1.1.1 四种命题
学习目标：1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题． 2.了解命题的四种形式，能正确分析它们之间的相互关系．(重点) 3.能利用两个命题互为逆否命题的关系判断命题的真假．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．命题
(1)能够判断真假的语句叫做命题．
(2)判断为真的语句叫做真命题．
(3)判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题的概念
一般地，设“若p则q”为原命题，那么“若q则p”就叫做原命题的逆命题，原命题与逆命题称为互逆命题；“若非p则非q”就叫做原命题的否命题，原命题和否命题称为互否命题；“若非q则非p”就叫做原命题的逆否命题，原命题与逆否命题称为互为逆否命题．
3．四种命题之间的关系
(1)
(2)如果两个命题互为逆否命题，那么它们有相同的真假性，也称它们为等价命题．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)语句“x2＋2x＜0”是命题．( )
(2)两个互逆命题的真假性相同．( )
(3)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．( )
【解析】 (1)×.因为语句“x2＋2x＜0”不能判断真假，故不是命题．
(2)×.一个命题与它的逆命题的真假性没有关系．
(3)√.四种命题可能都是假命题．
【答案】 (1)× (2)× (3)√
2．命题“若a＞b，则a－8＞b－8”的逆否命题是________．
【解析】 因为命题“若p，则q”的逆否命题为“若非q，则非p”，所以命题“若a＞b，则a－8＞b－8”的逆否命题是“若a－8≤b－8，则a≤b”．
【答案】 若a－8≤b－8，则a≤b
[合 作 探 究·攻 重 难]
命题的概念及真假判断
判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.
【导学号：95902000】
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
②若x＝4，则2x＋1＜0 ；
③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
④求证：x∈R时，则方程x2－x＋2＝0无实根．
⑤平行于同一条直线的两条直线必平行吗？
[思路探究] 命题必须是陈述句并且可判断真假，两个条件缺一不可；要判定一个命题为真，需证明，若判定一个命题为假，举一个反例即可．
【自主解答】 ①②③是命题，④⑤不是命题．
命题①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，是真命题．
命题②中，当x＝4时，2x＋1＞0，是假命题．
命题③中，若等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．
④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．
⑤它是一个疑问句，没有作出判断，不是命题．
[规律方法]
1．判断一个语句是不是命题，关键是看能不能判断真假．一般情况下感叹句，一般疑问句，祈使句都不是命题．
2．判断命题真假的策略
(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．
[跟踪训练]
1．下列语句中，哪些是命题，是命题的判断其真假．
(1)lg 1000＝3；
(2)垂直于同一个平面的两直线平行；
(3)设a，b，c，d∈R，如果a＞b，c＞d，那么ac＞bd；
(4)三角函数都是周期函数；
(5)方程x2＝4－2真难解啊！
(6)请你离开！
(7)2x＋3＝0.
【解】 (1)(2)(3)(4)(5)都是命题；其中(1)(2)(4)为真命题．
(3)中，如2＞－3，－1＞－10，但2×(－1)＞(－3)×(－10)不成立，所以(3)为假命题．
(5)感叹句不是命题．
(6)祈使句，不是命题．
(7)语句中含有变量x，无法判定其真与假，故不是命题.
四种命题及其关系
写出以下原命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
【导学号：95902001】
(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；
(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(3)正方形既是矩形又是菱形；
(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．
[思路探究] →
→
【自主解答】 (1)逆命题：如果会使用电脑，那么就学好了数学，为假命题；
否命题：如果学不好数学，那么就不会使用电脑，为假命题；
逆否命题：如果不会使用电脑，那就学不好数学，为假命题．
(2)逆命题：若(x－3)(x－7)＝0，则x＝3或x＝7，为真命题；
否命题：x≠3且x≠7，则(x－3)(x－7)≠0，为真命题；
逆否命题：若(x－3)(x－7)≠0则x≠3且x≠7，为真命题．
(3)逆命题：既是菱形又是矩形的四边形是正方形，为真命题；
否命题：不是正方形的四边形就不是菱形或者不是矩形，为真命题；
逆否命题：不是菱形或者不是矩形的四边形就不是正方形，为真命题．
(4)逆命题：若ab是奇数，则a，b都是奇数，为真命题；
否命题：若a或b是偶数，则ab是偶数，为真命题；
逆否命题：若ab是偶数，则a或b是偶数，为真命题．
[规律方法]
1．写出一个命题的其他三种命题，关键是找出原命题的条件和结论，对于条件和结论不明显的命题，需将原命题改写成“若p，则q”的形式，必要时可以加入字母或文字．
2．若命题含有大前提，注意大前提既不是命题的条件也不是命题的结论，所以其他三种命题中都需保留大前提．
[跟踪训练]
2．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．
(1)负数的平方是正数；
(2)正方形的四条边相等.
