课时分层作业(十) 抛物线的标准方程
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．抛物线y2＝4x的准线方程为________．
【解析】 根据抛物线的几何性质得抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.
【答案】 x＝－1
2．若椭圆＋＝1的左焦点在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，则p＝__________.
【导学号：95902133】
【解析】 由椭圆标准方程知a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝1，所以椭圆的左焦点为(－1,0)，因为椭圆左焦点在抛物线y2＝2px(p＞0)的准线上，所以－＝－1，故p＝2.
【答案】 2
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
【解析】 由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
【答案】 6
4．抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为________．
【解析】 抛物线y＝x2的标准形式为x2＝ay，故焦点在y轴上，坐标为.
【答案】
5．若抛物线y2＝8x的焦点恰好是双曲线－＝1(a＞0)的右焦点，则实数a的值为__________.
【导学号：95902134】
【解析】 抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，则双曲线－＝1(a＞0)的右焦点也为(2,0)，从而a2＋3＝4解得a＝±1，因为a＞0，故舍去a＝－1，所以a＝1.
【答案】 1
6．焦点在y轴上，且抛物线上一点A(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为________．
【解析】 设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，∵A(m,3)到焦点的距离为5，∴＋3＝5，
∴p＝4，∴抛物线为x2＝8y.
【答案】 x2＝8y
7．已知开口向下的抛物线上一点Q(m，－3)到焦点的距离等于5，则该抛物线的标准方程为________.
【导学号：95902135】
【解析】 ∵Q(m，－3)到焦点的距离等于5.∴Q到准线的距离也等于5.
∴准线：y＝2，即＝2，∴p＝4.即：抛物线标准方程为：x2＝－8y.
【答案】 x2＝－8y
8．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点(0，－1)，(1，－3)的距离之和的最小值为________．
【解析】 将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为F(0，－1)，因为－3<－，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过点E作EQ⊥l于点Q，过点M作MP⊥l于点P，所以MF＋ME＝MP＋ME≥EQ，又EQ＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.
【答案】 4
二、解答题
9．若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，求点M的轨迹方程．
【解】 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
10．(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，试给出FP1，FP2，FP3之间的关系式；
(2)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，求||＋||＋||.
【导学号：95902136】
【解】 (1)由抛物线方程y2＝2px(p>0)得准线方程为x＝－，
则由抛物线的定义得FP1＝x1＋，FP2＝x2＋，FP3＝x3＋，
则FP1＋FP3＝x1＋＋x3＋＝x1＋x3＋p，因为x1＋x3＝2x2，
所以FP1＋FP3＝2x2＋p＝2＝2FP2，
从而FP1，FP2，FP3之间的关系式为FP1＋FP3＝2FP2.
(2)设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由题意知2p＝4，p＝2，F(1,0)，
又＋＋＝0，则有xA－1＋xB－1＋xC－1＝0，即xA＋xB＋xC＝3.
由抛物线的定义可知，
||＋||＋||＝＋＋＝(xA＋xB＋xC)＋3×＝3＋3＝6.
[能力提升练]
1．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
【解析】 抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
【答案】 ②④
2．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么PF＝________.
【导学号：95902137】
【解析】 由抛物线定义得PF＝PA，又由直线AF的斜率为－可知，∠PAF＝60°，
所以△PAF是等边三角形，
即PF＝AF＝＝8.
【答案】 8
3．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．
【解析】 因为抛物线方程为y2＝4x，则准线方程为x＝－1.设P点坐标为P(x0，y0)，
由图可知(图略)，PM＝x0＋1＝5.所以x0＝4，把x0＝4代入y2＝4x，解得y0＝±4，
所以△MPF的面积为PM×y0＝×5×4＝10.
【答案】 10
4．设P是曲线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求PB＋PF的最小值．
【解】 (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离，于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小．显然，连接AF交曲线于P点，故最小值为＝.
(2)如图，过B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，此时，P1Q＝P1F，
那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值为4.
课时分层作业(十一) 抛物线的几何性质
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是__________.
【导学号：95902144】
【解析】 抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，设P(x0，y0)则PF＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
【答案】 2
2．抛物线y＝ax2＋1与直线y＝x相切，则a等于______．
【解析】 由消y得ax2－x＋1＝0.
∵直线y＝x与抛物线y＝ax2＋1相切，
∴方程ax2－x＋1＝0有两相等实根．
∴判别式Δ＝(－1)2－4a＝0，∴a＝.
【答案】
3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，AF＝2，则BF＝________.
【解析】 ∵y2＝4x，∴p＝2，F(1,0)，
又∵AF＝2，
∴xA＋＝2，∴xA＋1＝2，∴xA＝1.即AB⊥x轴，F为AB的中点，∴BF＝AF＝2.
【答案】 2
4．边长为1的等边三角形OAB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程为 ________.
【解析】 由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为
y2＝2px(p＞0)，且A为x轴上方的点，则易求A，所以＝p，所以p＝，
所以抛物线方程为y2＝x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2＝－x.
【答案】 y2＝±x
5．设抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·的值是________.
【导学号：95902145】
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可知p＝1，则·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－.
【答案】 －
6．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)．直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
【解析】 抛物线的方程为y2＝4x，设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1≠x2，两式相减得，y－y＝4(x1－x2)，∴＝＝1，
∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
【答案】 y＝x
7．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是________．
【解析】 建立直角坐标系(图略)，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)．∵A(40,30)在抛物线上，
∴302＝2p×40，∴p＝，∴光源到反光镜顶点的距离为＝＝＝5.625 (cm)．
【答案】 5.625 cm
8．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是________.
【导学号：95902146】
【解析】 圆心到抛物线准线的距离为p＝4，根据已知只要FM>4即可．根据抛物线定义，FM＝y0＋2.由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
【答案】 (2，＋∞)
二、解答题
9．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为的直线被抛物线截得的线段长为25，求此抛物线的方程．
【解】 ∵过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为，
∴斜率为的直线方程为y＝代入y2＝2px，得＝2px，整理得8x2－17px＋2p2＝0，
设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)
则x1＋x2＝，∵|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝25，
∴p＝25，∴p＝8，则所求抛物线方程为y2＝16x.
10．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．
【解】 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．则点B的坐标为，设隧道所在抛物线方程为x2＝my(m≠0)，
则＝m·，
∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.
将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82＝－ay，即y＝－.
欲使卡车通过隧道，应有y－>3，即－>3.
解得a>12.21或a<－0.21(舍去)．∴使卡车通过的a的最小整数值为13.
[能力提升练]
1．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________.
【导学号：95902147】
【解析】 ∵抛物线的焦点为F(1,0)，设A，则＝，
＝，由·＝－4，得y0＝±2，
∴点A的坐标是(1,2)或(1，－2)．
【答案】 (1,2)或(1，－2)
2．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m、n，则＋＝________.
【解析】 由焦点弦性质知＋＝，抛物线的标准方程为x2＝y(a>0)，∴2p＝，p＝，
∴＋＝4a，即＋＝4a.
【答案】 4a
3．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB＝12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为________.
【导学号：95902148】
【解析】 不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，依题意，l⊥x轴，且焦点F，
∵当x＝时，y＝p，∴AB＝2p＝12，∴p＝6，又点P到直线AB的距离为＋＝p＝6，
故S△ABP＝AB·p＝×12×6＝36.
【答案】 36
4．如图2-4-4，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
图2-4-4
(1)证明直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
【解】 (1)证明：设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x，
由解得A点的坐标为.
同理由解得B点的坐标为(2k2，－2k)．
∴AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得y＝x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0)．
(2)由于AB所在直线过定点P(2,0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.
由消去x并整理得y2－2my－4＝0.∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
于是|y1－y2|＝＝＝＝2.
S△AOB＝×OP×(|y1|＋|y2|)＝OP·|y1－y2|＝×2×2＝2.
∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值为4.
课时分层作业(十二) 圆锥曲线的共同性质
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．双曲线－y2＝1的右准线方程是________．
【解析】 由方程可知a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，即c＝.
故双曲线的右准线方程是x＝＝.
【答案】 x＝
2．已知椭圆的离心率为，准线方程为x＝±4，则椭圆的长轴长为________.
【导学号：95902154】
【解析】 由＝，＝4，得a＝×＝×4＝2，故长轴长为2a＝4.
【答案】 4
3．方程x－2y2＝0表示的曲线为________，焦点为________，准线方程为________．
【解析】 化方程为标准形式y2＝x，表示焦点在x正半轴上的抛物线，焦点坐标为，准线x＝－.
【答案】 抛物线 x＝－
4．已知椭圆的两条准线方程为y＝±9，离心率为，则此椭圆的标准方程为________．
【解析】 由题意得?
从而b2＝a2－c2＝9－1＝8，
∵椭圆的焦点在y轴上，∴所求方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5．已知椭圆两准线间的距离为8，虚轴长为2，焦点在x轴上，则此椭圆标准方程为________.
【导学号：95902155】
【解析】 依题得：＝4，∴a2＝4c.
又∵2b＝2，∴b＝，b2＝3.
∴b2＋c2＝4c，∴c2－4c＋3＝0，(c－3)(c－1)＝0，
∴c＝3或c＝1.
当c＝3时，a2＝12.椭圆方程为＋＝1.
当c＝1时，a2＝4，椭圆方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1或＋＝1
6．如果双曲线－＝1上的一点P到左焦点的距离是10，那么P到右准线的距离为________．
【解析】 由双曲线方程知a2＝16，b2＝9，故c2＝25，所以e＝，由双曲线定义知P到右焦点的距离为10±8＝2或18，
由圆锥曲线的统一定义知，P到右准线的距离为2×＝或18×＝.
【答案】 或
7．椭圆＋＝1上一点M，到焦点F(0，)的距离为2，则M到椭圆上方准线的距离是________.
【导学号：95902156】
【解析】 ∵a2＝16，a＝4，b2＝9，b＝3，∴c2＝7，c＝.
∴e＝＝，设所求距离为d，则＝，
∴d＝＝8.
【答案】 8
8．已知椭圆＋y2＝1(a＞0)的一条准线与抛物线y2＝－10x的准线重合，则椭圆的离心率为________．
【解析】 抛物线y2＝－10x的准线方程是x＝.由题意知，椭圆＋y2＝1的一条准线方程为x＝，即右准线方程为x＝，故＝，∴a2＝c，∵b＝1，∴c2＋1＝c，解得c1＝2，c2＝.
当c＝2时，a2＝c＝5，a＝，∴e＝；
当c＝时，a2＝c＝，a＝，∴e＝.
【答案】 或
二、解答题
9．已知椭圆＋＝1，P为椭圆上一点，F1、F2为左、右两个焦点，若PF1∶PF2＝2∶1，求点P的坐标．
【解】 设点P的坐标为(x，y)．
∵椭圆＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝3.
∴e＝，准线方程为x＝±.
