第二十九章直线与圆的位置关系教案
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九年级数学·下 新课标[冀]
第二十九章 直线与圆的位置关系
1.了解点与圆、直线与圆的位置关系,并能用相应的数量关系说明它们的位置关系.
2.掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的位置关系,会过一点画圆的切线.
3.了解直线与圆相切的有关性质,能判断一条直线是否为圆的切线,知道三角形的内心的概念.
4.理解切线长的概念,探索并证明切线长定理,并能运用它解决有关问题.
5.了解正多边形及其有关的概念,了解正多边形与圆的关系.
6.会用尺规作三角形的内切圆、圆的内接正方形和圆的内切正六边形.
1.经历从现实生活中抽象出点与圆、直线与圆的位置关系,体会数学与生活的密切联系.
2.积极引导学生从事观察、测量、猜想、归纳、证明等活动,培养学生探究问题的能力及创新精神.
3.在探索点与圆、直线与圆的位置关系的过程中,体会数形结合思想在数学中的应用.
4.结合切线的判定和性质及切线长定理的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识的逻辑思维能力.
5.经历动手、探索、画图,了解正多边形和圆的关系,体会化归思想在解决问题中的重要性,培养学生的动手能力.
1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用等数学学习过程,使学生体会化归的数学思想,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识,分析问题、解决问题的能力.
4.进一步培养学生综合运用学过的知识解决问题的能力,同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育.
圆作为基本的平面图形,是人们生活中常见的图形,在上一章我们学习了圆的概念、性质、和圆有关的角等知识,积累了大量的有关圆的经验.本章在此基础上,进一步研究点与圆、直线与圆的位置关系,切线的性质和判定,切线长定理及正多边形与圆等相关的知识,是上一章圆的有关性质的延续和拓展,让学生在初中阶段比较系统、完整地学习圆的知识,为今后学习解析几何等知识打下基础.
本章从生活实际问题出发,抽象出点与圆、直线与圆的位置关系,让学生体会到学习的必要性和重要性,明确用数量关系揭示几何图形之间的位置关系,这是几何学习的深化与发展,充分体现数学中数形结合思想的应用.切线的性质和判定、切线长定理是本章内容的重点,学生通过合作学习,经历性质和判定的探究过程,进一步提高学生探究问题的能力,发展学生的逻辑思维能力.本章的学习,要用到前面许多知识和方法,比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力.本章知识的学习是前面知识综合应用的过程,在初中数学学习中占有重要地位,尤其是为逐步建立的数形结合、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.
【重点】
与圆有关的位置关系;切线的性质和判定、切线长定理的证明及应用;与正多边形有关的计算.
【难点】
切线的性质和判定、切线长定理的综合运用.
1.教材将数学与生活实际相联系,让学生从实际背景中感知数学知识,体会数学在生活中的应用.在教学中应重视创设生活情景,激发学生的学习兴趣及求知欲,从生活实例中抽象出与本章相关的图形,发现图形之间的位置关系.
2.数学知识的形成过程是一个数学思维的过程,在教学过程中设计学生动手操作及合作交流的数学活动,引导学生积极参与探究活动,经历知识的形成过程,逐步提高学生的数学思维水平.
3.在教学过程中教师要关注学生的探究过程,在学生独立思考的基础上,鼓励学生通过小组合作与交流的方式解决问题,让学生在与同伴合作、自主探究中探索、归纳出数学概念、性质及判定,培养学生自主探究的精神及合作意识.
4.重视数学思想方法的渗透,数学思想与方法是数学学习的灵魂,本章涉及的数学思想和方法较多,如探究点与圆、直线与圆的位置关系时的分类讨论思想及数形结合思想;探究正多边形与圆时的转化思想.通过学习本章知识,使学生掌握化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.
5.探究直线与圆的位置关系具有一定的抽象性,需要有较高的空间想象能力和逻辑推理能力.在教学中应重视培养学生论证及推理能力.本章所研究的问题常需要综合运用多方面知识,这对培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力是相当有好处的,在教学中抓住此机会使学生解决问题的能力有较大的飞跃.