【导学号：95902002】
【解】 (1)逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．(假命题)
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数. (假命题)
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(真命题)
(2)逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．(假命题)
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．(假命题)
逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．(真命题)
命题的等价性及应用
[探究问题]
1．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是什么？二者的真假性有何关系？
【提示】 命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”，二者真假性相同，都是真命题．
2．命题“若x?A∩B，则x?A∪B”的真假容易判断吗？其逆否命题是什么？其逆否命题的真假容易判断吗？
【提示】 直接判断命题“若x?A∩B，则x?A∪B”的真假是不容易进行的，它的逆否命题为“若x∈A∪B，则x∈A∩B”，很明显这是个假命题．
3．由探究1和探究2我们可以得到哪些启示？
【提示】 有些带有否定性词语的命题不易直接判断其真假，可利用命题与其逆否命题的等价性来判断其逆否命题的真假，从而可判断其真假．
判断命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
[思路探究] 方法一：
方法二：→→
【自主解答】 方法一：∵m>0，∴4m>0，∴4m＋1>0，
∴方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝4m＋1>0.∴方程x2＋ x－m ＝0有实数根．
∴原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
方法二：原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为“如果x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”．∵x2＋x－m＝0无实数根，∴Δ＝4m＋1<0，∴m<－≤0，∴命题“如果x2＋x－m＝0无实数根，
则m≤0”为真．
[规律方法]
1．由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当证明或判断原命题感到困难时，可考虑换证它的逆否命题成立，这样也可达到证明原命题的目的．
2．利用逆否命题与原命题等价，可以省去否定条件和结论的过程，简化问题的求解．
[跟踪训练]
3．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆否命题的真假．
【解】 方法一：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．
判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，∵a≥2，∴4a－7＞0，即抛物线与x轴有交点，
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．
方法二：先判断原命题的真假如下：
∵a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.
∴a＜＜2.
∴原命题是真命题．∵互为逆否命题的两个命题同真同假，∴原命题的逆否命题为真命题．
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列语句：① 0是自然数；② 正数大于负数；③ 正弦函数是偶函数；④ 温度是向量吗？
其中不是命题的是________
【导学号：95902003】
【解析】 关键点：陈述句——判断真假．“温度是向量吗？”是疑问句，不是命题，其余的都是命题．
【答案】 ④
2．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．
【解析】 否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．
【答案】 若a≤b，则2a≤2b－1
3．已知命题p：“正数a的平方不等于0”， 命题q：“若a不是正数， 则它的平方等于0”，则p是q的________．(从“逆命题、否命题、逆否命题”中选一个填空).
【导学号：95902004】
【解析】 命题p可改为：“若a是正数，则它的平方不等于0”，所以由否命题的概念知p是q的否命题．
【答案】 否命题
4．与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”的等价命题为__________．
【解析】 与命题“能被4整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是它的逆否命题：若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除．
【答案】 若一个整数不能被2整除，则这个整数一定不能被4整除
5．写出命题“设x为实数，若x>0，则x2>0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
【导学号：95902005】
【解】 逆命题：设x为实数，若x2>0，则x>0，逆命题为假命题；
否命题：设x为实数，若x≤0，则x2≤0，否命题为假命题；
逆否命题：设x为实数，若x2≤0，则x≤0，逆否命题为真命题．
1.1.2 充分条件和必要条件
学习目标：1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．(重点) 2.结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．(重点、难点) 3.培养辩证思维能力．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．符号“?”与“ ”的含义
一般地，命题“若p则q”为真，记作“p?q”；“若p则q”为假，记作“p q”．
2．充分条件、必要条件、充要条件的含义
(1)一般地，如果“p?q”，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件；如果“p?q”，且“q?p”，那么称p是q的充分必要条件，简称为p是q的充要条件，记作p?q；
(2)如果“p?q”，且“q p”，那么称p是q的充分不必要条件；
(3)如果“p q”，且“q?p”，那么称p是q的必要不充分条件；
(4)如果“p q”，且“q p”，那么称p是q的既不充分又不必要条件．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件．( )
(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．( )
(3)“两个角不相等”是“两个角不是对顶角”的必要条件．( )
(4)“x≥3”是“x＝3”的充分条件．( )
【解析】 (1)√.由充分条件和必要条件的定义可知其正确．
(2)√.由于p是q的充要条件，则p?q，故二者等价．
(3)×.“两个角不相等”是“两个角不是对顶角”的充分不必要条件．
(4)×.“x≥3”是“x＝3”的必要不充分条件．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的________条件是c＝0.