由圆锥曲线的统一定义知PF1＝ed1＝＝x＋5，
PF2＝ed2＝＝5－x.
∵PF1∶PF2＝2∶1，∴∶＝2∶1，
解得x＝，代入椭圆的方程得y＝±.
∴点P的坐标为或
10．已知某圆锥曲线的准线是x＝1，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程．
(1)e＝；
(2)e＝1；
(3)e＝.
【导学号：95902157】
【解】 (1)离心率决定了它是椭圆，准线方程决定了它的焦点在x轴上，由＝1，＝，解得c＝，a＝，b2＝，所求方程为＋＝1.
(2)离心率决定了它是抛物线，准线方程决定了它的焦点在x轴负半轴上，＝1，可得y2＝－4x.
(3)离心率决定了它是双曲线，准线方程决定了它的焦点在x轴上，＝1，＝，解得c＝，a＝，b2＝.
所以方程为－＝1.
[能力提升练]
1．已知点M(x，y)满足＝|x－3|，
则M点的轨迹是________．
【解析】 由题意得＝，所以M到定点(1,0)和定直线x＝3的距离之比为定值，∴M的轨迹是椭圆．
【答案】 椭圆
2．设椭圆＋＝1(m>1)上一点P到左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为________.
【导学号：95902158】
【解析】 由题意得2m＝3＋1，m＝2，故椭圆的方程是＋＝1，该椭圆的离心率是，设点P到右准线的距离等于d，由圆锥曲线的统一定义得＝，d＝2，即点P到右准线的距离等于2.
【答案】 2
3．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为6，则椭圆C的标准方程为__________．
【解析】 由题意得，解得，则b＝2，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
4．已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．
(1)求MA＋MB的最大值和最小值．
(2)求MB＋MA的最小值．
【解】 (1)由＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4.
∴点A(4,0)为椭圆的右焦点，则其左焦点为F(－4,0)．
又∵MA＋MF＝2a＝10，
∴MA＋MB＝10－MF＋MB.
∵|MB－MF|≤BF＝＝2，
∴－2≤MB－MF≤2.
故10－2≤MA＋MB≤10＋2.
即MA＋MB的最大值为10＋2，最小值为10－2.
(2)由题意椭圆的右准线为x＝，设M到右准线的距离为MN，由椭圆的统一定义知＝e＝，
∴MA＝MN，MB＋MA＝MB＋MN，易知
当B，M，N共线时，MB＋MN最小，最小值为－2＝，此时M的坐标为.
课时分层作业(十三) 平均变化率
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．在函数变化率的定义中，关于自变量的增量Δx的说法：
①Δx＜0；②Δx＞0；③Δx＝0；④Δx≠0.
其中正确的是 ________(填序号)．
【解析】 由平均变化定义知Δx≠0.
【答案】 ④
2．函数f(x)＝在x＝1到x＝2之间的平均变化率为________．
【解析】 ＝＝－.
【答案】 －
3．函数y＝－3x2＋6在区间[1,1＋Δx]内的平均变化率是________.
【导学号：95902179】
【解析】 函数在[1,1＋Δx]内的平均变化率是＝＝－6－3Δx.
【答案】 －6－3Δx
4．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值．
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
c(t)/ (mg/mL)
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．
【解析】 ＝＝－0.002.
【答案】 －0.002
5．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于________．
【解析】 由平均速度表示式，函数平均变化率：＝＝6＋Δt.
【答案】 6＋Δt
6．函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为______.
【导学号：95902180】
【解析】 函数f(x)在(－1,3)上的平均变化率为＝＝7.
【答案】 7
7．一棵树2015年1月1日高度为4.5 m,2016年1月1日高度为4.98 m，则这棵树2015年高度的月平均变化率为________．
【解析】 ＝0.04.
【答案】 0.04
8．设自变量x的增量为Δx，则函数y＝log2x的增量为________.
【导学号：95902181】
【解析】 函数y＝log2x的增量为log2(x＋Δx)－log2x＝log2＝log2.
【答案】 log2
二、解答题
9．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
【解】 ∴割线PQ的斜率k＝＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
设当Δx＝0.1的割线的斜率为k1，则k1＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.
10．求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近平均变化率最大？
【导学号：95902182】
【解】 在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；
在x＝2时附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；
在x＝3时附近的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx；
若Δx＝，则k1＝2＋＝，，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1＜k2＜k3；∴在x＝3附近的平均变化率最大．
[能力提升练]
1．已知A，B两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速度为30 km/h, B车向东行驶，速度为40 km/h，那么A，B两车间直线距离增加的速度为________．
【解析】 设经过t h两车间的距离为s km，则s＝＝50t(km)，
增加的速度为＝50(km/h)．
【答案】 50 km/h
2．函数y＝x2在x0到x0＋Δx(Δx＞0)之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是________．
【解析】 ∵k1＝＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx，
又∵Δx＞0，∴k1＞k2.
【答案】 k1＞k2
3．在高台跳水运动中，运动员相对于水面高度与起跳时间t的函数关系为h(t)＝c＋bt－at2(a＞0，b＞0)，下列说法：
①＜；②＝ ；③＝0；
④运动员在0≤t≤这段时间内处于静止状态．
其中正确的是________.
【导学号：95902183】
【解析】 利用变化率的几何意义解决h(t)＝c＋bt－at2(a＞0，b＞0)的对称轴为t＝，故h＝h(0)，则＝0.
【答案】 ③
4．已知正弦函数y＝sin x，求该函数在和内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义．
【解】 当自变量从0变到时，函数的平均变化率为
k1＝＝＝.
当自变量从变到时，函数的平均变化率为
k2＝＝＝.
易知3＞6(2－)，∴k1＞k2，即函数y＝sin x在内的平均变化率大于在内的平均变化率，说明函数y＝sin x的图象在内比较陡峭，在内比较平缓.
课时分层作业(十四) 瞬时变化率—导数
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．若f′(x0)＝1，则当k→0时，趋于常数________．
【解析】 由题意，当k→0时，→1，
所以＝－·→－.
【答案】 －
2．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线x－y＋2＝0平行，则f′(2)等于________.
【导学号：95902189】
【解析】 由题意知k＝1，∴f′(2)等于1.
【答案】 1
3．函数y＝3x＋2在x＝－1处的导数为________．
【解析】 ＝＝3.
当Δx→0时，→3.
【答案】 3
4．函数y＝在x＝x0处的导数为________．
【解析】 ∵Δy＝－＝－，
∴＝－4×，
当Δx→0时，→－，即函数y＝在x＝x0处的导数为－.
【答案】 －
5．一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(s，单位：m，t，单位：s)，则这辆车在t＝3 s时的瞬时速度为________.
【导学号：95902190】
【解析】 这辆汽车从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的位移增量为Δs＝3(3＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt.
＝＝3Δt＋18，当Δt→0时，3Δt＋18→18.
∴t＝3 s时瞬时速度为18 m/s.
【答案】 18 m/s
6．如果某物体的运动的速度为v(t)＝2(1－t2)，那么其在1.2 s末的加速度为________．
【解析】 ＝
＝
＝－4.8－2Δt，当Δt→0时，→－4.8.
【答案】 －4.8
7．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
【解析】 Δy＝[(1＋Δx)3－(1＋Δx)＋3]－3＝2Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
则＝＝2＋3Δx＋(Δx)2，当Δx→0时，→2，即k＝2.
故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.
【答案】 2x－y＋1＝0
8．设曲线y＝x2在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为________.
【导学号：95902191】
【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)
∵＝＝2x0＋Δx.
当Δx→0时，k＝f′(x0)＝2x0＝3.
∴x0＝，将x0＝代入y＝x2得y0＝，
∴P的坐标为.
【答案】
二、解答题
9．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
【解】 (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为：
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为：
＝
＝
＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为：
当Δt→0时，?－18，
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为：
＝
＝
＝3Δt－12.
∴当Δt→1时，?－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
10．已知函数f(x)＝ax2＋2x在x＝1处的导数为6，求a的值.
【导学号：95902192】
【解】 ＝
＝
＝
＝a·(Δx)＋2(a＋1)．
当Δx→0时，→2a＋2，∴f′(1)＝2a＋2.
由条件知f′(1)＝6，∴2a＋2＝6，∴a＝2.
[能力提升练]
1．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为________．
【解析】 ∵点(－1，－1)在曲线y＝上，∴先求y＝f(x)＝在x＝－1处的导数，＝＝＝，
当Δx→0时，→2，故所求切线的斜率为k＝2.
∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
【答案】 y＝2x＋1
2．已知曲线y＝上有一点A(1,3)，则曲线在点A处的切线的斜率为________.
【导学号：95902193】
【解析】 ∵＝＝
＝，
当Δx→0时，得f′(1)＝＝－，
即所求切线的斜率k＝f′(1)＝－.
【答案】 －
3．函数f(x)的图象如图3-1-4所示，试根据函数图象判断0，f′(1)，f′(3)，的大小关系为________．
图3-1-4
【解析】 设x＝1，x＝3时对应曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，如图所示．
则＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(1)＝kAT，由图可知切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，即kBQ
【答案】 04．已知点P在曲线y＝x2＋1上，若曲线y＝x2＋1在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.
【导学号：95902194】
【解】 设点P(x0，y0)，易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线的斜率存在，设为k，
＝＝2x0＋Δx，当Δx→0时，→2x0，即k＝2x0，所以切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，由题意知此直线与曲线y＝－2x2－1相切．由，
得2x2＋2x0x＋2－x＝0，令Δ＝4x－8(2－x)＝0，解得x0＝±，此时y0＝，
所以点P的坐标为或.
课时分层作业(十五) 常见函数的导数
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．若f(x)＝，则f′(1)＝________.
【答案】
2．下列命题中，正确命题的个数为________.
【导学号：95902200】
①若f(x)＝，则f′(0)＝0；
②(logax)′＝xln a；
③加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；
④曲线y＝x2在(0,0)处没有切线．
【解析】 ①因为f(x)＝，当x趋向于0时不存在极限，所以f(x)在0处不存在导数，故错误；②(logax)′＝，故错误；③瞬时速度是位移S(t)对时间t的导数，故错误；④y＝x2在(0,0)处的切线为y＝0，故错误．
【答案】 0
3．曲线y＝sin x在点处切线的斜率为________．
【解析】 ∵y′＝cos x，∴曲线y＝sin x在点处切线的斜率为cos＝.
【答案】
4．设f(x)＝x4，若f′(x0)＝4，则x0＝________.
【导学号：95902201】
【解析】 ∵f′(x)＝4x3，∴f′(x0)＝4x＝4，∴x＝1，则x0＝1.
【答案】 1
5．已知函数f(x)＝log2x，则f′(log2e)＝________.
【解析】 f′(x)＝，∴f′(log2e)＝＝1.
