3.1.1 平均变化率
学习目标：1.理解并会求具体函数的平均变化率．(重点) 2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
平均变化率
1．定义：
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
2．实质：
函数值的改变量与自变量的改变量之比．
3．意义：
刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)f(x)＝x2，f(x)在[－1,1]上的平均变化率为0.( )
(2)f(x)＝x2在[－1,0]上的平均变化率小于其在[0,1]上的平均变化率，所以f(x)在[－1,0]上不如在[0,1]上变化的快．( )
(3)平均变化率不能反映函数值变化的快慢．( )
【解析】 (1)√.f(x)在[－1,1]上的平均变化率为＝＝0.
(2)×.f(x)＝x2在[－1,0]和[0,1]上的变化快慢是相同的．
(3)×.平均变化率能反映函数值变化的快慢．
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
2．f(x)＝在[1,2]上的平均变化率为________．
【解析】 函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为＝－.
【答案】 －
[合 作 探 究·攻 重 难]
变化率的概念及意义的应用
2012年冬至2013年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图3-1-1所示，据图回答：
【导学号：95902174】
图3-1-1
(1)2012年11月到2012年12月期间，小麦受旱面积变化大吗？
(2)哪个时间段内，小麦受旱面积增加最快？
(3)从2012.11到2013.2与从2013.1到2013.2间，小麦受旱面积平均变化率哪个大？
[思路探究] (1)(2)根据图形进行分析；(3)利用平均变化率公式进行具体分析．
【自主解答】 (1)由图形可知，在2012年11月～2012年12月期间，小麦受旱面积变化不大．
(2)由图形可知，在2013.1～2013.2间，平均变化率较大，故小麦受旱面积增加最快．
(3)从2012.11～2013.2，小麦受旱面积平均变化率为，从2013.1～2013.2，小麦受旱面积平均变化率为＝yB－yC，显然yB－yC＞，所以，从2013.1～2013.2期间小麦受旱面积平均变化率大．
[规律方法]
1．若已知函数的图象，可从函数的图象上大致分析函数的变化快慢．
2．利用平均变化率的计算公式可以对函数的平均变化快慢进行具体精确的分析，在实际问题中，平均变化率具有更为具体的现实意义．
[跟踪训练]
1．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图如图3-1-2，同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
图3-1-2
【解】 山路从A到B高度的平均变化率为
hAB＝＝，
山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝，
∴hBC＞hAB.
∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多.
求函数的平均变化率
已知函数f(x)＝，
(1)求f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．(x0≠0)；
(2)求f(x)在2到2.1之间的平均变化率.
【导学号：95902175】
[思路探究] (1)由于自变量出现在分母中，因此题目中给出了“x0≠0”的条件．在一些特殊条件下，如果题干中未给出这一条件，就需分类讨论．因此，本例只需直接套用公式就可以了；
(2)利用(1)的结论计算．
【自主解答】 (1)f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝＝＝－.
(2)把x0＝2，Δx＝2.1－2＝0.1代入(1)中得到的结论可得：－＝－0.232.
[规律方法]
1．求平均变化率的步骤：
(1)先求x2－x1，再计算f(x2)－f(x1)；
(2)由定义得出＝.
2．注意事项：计算时要对f(x2)－f(x1)进行合理的变形，以便化简．
[跟踪训练]
2．求函数y＝x2－2x＋1在x＝2附近的平均变化率．
【解】 设自变量x在x＝2附近的变化量为Δx，
则平均变化率为
＝＝Δx＋2.
平均变化率的应用
[探究问题]
1．平均变化率的定义式为，它刻画了函数f(x)在区间[x1，x2]内变化的快慢，表示的是函数f(x)在哪个区间上的平均变化率？
【提示】 [x0－Δx，x0＋Δx]
2．平均变化率为0，能否说明函数没有发生变化？
【提示】 不能说明．理由：函数的平均变化率只能粗略地描述函数的变化趋势，增量Δx取值越小，越能准确地体现函数的变化情况．在某些情况下，求出的平均变化率为0，并不一定说明函数没有发生变化．如函数f(x)＝x2在[－2,2]上的平均变化率为0，但f(x)的图象在[－2,2]上先减后增．
3．平均变化率的几何意义是什么？平均变化率的物理意义是什么？
【提示】 平均变化率的几何意义就是曲线上两点对应割线AB的斜率．
平均变化率的物理意义是变速运动的物体s＝s(t)在某一时间段内的平均速度．
为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲从25 m/s到0 m/s花了5 s，乙从18 m/s到0 m/s花了4 s，试比较两辆车的刹车性能．
[思路探究] 计算两车的平均变化率，从而确定刹车性能．
【自主解答】 甲车速度的平均变化率为＝－5(m/s2)，乙车速度的平均变化率为＝－4.5(m/s2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．
[规律方法] 平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.,平均变化率为正值，表示函数值在增加；平均变化率为负值，表示函数值在减少.
[跟踪训练]
3．人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率；
(2)求高度h在1≤t≤2这段时间内的平均变化率.
【导学号：95902176】
【解】 (1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为：＝4.05(m/s)；
(2)在1≤t≤2这段时间内，高度h的平均变化率为＝－8.2(m/s)．
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．函数y＝x2＋ax＋b，当自变量由0变化到1时，函数值的变化量为________．
【解析】 函数值的变化量为f(0＋1)－f(0)＝(0＋1)2＋a(0＋1)＋b－02－a·0－b＝1＋a.
【答案】 1＋a
2．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及相邻的一点(1.1,2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________.
【导学号：95902177】
【解析】 ＝＝2.1
【答案】 2.1
3．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是________(m/s)．
【解析】 ＝＝4.1(m/s)．
【答案】 4.1
4．函数y＝sin x在上的平均变化率是________．
【解析】 函数在上的平均变化率是＝＝－.
【答案】 －
5．物体的运动方程是s＝(s的单位：m；t的单位：s)，求物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度.
【导学号：95902178】
【解】 物体在这段时间内的平均速度为
＝＝，
故物体在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s这段时间内的平均速度为m/s.
3.1.2 瞬时变化率—导数
学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点) 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．曲线上一点处的切线
设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．
2．瞬时速度
运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t)．
3．瞬时加速度
运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t)．
4．导数
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
5．导函数
若函数y＝f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．
6．函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．( )
(2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )
(3)在导数的定义中，＞0.( )
【解析】 (1)√.Δx是自变量的增量，可正可负，函数f(x)在x＝x0处的导数与它的正负无关．
(2)×.Δy可以为0，如常数函数．
(3)×.也可能是负数或0.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
2．函数f(x)＝x2在点(1,1)处切线的斜率是________．
【解析】 k＝＝2＋Δx，当Δx→0时，k→2，故所求的切线的斜率是2.
【答案】 2
3．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则汽车在t＝3秒时加速度为__________．
【解析】 ＝＝＝6＋Δt，
当Δt→0时，→6，故汽车的加速度为6.
【答案】 6
[合 作 探 究·攻 重 难]
求瞬时速度与瞬时加速度
(1)一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)．
(2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s时的速度为v(t)＝t2＋1，求汽车在t＝1 s时的加速度.
【导学号：95902184】
[思路探究] (1)→→→→.
(2)→→→→
【自主解答】 (1)设这辆车在t＝2附近的时间变化量为Δt，
则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2，＝8＋2Δt，
当Δt→0时，→8，所以这辆车在t＝2时的瞬时速度为8 m/s.
(2)设这辆车在t＝1附近的时间变化量为Δt，
则速度的增量Δv＝[(1＋Δt)2＋1]－(12＋1)＝(Δt)2＋2Δt，＝Δt＋2，当Δt→0时，→2，
所以汽车在t＝1 s时的加速度为2.
[规律方法]
(1)求瞬时速度的步骤：
①求位移增量Δs＝S(t0＋Δt)－S(t0)；
②求平均速率＝；
③求瞬时速度：当Δt趋近于0时，趋近于v.
(2)求瞬时加速度的步骤：
①求平均加速度；
②令Δt→0，求瞬时加速度.