【导学号：95902013】
【解析】 若图象过原点，则0＝a·0＋b·0＋c，
∴c＝0，反之，若c＝0，
则函数为y＝ax2＋bx代入(0,0)点成立，故为充要条件．
【答案】 充要
[合 作 探 究·攻 重 难]
充分条件、必要条件的判断
指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：x，y不全为0，q：x＋y≠0.
[思路探究] 条件关系的判断，利用定义法、集合法、等价命题法．
【自主解答】 (1)∵p?q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．
(2)p对应的集合为A＝{x|x＞1}，q对应的集合为B＝{x|x＜－1或x＞1}，
∵AB，∴p是q的充分不必要条件．
(3)﹁p：x＝0且y＝0，﹁q：x＋y＝0，
∵﹁p?﹁q，而﹁q﹁p，
∴p?q且pq，
∴p是q的必要不充分条件．
[规律方法]
1．判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p则q”和它的逆命题“若q则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件．
2．利用集合间的包含关系进行判断．
3．在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若﹁q则﹁p”的真假．
[跟踪训练]
1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答).
【导学号：95902014】
(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠6，q：x≠2或y≠4；
(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B；
(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.
【解】 (1)在△ABC中，显然有A>B?BC>AC，所以p是q的充要条件．
(2)因为x＝2且y＝4?x＋y＝6，即﹁q?﹁p，但﹁p﹁q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)取A＝120°，B＝30°，pq，又取A＝30°，B＝120°，qp，所以p是q的既不充分也不必要条件．
(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，AB，所以p是q的充分不必要条件.
条件探求问题
(1)下列不等式：①x<1；②0
(2)函数y＝x2＋bx＋c，x∈[0，＋∞)是单调函数的充要条件为________．
[思路探究] (1)若p是q的充分条件，则p?q即可；(2)根据二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系求解．
【自主解答】 (1)由于x2<1即－1(2)对称轴为x＝－，要使y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上单调，
只需满足－≤0，即b≥0.
【答案】 (1)②③④ (2)b≥0
[规律方法]
1．寻求q的必要条件p，即以q为条件推出结论p.
2．寻求q的充分条件p，即求使q成立的条件p.
3．寻求q的充要条件p，从上述两个方面入手，若得到的结论一致，即为充要条件．事实上，充分条件是充要条件的一个“子集”，充分不必要条件是充要条件的一个“真子集”．
[跟踪训练]
2．(1)使x>1成立的一个必要条件是________．
①x>0；②x>3；③x>2；④x<2；⑤x＞－1
(2)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．
①m∥β且l1∥α；②m∥l1且n∥l2；③m∥β且n∥β；④m∥β且n∥l2.
【解析】 (1)由x>1?x>0, x>1?x＞－1可知①⑤满足条件，其他选项均不可由x>1推出，故选①⑤.
(2)易知条件①③④推不出α∥β，只有条件②可推出α∥β，且α∥β不一定推出条件②，
所以条件②为α∥β的一个充分而不必要条件．
【答案】 (1)①⑤ (2)②
充分、必要条件的应用
[探究问题]
1．(1)设集合A＝[3，＋∞)，B＝[2，＋∞)，集合A与B是什么关系？
(2)已知命题p：x≥3；命题q：x≥2，p是q的什么条件？
【提示】 (1)集合A是B的真子集，即AB；
(2)因为p?q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．
2．(1)设集合M＝[2,4]，N＝[1,3]，集合M是集合N的子集吗？集合N是M的子集吗？
(2)已知命题r：2≤x≤4；命题s：1≤x≤3，r是s的什么条件？
【提示】 (1)不是；不是
(2)r既不是s充分条件，也不是s的必要条件．
3．由探究1和探究2，你可得到什么结论？
【提示】 设p和q对应的集合分别为A，B，如果命题p是q的充分不必要条件，那么集合A就是集合B的真子集．反之也成立．
已知命题p：|x－8|≤2，q：>0，r：x2－3ax＋2a2<0 (a>0)．若命题r是命题p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围．
[思路探究] 首先求出p、q、r成立的条件，然后把命题之间的关系转化为对应集合之间的关系求解．
【自主解答】 命题p即：6≤x≤10；命题q即：x>1；命题r即：a即a的取值范围是5≤a≤6.
[规律方法] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式?组?进行求解，同时要注意范围的临界值.
[跟踪训练]
3．已知p：x<－2或x>10，q：1－m≤x≤1＋m2，若﹁p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【导学号：95902015】
【解】 ﹁p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m2}，
∵﹁p是q的充分不必要条件，∴AB.
∴
∴m>3.
故所求实数m的取值范围为(3，＋∞)．
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．lg x>lg y是2x>2y的________条件．
【解析】 lg x>lg y，必有x>y>0，所以2x>2y.