【答案】 1
6．曲线f(x)＝在处切线的方程为________．
【解析】 ∵f′(x)＝－，∴k＝f′(2)＝－，则切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.
【答案】 x＋4y－4＝0
7．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
【答案】 64
8．设直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________.
【导学号：95902202】
【解析】 设切点为(x0，y0)，
则y′＝，∴＝，∴x0＝2，
∴y0＝ln 2，∴切点为(2，ln 2)，
∵切点在切线上，∴ln 2＝×2＋b，∴b＝ln 2－1.
【答案】 ln 2－1
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝4x；(3)y＝sin；(4)y＝e2.
【解】 (1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4.
(3)∵y＝sin＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
(4)y′＝(e2)′＝0.
10．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
【解】 方法一：依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最小，设切点为(x0，x)，∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，
∴x0＝，∴切点坐标为，
∴所求的最短距离d＝＝.
方法二：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝＝|x2－x＋2|＝＋，
当x＝时，d有最小值，即所求的最短距离为.
[能力提升练]
1．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则xn等于________.
【导学号：95902203】
【解析】 y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0得xn＝.
【答案】
2．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.
【解析】 y′＝2x，切线斜率k＝2ak，切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，
令y＝0，－a＝2ak·x－2a，∴ak＋1＝ak，
若a1＝16，∴a3＝4，a5＝1，
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
【答案】 21
3．曲线y＝ex上到直线y＝x距离最短的点的坐标为__________．
【解析】 设与直线y＝x平行的直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)．
∵y′＝ex，∴e＝1，∴x0＝0代入y＝ex，
得y0＝1，∴P(0,1)．
【答案】 (0,1)
4．已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.
【导学号：95902204】
【解】 不存在．理由如下：设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须有cos x0·(－sin x0)＝－1，即cos x0·sin x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直.
课时分层作业(十六) 函数的和、差、积、商的导数
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．设f(x)＝ln a2x(a>0且a≠1)，则f′(1)＝________.
【解析】 ∵f(x)＝ln a2x＝2xln a，∴f′(x)＝(2xln a)′＝(2x)′ln a＋2x(ln a)′＝2ln a，故f′(1)＝2ln a.
【答案】 2ln a
2．函数y＝(2＋x3)2的导数为______．
【解析】 ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.
【答案】 6x5＋12x2
3.若曲线y＝x2－1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝__________.
【导学号：95902210】
【解析】 y′＝αxα－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点，所以α＝＝2.
【答案】 2
4．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为________．
【解析】 f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，因为f′(x0)＝2，所以ln x0＋1＝2，ln x0＝1，x0＝e.
【答案】 e
5．函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________．
【解析】 f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.
【答案】 4
6．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为________．
【解析】 ∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
【答案】 －4
7．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________.
【导学号：95902211】
【解析】 设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y0＝2，所以点P的坐标为(－ln 2,2)．
【答案】 (－ln 2,2)
8．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝2ax－bcos x，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′＝πa＋＝，得a＝0.
【答案】 0 －1
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ex·ln x；
(2)y＝x.；
(3)f(x)＝.
【解】 (1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·＝ex.
(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.
(3)f′(x)＝ex·
10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.
【导学号：95902212】
【解】 (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－2)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.
[能力提升练]
1．一质点做直线运动，由始点起经过t s后的距离为s＝t4－4t3＋16t2，则速度为零的时刻是________．
【解析】 v＝s′＝t3－12t2＋32t.令v＝0，则t＝0,4,8.
【答案】 0 s,4 s,8 s
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________.
【导学号：95902213】
【解析】 y′＝＝＝，－1≤＜0，
即－1≤tan α＜0，由正切函数图象得α∈.
【答案】
3．设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，若已知f′(x)＝xcos x，则f(x)＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x
＝(a－d－cx)sin x＋(ax＋b＋c)cos x.
为使f′(x)＝xcos x，应满足
解方程组，得
从而可知，f(x)＝xsin x＋cos x.
【答案】 xsin x＋cos x
4．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.
【导学号：95902214】
【解】 (1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．
课时分层作业(十七) 单调性
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．在下列命题：
①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)都有f′(x)＞0；
②若在(a，b)内对任意x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)内是增函数；
③若在(a，b)内f(x)为单调函数，则f′(x)也为单调函数；
④若可导函数在(a，b)内有f′(x)＜0，则在(a，b)内有f(x)＜0.
其中正确的是________(填序号)．
【解析】 由函数的单调性以及与其导数的关系知②正确．
【答案】 ②
2．函数f(x)＝(x－1)ex的单调递增区间是________.
【导学号：95902222】
【解析】 f′(x)＝(x－1)′ex＋(x－1)(ex)′＝x·ex，
令f′(x)＞0，解得x＞0，
所以f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．
【答案】 (0，＋∞)
3．函数f(x)＝ln(1＋x)－的单调递增区间是________．
【解析】 f′(x)＝·(1＋x)′－
＝－＝.
在定义域(－1，＋∞)内，f′(x)＞0恒成立，所以函数的单调递增区间是(－1，＋∞)．
【答案】 (－1，＋∞)
4. y＝＋x(k＞0)的单调减区间是________．
【解析】 因为y′＝－＋1＝，所以y′＜0?x∈(－k,0)或(0，k)．
【答案】 (－k,0)，(0，k)
5．使y＝sin x＋ax为R上的增函数的a的范围是________．
【解析】 y′＝cos x＋a＞0，∴a＞－cos x，∴a＞1.
【答案】 a∈(1，＋∞)
6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________.
【导学号：95902223】
【解析】 令f′(x)＝1－2cos x＞0，则cos x＜，又x∈(0，π)，解得＜x＜π，
所以函数在(0，π)上的单调递增区间为.
【答案】
7．函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上都递增，且在区间(0,2)上递减，则a＝________.
【解析】 f′(x)＝6x2＋2ax.若函数f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，(0,2)上递减，
则f′(x)＞0的解集是(－∞，0)∪(2，＋∞)，f′(x)＜0的解集是(0,2)，
∴0,2是f′(x)＝0的两根，解得a＝－6.
【答案】 －6
8．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图3-3-5，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________(填序号)．
图3-3-5
【解析】 由图象可获得如下信息：(1)函数y＝f(x)与y＝g(x)两个函数在x＝x0处的导数相同，故两函数在x＝x0处的切线平行或重合．(2)通过导数的正负及大小可以知道函数y＝f(x)和y＝g(x)为增函数，且y＝f(x)增长的越来越慢，而y＝g(x)增长的越来越快．综合以上信息可以知道选④.
【答案】 ④
二、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2＋ex－xex；(2)f(x)＝＋ln x.
【解】 (1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)．
若x<0，则1－ex>0，∴f′(x)<0；若x>0，则1－ex<0，∴f′(x)<0；若x＝0，则f′(x)＝0.
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)，无单调增区间．
(2)因为f′(x)＝－＋＝，
又f(x)的定义域为(0，＋∞)，由f′(x)＞0得x＞1，
由f′(x)＜0及定义域得0＜x＜1，
∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0(a≠1)．
(1)试用含a的代数式表示b；
(2)试确定函数f(x)的单调区间.
【导学号：95902224】
【解】 (1)依题意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b，由f′(－1)＝1－2a＋b＝0，得b＝2a－1.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)．
①当a＞1时，1－2a＜－1，由f′(x)＞0得增区间为(－∞，1－2a)，(－1，＋∞)，
由f′(x)＜0得减区间为(1－2a，－1)．
②当a＜1时，1－2a＞－1，由f′(x)＞0得增区间为(－∞，－1)，(1－2a，＋∞)，
由f′(x)＜0得减区间为(－1,1－2a)．
[能力提升练]
1．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足＜0.对任意正数a，b，若a＜b，则与的大小关系是________．
【解析】 设函数y＝，可得y′＝，
∵＜0，
∴函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，对任意正数a，b，若a＜b，必有：＞.
【答案】 ＞
2．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
【解析】 由题意可知，f′(x)＝－x＋＜0在x∈(－1，＋∞)上恒成立，
即b＜x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立，由于x≠－1，∴b≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
3．若函数f(x)的定义域为R，f′(x)＞2恒成立，f(－1)＝2，则f(x)＞2x＋4解集为________.
【导学号：95902225】
【解析】 令g(x)＝f(x)－(2x＋4)，要求f(x)＞2x＋4，就是求g(x)＞0，
g′(x)＝f′(x)－2＞0，所以函数g(x)在R上单调递增，而g(－1)＝f(－1)－2＝0，
g(x)＞0＝g(－1)，即x＞－1，
即不等式的解集为(－1，＋∞)．
【答案】 (－1，＋∞)
4．已知函数f(x)＝ax2－bx＋ln x，a，b∈R.
(1)当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性；
【解】 (1)因为a＝b＝1，所以f(x)＝x2－x＋ln x，从而f′(x)＝2x－1＋.
因为f(1)＝0，f′(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋ln x，
从而f′(x)＝2ax－(2a＋1)＋＝＝，x＞0.
当a≤0时，若x∈(0,1)，则f′(x)＞0；若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＜0，所以f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．
当0＜a＜时，由f′(x)＞0得0＜x＜1或x＞；由f′(x)＜0得1＜x＜，所以f(x)在区间(0,1)和上单调递增，在区间上单调递减．
当a＝时，因为f′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
当a＞时，由f′(x)＞0得0＜x＜或x＞1；由f′(x)＜0得＜x＜1，所以f(x)在区间和(1，＋∞)上单调递增，在区间上单调递减．
课时分层作业(十八) 极大值与极小值
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．函数y＝2－x2－x3的极大值为________；极小值为________．
【解析】 ∵y′＝－2x－3x2＝－x(3x＋2)，由y′＝0得x＝0或x＝－.函数在，(0，＋∞)上都递减，在上递增，所以函数的极大值为f(0)＝2，极小值为f＝.
【答案】 2
2．函数f(x)＝＋ln x(x＞0)的极小值为________.
【导学号：95902230】
【解析】 ∵f(x)＝＋ln x(x＞0)，∴f′(x)＝－＋.由f′(x)＝0解得x＝2.
当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．
∴x＝2为f(x)的极小值点，所以函数f(x)＝＋ln x的极小值为f(2)＝1＋ln 2.
【答案】 1＋ln 2
3．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
【解析】 f′(x)＝(x≠－1)，又y＝f(x)在x＝1处取得极值，则f′(1)＝0，解得a＝3.
【答案】 3
4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图3-3-7所示，则x＋x等于______.
【导学号：95902231】
图3-3-7
【解析】 由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】
5．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)的极大值为______．
【解析】 y′＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令y′＝0，得x＝－1或x＝3.当－2＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜2时，y′＜0.所以当x＝－1时，函数有极大值，且极大值为5，无极小值．
【答案】 5
6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数图象如图3-3-8所示，则函数f(x)的极小值是________．
图3-3-8
【解析】 由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上递减，在(0,2)上递增，所以函数f(x)在x＝0时取得极小值c.