[跟踪训练]
1．若一物体的运动方程为S＝7t2＋8，则其在t＝__________时的瞬时速度为1.
【解析】 因为＝＝7Δt＋14t0，
所以当Δt→0时，趋近于14t0，即14t0＝1，t0＝.
【答案】
求函数在某一点处的导数
求函数y＝x＋在x＝1处的导数.
【导学号：95902185】
[思路探究] 方法一：先求Δy，再求出，令Δx→0，可求f′(1)，先求出f′(x)，再求出f′(x)在x＝1处的值．
方法二：先求出，当Δx无限趋于0时，即可求出f′(x)在x＝1处的值．
【自主解答】 方法一：∵Δy＝(1＋Δx)＋－＝Δx－1＋＝＝，∴＝，当Δx→0时，→0，∴f′(1)＝0.
方法二：＝
＝
＝1－，
当Δx无限趋于0时，1－无限趋近于1－，
即f′(x)＝1－，故f′(1)＝0.
函数y＝x＋在x＝1处的导数为1－＝0.
[规律方法] 由导数的定义知，求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)求当Δx→0时，的值，即f′(x0).
[跟踪训练]
2．根据导数的定义求下列函数的导数：
(1)求y＝x2在x＝1处的导数；
(2)求y＝x2＋＋5在点P处的导数．
【解】 (1)∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，∴＝＝2＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，＝2＋Δx无限趋近于2，所以f′(1)＝2.
(2)∵Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－＝4Δx＋(Δx)2－，
∴＝4＋Δx－，
∴当Δx→0时，→4－＝，故f′(2)＝.
导数的几何意义及应用
[探究问题]
1．平均变化率的几何意义是什么？
【提示】 平均变化率的几何意义是过点P(x0，f(x0))和Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))割线的斜率．
2．在探究1中，若让Δx→0，割线PQ是如何变化的？
【提示】 当点Q沿着曲线无限接近点P，即Δx→0时，割线PQ有一个极限位置PT，我们把直线PT称为曲线在点P处的切线．
3．根据探究2的答案，导数的几何意义是什么？
【提示】 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝f ′(x0)．
4．我们在初中学过圆的切线，圆是一种特殊曲线，圆的切线与圆只有一个公共点，其他曲线和它的切线也只有一个公共点吗？
【提示】 曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．
求双曲线y＝过点的切线方程.
【导学号：95902186】
[思路探究] 由导数的几何意义先求出斜率，再求方程.
【自主解答】 ＝＝＝－，
当Δx→0时，→－，即k＝f′(2)＝－.
所以由直线方程的点斜式知切线方程为：
y－＝－(x－2)，即y＝－x＋1.
[规律方法]
1．求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程．即点P的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点P处的切线斜率为f′(x0)，则点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；如果曲线y＝f(x)在点P处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为x＝x0.
2．若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程，最后求出切点坐标或切线的方程，这种情况下求出的切线方程往往不止一条．
[跟踪训练]
3．已知直线y＝3x＋a和曲线y＝x3相切，求实数a的值．
【解】 设切点为M(x0，y0)，则＝＝3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2，
当Δx无限趋近于0时，3x＋3x0(Δx)＋(Δx)2无限趋近于3x.
由题意得，3x＝3，解得x0＝1或x0＝－1.
所以切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
将点(1,1)代入直线y＝3x＋a，可得a＝－2；
将点(－1，－1)代入直线y＝3x＋a，可得a＝2.
综上可知，a＝－2或a＝2.
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2 (a，b为常数)，则f′(x0)＝________.
【解析】 ∵＝＝a＋b·Δx，当Δx→0时，→a，∴f′(x0)＝a.
【答案】 a
2．已知曲线y＝x3＋，则以点P(2,4)为切点的切线方程是________.
【导学号：95902187】
【解析】 ∵＝＝x2＋(Δx2)＋Δx·x，
当Δx→0时，→x2，所以f′(x)＝x2，∴k＝f′(2)＝4，
∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4.
【答案】 y＝4x－4
3．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.
【解析】 ＝＝＝3a－3aΔx＋a(Δx)2
当Δx→0时，→3a，所以f′(－1)＝3a＝3，即a＝1.
【答案】 1
4.如图3-1-3所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝x＋5，则f(3)－f′(3)＝__________.
图3-1-3
【解析】 由导数的几何意义知f′(3)＝－1，又f(3)＝－3＋5＝2，
∴f(3)－f′(3)＝2－(－1)＝3.
【答案】 3
5．以初速度v0 (v0＞0)做竖直上抛运动的物体，t时刻的高度为s(t)＝v0t－gt2，求物体在时刻t0时的瞬时速度.
【导学号：95902188】
【解】 ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－v0t0＋gt＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
∴＝v0－gt0－gΔt，当Δt→0时，→v0－gt0，
∴物体在时刻t0时的瞬时速度为v0－gt0.
3.2.1 常见函数的导数
学习目标：1.能根据导数的定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数． 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
基本函数的导数公式
(kx＋b)′＝k
C′＝0(C为常数)
(xα)′＝αxα－1(α为常数)
(ax)′＝axln_a(a＞0，且a≠1)
(logax)′＝logae＝(a＞0，且a≠1)
(ex)′＝ex
(ln x)′＝
(sin x)′＝cos_x
(cos x)′＝－sin_x
[基础自测]
1．判断正误：
(1)(log3π)′＝.( )
(2)若f(x)＝，则f′(x)＝ln x．( )
(3)因为(sin x)′＝cos x，所以(sin π)′＝cos π＝－1.( )
(4)f(x)＝a3(a为常数)，f′(x)＝3a2.( )
【解析】 (1)×.(log3π)′＝0.
(2)×.若f(x)＝，则f′(x)＝－.
(3)×.(sin π)′＝0.
(4)×.∵a是常数，∴f(x)＝a3是常数，故f′(x)＝0.
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．函数y＝ln x在x＝2处的切线的斜率为________．
【解析】 k＝y′|x＝2＝(ln x)′|x＝2＝|x＝2＝.
【答案】
[合 作 探 究·攻 重 难]
利用导数公式求函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x2·；(2)y＝2cos2－1；(3)y＝log2x；
(4)y＝；(5)y＝；(6)y＝.
【导学号：95902195】
[思路探究] (3)可直接利用公式求导；(1)(2)(4)(5)(6)需变形之后利用公式求导．
【自主解答】 (1)
(2)∵y＝2cos2－1＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
(3)y′＝(log2x)′＝.
[规律方法] 利用求导公式求函数的导数的两个关注点
?1?直接用公式：若所求函数符合基本初等函数导数公式，则直接利用公式求解.
?2?变形用公式：对于不能直接利用公式的类型，关键是利用代数恒等变换对函数解析式进行化简或变形，合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如根式化成分数指数幂的形式等.
[跟踪训练]
1．求下列函数的导函数：
(1)y＝2x；
(2)y＝；
(3)y＝2sin cos .
利用导数求切线方程
(1)曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为________．
(2)过点(3,5)且与曲线y＝x2相切的切线方程为__________．
[思路探究] (1)可直接利用k＝f′(x0)求切线的斜率．
(2)点(3,5)不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．
【自主解答】 (1)∵y′＝3x2，∴k＝3×12＝3，故切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)∵点(3,5)不在曲线y＝x2上，
∴可设过点(3,5)与曲线y＝x2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0)．
∵y′＝2x，∴当x＝x0时，y′＝2x0，故切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．
又∵直线过(3,5)点，∴5－x＝2x0(3－x0)，
即x－6x0＋5＝0，解得x0＝1或x0＝5.
故切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
【答案】 (1)3x－y－2＝0 (2)2x－y－1＝0或10x－y－25＝0
[规律方法]
1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
2．求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
[跟踪训练]
2．设P(x0，y0)是曲线y＝cos x上的点，在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则P点的坐标为________.
【导学号：95902196】
【解析】 ∵点P处的切线与x＋2y－1＝0平行，
∴切线斜率k＝－，
∴y′＝－sin x0＝－，∴sin x0＝.