反之，若2x>2y，则x>y，但lg x，lg y不一定存在．不一定推出lg x>lg y．应填充分不必要．
【答案】 充分不必要
2．b2＝ac是＝成立的________条件．
【解析】 b2＝ac＝，但＝?b2＝ac，∴b2＝ac是＝的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分条件
3．p：x＝x2，q：3－2x＝x2，则p是q的________条件.
【导学号：95902016】
【解析】 由x＝x2可得x＝0或x＝1，而3－2x＝x2可得x＝1或x＝－3，
∴pq，qp，∴p是q的既不充分又不必要条件．
【答案】 既不充分又不必要条件
4．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是________(填序号)．
①1；③m< ；④m>1.
【解析】 由方程表示圆的条件知，(4m)2＋(－2)2－4·(5m)>0，∴m<或m>1.
【答案】 ②
5．已知条件p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，条件q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}．若﹁q是﹁p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【导学号：95902017】
【解】 q：B＝{x∈R|1≤x≤2}，若﹁q是﹁p的充分不必要条件，则A?B.
若A＝?，则a2－4＜0，即－2＜a＜2；
若A≠?，则解得－≤a≤－2.综上所述，－≤a＜2.
1.2 简单的逻辑联结词
学习目标：1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容．(重点) 2.掌握“p∨q”、“p∧q”、“﹁p”命题的真假判断．(难点) 3.知道﹁p与否命题的区别．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．逻辑联结词
命题中的“或”、“且”、“非”叫做逻辑联结词．
2．命题的构成形式
(1)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”，读作p或q.
(2)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”，读作p且q.
(3)对一个命题p进行否定，就得到一个新命题，记作“﹁p”，读作“非p”或p的否定．
3．含逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
﹁p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
[基础自测]
1．判断正误：
(1)逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．( )
(2)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．( )
(3)命题“p∨(﹁p)”是真命题．( )
(4)梯形的对角线相等且平分是“p∨q”的形式命题．( )
【解析】 (1)×.逻辑联结词“且”“或”也可以出现在命题的条件中．
(2)×.“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充分不必要条件．
(3)√.命题p与﹁p必有一个是真命题，另一个是假命题，故p∨(﹁p)是真命题．
(4)×.梯形的对角线相等且平分是“p∧q”的形式命题．
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．命题“35是7的倍数或15是7的倍数”是________命题(填“真”或“假”)．
【解析】 “35是7的倍数”是真命题，“15是7的倍数”是假命题．
∴命题“35是7的倍数或15是7的倍数”是真命题．
【答案】 真
[合 作 探 究·攻 重 难]
含逻辑联结词命题的构成
分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题：
(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；
(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等；
(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
【导学号：95902024】
[思路探究] →
→
【自主解答】 (1)“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；
“﹁p”：π不是无理数．
(2)“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；
“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；
“﹁p”：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．
(3)“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；
“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；
“﹁p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．
[规律方法]
1．利用逻辑联结词“或”“且”“非”构造新命题，关键是要理解“或”“且”“非”的含义．
2．构造新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题适当地简化．
[跟踪训练]
1．分别指出下列命题的构成形式．
(1)小李是老师，小赵也是老师；
(2)1是合数或质数；
(3)方程x2＋x＋3＝0没有实数根；
(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误．
【解】 (1)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师．
(2)这个命题是“p或q”的形式，其中，p：1是合数；q：1是质数．
(3)这个命题是“﹁p”的形式，其中p：方程x2＋x＋3＝0有实数根．
(4)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品政治上有错误.
含逻辑联结词的命题的真假判断
分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命题的真假．
(1)p：6<6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos x是周期函数，q：函数y＝cos x是奇函数.
【导学号：95902025】
[思路探究] →→
【自主解答】 (1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题， p∨q为真命题，﹁p为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假命题， p∨q为假命题，﹁p为真命题．
(3)p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题， p∨q为真命题，﹁p为假命题．
(4)p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题， p∨q为真命题，﹁p为假命题．
[规律方法]
1．巧记命题“p且q”“p或q”“﹁p”的真假
(1)对于“p且q”，我们简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p且q”为假；对于“p或q”，我们简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p或q”为真．
(2)从运算的角度来记忆：将“且”和“或”分别对应“乘法运算”和“加法运算”；命题的“真”与“假”对应数字“1”与“0”，规定“1＋1＝1”．
2．判断“p∧q”、“p∨q”形式复合命题真假的步骤：
第一步，确定复合命题的构成形式；
第二步，判断简单命题p、q的真假；
第三步，根据真值表作出判断．
注意：一真“或”为真，一假“且”为假．
[跟踪训练]
2．分别指出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的新命题的真假：
(1)p：π是无理数，q：π是实数．
(2)p：2>3，q：3＋6≠9.