【答案】 c
7．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________.
【导学号：95902232】
【解析】 令f(x)＝0得a＝3x－x3，于是y＝a和y＝3x－x3有3个不同交点，画出y＝3x－x3的图象即可解决．结合图象，可知－2＜a＜2.
【答案】 －2＜a＜2
8．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图3-3-9所示，给出下列判断：
图3-3-9
①函数y＝f(x)在区间内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是________(填序号)．
【解析】 从题图知，当x∈(－3，－2)时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，
所以函数y＝f(x)在内不单调，同理，函数y＝f(x)在内也不单调，
故①②均不正确；当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增，故③正确；由于f′(2)＝0，且在x＝2的左、右两侧的附近分别有f′(x)＞0与f′(x)＜0，
所以当x＝2时函数y＝f(x)取得极大值，而在x＝－的左、右两侧的附近均有f′(x)＞0，
所以x＝－不是函数y＝f(x)的极值点，即④⑤均不正确．故填③.
【答案】 ③
二、解答题
9．求函数f(x)＝－2的极值.
【导学号：95902233】
【解】 函数的定义域为R.f′(x)＝＝－，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
由表可知，当x＝－1时，函数取得极小值f(－1)＝－3.当x＝1时，函数取得极大值f(1)＝－1.
10．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
【解】 (1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)，
f′(x)＝－－＋＝＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(因x2＝－不在定义域内，舍去)．
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
[能力提升练]
1．若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.
∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，
即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
2．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0；②f(0)f(1)＜0；③f(0)f(3)＞0；④f(0)f(3)＜0.
其中正确结论的序号是________.
【导学号：95902234】
【解析】 ∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝3.依题意，函数f(x)＝x3－6x2＋9x－abc的图象与x轴有三个不同的交点，
故f(1)f(3)＜0，即(1－6＋9－abc)(33－6×32＋9×3－abc)＜0，∴0＜abc＜4，
∴f(0)＝－abc＜0，f(1)＝4－abc＞0，f(3)＝－abc＜0，故②③正确．
【答案】 ②③
3．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．
【解析】 f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)，令f′(x)＝0，解得x＝b，由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b＜1.当0＜x＜b时，f′(x)＜0；当b＜x＜1时，f′(x)＞0，符合题意．所以实数b的取值范围是0＜b＜1.
【答案】 0＜b＜1
4．设函数 f(x)＝ln x＋，m ∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)当m≤0时，确定函数g(x)＝f′(x)－零点的个数.
【导学号：95902235】
【解】 (1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，
则f′(x)＝，
∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，
当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，
∴x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，
∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)．
设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，
∴φ(x)的极大值为φ(1)＝.
又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，因为m≤0，所以函数g(x)有且只有一个零点.
课时分层作业(十九) 最大值与最小值
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．已知函数f(x)＝x3－3x，|x|≤1，f(x)的最小值为________．
【解析】 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1,1]上是单调递减函数，f(x)的最小值为f(1)＝－2.
【答案】 －2
2．函数y＝在[0,2]上的最大值是________.
【导学号：95902240】
【解析】 由f(x)＝得f′(x)＝，当x∈[0,1]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(1,2]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，∴当x＝1时，函数取得最大值f(1)＝.
【答案】
3．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是________．
【解析】 因为y′＝1－cos x，当x∈时，y′＞0，则函数y在区间上为增函数，
所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π.
【答案】 π
4．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为________．
【解析】 f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)＞0恒成立，
即f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.
故函数f(x)的值域为.
【答案】
5．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于________.
【导学号：95902241】
【解析】 由已知y′＝－2x－2，令y′＝0，解得x＝－1；∴函数在(－∞，－1)上是单调递增；在(－1，＋∞)上是单调递减．
若a＞－1，则最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝，
解得a＝－.
若a≤－1，则最大值为f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠，综上，a＝－.
【答案】 －
6．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________．
【解析】 f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1; 令f′(x)<0，得0【答案】
7．下列结论：
①在区间[a，b]上，函数的极大值就是最大值；
②在区间[a，b]上，函数的极小值就是最小值；
③在区间[a，b]上，函数的最大值、最小值在x＝a和x＝b时达到；
④在区间[a，b]上的连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值．
其中正确的是________(填序号)．
【解析】 因为连续函数在闭区间上极大值不一定就是最大值，极小值也不一定就是最小值，最值不一定在区间端点取到，所以①②③都不正确，而连续函数f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，所以④正确．
【答案】 ④
8．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a＞0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________.
【导学号：95902242】
【解析】 由f(x)＝＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a＞0，
令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0.
故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.
要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.
【答案】 [e，＋∞)
二、解答题
9．求函数f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，]的最大值和最小值．
【解】 f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
(－，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
0
↘
－2
↗
2
↘
0
由上表可知：当x＝1时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(1)＝2.
当x＝－1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(－1)＝－2.
10．已知函数f(x)＝＋kln x，k≤0，求函数f(x)在上的最大值和最小值.
【导学号：95902243】
【解】 因f(x)＝＋kln x，f′(x)＝＋＝.
①若k＝0，则f′(x)＝－在上恒有f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递减．∴f(x)min＝f(e)＝，f(x)max＝f＝e－1.
②若k<0，f′(x)＝＝，则在上恒有<0，
∴f(x)在上单调递减，∴f(x)min＝f(e)＝＋kln e＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.
综上，当k＝0时，f(x)min＝，f(x)max＝e－1；
当k<0时，f(x)min＝＋k－1，f(x)max＝e－k－1.
[能力提升练]
1．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)．若f′(－1)＝0，函数f(x)在[－2,2]上的最大值为________，最小值为________．
【解析】 由原式可得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4.由f′(－1)＝0得a＝，此时f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.
又f(－1)＝，f ＝－，f(－2)＝f(2)＝0，
所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
【答案】 －
2．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图3-3-10所示
x
－1
0
2
4
5
f(x)
1
2
1.5
2
1
图3-3-10
下列关于函数f(x)的命题：
①函数f(x)的值域为[1,2]；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点．
其中正确命题的序号是________.
【导学号：95902244】
【解析】 由导函数的图象可知，当－1＜x＜0或2＜x＜4时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
当0＜x＜2和4＜x＜5时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x＝0和x＝4时，函数f(x)取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，当x＝2时，函数f(x)取得极小值f(2)＝1.5，又f(－1)＝f(5)＝1，
所以函数f(x)的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确，②正确；要使x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，则0≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；
因为函数f(x)的极小值为f(2)＝1.5，极大值为f(0)＝f(4)＝2.
所以当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点，所以④正确．
【答案】 ①②④
3．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．
【解析】 因为x∈(0,1]，所以f(x)≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.当0＜x＜时，g′(x)＞0；当＜x≤1时，g′(x)＜0.
所以g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，它也是最大值，故a≥4.
【答案】 [4，＋∞)
4．已知函数f(x)＝x－ln x，g(x)＝x2－ax.
(1)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；
(2)令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函数h(x)图象上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围.
【导学号：95902245】
【解】 (1)f′(x)＝1－，x＞0，
令f′(x)＝0，则x＝1.
当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，f(x)的最小值为f(t)＝t－ln t；
当0＜t＜1时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t＋1)上为增函数，f(x)的最小值为f(1)＝1.
综上，m(t)＝
(2)h(x)＝x2－(a＋1)x＋ln x，
不妨取0＜x1＜x2，则x1－x2＜0，
则由＞1，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，
变形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．
令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋ln x，x＞0，
则F(x)＝x2－(a＋2)x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，
故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．
因为2x＋≥2，当且仅当x＝时取“＝”，所以a≤2－2.
课时分层作业(一) 四种命题
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．下列语句：①垂直于同一条直线的两条直线平行吗？②x，y都是无理数，则x＋y是无理数；③请完成第九题；④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行．
其中是命题的是________．
【解析】 根据命题的定义逐个判断．①不是命题，因为它不是陈述句；②是命题，是假命题，例如－＋＝0，不是无理数；③不是命题，因为它不是陈述句；④是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交．
【答案】 ②④
2．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：
(1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
(2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；
其中所有正确叙述的序号是________.
【导学号：95902006】
【解析】 原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．
【答案】 (1)(2)
3．给出下列几个命题：
(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；
(2)若a＞b，则a2＞b2；
(3)若x＞－3，则x2＋x－6≤0；
(4)若a，b是无理数，则a＋b是无理数．
其中的假命题有________个．
【解析】 根据两数互为相反数的性质，(1)正确，为真命题；(2)中若a、b均为负数时不正确，为假命题；(3)中若取x＝3＞－3，而x2＋x－6＝6＞0，故为假命题；(4)中取a＝，b＝－，则a、b均为无理数，而a＋b＝0为有理数，故为假命题．
【答案】 3
4．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________.
【导学号：95902007】
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．
【答案】 ②
5．命题“若a2＋b2＝0，则a，b都为零”的逆否命题是________．
【解析】 因为原命题为：若a2＋b2＝0，则a，b都为零；所以逆否命题为：若a，b不都为零，则a2＋b2≠0.
【答案】 若a，b不都为零，则a2＋b2≠0
6．命题“若x≠1，则 x2－1≠0”的逆否命题的真假性为________(填“真”或“假”).
【导学号：95902008】
【解析】 逆否命题为“若x2－1＝0，则x＝1”，显然此命题是假命题．
【答案】 假
7．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中的真命题是________．
【解析】 ①③是真命题，②④是假命题．
【答案】 ①③
8．下列有关命题的说法：
①“若x＞1，则2x＞1”的否命题为真命题；
②“若cos β＝1，则sin β＝0”的逆命题是真命题；
③“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题为假命题；
④命题“若x＞1，则x＞a”的逆命题为真命题，则a＞0.
正确的是________
【导学号：95902009】
【解析】 ①中，∵2x≤1时，x≤0，从而否命题“若x≤1，则2x≤1”为假命题，故①不正确；②中，sin β＝0时，cos β＝±1，则逆命题为假命题，故②不正确；④中，由已知条件得a≥1，故④不正确．
【答案】 ③
二、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式并判断其真假：
(1)菱形的四条边相等；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(3)空集是任何集合的真子集．
【解】 (1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等．真命题．
(2)若x＝2，则x2－3x＋2＝0.真命题．
(3)若一个集合是空集，则这个集合是任何集合的真子集．假命题．
10．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点.
【导学号：95902010】
【解】 (1)该命题为假命题．因为当c＝0时，有ac2＝bc2.
逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真)
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真)
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假)
(2)该命题为真命题．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真)
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真)
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真)
(3)该命题为假命题．
当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假)
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．(假)
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假)
[能力提升练]
1．命题“ax2－2ax－3≤0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】 因为ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得解得－3≤a<0.故－3≤a≤0.
【答案】 [－3,0]
2．命题“若abc＝0，则a，b，c至少有一个为0”的否命题为________，是________(填“真”或“假”)命题.