又∵x0∈，∴x0＝，
∴y0＝cos ＝，∴P点为.
【答案】
导数的综合应用
[探究问题]
1．函数y＝f(x)的导数为f′(x)，f′(x0)的几何意义是什么？
【提示】 f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．
2．在涉及曲线的切线问题时，若切点坐标没有作为条件给出，应如何处理？
【提示】 应设出切点坐标，利用k＝f′(x0)，y0＝f(x0)等条件构建方程组求解．
3．设某物体运动的位移为y＝f(t)，那么f′(t0)的实际意义是什么？
【提示】 f′(t0)是物体在t＝t0时刻的瞬时速度．
(1)曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为________．
(2)某质点运动的方程为y＝2x，则在x＝3时的瞬时速度为________.
【导学号：95902197】
[思路探究] (1)设出切点的坐标，由已知条件求出切点坐标，并求出斜率从而得出l的倾斜角．
(2)求x＝3时的导数．
【自主解答】 (1)设切点为B(x0，y0)，倾斜角为α，则k＝y′|＝3x，
∴切线方程为y－y0＝3x(x－x0)，
即y－x＝3x·x－3x，令y＝0得x＝x0，
依题意得|x0|＝，
∴x＝，∴x＝，
∴k＝3×＝，∴tan α＝，α＝60°.
(2)y′＝2xln 2，当x＝3时瞬时速度为23ln 2＝8ln 2.
【答案】 (1)60° (2)8ln 2
[规律方法] 导数综合应用的解题策略
?1?导数在实际问题中的应用非常广泛，如运动物体在某一时刻的瞬时速度等，解决此类问题的关键是正确理解导数的实际意义，准确求出导数.
?2?利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题，解题的关键是正确确定切线的斜率，进而求出切点坐标.
[跟踪训练]
3．求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
【解】 由解得交点为(1,1)．
∵y′＝＝－，∴k1＝－1，
∴曲线y＝在(1,1)处的切线方程为y－1＝－x＋1，
即y＝－x＋2.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴k2＝2，
∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
y＝－x＋2与y＝2x－1和x轴的交点分别为(2,0)，.
∴所求面积S＝×1×＝.
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．f(x)＝，f′(x)＝________.
【答案】
2．函数f(x)＝cos x，则f′()＋f()＝________.
【导学号：95902198】
【解析】 f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，
∴f′＋f＝－sin ＋cos ＝－1＋＝－.
【答案】 －
3．曲线f(x)＝ln x在(2，ln 2)处切线的斜率是________．
【解析】 ∵f′(x)＝，∴k＝f′(2)＝.
【答案】
4．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2在点M(1,3)处的切线平行的直线方程是__________.
【导学号：95902199】
【解析】 y′＝6x，∴曲线y＝3x2在点M(1,3)处切线的斜率为6×1＝6，∴所求直线方程为y－2＝6(x＋1)，即6x－y＋8＝0.
【答案】 6x－y＋8＝0
5．求下列函数的导数：
(1)y＝cos；
(2)y＝log22x－1.
【解】 (1)∵y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x.
(2)∵y＝log22x－1＝log2x，∴y′＝.
3.2.2 函数的和、差、积、商的导数
学习目标：1.掌握导数的和、差、积、商的四则运算法则．(重点) 2.会利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
函数和、差、积、商的求导法则
公式
语言叙述
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
两个函数和的导数等于这两个函数导数的和
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
两个函数差的导数等于这两个函数导数的差
[C(f(x)]′＝Cf′(x) (C为常数)
常数与函数的积的导数等于常数与函数的导数的积
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
′＝ (g(x)≠0)
两个函数商的导数等于分母上的函数乘上分子的导数，减去分子乘以分母的导数所得的差除以分母的平方
[基础自测]
1．判断正误：
(1)若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.( )
(2)运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．( )
(3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)．( )
【解析】 (1)×.∵f′(x)＝2a＋2x，∴f′(a)＝2a＋2a＝4a.
(2)×.运用法则求导时，要首先保证f′(x)、g′(x)存在．
(3)×.[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．若f(x)＝，则f′(x)＝________.
【导学号：95902205】
【解析】 f′(x)＝＝－.
【答案】 －
[合 作 探 究·攻 重 难]
导数运算法则的应用
求下列函数的导数：
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝x·tan x；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3);
(4)y＝.
[思路探究] 仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣导数公式，不具备求导条件的可进行适当的恒等变形，再结合基本初等函数的导数公式，小心计算．
【自主解答】 (1) y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.
(2) y′＝(x·tan x)′＝
＝
＝＝.
(3)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.
(4)方法一：y′＝
＝
＝＝－.
方法二：y＝＝＝1＋
y′＝′＝＝－.
[规律方法] 深刻理解和掌握导数的四则运算法则是解决求函数的和、差、积、商的导数问题的前提.在具体求导时，可结合给定函数本身的特点，先分清函数结构，再将各部分的导数求出，具体的求解策略主要有以下几种.
(1)直接求导：利用导数运算法则直接求导数，此法适用于一些比较简单的函数的求导问题.
(2)先化简后求导：在求导中，有些函数形式上很复杂，可以先进行化简再求导，以减少运算量.
(3)先分离常数后求导：对于分式形式的函数，往往可利用分离常数的方法使分式的分子不含变量，从而达到简化求导过程的目的.
1．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x＋；
(2)f(x)＝sin x－cos x；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝exsin x.
【导学号：95902206】
(2)f′(x)＝(sin x－cos x)′＝(sin x)′－(cos x)′
＝cos x＋sin x.
(3)f′(x)＝＝
＝＝－－.
(4)f′(x)＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′
＝exsin x＋excos x＝ex(sin x＋cos x).
复杂曲线的切线问题
(1)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
(2)曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为________．
[思路探究] 利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标，代入直线的点斜式方程得切线方程．
【自主解答】 (1)∵y′＝3ln x＋4，∴k＝3×ln 1＋4＝4，故切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.
(2)由y′＝＝－，
所以k＝－1，得切线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
【答案】 (1)4x－y－3＝0 (2)x＋y－2＝0
[规律方法] 利用常见函数的导数与导数运算公式来简化曲线切线的求法.
?1?在点P?x0，y0?处的切线方程：y－y0＝f′?x0??x－x0?；
?2?过点P?x1，y1?的切线方程：设切点坐标为?x0，y0?，则切线方程为y－y0＝f′?x0??x－x0?，代入点P?x1，y1?求出x0，即可得出切线方程?求出的x0的个数就是过这点的切线的条数?.
[跟踪训练]
2．若直线y＝kx是曲线y＝x3－x2＋x的切线，则k的值为__________．
【解析】 设切点为(x0，y0)，y′＝3x2－2x＋1，则k＝3x－2x0＋1，又k＝＝＝x－x0＋1，∴3x－2x0＋1＝x－x0＋1，解得x0＝0或x0＝，∴k＝1或k＝.
【答案】 1或
导数的综合应用
[探究问题]
1．在曲线y＝f(x)上有一点(x0，f(x0))，那么曲线在这一点处切线的斜率是什么？
【提示】 k＝f′(x0)．
2．在探究1中，若还已知切线上另外一点(x1，f(x1))，那么该切线的斜率还可以如何表示？和探究1中得到的结论有什么关系？
【提示】 k＝，f′(x0)＝.
3．若已知曲线y＝ax2在点P处的切线方程为y＝2x－1，能否求出切点P的坐标？能否求出曲线的方程？
【提示】 设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝2ax，所以切线的斜率为2ax0＝2，又因为切点(x0，y0)在曲线y＝ax2和切线y＝2x－1上，所以有y0＝ax，且y0＝2x0－1，
即
解之得，所以切点P的坐标为(1,1)，曲线的方程为y＝x2.