【解】 (1)p∧q：π是无理数且π是实数，真命题；
p∨q：π是无理数或π是实数，真命题；
﹁p：π不是无理数，假命题．
(2)p∧q：2>3且3＋6≠9，假命题；
p∨q：2>3或3＋6≠9，假命题；
﹁p：2≤3，真命题.
逻辑联结词的应用
[探究问题]
1．若“p或q”是真命题，则p和q的真假性如何？若“p或q”是假命题，则p和q的真假性如何？
【提示】 若“p或q”是真命题，则p和q中至少有一个是真命题；若“p或q”是假命题，则p和q都是假命题．
2．若“p且q”是真命题，则p和q的真假性如何？若“p且q”是假命题，则p和q的真假性如何？
【提示】 若“p且q”是真命题，则p和q中都是真命题；若“p且q”是假命题，则p和q中至少有一个是假命题．
3．若“p或q”为真命题，同时“p且q”是假命题，则p和q的真假性如何？
【提示】 p和q中一个是真命题，另外一个是假命题．
已知p：x2＋4mx＋1＝0有两个不等的负数根，q：函数f(x)＝－(m2－m＋1)x在(－∞，＋∞)上是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
[思路探究]
【自主解答】 p：x2＋4mx＋1＝0有两个不等的负根??m>.
q：函数f(x)＝－(m2－m＋1)x在(－∞，＋∞)上是增函数?0(1)若p真，q假，则?m≥1.
(2)若p假，q真，则?0综上，得m≥1或0[规律方法]
1．若求参数的题目中出现“p或q”“p且q”的真假情况， 一般将命题的真假转化为命题p，q的真假来解决．
2．p、q的真假有时是不确定的，需要分情况讨论．但无论哪种情况，一般可先假设p、q为真，当它们为假时取其补集即可．
[跟踪训练]
3．已知p：不等式mx2＋1>0的解集是R；q：f(x)＝logmx是减函数．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围.
【导学号：95902026】
【解】 因为不等式mx2＋1>0的解集是R，所以或m＝0，解得m≥0，即p：m≥0，
又f(x)＝logmx是减函数，所以0又p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假．即p为真，q为假；或p为假，q为真．
所以或得m≥1.所以m的取值范围是m≥1.
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是________形式的命题．(填“p∧q”“p∨q”“﹁p”)
【解析】 根据命题里的“且”字，判断命题是“p∧q”形式的命题．
【答案】 p∧q
2．p：ax＋b>0的解为x>－， q：(x－a)(x－b)<0的解为a【解析】 命题p与q都是假命题．
【答案】 假
3．设命题p：3≥2，q：3?[2，＋∞)，则复合命题“p∨q”“p∧q”中真命题的是________.
【导学号：95902027】
【解析】 3≥2成立，∴p真；3∈[2，＋∞)，
∴q假．故“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题．
【答案】 p∨q
4．若x∈{x|x＜4或x≥10}是假命题，则x的取值范围是________．
【解析】 由题意，其否定为真，即4≤x＜10成立．
【答案】 [4,10)
5．分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”形式的命题的真假.
【导学号：95902028】
(1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：2是奇数，q：2是合数；
(3)p：4≥4，q：23不是偶数；
(4)p：不等式x2－3x－10<0的解集是 {x|－2【解】 (1)∵p是假命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题．
(2)∵p是假命题，q是假命题，∴p∨q是假命题，p∧q是假命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，∴p∨q是真命题，p∧q是真命题．
(4)∵p是真命题，q是假命题，∴p∨q是真命题，p∧q是假命题．
1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 量词
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标：1.理解全称量词和存在量词的意义，能准确地利用全称量和存在量词叙述数学内容．(重点) 2.能判定全称命题与存在性命题的真假．(难点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．全称量词与全称命题
(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“?x”表示“对任意x”．
(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为：?x∈M，p(x)．
2．存在量词和存在性命题
(1)“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“?x”表示“存在x”．
(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为：?x∈M，p(x)．
3．全称命题的否定
全称命题p
﹁p
结论
?x∈M，p(x)
?x∈M，﹁p(x)
全称命题的否定是存在性命题
4.存在性命题的否定
存在性命题p
﹁p
结论
?x∈M，p(x)
?x∈M，﹁p(x)
存在性命题的否定是全称命题
[基础自测]
1．判断正误：
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( )
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( )
(3)全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．( )
(4)?x∈M，p(x)与?x∈M，﹁p(x)的真假性相反．( )
【解析】 (1)×.“有些”“某个”“有的”都表示部分，是存在量词．
(2)√.由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确．
(3)×.有些全称命题与存在性命题可能省略量词．
(4)√.命题p与其否定﹁p真假性相反．
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________.
