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率e＝________.
【导学号：95902160】
【解析】 在△ABF中，由余弦定理得，cos∠ABF＝，∴BF2－16BF＋64＝0，∴BF＝8，设右焦点为F1，因为直线过原点，∴BF1＝AF＝6，∴2a＝BF＋BF1＝14，∴a＝7，
∵O为Rt△ABF斜边AB的中点，∴OF＝AB＝5，∴c＝5，∴e＝.
【答案】
直线与圆锥曲线的位置关系
1.判断直线与二次曲线的位置关系，可把直线方程与二次方程联立，消元后的一元二次方程的判别式大于零，则直线与圆锥曲线有两个交点；等于零，则只有一个交点；小于零，则没有交点．
2．涉及直线与圆锥曲线的两个交点坐标问题时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立消元后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代换，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本的方法．
设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若·＋·＝8，求k的值．
[思路探究] (1)利用过点F且与x轴垂直的直线方程，根据线段的长度求出交点的坐标并代入椭圆方程求出a和b，可得椭圆方程；
(2)设出直线方程，和椭圆方程联立得到二次方程，利用韦达定理把向量式用点的坐标表示得到关于k的方程，解方程可得k的值．
【规范解答】 (1)设F(－c,0)，由＝，知a＝c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有＋＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝.
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝.因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.由已知得6＋＝8，解得k＝±.
[跟踪训练]
3．已知抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)如果l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2)设FA＝2BF，求直线l的方程.
【导学号：95902161】
【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)∵y2＝4x，∴F(1,0)，又∵直线l的斜率为1，∴直线l的方程为y＝x－1，代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，由根与系数的关系得，易得AB的中点，即圆心的坐标为(3,2)，
又AB＝x1＋x2＋p＝8，∴圆的半径r＝4，∴所求的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16.
(2)∵FA＝2BF，∴＝2，而＝(x1－1，y1)，＝(1－x2，－y2)，∴
易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，由根与系数的关系得
∵x1－1＝2(1－x2)，
∴或，∴k＝±2，∴直线l的方程为y＝±2(x－1).
函数与方程思想
圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口．
用函数思想求解圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题可以说是高中数学中永恒的话题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器．我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．
方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解．方程思想是高中数学中的最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位．在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．
点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
【导学号：95902162】
[思路探究] →
→→
【规范解答】 (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)．设点P(x，y)，则kAP·kPF＝－1.
由已知可得则2x2＋9x－18＝0.解得x＝，或x＝－6(舍去)．
所以x＝，由于y＞0，故y＝.所以点P的坐标是.
(2)易知直线AP的方程是x－y＋6＝0.设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是.
于是＝|m－6|.又－6≤m≤6，解得m＝2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离的平方为：d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15.
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取得最小值.
[跟踪训练]
4.如图2-1，椭圆＋＝1的左焦点为F，上顶点为A，过点A作直线AF的垂线分别交椭圆，x轴于B，C两点．
图2-1
(1)若＝λ，求实数λ的值；
(2)设点P为三角形ACF的外接圆上的任意一点，当三角形PAB的面积最大时，求点P的坐标.
【导学号：95902163】
【解】 (1)由条件得F(－1,0)，A(0，)，kAF＝.
∵AB⊥AF，∴kAB＝－，AB：y＝－x＋.
令y＝0，得x＝3，∴C(3,0)
由得13x2－24x＝0，
解得x1＝0(舍)，x2＝，
∴B.∵＝λ，
∴λ＞0，且λ＝＝＝.
(2)∵△ACF是直角三角形，
∴△ACF的外接圆的圆心为D(1,0)，半径为2，
∴圆D的方程为(x－1)2＋y2＝4.
∵AB长为定值，
∴当△PAB的面积最大时，点P到直线AC的距离最大．过D作AC的垂线m，则点P为直线m与圆D的交点．
直线m：y＝(x－1)与(x－1)2＋y2＝4联立
解得x＝2(舍)或x＝0，∴点P的坐标为(0，－)．
[链接高考]
1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为__________．
【解析】 由双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，可知＝， ①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
∴a2＋b2＝9. ②
由①②联立可解得a2＝4，b2＝5，所以双曲线C的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为，则椭圆的离心率为__________.
【导学号：95902164】
【解析】 由已知可得(c＋a)c＝，又由b2＝a2－c2，可得2e2＋e－1＝0，又因为0＜e＜1，解得e＝.
【答案】
3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P、Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是__________．
【解析】 由双曲线的方程得，双曲线的右准线为x＝，两条渐近线方程为y＝±x，右准线与两条渐近线的交点坐标为，不妨设F1(－2,0)，F2(2,0)，P，Q
则四边形F1PF2Q的面积为S四边形F1PF2Q＝|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.
【答案】 2
4．若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为__________.
【导学号：95902165】
【解析】 圆(x－2)2＋y2＝4的圆心为(2,0)，半径r＝2.
不妨设双曲线C的一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0
因为该渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2
所以＝＝，两边平方得3a2＝b2，即＝3
从而e＝＝＝2.
【答案】 2
5.如图2-2，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8，点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.
图2-2
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
【解】 (1)设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，
所以＝，＝8，
解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，
因此椭圆E的标准方程是＋＝1.
(2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)．
设P(x0，y0)，因为P为第一象限内的点，故x0>0，y0>0.
当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．
当x0≠1时，
直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.
因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，
所以直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为－，
从而直线l1的方程为y＝－(x＋1)， ①
直线l2的方程为y＝－(x－1)． ②
由①②，解得x＝－x0，y＝，所以Q.
因为点Q在椭圆E上，由对称性，得＝±y0，
即x－y＝1或x＋y＝1.
又点P在椭圆E上，故＋＝1.
由解得
无解．
因此点P的坐标为.