4．通过以上讨论，你认为如何解决有关曲线切线的问题？
【提示】 解决曲线的切线问题应充分利用切点满足的三个关系式：一是切线的斜率是函数在此切点处的导数；二是切点的坐标满足切线的方程；三是切点的坐标满足切线的方程．可根据上述三个方面的条件建立相关的方程(组)求解未知数．
设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
【导学号：95902207】
[思路探究] (1)利用已知切线的斜率、切点的坐标满足曲线的方程和切线的方程构建方程组可求出a，b的值，可得函数f(x)的解析式；
(2)根据已知条件求出曲线y＝f(x)上任一点处的切线方程，得到所求面积的表达式即知其为定值．
【自主解答】 (1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.当x＝2时，y＝，
∴f(2)＝， ①
又∵f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝. ②
由①②得解得故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，
从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为：|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
[规律方法] 利用导数来处理与切线斜率有关的问题是一种非常有效的方法，它适用于任何导数存在的函数，一般可以根据条件建立相关的方程(组)求解未知量.
[跟踪训练]
3．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋cx的图象都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线．求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线的方程．
【解】 由题意，得f′(2)＝g′(2)，f(2)＝g(2)＝0.
∵f′(x)＝6x2＋a，g′(x)＝2bx＋c，
∴
解得
∴f(x)＝2x3－8x，g(x)＝8x2－16x，即f′(x)＝6x2－8，∴f′(2)＝16，∴在点P处的公切线方程为y＝16(x－2)．
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．函数y＝x3cos x的导数是______．
【解析】 y′＝3x2cos x＋x3(－sin x)＝3x2cos x－x3sin x.
【答案】 3x2cos x－x3sin x
2．函数y＝的导数为 ________.
【导学号：95902208】
【解析】 ∵y′＝＝＝＝.
【答案】
3．函数f(x)＝，则f′(0)的值为__________．
【解析】 f′(x)＝
＝
＝，∴f′(0)＝＝1.
【答案】 1
4．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为________.
【导学号：95902209】
【解析】 f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切线的倾斜角为.
【答案】
5．求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝；
【解】 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝＝(ln x)′＋＝－.
(3)y′＝＝＝－.
3.3.1 单调性
学习目标：1.了解函数的单调性与导数的关系． 2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法，会求函数的单调区间．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
增函数
f′(x)<0
减函数
2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
[基础自测]
1．判断正误：
(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．( )
(2)f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)一定大于零．( )
(3)若f(x)＝(x≠0)，则f′(x)＝－＜0，所以f(x)是单调减函数．( )
【解析】 (1)×.反例：f(x)＝－，f′(x)＝＞0，但f(x)在其定义域上不是增函数．
(2)×.反例：f(x)＝x3在(－1,1)上是增函数，但f′(0)＝0.
(3)×.f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在其定义域上不是减函数．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．函数f(x)＝x3－x的单调减区间是__________．
【解析】 f′(x)＝x2－1，令f′(x)＜0，即x2－1＜0，得－1＜x＜1，∴函数减区间(－1,1)．
【答案】 (－1,1)
[合 作 探 究·攻 重 难]
函数与其导函数图象之间的关系
(1)如图3-3-1，设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是________(填序号)．
图3-3-1
(2)已知函数y＝xf′(x)的图象如图3-3-2(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是________(填序号).
【导学号：95902215】
图3-3-2
[思路探究] (1)通过对各个选项中图象的变化判断是否符合题目的条件．
(2)根据y＝xf′(x)函数图象中所反映的f′(x)的符号，确定y＝f(x)的单调区间，确定y＝f(x)的图象．
【自主解答】 (1)①，②，③均有可能；对于④，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
(2)由题图知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0，
∴当x＜－1时，函数y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0，
∴当－1＜x＜0时，函数y＝f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，
∴当0＜x＜1时，函数y＝f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，
∴当x＞1时，y＝f(x)单调递增．综上可知，③是y＝f(x)的大致图象．
【答案】 (1)④ (2)③
[规律方法]
1．利用原函数图象可以判断导函数的正负，原函数的单调增区间即为应为f′(x)＞0的区间，原函数的减区间就是导函数应为f′(x)＜0的区间．
2．利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间，导函数在x轴上方的区间就是原函数的增区间，导函数在x轴下方的区间就是原函数的减区间．
[跟踪训练]
1.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数f′(x)图象如图3-3-3所示．
图3-3-3
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的解析式.
【导学号：95902216】
【解】 (1)由函数f(x)的导函数图象知函数f(x)递增区间(－∞，0)和(2，＋∞)；递减区间为(0,2)．
(2)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
将(0,0)，(1，－2)，(2,0)三点代入得
∴f(x)＝x3－2x2.
求函数的单调区间
求下列各函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3－3x2；(2)f(x)＝.
[思路探究] →→→
【自主解答】 (1)函数f(x)定义域为R，且f′(x)＝6x2－6x.令f′(x)＞0，即6x2－6x＞0，
解得x＞1或x＜0；令f′(x)＜0，即6x2－6x＜0，解得0＜x＜1.
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)；单调递减区间是(0,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
令f′(x)＞0，即＞0，得0＜x＜e；令f′(x)＜0，即＜0，得x＞e，
所以f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，＋∞)．
[规律方法]
1．利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等式的解集就是函数的单调区间．
2．利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)时，要在定义域前提下求解．如果函数的单调区间不止一个时，要用“和”“及”等连结，而不能写成两个区间并集形式．
[跟踪训练]
2．求下列各函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－3x；(2)f(x)＝3x2－2ln x.
【导学号：95902217】
【解】 (1)函数f(x)的定义域为R，且f ′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)．
当f ′(x)＞0时，x<－1或x＞1，此时函数f(x)递增；
当f ′(x)<0时，－1< x<1，此时函数f(x)递减．
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)，递减区间是(－1,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝.
令f′(x)＞0，即＞0，
∵x＞0，∴x＞.
∴函数f(x)的递增区间是.
令f′(x)＜0，即＜0，∵x＞0，
∴0＜x＜.∴函数f(x)的递减区间是.
∴函数f(x)的递增区间是，递减区间是.
根据函数的单调性求字母参数的取值范围
若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．
[思路探究]
【自主解答】 f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，
所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．由于导函数的二次项系数3＞0，
所以只能有f′(x)≥0恒成立．
方法一：由上述讨论可知要是f′(x)≥0恒成立．
只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．所以实数m的取值范围是m≥.
方法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．
设g(x)＝－3x2－2x＝－3＋，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．所以实数m的取值范围是m≥.
[规律方法]
1．可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子集内都不恒等于0.
2．已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法．通常将f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参数的取值范围．特别地，若f′(x)为二次函数，可以由相应方程的根的判别式求出参数的取值范围．
[跟踪训练]
3．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是________.
【导学号：95902218】
【解析】 根据条件，得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．
【答案】 [－2，＋∞)
求含参数函数的单调区间
[探究问题]
1．函数f(x)＝x3－x2＋ax的导数f′(x)是什么？f′(x)＝0是否一定有实数根？
【提示】 f′(x)＝x2－2x＋a，f′(x)＝0即x2－2x＋a＝0不一定有实数根，
当Δ＝4－4a＞0，即a＜1时，f′(x)＝0有不等实数根；
当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，f′(x)＝0有两个相等的实数根；
当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，f′(x)＝0没有实数根．
2．根据探究1的讨论，求函数f(x)＝x3－x2＋ax的单调区间．
【提示】 由探究1知，当Δ＝4－4a≤0，即a≥1时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)＝x3－x2＋ax在定义域(－∞，＋∞)上单调递增，没有单调递减区间；
当Δ＝4－4a＞0，即a＜1时，令f′(x)＞0，解得x＞1＋或x＜1－，令f′(x)＜0，解得1－＜x＜1＋，所以函数f(x)＝x3－x2＋ax的单调递增区间是(－∞，1－)，(1＋，＋∞)，
单调递减区间是.