【导学号：95902036】
【解析】 原命题为全称命题其否定为“?x0∈R，|x0|＋x<0”．
【答案】 ?x0∈R，|x0|＋x<0
[合 作 探 究·攻 重 难]
用量词表示命题
判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示．并判断其真假．
(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
(2)存在一条直线，其斜率不存在；
(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(4)存在实数x0，使得＝2.
[思路探究]
→
【自主解答】 (1)是全称命题，用符号表示为“?α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题．
(2)是存在性命题，用符号表示为“?直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(3)是全称命题，用符号表示为“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(4)是存在性命题，用符号表示为“?x0∈R，＝2”，是假命题．
[规律方法]
1．有些命题不是典型的全称命题或存在性命题，却表达了相应的意义，这时可适当引入量词，用量词表示命题，准确体会命题的含义．
2．用符号“?”“?”表示含有量词的命题时，将存在量词改为“?”，全称量词改为“?”，注意必要时需引入字母来表达命题的含义．
[跟踪训练]
1．用符号“?”与“?”表示下列命题：
(1)实数的绝对值大于等于0；
(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；
(3)任意的实数a，b，c满足a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
【导学号：95902037】
【解】 (1)?x∈R，|x|≥0.
(2)?(x，y)∈R，x2＋y2＜1.
(3)?a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.
含有量词的命题的真假判断
判断下列命题的真假：
(1)若a＞0且a≠1，则?x0∈R，ax0＞0；
(2)?x∈R，都有x2－x＋1>；
(3)?x0，y0∈N，使x0＋y0＝3.
[思路探究] 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断．
【自主解答】 (1)∵a>0，∴当x＝1时，ax＝a>0，成立，∴(1)为真命题．
(2)∵x2－x＋1＝＋≥>，∴x2－x＋1>恒成立，∴(2)是真命题．
(3)当x0＝0，y0＝3时，x0＋y0＝3满足题意，∴(3)是真命题．
[规律方法] 全称命题与存在性命题真假判断的方法：
?1?对于全称命题“?x∈M，p?x?”：
①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明 p?x?成立；
②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使 p?x0?不成立即可.?通常举反例?
?2?存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.
[跟踪训练]
2．判断下列命题中的真假：
(1) ?x∈R,2x－1>0 ；(2)?x∈N*，(x－1)2>0；
(3)?x0∈R，lg x0<1 ；(4)?x0∈R，tan x0＝2.
【解】 (1)命题“?x∈R,2x－1>0”是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；
(2)命题“?x∈N*，(x－1)2>0”是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；
(3)命题“?x0∈R，lg x0<1”是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；
(4)命题“?x0∈R，tan x0＝2”是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题.
含有一个量词的命题的否定
写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)p：?x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x0∈R，x＋2x0＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
【导学号：95902038】
[思路探究] 首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题，然后针对量词和结论两个方面进行否定．
【自主解答】 (1)﹁p：?x0∈R，x－x0＋ <0，假命题．
∵?x∈R，x2－x＋ ＝≥0恒成立，∴﹁p是假命题．
(2)﹁q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)﹁r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
∵?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立，
∴﹁r是真命题．
(4)﹁s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
∵x＝－1时，x3＋1＝0，∴﹁s是假命题．
[规律方法]
1．写一个命题的否定的步骤：首先判定该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，并确定相应的量词，其次把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词同时否定结论．
2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[跟踪训练]
3．写出下列命题的否定：
(1)p：一切分数都是有理数；
(2)q：有些三角形是锐角三角形；
(3)r：?x0∈R，x＋x0＝x0＋2;
(4)s：?x∈R,2x＋4≥0.
【解】 (1)﹁p：有些分数不是有理数；
(2)﹁q：所有的三角形都不是锐角三角形；
(3)﹁r：?x∈R，x2＋x≠x＋2；
(4)﹁s：?x0∈R,2x0＋4＜0.
全称命题与存在性命题的综合应用
[探究问题]
1．(1)“?x∈R ，a＝x2”的含义是什么？
(2)“?x∈[1,2] ，a＝x2”的含义是什么？
若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围．
【提示】 (1)“?x∈R ，a＝x2”的含义是方程x2－a＝0有实数根，所以其判别式Δ＝4a≥0，解得a≥0；
(2)“?x∈[1,2]，a＝x2”的含义是方程x2－a＝0在[1,2]内有实数根，也就是函数y＝x2，x∈[1,2]和函数y＝a的图象有交点，因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a的取值范围是1≤a≤4.
2．(1)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含义是什么？
(2)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含义是什么？若上述两个命题是真命题，试分别求出a的取值范围．
【提示】 (1)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含义是对于所有的，一切在[1,2]内的x，不等式a＜x2都恒成立，所以a要小于x2的最小值．因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a＜1；
(2)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含义是在[1,2]内至少有一个x ，使不等式a＜x2成立，此时只要a不大于x2的最大值即可．因为x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a≤4.