【导学号：95902011】
【解析】 本题中“至少有一个为0”的否定是“都不为0”，故其否命题是“若abc≠0，则a，b，c都不为0.”由相关知识判断为真命题．
【答案】 若abc≠0，则a，b，c都不为0 真
3．命题“若x≠2或y≠3，则x＋y≠5”的等价命题为__________，是__________命题．(填真、假)
【解析】 命题“若x≠2或y≠3，则x＋y≠5”的等价命题为“若x＋y＝5，则x＝2且y＝3”，是假命题．
【答案】 若x＋y＝5则x＝2且y＝3 假
4．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋ f(b)≥f(－a)＋ f(－b)，则a＋b≥0.
【导学号：95902012】
【证明】 证法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋ f(b)若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)< f(－b)，f(b)< f(－ a)．
∴f(a)＋ f(b)即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．
证法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)< f(－b)，f(b)< f(－a)，
∴f(a)＋ f(b)因此假设不成立，故a＋b≥0.
课时分层作业(二十) 导数在实际生活中的应用
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为24的时刻是________秒末.
【导学号：95902250】
【解析】 由题意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝24，解得t＝3(t＝－2舍去)．
【答案】 3
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．
【解析】 令y′＝－x2＋81＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)．f(x)在区间(0,9)内是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数， ∴f(x)在x＝9处取最大值．
【答案】 9
3．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少________米．
【解析】 设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＞0)，
所以y′＝2，令y′＝0，
解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.
当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.
所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
【答案】 800
4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm.要使其体积最大，则高为________.
【导学号：95902251】
【解析】 设圆锥的高为h cm(0＜h＜20)，则圆锥的底面半径r＝ ＝(cm)，
V＝V(h)＝πr2h＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，∴V′＝π(400－3h2)，令V′＝π(400－3h2)＝0，
解得h＝.
由题意知V一定有最大值，而函数只有一个极值点，所以此极值点就是最大值点．
【答案】 cm
5．要做一个底面为长方形的带盖的盒子，其体积为72 cm3，其底面两邻边边长之比为1∶2，则它的长为________、宽为________、高为________时，可使表面积最小．
【解析】 设底面的长为2x cm，宽为x cm，
则高为 cm，表面积S＝2×2x·x＋2×x·＋2×2x·＝4x2＋(x＞0)，
S′＝8x－，由S′＝0，得x＝3，x∈(0,3)时，S′＜0，x∈(3，＋∞)时，S′＞0，
∴x＝3时，S最小．此时，长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.
【答案】 6 cm 3 cm 4 cm
6．设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是________.
【导学号：95902252】
【解析】
由图象易知P1，P2位于f(x)图象的两段上，不妨设P1(x1，－ln x1)(01)，
则函数f(x)的图象在P1处的切线l1的方程为y＋ln x1＝－(x－x1)，
即y＝－＋1－ln x1. ①
则函数f(x)的图象在P2处的切线l2的方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝－1＋ln x2. ②
由l1⊥l2，得－×＝－1，
∴x1x2＝1.
由切线方程可求得A(0,1－ln x1)，B(0，ln x2－1)，
由①②知l1与l2交点的横坐标xP＝＝.
∴S△PAB＝×(1－ln x1－ln x2＋1)×
＝＝.
又∵x1∈(0,1)，∴x1＋>2，
∴0<<1，即0【答案】 (0,1)
7．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为________.
【导学号：95902253】
【解析】 设圆柱的高为2h，则底面圆的半径为，
则圆柱的体积为V＝π(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3，∴V′＝2πR2－6πh2.
令V′＝0，解得h＝R.
∵h∈时，V单调递增，h∈时，V单调递减，
故当h＝R时，即2h＝R时，圆柱体的体积最大．
【答案】 R
8．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为________．
【解析】 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或 p＝－130(舍去)．
因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，此时，L(30)＝23 000.
即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．
【答案】 23 000元
二、解答题
9.某制瓶厂要制造一批轴截面如图3-4-3所示的瓶子，瓶子是按照统一规格设计的，瓶体上部为半球体，下部为圆柱体，并保持圆柱体的容积为3π.设圆柱体的底面半径为x，圆柱体的高为h，瓶体的表面积为S.
图3-4-3
(1)写出S关于x的函数关系式，并写出定义域；
(2)如何设计瓶子的尺寸(不考虑瓶壁的厚度)，可以使表面积S最小，并求出最小值.
【导学号：95902254】
【解】 (1)据题意，可知πx2h＝3π，得h＝，
S＝·4πx2＋πx2＋2πx·＝3πx2＋，(x＞0)
(2)S′＝6πx－，
令S′＝0，得x＝±1，舍负
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
S′(x)
－
0
＋
S(x)
↗
极大值9π
↘
当x＝1时，S取得极小值，且是最小值
答：当圆柱的底面半径为1时，可使表面积S取得最小值9π.
10．某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件．通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0＜x＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元).
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
【解】 (1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)，月平均销售量为a(1－x2)件，则月平均利润y＝a(1－x2)[20(1＋x)－15]元，所以y与x的函数关系式为y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)．
(2)由y′＝5a(4－2x－12x2)＝0得x1＝或x2＝－(舍)，当0＜x＜时，y′＞0；
当＜x＜1时，y′＜0，所以函数y＝5a(1＋4x－x2－4x3)(0＜x＜1)在x＝处取得最大值．
故改进工艺后，产品的销售价为20＝30(元)时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
[能力提升练]
1．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为________．
【解析】 设四角截去的正方形边长为x.所以铁盒容积V＝4(24－x)2x，所以
V′＝4(24－x)2－8(24－x)x＝4(24－x)(24－3x)，令V′＝0，得x＝8，即为极大值点也是最大值点，所以在四角截去的正方形的边长为8 cm.
【答案】 8 cm
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为________.
【导学号：95902255】
【解析】 依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0＜x＜0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2. 令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去).
当0＜x＜0.0324时，y′＞0；当0.0324＜x＜0.0486时，y′＜0.
所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．
【答案】 0.0324
3．如图3-4-4，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积最大值是________．
图3-4-4
【解析】 设CD＝x，则点C的坐标为，点B的坐标为.
∴矩形ABCD的面积 S＝f(x)＝x·＝－＋x(x∈(0,2))．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，得x1＝－(舍去)，x2＝，∴当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
【答案】
4．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失，并获得一定净收入．在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足的函数关系是x＝2000，乙方每年产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).
(1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；
(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2，在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？
【导学号：95902256】
【解】 (1)由题意，得W＝2000－st＝－s＋(t＞0)，
∴当＝，即t＝时，W取得最大值，为，
∴乙方获得最大利润时的年产量为吨．
(2)设在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方在索赔中获得的净收入为V元．
∵t＝，∴V＝st－0.002t2＝－.
V′＝－＋， 令V′＝0，得s＝20，当s＞20时，V′＜0，
∴V在(20，＋∞)上单调递减；当s＜20时，V′＞0，
∴V在(0,20)上单调递增．
∴当s＝20时，V取得极大值，也就是最大值，
∴在乙方按照获得最大利润的年产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是20元．
课时分层作业(二) 充分条件和必要条件
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的________条件．
【解析】 “α＝＋2kπ(k∈Z)”?“cos 2α＝”，“cos 2α＝”“α＝＋2kπ”(k∈Z)．因为α还可以等于2kπ－(k∈Z)，∴“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
2．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．
【解析】 当a>0且b>0时， a＋b>0且ab>0；当ab>0时，a，b同号，又a＋b>0，
∴a>0且b>0.故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充分必要条件．
【答案】 充分必要
3．设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的__________条件.
【导学号：95902018】
【解析】 由2－x≥0得x≤2，由|x－1|≤1得0≤x≤2，∵x≤2?? 0≤x≤2,0≤x≤2?x≤2，故“2－x”是“|x－1|≤1”的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
4．对任意的a，b，c∈R，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充要条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件．
其中真命题的个数是________．
【解析】 当c＝0时，ac＝bc?? a＝b，故①是假命题，③a2＞b2?|a|＞|b|，故③是假命题，命题②、④是真命题．
【答案】 2
5．已知函数y＝ln(x－4)的定义域为A，集合B＝{x|x＞a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围__________.
【导学号：95902019】
【解析】 A＝{x|x＞4}．∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴AB.
∴a＜4，即实数a的取值范围是{a|a＜4}．
【答案】 {a|a＜4}
6．给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件．
【解析】 “直线l与平面α内两条相交直线都垂直”?“直线l与平面α垂直”．
【答案】 充要
7．不等式ax2＋ax＋a＋3>0对一切实数x恒成立的充要条件是________.
【导学号：95902020】
【解析】 ①当a＝0时，原不等式为3>0，恒成立；
②当a≠0时，用数形结合的方法则有
?a>0.
∴由①②得a≥0.
【答案】 a≥0
8．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中：
①α，β都平行于直线l，m；
②α内有三个不共线的点到β的距离相等；
③l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β；
④l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.
“α∥β”的充分条件是________．
【解析】 ①、③中l与m可能平行，②中三点位于两平面交线的两侧时，如图．
AB∥l，α∩β＝l，A与C到l的距离相等时，A，B，C到β的距离相等．
【答案】 ④
二、解答题
9．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．
(1)对于函数y＝f(x)，x∈R，
p: y＝|f(x)|的图象关于y轴对称；q：y＝f(x)是奇函数．
(2)p：x＋y≠3；q：x≠1或y≠2.
【导学号：95902021】
【解】 (1)若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y＝|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必推出y＝f(x)为奇函数，故y＝|f(x)|的图象关于y轴对称是y＝f(x)是奇函数的必要不充分条件．
(2)原命题等价其逆否形式，即判断“x＝1且y＝2是x＋y＝3的必要不充分条件”，故x＋y≠3是x≠1或y≠2的充分不必要条件．
10．已知p：－2≤x≤10；q：x2－2x＋1≤m2(m＞0)，若﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解】 由q可得(x－1)2≤m2(m＞0)，
所以1－m≤x≤1＋m.
即﹁p：x＞10或x＜－2，﹁q：x＞1＋m或x＜1－m.
因为﹁p是﹁q的必要不充分条件，所以﹁q?﹁p.
故只需要满足，∴m≥9.
所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．
[能力提升练]
1．下列命题：
①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；
②△ABC中，·<0是△ABC为钝角三角形的充要条件；
③2b＝a＋c是数列a，b，c为等差数列的充要条件；
④△ABC中，tan Atan B>1是△ABC为锐角三角形的充要条件．
其中的真命题有________.