3．设f(x)＝x3－(a＋1)x2＋ax，f′(x)＝0一定有实数根吗？若有，它们的大小确定吗？试求函数f(x)的单调递减区间．
【提示】 f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)，所以f′(x)＝0有实数根a和1，但它们的大小不确定，所以求f(x)的单调区间要据此分类讨论：当a＞1时，由f′(x)＜0解得1＜x＜a，所以函数f(x)的单调递减区间是(1，a)；当a＝1时，因为f′(x)＝(x－1)2≥0，所以函数f(x)不存在单调递减区间；当a＜1时，由f′(x)＜0解得a＜x＜1，所以函数f(x)的单调递减区间是(a,1)．
4．设函数f(x)＝ax3－ax2＋2ax＋1(a≠0)，则f′(x)＝ax2－3ax＋2a＝a(x－1)(x－2)，不等式f′(x)＜0的解一定是1＜x＜2吗？试求函数f(x)的单调递减区间．
【提示】 不一定是，只有a＞0时，不等式f′(x)＜0的解才是1＜x＜2，当a＜0时，不等式f′(x)＜0的解是x＜1或x＞2，所以当a＞0时，函数f(x)的单调递减区间为(1,2)，当a＜0时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，(2，＋∞)．
5．通过以上讨论，在求含参数函数的单调区间时，一般要对参数进行讨论，那么要从哪几个方面考虑这类问题呢？
【提示】 首先要确定f′(x)＝0是否有根，若不确定，要分类讨论；在f′(x)＝0有根的情况下，如果根的大小不确定，则要按照其大小为分类标准进行讨论；如果f′(x)＝0的最高次幂的系数的正负不确定，那么还要按照其正负进行讨论．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，试讨论f(x)的单调性．
[思路探究] 根据函数f(x)的导函数f′(x)的零点的大小，来研究函数f′(x)在各个区间中的正负号，从而得到函数f(x)的单调区间及单调性．
【自主解答】 f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.
当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0恒成立，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；
当a＜0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，
所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．
[规律方法]
1．本题主要考查求函数单调性的一般方法以及函数求导公式和法则的综合应用．
2．当解题过程中含有参数时，一般要对参数进行分类讨论，此时需注意应准确确定分类标准和分类讨论的准确性．
[跟踪训练]
4．求函数f(x)＝ex－ax(a∈R)的单调区间.
【导学号：95902219】
【解】 函数定义城为R，且f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无减区间；
当a＞0时，由f′(x)＝ex－a＞0，得x＞ln a，由f′(x)＜0，得x＜ln a，所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a)上单调递减．
综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)，无减区间；
当a＞0时，f(x)的单调递增区间是(ln a，＋∞)，单调递减区间是(－∞，ln a)．
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调递减区间是________．
【解析】 f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，得1＜x＜2，
∴函数f(x)的单调递减区间是(1,2)．
【答案】 (1,2)
2．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为________.
【导学号：95902220】
【解析】 函数定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝
当x∈(0，＋∞)时，令y′＜0，得0＜x＜1，仅f′(1)＝0.
【答案】 (0,1]
3．如图3-3-4所示，若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是________(填序号)．
图3-3-4
【解析】 ∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的．
【答案】 ①
4．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则实数a的取值范围是 ________.
【导学号：95902221】
【解析】 因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在R上是减函数，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，
即3ax2≤1恒成立．当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；
当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0.综上可得a≤0.
【答案】 a≤0
5．设函数f(x)＝(m－1)x2－2ln x＋mx，m∈R，且f(1)＝2，求函数的单调区间．
【解析】 由f(1)＝m－1＋m＝2m－1＝2得m＝，
∴f(x)＝x2－2ln x＋x(x＞0)，
∴f′(x)＝x－＋＝，由f′(x)＞0得x＞；由f′(x)＜0得：0＜x＜，
∴f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
3.3.2 极大值与极小值
学习目标：1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．(难点) 2.掌握函数极值的判定及求法．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数极值的定义
函数的极值
极大值
设函数y＝f(x)在x＝x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要大，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值．
极小值
设函数y＝f(x)在x＝x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要小，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值.
2.求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)函数f(x)＝有极值．( )
(2)函数的极大值一定大于极小值．( )
(3)若f′(x0)＝0，则x0一定是函数f(x)的极值点．( )
【解析】 (1)×.f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，故无极值．
(2)×.反例，如图所示的函数的极大值小于其极小值．
(3)×.反例，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，且f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
【答案】 (1)× (2)× (3)×
2．函数y＝x＋的极大值为________．
【解析】 y′＝1－，令y′＝0得x2＝1，x＝±1.
当x∈(－∞，－1)时，y′>0.当x∈(－1,0)时，y′<0.
∴y＝x＋在x＝－1处取得极大值y＝－2.
【答案】 －2
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的极值
求下列函数的极值：
(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝2x＋.
【导学号：95902226】
[思路探究] f ′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右导数的符号相反，才能判定函数在x0处取得极值．
【自主解答】 (1)函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)，
令y′＝0，得x＝－3或x＝1.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1，＋∞)
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值57
↘
极小值－7
↗
从上表中可以看出，当x ＝－3时，函数取得极大值，且y极大值＝57.
当x ＝1时，函数取得极小值，且y极小值＝－7.
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝2－＝2＝2，
令y′＝0，得x＝－2或x＝2.
当x＜－2时，y′＞0；当－2＜x＜0时，y′＜0.
即x＝－2时，y取得极大值，且极大值为－8.
当0＜x＜2时，y′＜0；当x＞2时，y′＞0.
即x＝2时，y取得极小值，且极小值为8.
[规律方法] 求函数极值的方法
?1?求f′?x?＝0在函数定义域内的所有根；
?2?用方程f′?x?＝0的根将定义域分成若干个小区间、列表；
?3?由f′?x?在各小区间内的符号，判断f′?x?＝0的根处的极值情况.
[跟踪训练]
1．求函数y＝x4－4x3＋5的极值．
【解】 y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)．
令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,3)
3
(3，＋∞)
y′
－
0
－
0
＋
y
↘
不是极值
↘
极小值－22
↗
故当x＝3时函数取得极小值，且y极小值＝f(3)＝－22.
已知函数的极值求参数
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)求常数a，b，c的值；
(2)求函数的极大值和极小值．
[思路探究] 可导函数的极值点一定是使导函数值为零的点，因此f′(1)＝0，f′(－1)＝0，再由f(1)＝－1，得到三个关于a，b，c的方程，联立可求得a，b，c的值．
【自主解答】 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由x＝±1是极值点，
得又f(1)＝－1，
所以a＋b＋c＝－1.③
联立①②③，解得，经验证a，b，c的值符合题意．
(2)由(1)得f(x)＝x3－x，所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
所以，当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝1；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－1.
[规律方法] 已知函数极值，求参数的值时，应注意两点：
?1?常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
?2?因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
[跟踪训练]
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，求常数a、b的值.
【导学号：95902227】
【解】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，舍去；而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.
函数极值的综合应用
[探究问题]
1．已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若f′(x)＝0的两个根是x1，x2，且x1＜x2，分别写出当a＞0和a＜0时函数f(x)的单调区间．
【提示】 由题意可知f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)，当a＞0时，令f′(x)＞0可得x＜x1或x＞x2，令f′(x)＜0可得x1＜x＜x2，所以当a＞0时，函数f(x)的单增区间是(－∞，x1)，(x2，＋∞)，单调减区间是(x1，x2)．
同理当a＜0时，函数f(x)的单增区间是(x1，x2)，单减区间是(－∞，x1)，(x2，＋∞)．
2．当a＞0时，分别判断当x→＋∞和x→－∞时探究1中的三次函数f(x)的变化趋势是怎样的？当a＜0时呢？
【提示】 当a＞0时，若x→＋∞，则f(x)→＋∞，若x→－∞，则f(x)→－∞；
当a＜0时，若x→＋∞，则f(x)→－∞，若x→－∞，
则f(x)→＋∞.