(1)若命题“?x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
(2)已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1，若命题：“?x0∈(0,1)使f(x0)＝0”是真命题，则实数a的取值范围是__________.
【导学号：95902039】
[思路探究] (1)由于此全称命题是真命题，所以可以推出a的值，求出在x∈[－1，＋∞)时，f(x)min≥a，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题．
(2)由于f(x)是单调函数，在(0,1)上存在零点，再由4|a|＞0应有解不等式组求出a范围．
【自主解答】 (1)方法一：由对任意x∈[－1，＋∞)，令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2可转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a成立，即对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]
方法二：由x2－2ax＋2≥a，即x2－2ax＋2－a≥0，令f(x)＝x2－2ax＋2－a所以全称命题转化为对任意x∈[－1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a＜－2，所以a∈[－3,1]．
(2)由：“?x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命题，
且由4|a|＞0得即解得a∈.
【答案】 (1)[－3,1] (2)
[规律方法] 应用全称命题与存在性命题求参数范围的常见题型
1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．
2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[跟踪训练]
4．若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是________.
【导学号：95902040】
【解析】 当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0；
当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，解得－1综上所述，实数a的取值范围是a<1.
【答案】 a<1
[构建·体系]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列命题是全称命题的是________．
(1)有一个向量a，a的方向不能确定；
(2)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解.
【导学号：95902041】
【解析】 (1)中含有量词“有一个”，是存在性命题，(2)中含有量词“任何”，是全称命题．
【答案】 (2)
2．下列全称命题：①实数都有倒数；②自然数都是正整数；③小数都是有理数；④无理数都是无限不循环小数．
其中真命题的是________．
【解析】 由于0没有倒数，故①错误；由于0不是正整数，故②错误；由于无限不循环小数是无理数，故③错误，④正确．
【答案】 ④
3．已知命题p：?x∈R，cos x≤1，则﹁p是________．
【解析】 p为全称命题，﹁p应为存在性命题．
【答案】 ?x0∈R，cos x0＞1
4．若命题“?x≥1，x2≥a”的否定为真命题，则实数a的取值范围为__________.
【导学号：95902042】
【解析】 命题“?x≥1，x2≥a”的否定为“?x≥1，x2＜a”为真命题，所以a∈(1，＋∞)．
【答案】 (1，＋∞)
5．将下列命题用量词符号“?”或“?”表示．
(1)整数中1最小；
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根；
(3)对于某些实数x，有2x＋1>0；
(4)若l⊥α，则直线l垂直于平面α内任一直线．
【解】 (1)?x∈Z，x≥1.
(2)?x0<0，ax＋2x0＋1＝0(a<1)．
(3)?x0∈R,2x0＋1>0.
(4)若l⊥α，则?a?α，l⊥a.
第一课 常用逻辑用语
[体系构建]
[题型探究]
四种命题及其相互关系
命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”；否命题为“若﹁p，则﹁q”逆否命题为“若﹁q，则﹁p”．书写四种命题应注意：
(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待．
(2)要注意条件和结论的否定形式．
写出命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假．
[思路探究] →→
【规范解答】 原命题：若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0，是真命题；
逆命题：若a＝0且b＝0，则a2＋b2＝0是真命题；
否命题：若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0是真命题；
逆否命题：若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0是真命题．
[跟踪训练]
1．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.
【导学号：95902050】
【解析】 原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；
逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”是真命题；
否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；
逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．
【答案】 4
充分条件、必要条件与充要条件
判断充分条件和必要条件的方法
(1)命题判断法：
设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合判断法：
从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：
①若A?B，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件；
②若B?A，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件；
③若A?B且B?A，即A＝B时，则p是q的充要条件．
(3)等价转化法：
p是q的什么条件等价于﹁q是﹁p的什么条件．
(1)设p：x<3，q：－1(2)设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的________条件．
[思路探究] (1)可用命题判断法(定义法)或集合判断法解决；(2)采用特殊值判断．
【规范解答】 (1)方法一：∵p：x＜3，q：－1＜x＜3，∴q?p，但 pq，∴p是q成立的必要不充分条件．
方法二：设A＝{x|x＜3}，B＝{x|－1＜x＜3}，因为B?A，但A?B，所以p是q成立的必要不充分条件．
(2)本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b＞0，但ab＜0，故是不充分条件；当时a＝－3，b＝－1时，ab＞0，但a＋b＜0，故是不必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的即不充分也不必要条件．
【答案】 (1)必要不充分 (2)既不充分也不必要
[跟踪训练]
2．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的________条件.