【导学号：95902022】
【解析】 两直线平行不一定有斜率，①假．由·<0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC为钝角三角形时，·的符号也不能确定，因为A，B，C哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan Atan B>1，知A，B为锐角，∴sin Asin B>cos Acos B，
∴cos(A＋B)<0，即cos C>0.∴角C为锐角，
∴△ABC为锐角三角形．
反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，∴cos(A＋B)<0，∴cos Acos B∵cos A>0，cos B>0，∴tan Atan B>1，故④真．
【答案】 ③④
2．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．
【解析】 因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲?乙，但乙甲；又∵乙是丙的充要条件，即乙?丙；又∵丙是丁的必要不充分条件，即丁?丙，但丙丁，故丁甲，甲乙，即丁是甲的既不充分又不必要条件．
【答案】 既不充分又不必要
3．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，则使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝________.
【导学号：95902023】
【解析】 依题意a>0.由条件p：|x－1|>a，得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<，或x>1.要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有解得a≥.
令a＝1，则p：x<0，或x>2，
此时必有x<，或x>1.即p?q，反之不成立．
【答案】 1
4．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．
【解】 ①当a＝0时，原方程化为2x＋1＝0，此时根为x＝－，满足条件．
②设f(x)＝ax2＋2x＋1，当a≠0时，因为方程的常数项为1不为0，方程没有零根．
(i)若方程有两异号的实根，x1，x2，则x1x2＝<0，即a<0；
(ii)若方程有两个负的实根x1，x2，则需满足
即解得0＜a≤1.
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤1. 反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0，至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.
课时分层作业(三) 简单的逻辑联结词
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．命题“三角形ABC是等腰直角三角形”是________形式的命题．(填“p∧q”“p∨q”“﹁p”)
【解析】 “三角形ABC是等腰直角三角形”的意思是三角形ABC是等腰三角形并且是直角三角形，所以该命题是“p∧q”形式的命题．
【答案】 p∧q
2．给出命题p：3≥3；q：函数f(x)＝在R上的值域为[－1,1]．在下列三个命题：“p∧q”“p∨q”“﹁p”中，真命题的个数为________.
【导学号：95902029】
【解析】 p为真命题．对于q，∵f(x)对应的函数值只有两个，即1或－1，所以f(x)的值域为{1，－1}，∴q为假命题，∴p∧q假，p∨q真，﹁p假，所以只有一个真命题．
【答案】 1
3．已知p：<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是________．
【解析】 p：x<3；q：－1∴p，q中至少有一个为假，∴x≥3或x≤－1.
【答案】 (－∞，－1]∪[3，＋∞)
4．命题p：函数y＝2sin(x∈R)的最大值为2，命题q：函数y＝2sin(ω>0)的最小正周期为2.若p∧q是真命题，则ω＝________.
【导学号：95902030】
【解析】 p∧q为真命题，p为真命题，q也为真命题，
∴＝2，∴ω＝π.
【答案】 π
5．给定四个结论：
(1)一个命题的逆命题为真，其否命题一定为真．
(2)若p∨q为假命题，则p，q均为假命题 .
(3)x>1的一个充分不必要条件是x>2.
(4)若命题p为“A中的队员都是北京人”，则﹁p为“A中的队员都不是北京人”．
其中正确命题的序号是________．
【解析】 (1)一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，真假相同，正确．
(2)若p∨q为 假命题，则p，q均为假命题，正确．
(3)由于x>2?x>1，其逆命题为假，故x>1的一个充分不必要条件是x>2，正确．
(4)“都是”的否定为“不都是”，若命题p为“A中的队员都是北京人”，则﹁p为“A中的队员不都是北京人”，错误．
【答案】 (1)(2)(3)
6．已知全集为R，命题p：0∈N，q：{0}??RQ，则下述判断：①p∧q为真；②p∨q为真；③﹁p为真；④﹁q为假，其中正确的序号为________.
【导学号：95902031】
【解析】 由于N表示自然数集，?RQ表示无理数集，于是p：0∈N为真，q：{0}??RQ为假，所以p∧q为假，①错误；p∨q为真，②正确；﹁p为假，③错误；﹁q为真，④错误．
【答案】 ②
7．已知p：函数y＝2|x－1|的图象关于直线x＝1对称；q：函数y＝x＋在(0，＋∞)上是增函数．由它们组成的新命题“p且q”“p或q”“﹁p”中，真命题有________个．
【解析】 命题p是真命题．y＝x＋在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故q为假命题．∴p且q为假，p或q为真，﹁p为假．
【答案】 1
8．已知命题p：x2－x＋6≤0或x2－x－6≥0，q：x∈Z，若“﹁q”与“p∧q”都是假命题，则x＝________.
【导学号：95902032】
【解析】 ∵“﹁q”为假，∴q为真，又“p∧q”为假，从而知p为假命题．
故有解得
∴x的值为－1,0,1,2.
【答案】 －1,0,1,2
二、解答题
9．用“且”、“或”改写下列命题并判断真假：
(1)1不是质数也不是合数；
(2)2既是偶数又是质数；
(3)5和7都是质数；
(4)2≤3.
【解】 (1)p：1不是质数；q：1不是合数，p∧q：1不是质数且1不是合数．(真)
(2)p：2是偶数；q：2是质数；p∧q：2是偶数且2是质数．(真)
(3)p：5是质数；q：7是质数；p∧q：5是质数且7是质数．(真)
(4)2≤3?2＜3或2＝3.(真)
10．设命题p：方程2x2＋x＋a＝0的两根x1，x2满足x1＜1＜x2，命题q：函数y＝log2(ax－1)在区间[1,2]内单调递增.
【导学号：95902033】
(1)若p为真命题，求实数a的取值范围；
(2)试问：p∧q是否有可能为真命题？若有可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由．
【解】 (1)令f(x)＝2x2＋x＋a，则f(1)＜0，∴3＋a＜0.∴a＜－3.
(2)若q为真命题，则a＞0且a－1＞0，
∴a＞1.
∵a＜－3与a＞1不可能同时成立，∴p∧q不可能为真命题．
[能力提升练]
1．在下列结论：
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“﹁p”为假的必要不充分条件；
④“﹁p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．
其中正确的结论为________．
【解析】 对于①，当p∧q为真时，p与q均为真，p∨q为真，但当p∨q为真时，p与q至少有一个为真，但p∧q不一定为真，故是充分不必要条件．
对于②，p∧q为假，即p与q中至少有一个为假，则p∨q真假不确定，而当p∨q为真时，即p与q中至少有一个为真，则p∧q真假不确定，故既不是充分条件也不是必要条件．
对于③，p∨q为真，则p与q至少有一个为真，但﹁p真假不确定，但当﹁p为假，即p为真时，p∨q一定为真，故是必要不充分条件．
对于④﹁p为真，即p为假，则p∧q为假，但当p∧q为假，即p与q至少有一个为假时，﹁p真假不确定，故是充分不必要条件．
【答案】 ①③
2．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围是________.
【导学号：95902034】
【解析】 命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”的充要条件为Δ＝4－4a≥0，即a≤1，则“﹁p”为真时，a>1；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”的充要条件为a2－a> 0，即a<0或a>1，则“﹁q”为真命题时，0≤a≤1.
由“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，得p，q一真一假：
若p真q假，则0≤a≤1；若p假q真，则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0.
【答案】 a≥0
3．已知命题p：x2－4x＋3<0与q：x2－6x＋8<0；若“p且q”是不等式2x2－9x＋a<0成立的充分条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由x2－4x＋3<0可得p：1?a≤9
【答案】 (－∞，9]
4．命题p：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为φ，命题q：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
(1)如果“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．
(2)如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围.
【导学号：95902035】
【解】 (1)∵命题p：不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集是φ.
∴Δ＝(a－1)2－4a2＜0，解得a＜－1或a＞.
又∵命题q：函数y＝(2a2－a)x在定义域内是增函数，
∴2a2－a＞1，解得a＜－或a＞1.
又p∨q为真命题，则p，q一真一假或p，q都为真，
∴实数a的取值范围应有两个集合{a|a＜－1或a＞}，{a|a＜－或a＞1}的并集，即为{a|a＜－或a＞}．
(2)∵“p∨q”真“p∧q”假，∴p与q必然一真一假．
再由(1)得或
解得－1≤a＜－或＜a≤1.
故实数a的取值范围为{a|－1≤a＜－或＜a≤1}.
课时分层作业(四) 量词 含有一个量词的命题的否定
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．下列命题：①任何实数都有平方根；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.其中全称命题是________(填序号)．
【解析】 命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．
【答案】 ①②④
2．命题：“?x∈R，使得x2＞0”的否定是__________.
【导学号：95902043】
【解析】 存在性命题“?x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“?x∈M，﹁p(x)”，故填?x∈R，x2≤0.
【答案】 ?x∈R，x2≤0
3．下列命题中，________是全称命题；________是存在性命题．
①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
【解析】 ①②③为全称命题，④为存在性命题．
【答案】 ①②③ ④
4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________.
【导学号：95902044】
【解析】 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线”．
【答案】 有的向量与零向量不共线
5．下列4个命题：
p1：?x∈(0，＋∞)，＜ ；
p2：?x∈(0,1)，logx＞logx；
p3：?x∈(0，＋∞)，＞logx；
p4：?x∈，＜logx.
其中的真命题是________．
【解析】 当x∈(0，＋∞)时，＞，故p1错误；取x＝，则logx＝1，logx＝log32＜1，故p2正确；取x＝，则0＜＜1，logx＝log＝3，
即＜logx，故p3错误；当x∈时，＜1，而logx＞1，
所以＜logx，故p4正确．
【答案】 p2、p4
6．已知命题：“?x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________.
【导学号：95902045】
【解析】 当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.
【答案】 [－8，＋∞)
7．若命题“?x∈R，x2＋(a－1)x＋2≤0”为假命题，则实数a的取值范围__________．
【解析】 此命题的否命题“?x∈R，x2＋(a－1)x＋2＞0”应有真命题，故有Δ＝(a－1)2－8＜0，解得1－2＜a＜1＋2.
【答案】 (1－2，1＋2)
8．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)．若对任意x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，则实数a的取值范围是________.
【导学号：95902046】
【解析】 由x⊙y＝x(1－y)，得(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)
＝－(x－a)[x－(1－a)]<1，整理得x2－x－a2＋a＋1>0恒成立，则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，解得－【答案】
二、解答题
9．判断下列命题的真假：
(1)?x0∈(－∞，0)，使3x0＜4x0；
(2)?x∈，使tan x＞x；
(3)?x∈R，使sin2x＋cos2x＝1；
(4)?x∈R，使x－2＞log x.
【解】 (1)由指数函数的图象可知，当x∈(－∞，0)时，3x＞4x恒成立，故(1)为假命题．
(2)当x∈时，tan x＞x恒成立，命题(2)是真命题．
(3)由同角三角函数的基本关系可知(3)为真命题．
(4)结合图象分析可知，?x∈R，使得x－2＞lg x，故该命题是真命题．
10．判断下列命题的真假，并写出命题的否定：
(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立；
(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0成立；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解.