3．设a＞0，讨论探究1中的三次函数f(x)的图象和x轴交点的个数？
【提示】 因为a＞0，所以函数f(x)的单调增区间是(－∞，x1)，(x2，＋∞)，单减区间是(x1，x2)．
所以f(x)的极大值为f(x1)，极小值为f(x2)，显然f(x1)＞f(x2)，所以当f(x2)＞0或f(x1)＜0时，函数f(x)的图象和x轴只有1个交点；
当f(x1)＝0或f(x2)＝0时，函数f(x)的图象和x轴有2个交点；
当f(x1)＞0且f(x2)＜0时，函数f(x)的图象和x轴有3个交点．
已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[思路探究] 解(1)需要对参数a分类讨论．解决(2)可根据在x＝－1处取得极值的条件，解出a的值，进而求m的取值范围．
【自主解答】 (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a＜0时，对x∈R，有f′(x)＞0，所以当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a＞0时，由f′(x)＞0，解得x＜－或x＞，
由f′(x)＜0，解得－＜x＜，
所以当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－]，[，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为(－，)．
(2)因为f(x)在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.所以a＝1.
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
由(1)知f(x)的单调性，可知f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1 ，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性和极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象，可知m的取值范围是( －3,1)．
[规律方法] 应用导数求函数的极值，来确定函数图象的交点个数或方程的根的个数，是一种很有效的方法，它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.
[跟踪训练]
3．已知函数f(x)＝x3－4x＋4.试分析方程a＝f(x)的根的个数．
【解】 ∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．由f′(x)＝0得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝.当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增．
根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示．
结合图象：①当a＞或a＜－时，方程a＝f(x)有一个根．
②当－＜a＜时，方程a＝f(x)有三个根．
③当a＝或a＝－时，方程a＝f(x)有两个根．
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列四个函数中：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝x2；④y＝2x 能在x＝0处取得极值的函数是________(填序号)．
【解析】 ①④均为单调函数，不存在极值，②③在x＝0处取得极值．
【答案】 ②③
2．下列结论：
①导数为零的点一定是极值点；
②如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
③如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f(x0)是极小值；
④如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f(x0)是极大值．
其中正确的是________.
【导学号：95902228】
【解析】 根据函数极值的概念，依次判断各选项知，选项①，③，④均错，选项②正确．
【答案】 ②
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)递减，
当x∈(－∞，0)或(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)递增，
∴在x＝2处函数取得极小值．
【答案】 2
4．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图3-3-6所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点．
图3-3-6
【解析】 由题图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)＞0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)＜0，即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.故填1.
【答案】 1
5．求函数f(x)＝x2＋x－ln x＋2的极值.
【导学号：95902229】
【解】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋1－＝，
∴当0＜x＜时f′(x)＜0，当x＞时f′(x)＞0，
∴函数f(x)在区间单调减，在区间单调递增，
∴当x＝时，函数f(x)取得极小值为＋ln 2，无极大值．
3.3.3 最大值与最小值
学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念． 2.掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的最大值与最小值
如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值(最小值)．
2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤
第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值；
第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )
(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )
【解析】 (1)×.反例：f(x)＝x3－x2＋2x＋1在[0,10]的最大值是f(10)，而不是其极大值f(1)．
(2)√.因为函数是单调函数，故无极值，又因为是开区间，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确．
(3)×.反例：f(x)＝－x2在[－1,1]上的最大值为f(0)＝0，不在区间端点取得．
【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2．已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________．
【解析】 y′＝3x2－2x－1，由y′＝0得3x2－2x－1＝0，
得x1＝－，x2＝1.
∵f(0)＝0，f(1)＝－1，f(3)＝27－9－3＝15，
∴该函数在[0,3]上的最大值为15.
【答案】 15
[合 作 探 究·攻 重 难]
求函数的最值
求函数f(x)＝2x3－12x(x∈[－1,3])的最值．
[思路探究] 求f′(x)，研究f(x)在[－1,3]上的极值，并与f(－1)，f(3)比较确定最值．
【自主解答】 f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)＝6(x＋)(x－)．
由f′(x)＝0得x＝－或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1，)
(,3)
3
f′(x)
－
0
＋
f(x)
10
↘
－8
↗
18
由上表知函数f(x)的最小值是－8，最大值是18.
[规律方法] 求一个函数在闭区间上的最值，只需先求出函数在闭区间上的极值，然后比较极值与区间端点处的函数值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.
[跟踪训练]
1．求函数f(x)＝x(1－x2)，x∈[0,1]的最值.
【导学号：95902236】
【解】 易知f′(x)＝1－3x2.令f′(x)＝1－3x2＝0，则x＝±.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
1
f′(x)
＋
0
－
f(x)
0
↗
↘
0
由上表知f(x)的最大值为，最小值为0.
含参数的函数最值问题
a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
[思路探究] 此题是求函数在闭区间上的最值问题，要注意对参数a进行分类讨论．
【自主解答】 f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.
若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.因为x∈[0,1]，所以只需考虑x＝的情况．
(1)0＜＜1，即0＜a＜1时，当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如下表所示)
x
(0，)
(，1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
2a
↙
(2)≥1时，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，
当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0时，x＝0时，f(x)有最大值0.
当0＜a＜1时，x＝时，f(x)有最大值2a.
当a≥1时，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
[规律方法] 求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由于函数的最值只能在极值点或端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理.
[跟踪训练]
2．已知函数f(x)＝g(x)·h(x)，其中函数g(x)＝ex，h(x)＝x2＋ax＋a.
(1)求函数g(x)在(1，g(1))处的切线方程；
(2)当0＜a＜2时，求函数f(x)在x∈[－2a，a]上的最大值；
【导学号：95902237】
【解】 (1)g′(x)＝ex，故g′(1)＝e，
所以切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.
(2)f(x)＝ex·(x2＋ax＋a)，故f′(x)＝(x＋2)(x＋a)ex，令f′(x)＝0，得x＝－a或x＝－2.
①当－2a≥－2，即0＜a≤1时，f(x)在[－2a，－a]上单调递减，在[－a，a]上单调递增，
所以f(x)max＝max{f(－2a)，f(a)}．
由于f(－2a)＝(2a2＋a)e－2a，f(a)＝(2a2＋a)ea，故f(a)＞f(－2a)，所以f(x)max＝f(a)．
②当－2a＜－2，即1＜a＜2时，f(x)在[－2a，－2]上单调递增，在[－2，－a]上单调递减，在[－a，a]上单调递增，
所以f(x)max＝max{f(－2)，f(a)}．
由于f(－2)＝(4－a)e－2，f(a)＝(2a2＋a)ea，
故f(a)＞f(－2)，
所以f(x)max＝f(a)．
综上得，f(x)max＝f(a)＝(2a2＋a)ea.
由函数的最值求参数的值(范围)
[探究问题]
1. (1)若对任意的x∈[1,2]，都有a≥x成立，则实数a的取值范围是什么？
(2)若对任意的x∈[1,2]，都有a≤x成立，则实数a的取值范围是什么？
【提示】 (1)a≥2 (2)a≤1.
2．(1)若存在x∈[1,2]，使a≥x成立，实数a的取值范围是什么？
(2)若存在x∈[1,2]，使a≤x成立，实数a的取值范围是什么？
【提示】 (1)a≥1 (2)a≤2.
3．已知函数y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值为ymax，最小值为ymin，
(1)若对任意的x∈[m，n]，都有a≥f(x)成立，实数a的取值范围是什么？
(2)若对任意的x∈[m，n]，都有a≤f(x)成立，实数a的取值范围是什么？
【提示】 (1)a≥ymax (2)a≤ymin
4．已知函数y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值为ymax，最小值为ymin，
(1)若存在x∈[m，n]，使a≥f(x)成立，实数a的取值范围是什么？
(2)若存在x∈[m，n]，使a≤f(x)成立，实数a的取值范围是什么？
【提示】 (1) a≥ymin (2)a≤ymax
已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
[思路探究] 把a分离出来，转化为求函数的最值问题．
【自主解答】 由题意知2xln x≥－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≤2ln x＋x＋，设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝.
当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.
即实数a的取值范围是(－∞，4]
[规律方法]
1．“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，
一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.