【导学号：95902051】
【解析】 当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0, 即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0,1)在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要条件
全称命题与存在性命题
1.求一个命题否定的方法：
(1)确定命题是全称命题还是存在性命题；
(2)转换量词，全称量词的否定对应存在量词，存在量词的否定对应全称量词．
(3)否定结论．
(4)当题目中量词不明显或简略时，可以先改写命题，添加必要的量词，凸显命题的特征．
(5)要理解并熟记常用关键词的否定形式．
2．全称命题与存在性命题真假判断的方法
(1)判定全称命题的真假的方法．定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假．
(2)判定存在性命题真假的方法．代入法：在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假．
写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；
(2)p：有的素数是偶数；
(3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；
(4)p：?x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.
[思路探究] 首先更换量词，然后否定结论，即可写出命题的否定，再由相关的数学知识判断其真假．
【规范解答】 (1)﹁p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．﹁p为真命题．
(2)﹁p：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故﹁p为假命题．
(3)﹁p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0.﹁p为真命题．
(4)﹁p：?x0，y0∈R，x＋y＋2x0－4y0＋5≠0.﹁p为真命题．
[跟踪训练]
3．在下列四个命题：①?x∈R，x2＋x＋3＞0；②?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④?x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.
其中真命题的个数是________.
【导学号：95902052】
【解析】 ①中x2＋x＋3＝＋≥＞0，故①为真命题；
②中x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故②也为真命题；
③中当α＝，β＝－时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③为真命题；
④中当x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④为真命题．
【答案】 4
求解含逻辑联结词命题中参数的取值范围
解决此类问题的方法，一般是先假设题目所涉及的两个命题p，q分别为真，求出其中参数的取值范围，然后当他们为假时取其补集，最后根据p，q的真假情况确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用﹁p与p，﹁q与q不能同真同假的特点，先求﹁p，﹁q中参数的取值范围．
已知c＞0.设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R.如果p或q为真，p且q为假，求c的取值范围．
[思路探究]
【规范解答】 对于命题p：函数y＝cx在R上单调递减?0＜c＜1；
对于命题q：不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R.即函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
因为x＋|x－2c|＝
所以函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，所以2c＞1，即c＞.
由p或q为真，p且q为假知p，q中一真一假．
若p真q假，则解得0＜c≤.
若p假q真，则解得c≥1.
综上，c的取值范围是∪[1，＋ ∞)．
[跟踪训练]
4．已知命题p：?x∈R，mx2＋1≤0，命题q：?x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是________.
【导学号：95902053】
【解析】 ∵p∧q为真命题，∴命题p和命题q均为真命题，若p真，则m＜0， ①
若q真，则Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2. ②
∴p∧q为真，由①②知－2＜m＜0.
【答案】 (－2,0)
转化与化归思想
所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时，采用某种手段将问题通过变换、转化，进而使问题得到解决的一种解题策略．一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题．
在本章内容中，转化思想主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．
设命题p：(4x－3)2≤1，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
[思路探究]
【规范解答】 设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，
易知A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}．由﹁p是﹁q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，或故所求实数a的取值范围是.
[跟踪训练]
5．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且﹁p是﹁q的必要不充分条件，求a的取值范围．
【解】 方法一：设A＝{x|x2－4ax＋3a2＜0}＝{x|3a＜x＜a}，
B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x| x2－x－6≤0}∪{x| x2＋2x－8＞0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}．
∵﹁p是﹁q的必要不充分条件．∴﹁q? ﹁p，且﹁p ﹁q，即{x|﹁q} {x|﹁p}．又∵{x|﹁q}＝?RB＝{x|－4≤x＜－2}，
{x|﹁p}＝?RA＝{x|x≤3a或x≥a}，
∴或
即－≤a＜0或a≤－4.
故所求实数a的取值范围是(－∞，－4]∪.
方法二：由﹁p是﹁q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，
所以或
即－≤a＜0或a≤－4.
故所求实数a的取值范围是(－∞，－4]∪.
[链接高考]
1．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________.
【导学号：95902054】
【解析】 一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，所以命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
【答案】 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
2．命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是________．
【解析】 由存在性命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.
【答案】 ?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
3．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”．
【解析】 因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d＞0?S4＋S6＞2S5.
【答案】 充要
4．若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
【导学号：95902055】
【解析】 由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
【答案】 1
5．已知命题p：?x＞0，ln(x＋1)＞0；
命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是__________(填编号)
①p∧q；②p∧﹁q；③﹁p∧q；④﹁p∧﹁q.
【解析】 当x＞0时，x＋1＞1，ln(x＋1)＞0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2这时满足a＞b，显然a2＞b2不成立，即q为假命题，由复合命题真值表易知②为真命题．
【答案】 ②