【导学号：95902047】
【解】 (1)对于方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立，所以命题为假命题．它的否定为：对任意实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0不恒成立．
(2)当x＝1时，|x＋2|>0，所以原命题是假命题，它的否定为：存在实数x，使|x＋2|>0.
(3)真命题，它的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
[能力提升练]
1．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
【解析】 x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，
对?x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
【答案】 0
2．已知命题p：?x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0，命题q：?x∈，cos x＜1，则下列命题：①p∧q；②p∨(﹁q)；③(﹁p)∧q；④p∧(﹁q)；⑤(﹁p)∨q.
其中的真命题是________.
【导学号：95902048】
【解析】 当x0＜0时，2x0＞3x0，∴不存在x0∈(－∞，0)使得2x0＜3x0成立，即p为假命题，显然?x∈，恒有cos x＜1，∴命题q为真，∴(﹁p)∧q和(﹁p)∨q是真命题．
【答案】 ③⑤
3．设命题p：c20，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是________．
【解析】 p：0若p假q真，则得－综上：≤c<1或－【答案】 －4．已知命题p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.
【导学号：95902049】
【解】 由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题．
若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立．∴a≤1.
若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.
综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.
课时分层作业(五) 圆锥曲线
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．下列说法
①坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆；
②坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆；
③坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆；
④坐标平面内，到两定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离相等的点的轨迹是椭圆．正确的是________(填序号)．
【解析】
①
×
动点到两定点F1、F2的距离的和等于2，小于F1F2，故这样的点不存在
②
×
动点到两定点F1、F2的距离的和等于F1F2，故动点的轨迹是线段F1F2
③
√
动点到两定点F1、F2的距离的和大于F1F2，故动点的轨迹是椭圆
④
×
根据线段垂直平分线的性质，动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线
【答案】 ③
2．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是________.
【导学号：95902071】
【解析】 动点P的条件满足抛物线的定义，所以P点的轨迹是抛物线．
【答案】 抛物线
3．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹为________．
【解析】 由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．
【答案】 以F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线
4．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹是________.
【导学号：95902072】
【解析】 PF1＋PF2＝a＋≥6.∴轨迹为线段或椭圆．
【答案】 椭圆或线段
5．设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹是________．
【解析】 由题意，动点P以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．
【答案】 双曲线的右支
6．若点P到F(3,0)的距离比它到直线x＋4＝0的距离小1，则动点P的轨迹为________．
【解析】 由题意知P到F(3,0)的距离比它到直线x＝－4距离小1，则应有P到(3,0)的距离与它到直线x＝－3距离相等．故P的轨迹是以F(3,0)为焦点的抛物线．
【答案】 以F(3,0)为焦点的抛物线
7．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是________.
【导学号：95902073】
【解析】 ∵|PM－PN|＝2＝MN，∴点P的轨迹是两条射线．
【答案】 两条射线
8．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a＞0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的________条件．
【解析】 若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a＞0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若PA＋PB＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a＜AB时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
二、解答题
9．已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹．
【解】 如图所示，连结AP，
∵l垂直平分AC，∴AP＝CP，
∴PB＋PA＝BP＋PC＝4，
∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
10．设圆A的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切，且与已知圆A相外切的动圆圆心M的轨迹.
【导学号：95902074】
【解】 如图所示，圆A的方程可化为(x－5)2＋y2＝52，所以A(5,0)，设直线l的方程为x＝－5.结合已知条件，得动圆圆心M到定点A和定直线l的距离相等，所以动圆圆心M的轨迹为抛物线．
又由于圆M与y轴相切，若圆M与y轴切于原点，则必与圆A相切．根据外切的条件，得M的轨迹方程为y＝0(x＜0)，当x＞0时，圆M与圆A内切，不符合条件．
所以动圆圆心M的轨迹为抛物线或y＝0(x＜0)．
[能力提升练]
1．已知动点P(x，y)满足＋＝8，则P点的轨迹是__________．
【解析】 方程＋＝8，表示动点P(x，y)到两定点(2,0)，(－2,0)的距离之和为定值8，所以点P的轨迹是椭圆．
【答案】 椭圆
2．如图2-1-1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________.
【导学号：95902075】
图2-1-1
【解析】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，C1D1⊥平面BB1C1C，连结PC1，则PC1⊥C1D1，所以P、C1两点间的距离PC1即为P到直线C1D1的距离．所以在平面BB1C1C内，动点P到定点C1的距离等于到定直线BC的距离．根据抛物线的定义，知点P的轨迹所在的曲线是以点C1为焦点，以直线BC为准线的抛物线．
【答案】 抛物线
3．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1－PF2|＝2a(a＞0)，则当a＝3和a＝5时点P的轨迹为________．
【解析】 因为|PF1－PF2|＝2a，所以PF1>PF2.又因为F1F2＝10，当a＝3时，F1F2>2a，
符合双曲线的定义，但只是双曲线的右支；
当a＝5时，F1F2＝2a，轨迹为x轴上以F2为端点向右射出的一条射线．
【答案】 双曲线的一支和一条射线
4．已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程.
【导学号：95902076】
【解】 设F(x，y)为轨迹上的任意一点，∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，
∴FA＋CA＝2a，FB＋CB＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，∴FA＋CA＝FB＋CB，
∴FA－FB＝CB－CA＝2.∴FA－FB＝2.
由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上.
课时分层作业(六) 椭圆的标准方程
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．圆＋＝1上一点M到一个焦点的距离为4，则M到另一个焦点的距离为________.
【导学号：95902082】
【解析】 设椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，不妨令MF1＝4，
由MF1＋MF2＝2a＝10，得MF2＝10－MF1＝10－4＝6.
【答案】 6
2．若a＝6，b＝，则椭圆的标准方程是________．
【解析】 椭圆的焦点在x轴上时，方程为＋＝1，在y轴上时，方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1或＋＝1
3．已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项．该椭圆的方程是________.
【导学号：95902083】
【解析】 ∵PF1＋PF2＝2F1F2＝2×4＝8，∴2a＝8，∴a＝4，
∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，∴椭圆方程是＋＝1.
【答案】 ＋＝1
4．过(－3,2)点且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程为________．
【解析】 与＋＝1有相同焦点的椭圆可设为＋＝1且k＜4，将(－3,2)代入得：k＝－6.
【答案】 ＋＝1
5．把椭圆＋＝1的每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标缩短到原来的，则所得曲线方程为________.
【导学号：95902084】
【解析】 原方程化为＋＝1，所得曲线为x2＋y2＝1.
【答案】 x2＋y2＝1
6．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是________．
【解析】 椭圆化为标准形式为＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝－＝，
且焦点在x轴上，故为.
【答案】
7．方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是________．
【解析】 将方程化为＋＝1，由题意得解之得【答案】 8．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为________.
【导学号：95902085】
【解析】 ∵·＝0，∴PF1⊥PF2.∴PF＋PF＝F1F且PF1＋PF2＝2a.又a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴
②2－①，得2PF1·PF2＝102－64，∴PF1·PF2＝18，
∴△F1PF2的面积为9.
【答案】 9
二、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.
【解】 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴
∴故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
10．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程.
【导学号：95902086】
【解】 (1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x2＝9.
∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1，把M点坐标代入得＋＝1，
解得a2＝15.故所求椭圆的方程为＋＝1.
[能力提升练]
1．在平面直角坐标xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则的值为__________．
【解析】 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上，且半焦距c＝＝＝4,2a＝10，所以A(－4，0)和C(4,0)是椭圆的左、右焦点．因为点B在椭圆上，所以|BA|＋|BC|＝2a＝10，
所以＝＝＝.
【答案】
2．已知椭圆的两个焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQ＝PF2，那么动点Q的轨迹是________.
【导学号：95902087】
【解析】 如图所示，因为P是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知：PF1＋PF2＝2a为常数．又因为PQ＝PF2，所以PF1＋PQ＝2a，即QF1＝2a为常数．即动点Q到定点F1的距离为定值，所以动点Q的轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆．故Q的轨迹为圆．
【答案】 圆
3．若F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠F1AF2＝45°，则△AF1F2的面积为________．
【解析】 如图所示， F1F2＝2，AF1＋AF2＝6，由AF1＋AF2＝6，
得AF＋AF＋2AF1·AF2＝36.又在△AF1F2中，
AF＋AF－F1F＝2AF1·AF2cos 45°，
所以36－2AF1·AF2－8＝AF1·AF2，
所以AF1·AF2＝＝14(2－)，
所以S＝AF1·AF2 sin 45°＝×14(2－)×＝7(－1)．
【答案】 7(－1)
4．已知点P(6,8)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若·＝0.试求
(1)椭圆的方程．
(2)求sin∠PF1F2的值.
【导学号：95902088】
【解】 (1)因为·＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10,0)，F2(10,0)，所以2a＝PF1＋PF2＝＋＝12，
所以a＝6，b2＝80.所以椭圆方程为＋＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝PF1·PF2＝F1F2·yP＝80，
所以PF1·PF2＝160，又PF1＋PF2＝12，所以PF2＝4，所以sin∠PF1F2＝＝＝.
课时分层作业(七) 椭圆的几何性质
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2，则C的方程为__________.
【导学号：95902097】
【解析】 根据已知条件知＝，又2c＝2，得a＝2，又b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
2．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为________．
【解析】 由题意知圆F2的半径为c，在Rt△MF1F2中，
|MF2|＝c，|MF1|＝2a－c，|F1F2|＝2c且MF1⊥MF2.
所以(2a－c)2＋c2＝4c2，＋2－2＝0，
∴e＝＝－1.
【答案】 －1
3．直线y＝k(x－2)＋1与椭圆＋＝1的位置关系是________.
【导学号：95902098】
【解析】 直线y＝k(x－2)＋1过定点P(2,1)，将P(2,1)代入椭圆方程，得＋＜1，∴P(2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
【答案】 相交
4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为________．
【解析】 根据条件可知＝，且4a＝4，∴a＝，c＝1，b＝，
椭圆的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
5．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0【导学号：95902099】
【解析】 ∵b＝1，∴c2＝a2－1，又＝＝1－≤，∴≥，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1【答案】 (2,4]
6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在y轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆方程为________．
【解析】 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．
由得由a2＝b2＋c2，得b2＝32.故椭圆的方程为：＋＝1.
【答案】 ＋＝1
7．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________.
【导学号：95902100】
【解析】 如图，当直线x＝m，过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，
由解得y＝±，∴|AB|＝3.∴S＝×3×2＝3.
【答案】 3
8．已知椭圆方程是＋＝1，则以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程为________．
【解析】 方法一：易知直线MN的斜率存在，设为k，则其直线方程为y－1＝k(x－1)，
由得(4＋9k2)x2－18k(k－1)x＋9k2－18k－27＝0，又设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝＝2，解得k＝－，则所求的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即4x＋9y－13＝0.