对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
2．此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．
[跟踪训练]
3．已知函数f(x)＝xcos x－sin x，若存在实数x∈[0,2π]，使得f(x)＜t成立，则实数t的取值范围是__________．
【解析】 f′(x)＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
∵x∈[0,2π]，∴当x∈[0，π]时，f′(x)≤0，∴f(x)在[0，π]单调递减．
当x∈[π，2π]时，f′(x)≥0，∴f(x)在[π，2π]单调递增．
∴f(x)min＝f(π)＝－π，∴t的取值范围t＞－π.
【答案】 (－π，＋∞)
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．函数f(x)＝x3－12x＋8(－3≤x≤3)的值域是________．
【解析】 令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，而f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，则f(x)max＝24，f(x)min＝－8.
【答案】 [－8,24]
2．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________.
【导学号：95902238】
【解析】 g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：
x
0
1
g′(x)
－
0
＋
g(x)
0
单调递减
极小值
单调递增
0
所以当x＝时， g(x)有最小值g＝－.
【答案】 －
3．函数f(x)＝exsin x在区间上的值域为__________．
【解析】 f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，∵x∈，∴f′(x)＞0，∴f(x)在上是单调增函数，∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.
【答案】
4．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a的值为________．
【解析】 f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，
解得x＝－(舍去)或x＝1，
又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，则f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.
【答案】 1
5．已知函数f(x)＝lnx－x＋a，x∈(0，e]，若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围.
【导学号：95902239】
【解析】 由f(x)＝ln x－x＋a得 f′(x)＝－1＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)递增；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，f(x)递减．
∴当x＝1时，函数取得最大值f(1)＝－1＋a，据题意可得－1＋a≤0，所以a≤1，
即实数a的取值范围是(－∞，1]．
3.4 导数在实际生活中的应用
学习目标：1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．(重点) 2.通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．导数的实际应用
导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．
2．用导数解决实际生活问题的基本思路
[基础自测]
1．判断正误：
(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题．( )
(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式．( )
(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景．( )
【解析】 (1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解．
(2)√.求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题．
(3)√.要根据实际问题的意义确定自变量的取值．
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
2．生产某种商品x单位的利润L(x)＝500＋x－0.001x2，生产________单位这种商品时利润最大，最大利润是________．
【解析】 L′(x)＝1－0.002x，令L′(x)＝0，得x＝500，
∴当x＝500时，最大利润为750.
【答案】 500 750
[合 作 探 究·攻 重 难]
面积容积的最值问题
有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上．设CD＝2x，梯形的面积为S.
(1)求面积S关于x的函数，并写出其定义域；
(2)求面积S的最大值.
【导学号：95902246】
[思路探究] (1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S关于x的函数式；(2)根据S的函数的等价函数求最大值．
【自主解答】 (1)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x，y)．∵点C在椭圆上，∴点C满足方程＋＝1(y≥0)，
则y＝2(0< x (2)记S＝4(x＋r)2(r2－x2)(0＜x＜r)
则S′＝8(x＋r)2(r－2x)
令S′＝0，解得x＝r或x＝－r(舍去)．
当x变化时， S′，S的变化情况如下表：
x
S′
＋
0
－
S
↗
↘
∴x＝r时，S取得最大值，即梯形面积S的最大值为.
[规律方法]
1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解．
2．选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题．
[跟踪训练]
1.在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为h的圆柱，其轴截面如图3-4-1所示．设两个圆柱体积之和为V＝f(h)．
图3-4-1
(1)求f(h)的表达式，并写出h的取值范围．
(2)求两个圆柱体积之和V的最大值．
【解】 (1)自下而上两个圆柱的底面半径分别为：
r1＝，
r2＝.
它们的高均为h，所以体积之和
V＝f(h)＝πrh＋πrh＝πh＝π.
因为0＜2h＜1，所以h的取值范围是.
(2)由f(h)＝π(2h－5h3)，得f′(h)＝π(2－15h2)，
令f′(h)＝0，因为h∈，得h＝.
所以当h∈时，f′(h)＞0；当h∈时，f′(h)＜0.
所以f(h)在上为增函数，在上为减函数，
所以当h＝时，f(h)取得极大值也是最大值，
f(h)的最大值为f＝.
答：两个圆柱体积之和V的最大值为.
用料最省、节能减耗问题
如图3-4-2所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
【导学号：95902247】
图3-4-2
[思路探究] 先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值．
【自主解答】 设C点距D点x km，则BD＝40 km，AC＝(50－x)km，
∴BC＝＝(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，
得y＝3a(50－x) ＋5a(0≤x≤50)，则y′＝－3a＋，令y′＝0，解得x＝30.当x∈[0,30)时，y′＜0，当x∈(30,50]时，y′＞0,
∴当x＝30时函数取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)，即供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
[规律方法]
1．像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型．
2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．
[跟踪训练]
2．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长为________，宽为________．
【解析】 如图所示，设场地一边长为x m，则另一边长为 m，
因此新墙总长度L＝2x＋(x＞0)，L′＝2－.令L′＝2－＝0，得x＝16或x＝－16.
∵x＞0，∵x＝16.∵L在(0，＋∞)上只有一个极值点，
∴它必是最小值点．
∵x＝16，∴＝32.故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省．
【答案】 16 m 32 m
利润最大问题
[探究问题]
1．在有关利润最大问题中，经常涉及“成本、单价、销售量”等词语，你能解释它们的含义吗？
【提示】 成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量，一般包括固定成本(如建设厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费用)，单价是指单位商品的价格，销售量是指所销售商品的数量．
2．什么是销售额(销售收入)？什么是利润？
【提示】 销售额＝单价×销售量，利润＝销售额－成本．
3．根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路，你认为解决利润最大问题的基本思路是什么？
【提示】 在解决利润最大问题时，其基本思路如图所示．
某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足如下关系：w＝4－，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L(x)(单位：百元)．
(1)求利润函数L(x)的函数关系式，并写出定义域；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
[思路探究] (1)利润＝收入－总成本．其中，收入＝产量×售价，总成本＝肥料费用＋其他成本；
(2)利用求导、列表、定最值．
【自主解答】 (1)当肥料费用为x百元时，收入为16百元，总成本为(x＋2x)百元．
所以L(x)＝16－(x＋2x)＝64－－3x(百元)，其中x∈[0,5]．
(2)L′(x)＝－3，x∈[0,5]．
令L′(x)＝0，得x＝3.
列表如下：
x
0
(0,3)
3
(3,5)
5
L′(x)
＋
0
－
L(x)
↗
极大值
↘
由上表可知，L(x)max＝L(3)＝43.
答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是4 300元．
[规律方法] 解决最优化问题的一般步骤：
?1?根据各个量之间的关系列出数学模型；
?2?对函数求导，并求出导函数的零点，确定函数极值；
?3?比较区间端点处函数值和极值之间的大小，得到最优解.
[跟踪训练]
3．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．
(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；
(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值.
【导学号：95902248】
【解】 (1)设日销量q＝，则＝100，∴k＝100e30，
∴日销量q＝，
∴y＝(25≤x≤40)．
(2)当t＝5时，y＝，
∴y′＝.
由y′＞0，得25≤x＜26，由y′＜0，得26＜x≤40，
∴y在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，
∴当x＝26时，ymax＝100e4.
故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e4元．
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．一个圆锥形漏斗的母线长为20，高为h，则体积V的表达式为________．
【解析】 设圆锥的高为h，则圆锥的底面半径为r＝，则V＝π(400－h2)h.
【答案】 π(400－h2)h
2．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台.
【导学号：95902249】
【解析】 构造利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x＞0)，y′＝36x－6x2，
由y′＝0是x＝6(x＝0舍去)，x＝6是函数y在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．即生产6千台时，利润最大．
【答案】 6
3．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0＜x＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________．
【解析】 V′(x)＝2x·＋x2·＝－x2＋60x＝－x(x－40)．
令V′(x)＝0，得x＝40或x＝0(舍)．不难确定x＝40时，V(x)有最大值．
即当底面边长为40时，箱子容积最大．
【答案】 40
4．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
【解析】 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝.
要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，
∴S′表＝2πR－.令S′＝0，解得R＝3.
∵R∈(0,3)时，S表单调递减，R∈(3，＋∞)时，S表单调递增，∴当R＝3时，S表最小．
【答案】 3
5．某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1200＋x3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为多少件时，总利润最大？并求出最大总利润．
【解】 由题意，可设p2＝，其中k为比例系数．因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250 000，
所以p2＝，p＝，x＞0.设总利润为y万元，
则y＝·x－1200－x3＝500－x3－1 200.
求导数得，y′＝－x2.令y′＝0得x＝25.故当x＜25时，y′＞0；当x＞25时，y′＜0.
因此当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值，即最大利润为万元．
【答案】 25
第三课 导数及其应用
[体系构建]
[题型探究]
利用导数的几何意义求曲线的切线方程
运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程．还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等．导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现．
对于较为复杂的此类问题，一般要利用k＝f′(x0)((x0，f(x0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解．
求过曲线y＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程.
[思路探究] 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解.
【规范解答】 设切点为P(x0，y0)，则y0＝x－2x0.∵y′＝3x2－2，则切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－2，∴切线方程为y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)．
又∵切线过点(1，－1)，∴－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，整理，得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－.∴切点为(1，－1)或，相应的切线斜率为k＝1或k＝－.
故所求切线方程为y－(－1)＝x－1或y－＝－·，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
[跟踪训练]
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝2处取得极值，并且它的图象与直线y＝－3x＋3在点(1,0)处相切，则函数f(x)的表达式为________.
【导学号：95902257】
【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f(x)与直线y＝－3x＋3在点(1,0)处相切，
∴即
∵f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝12＋4a＋b＝0.③
由①②③解得∴f(x)＝x3－3x2＋2.
【答案】 f(x)＝x3－3x2＋2
利用导数研究函数的单调性
1．求函数的单调区间应先确定函数的定义域，利用f ′(x)＞0，f ′(x)＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点．
2．求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f′(x)＝0有无根，(2)f′(x)＝0根的大小，(3)f′(x)＝0的根是否在定义域内．另外当f′(x)＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.
3．已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f′(x)≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f′(x)＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f′(x)＞0(或＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围．
已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
[思路探究] (1)求出f′(x)，讨论f′(x)＝0的根是否存在，求函数的单调区间；
(2)根据题意有f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数a的取值范围．
【规范解答】 (1)f′(x)＝3x2－a.
①当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a＞0时，令3x2－a＝0得x＝±；当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；
当－＜x＜时，f′(x)＜0.
因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数．
综上可知，当a≤0时，f(x)在R上为增函数；
当a＞0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数．
(2)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，
所以a≤0，即a的取值范围为(－∞，0]．
[跟踪训练]
2．设函数f(x)＝x2＋ex－xex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，求实数m的取值范围.
【导学号：95902258】
【解】 (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)．
若x＜0，则1－ex＞0，所以f′(x)＜0；
若x＞0，则1－ex＜0，所以f′(x)＜0；
若x＝0，则f′(x)＝0.
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．
(2)由(1)知f(x)在[－2,2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝2－e2.
∴当m<2－e2时，不等式f(x)＞m恒成立．即实数m的取值范围是(－∞，2－e2).
利用导数研究函数的极值和最值
1.利用导数研究函数极值的一般流程
2．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
3．注意事项：
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．
(2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
[思路探究] (1)利用f′(1)＝3、f′＝0、f(1)＝4构建方程组求解；
(2)→→→→
【规范解答】 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①
当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②
由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4.
所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.
(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：
x
－3
(－3，－2)
－2
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
8
↗
13
↙
↗
4
由表可知，函数y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.
[跟踪训练]
3．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值．
(1)求c的取值范围；
(2)若f(x)在x＝2处取得极值，且当x＜0时，f(x)＜d2＋2d恒成立，求d的取值范围.
【导学号：95902259】
【解】 (1)∵f(x)＝x3－x2＋cx＋d，∴f′(x)＝x2－x＋c，要使f(x)有极值，
则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0有两个实数解，从而Δ＝1－4c＞0，∴c＜.
(2)∵f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝4－2＋c＝0，∴c＝－2.∴ f(x)＝x3－x2－2x＋d.
∵f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)，∴当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，函数单调递增，
当x∈(－1,2]时，f′(x)＜0，函数单调递减．∴x＜0时，f(x)在x＝－1处取得最大值＋d，
∵x＜0时，f(x)＜d2＋2d恒成立，∴ ＋d＜d2＋2d，即(d＋7)(d－1)＞0，
∴d＜－7或d＞1，即d的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).
分类讨论思想
利用分类讨论思想解答问题已成为高考中的热点问题，尤其是函数、导数中的解答题，在含参数的问题中，无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论．
已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0.
(1)求a的值；
(2)若对任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值.
[思路探究] (1)求出函数f(x)的最小值用a表示解方程可得a的值；
(2)构造函数g(x)＝f(x)－kx2，分类讨论求其在[0，＋∞)的最大值，使其最大值≤0可得k的取值范围，即得其最小值．
【规范解答】 (1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)．f ′(x)＝1－＝.
由f ′(x)＝0，得x＝1－a＞－a.当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－a,1－a)
1－a
(1－a，＋∞)
f ′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
因此，f(x)在x＝1－a处取得最小值，故由题意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.
(2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln 2＞0，故k≤0不合题意．
当k＞0时，令g(x)＝f(x)－kx2，即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx2.
g ′(x)＝－2kx＝.
令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝＞－1.
①当k≥时，≤0，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，
因此g(x)在[0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x∈[0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在[0，＋∞)上恒成立．故k≥符合题意．
②当0＜k＜时，＞0，对于x∈，g′(x)＞0，
故g(x)在内单调递增，因此当取x0∈时，
g(x0)＞g(0)＝0，即f(x0)≤kx不成立．故0＜k＜不合题意.
综上，k的最小值为.
[跟踪训练]
4．设函数f(x)＝aex＋＋b(a＞0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝ f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值.
【解】 (1)f′(x)＝aex－，
当f ′(x)＞0，即x＞－ln a时，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增；
当f ′(x)＜0，即x＜－ln a时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减．
①当0＜a＜1时，－ln a ＞0，f(x)在(0，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－ln a)＝2＋b;
②当a≥1时，－ln a≤0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝a＋＋b.
(2)依题意f ′(2)＝ae2－＝，解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)，所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝，故a＝，b＝.
[链接高考]
1．曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程是__________.
【导学号：95902260】
【解析】 因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率k＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.
【答案】 y＝x＋1
2．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．
【解析】 ∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.
又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，
∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.
【答案】 1
3．函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．
【解析】 f′(x)＝＝－，
当x≥2时，f′(x)＜0，所以f(x)在[2，＋∞)上是减函数，故f(x)max＝f(2)＝＝2.
【答案】 2
4．已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________.
【导学号：95902261】
【解析】 因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－
＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)，
所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数．
因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，
所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．
因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，
所以f(x)在R上单调递增，
所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，
所以－1≤a≤.
【答案】
5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
(2)证明：b2>3a.
【解】 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，得
f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3＋b－.
当x＝－时，f′(x)有极小值b－.
因为f′(x)的极值点是f(x)的零点，
所以f＝－＋－＋1＝0.
又a>0，故b＝＋.
因为f(x)有极值，故f′(x)＝0有实根，
从而b－＝(27－a3)≤0，即a≥3.
当a＝3时，f′(x)>0(x≠－1)，
故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；
当a>3时，f′(x)＝0有两个相异的实根
x1＝，x2＝.
列表如下：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
故f(x)的极值点是x1，x2.
从而a>3.
因此b＝＋，定义域为(3，＋∞)．
(2)证明：由(1)知，＝＋.
设g(t)＝＋，则g′(t)＝－＝.
当t∈时，g′(t)>0，
从而g(t)在上单调递增．
因为a>3，所以a>3，
故g(a)>g(3)＝，即>.
因此b2>3a.