方法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝1 ①
＋＝1 ②
①－②得＝－
∴k＝＝－＝－＝－.
∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即4x＋9y－13＝0.
【答案】 4x＋9y－13＝0
二、解答题
9．(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率．
(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率．
【解】 (1)由题意得：b＝c，
∴e2＝＝＝＝，∴e＝.
(2)由题意得：2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2.
又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2，
即3a2－2ac－5c2＝0，∴3－2·－5·＝0，即5·＋2·－3＝0，∴e＝＝.
10．过椭圆＋＝1内点M(2,1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程.
【导学号：95902101】
【解】 方法一：依题意，该直线l的斜率存在．设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，解之得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，
M(2,1)为AB的中点．
∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A、B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，
即kAB＝－.故所求直线方程为x＋2y－4＝0.
[能力提升练]
1．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆离心率为__________．
【解析】 令右焦点为F′，连结BF′，由题意得A(－a,0)，B(0，b)，F′(c,0)，由椭圆的对称性知∠BFO＝∠BF′O，又∠BAO＋∠BFO＝90°，
所以∠BAO＋∠BF′O＝90°，∴·＝0，
∴(a，b)·(c，－b)＝ac－b2＝ac－a2＋c2＝0，得e2＋e－1＝0，求得e＝.
【答案】
2.如图2-2-3，P是椭圆＋＝1在第一象限上的动点，F1，F2是椭圆的焦点，M是∠F1PF2的平分线上的一点，且·＝0，则OM的取值范围是________.
图2-2-3
【导学号：95902102】
【解析】 延长 F2M交PF1于点N，由已知条件可知OM＝NF1＝(PF1－PF2)＝a－PF2，而a－c 【答案】 (0,3)
3．已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为________．
【解析】 设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，两式相减，
得＋＝0，
∴＝－，∴k＝＝－.
【答案】 －
4.如图2-2-4，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(3,1)在椭圆上，△PF1F2的面积为2.
图2-2-4
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点Q在椭圆C上，且∠F1QF2＝，求QF1·QF2的值；
(3)设直线y＝x＋k与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值.
【导学号：95902103】
【解】 (1)∵椭圆过点P(3,1)，
∴＋＝1.
又S＝×2c×1＝2，解得c＝2.
又a2＝b2＋c2，解得a2＝12，b2＝4，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当∠F1QF2＝时，
有
∴QF1·QF2＝.
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得4x2＋6kx＋3k2－12＝0.
故x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝.
∵以AB为直径的圆经过坐标原点，
∴·＝x1x2＋y1y2＝k2－6＝0解得k＝±，
∴此时Δ＝120＞0，满足条件，因此k＝±.
课时分层作业(八) 双曲线的标准方程
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则m的值是________．
【解析】 验证法：当m＝±1时，m2＝1，对椭圆来说，a2＝4，b2＝1，c2＝3.
对双曲线来说，a2＝1，b2＝2，c2＝3，故当m＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x轴上，故4－m2＝m2＋2.
∴m2＝1，即m＝±1.
【答案】 ±1
2．已知双曲线的一个焦点坐标为(，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为________.
【导学号：95902110】
【解析】 依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得故双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2,0)，点P(3，)在双曲线上，则双曲线方程为________．
【解析】 PF1＝＝4，PF2＝＝2，
|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝，又c＝2，故b2＝c2－a2＝2，
所以双曲线的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
4．若双曲线2x2－y2＝k的半焦距为3，则k的值为______.
【导学号：95902111】
【解析】 若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，
∴＋k＝32，即k＝6.
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，
∴－k＋＝32，即k＝－6.
综上，k的值为6或－6.
【答案】 6或－6
5．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．
【解析】 由题意，方程可化为－＝3，
∴解得m<－2.
【答案】 (－∞，－2)
6．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，若PF1＝10，则PF2＝________.
【导学号：95902112】
【解析】 由双曲线方程，得a＝3，b＝4，c＝5.
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2－PF1|＝6，所以PF2＝PF1＋6＝10＋6＝16；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1－PF2|＝6，所以PF2＝PF1－6＝10－6＝4.故PF2＝4或PF2＝16.
【答案】 4或16
7．已知双曲线的两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，PF1·PF2＝2，则双曲线的标准方程是________．
【解析】 设PF1＝m，PF2＝n，在Rt△PF1F2中，m2＋n2＝(2c)2＝20，m·n＝2，
由双曲线定义，知(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝16.
∴4a2＝16.∴a2＝4，b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
8．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且MF1·MF2＝32，则△F1MF2的面积为________.
【导学号：95902113】
【解析】 由题意可得双曲线的两个焦点是F1(0，－5)、F2(0,5)，由双曲线定义得，
|MF1－MF2|＝6，联立MF1·MF2＝32，得MF＋MF＝100＝F1F，
所以△ F1MF2是直角三角形，从而其面积为S＝MF1·MF2＝16.
【答案】 16
二、解答题
9．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)经过点A(4，3)，且a＝4；
(2)经过点A、B(3，－2)．
【解】 (1)若所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则将a＝4代入，得－＝1，
又点A(4，3)在双曲线上，∴－＝1.解得b2＝9，则－＝1，
若所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．同上，解得b2<0，不合题意，
∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
∵点A、B(3，－2)在双曲线上，
∴解之得
∴所求双曲线的方程为－＝1.
10．已知曲线C：＋＝1(t≠0，t＝±1)．
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点.
【导学号：95902114】
【解】 (1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；
当|t|<1时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．
(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．
当|t|<1时，双曲线C的方程为－＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，
∴焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．
[能力提升练]
1．已知双曲线方程为－＝1，点A、B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为________．
【解析】 设△ABF1的周长为C，则C＝AF1＋BF1＋AB＝(AF1－AF2)＋(BF1－BF2)＋AF2＋BF2＋AB
＝(AF1－AF2)＋(BF1－BF2)＋2AB＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m.
【答案】 4a＋2m
2．已知双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________.
【导学号：95902115】
【解析】 椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，且c＝3，a2＋b2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A(，4)、B(－，4)，由点A在双曲线上知，－＝1.
解方程组得
∴所求曲线的方程为－＝1.
【答案】 －＝1
3．方程＋＝1表示的曲线为C，给出下列四个命题：
①曲线C不可能为圆；②若14；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1【解析】 当4－k＝k－1时，k＝，这时4－k＝k－1>0，∴k＝时，方程表示圆，故①错误；当4－k>0，k－1>0且4－k≠k－1即14或k<1时，曲线表示双曲线，故③正确；若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，有4－k>k－1>0，即1【答案】 ③④
4．已知F1，F2是双曲线－＝1的左，右焦点．
(1)若双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离．
(2)若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积.
【导学号：95902116】
【解】 由双曲线的标准方程－＝1可知a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1)由双曲线的定义，得|PF2－PF1|＝2a＝6，则|PF2－10|＝6，解得PF2＝4或PF2＝16.
(2)由P在双曲线左支上得|PF2－PF1|＝6，两边平方得PF＋PF－2PF1·PF2＝36.
∴PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0
∴∠F1PF2＝90°，
∴S＝PF1·PF2＝×32＝16.
课时分层作业(九) 双曲线的几何性质
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、填空题
1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的离心率是__________．
【解析】 a2＝4，b2＝3，c2＝a2＋b2＝7，∴a＝2，c＝，∴e＝.
【答案】
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于________.
【导学号：95902122】
【解析】 双曲线方程化为标准形式：y2－＝1，则有：a2＝1，b2＝－，
由题设条件知，2＝，∴m＝－.
【答案】 －
3．对于方程－y2＝1和－y2＝λ(λ＞0且λ≠1)所表示的双曲线有如下结论：
(1)有相同的顶点； (2)有相同的焦点； (3)有相同的离心率； (4)有相同的渐近线．其中正确的是________．
【解析】 对于方程－y2＝1，a＝2，b＝1，c＝；对于方程－y2＝λ，a′＝2，b′＝，c′＝，显然a′、b′、c′分别是a、b、c的倍，因此有相同的离心率和渐近线．
【答案】 (3)(4)
4．已知双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为________．
【解析】 ∵e＝＝2，c＝4，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，且焦点在x轴上，故标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为________.
【导学号：95902123】
【解析】 由e＝，得＝，
∴c＝a，b＝＝a.
而－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，
∴所求渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
6．与椭圆＋＝1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为________．
【解析】 椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，
∴c＝4，e＝，∴双曲线的离心率等于－＝2，
∴＝2，∴a＝2.∴b2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
7．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为________.
【导学号：95902124】
【解析】 由已知得，双曲线焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，
∴双曲线方程为－＝1.∴渐近线方程为－＝0，即±＝0.
【答案】 4x±3y＝0
8．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是________．
【解析】 如图，设MF1的中点为P，由题意知MF1⊥PF2.
在Rt△PF1F2中，PF2＝F1F2·sin 60°＝2c·＝c.PF1＝F1F2·cos 60°＝2c·＝c，
∵PF2－PF1＝2a，∴a＝c.
∴e＝＝＝＋1.
【答案】 ＋1
二、解答题
9．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.
【导学号：95902125】
【解】 将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，
因此顶点为A1(－3,0)，A2(3,0)，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程：y＝±x＝±x.
10．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)．
【解】 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴标准方程为－＝1或－＝1.
(2)方法一：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2＜yP＝3.
∴双曲线的焦点在y轴上．从而有＝，∴b＝2a.设双曲线方程为－＝1，
由于点P(4,3)在此双曲线上，∴－＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为－＝1.
方法二：∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即－y＝0，
∴双曲线的渐近线方程为－y2＝0.设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点P(4,3)，∴－32＝λ，
即λ＝－5.
∴所求双曲线方程为－y2＝－5，
即－＝1.
[能力提升练]
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为________．
【解析】 由双曲线－＝1，知a＝2，b＝2，c＝4，∴焦点F1(－4,0)，F2(4,0)，
渐近线方程y＝±x.由双曲线对称性知，任一焦点到任一渐近线的距离都相等．
∴d＝＝2.
【答案】 2
2．设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°则以A，B为焦点且过点C的双曲线离心率是__________.
【导学号：95902126】
【解析】 AB＝2c，由AB＝BC，∠ABC＝120°得AC＝2c，再由|AC－BC|＝2a，得|2c－2c|＝2a，即＝，e＝.
【答案】
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为 ________.
【解析】 因为双曲线的一个焦点在直线l上，所以0＝2c＋10，即c＝－5又因为渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，故有＝2，结合c2＝a2＋b2，得a2＝5，b2＝20，所以双曲线的标准方程为－＝1.
【答案】 －＝1
4．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围.
【导学号：95902127】
【解】 设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离d2＝.∴s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.∵e＝，
∴5≥2e2，∴25(e2－1)≥4e4，即4e4－25e2＋25≤0，∴≤e2≤5(e>1)．
∴≤e≤，即e的取值范围为.