29.1点与圆的位置关系 1课时
29.2直线与圆的位置关系 1课时
29.3切线的性质和判定 1课时
29.4切线长定理 1课时
29.5正多边形与圆 1课时
回顾与反思 1课时
29.1 点与圆的位置关系
1.了解点与圆的三种位置关系.
2.理解并掌握点与圆的三种位置关系中相关数量间的关系.
3.能应用点与圆的位置关系解决简单问题.
1.经历从现实情景中抽象出点与圆的位置关系的过程,体会数学与实际生活的密切联系.
2.探索点与圆的三种位置关系的过程中,体会数学分类讨论思想和数形结合思想.
3.通过探索点与圆的位置关系中相关数量间的关系,培养学生的探索能力,进一步体会解决数学问题的策略.
1.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
2.在数学活动过程中,发展学生的合作交流意识和主动探索精神.
【重点】
点与圆的位置关系中相关数量间的关系.
【难点】
探索点与圆的位置关系的过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P2~3.
导入一:
(课件展示)
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为祖国赢得荣誉.如图所示的是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不等的圆)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?
【教师活动】 教师展示课件,引导学生观察,要解决这个问题就要研究点与圆的位置关系.
[设计意图] 由学生感兴趣的奥运射击比赛成绩的计算导入新课,激发学生的学习兴趣.
导入二:
(课件展示)
足球运动员踢出的足球在球场上滚动,在足球穿越中圈区(中间圆形区域)的过程中,可将足球看成一个点,这个点与圆具有怎样的位置关系?
【教师活动】 教师展示课件,提出问题,导出本节课的课题.
[设计意图] 足球与中圈区之间的位置关系,让学生初步感受点与圆的位置关系,体会数学与生活密切相关,降低本节课的学习难度.
导入三:
复习提问:
1.圆的两个定义是什么?确定一个圆的两个基本要素是什么?
2.点与直线有几种位置关系?
[设计意图] 通过复习和圆有关的概念及点与直线的位置关系,为用类比思想学习新知识打下铺垫.
[过渡语] 我们已经学习了圆的性质,而圆作为一种重要的几何图形,还有许多知识,这节课我们一起学习点与圆的位置关系.
观察与思考
【师生活动】 教师通过课件演示足球穿越中圈区的动画过程,并提出问题:把足球看作点,把中圈区看作圆,点与圆有几种位置关系?学生独立思考后小组合作交流,学生代表回答,教师板书并课件展示.
(课件展示)
在同一个平面内,点与圆有三种位置关系:点在圆外、点在圆上和点在圆内.点P与☉O的位置关系如图所示.
[设计意图] 通过动画演示,让学生直观感知点与圆的位置关系,并用几何图形进行刻画,用数学语言进行描述,为进一步探究点与圆的位置关系做好铺垫,同时通过创设与生活有关的情景问题,激发学生探究本节课知识的求知欲.
共同探究
思路一
(课件展示)
已知点P和☉O,☉O的半径为r,点P与圆心O之间的距离为d.
1.请根据下列图形中点P和☉O的位置,在表格中填写r与d之间的数量关系.
语言描述 图形表示 r与d之间的 数量关系
点P在☉O外
点P在☉O上
点P在☉O内
【师生活动】 教师展示课件,学生观察独立思考后,小组内合作交流,归纳总结由点与圆的位置关系得到的r与d之间的数量关系的规律,学生代表展示后,教师板书并点评.
(板书)
点P在圆外?d>r;
点P在圆上?d=r;
点P在圆内?d2.当d与r分别满足条件d>r,d=r,d【师生活动】 学生小组内交流,归纳总结r与d之间的数量关系与点与圆的位置关系的规律,小组代表展示,教师归纳点评.
(板书)
(1)点P在☉O 外?d>r.
(2)点P在☉O上?d=r.
(3)点P在☉O 内?d注:符号“?”读作“等价于”,它表示从左端可以推出右端,从右端也可以推出左端.
思路二
思考:
1.观察下列各个图中点P与☉O的位置关系?
2.各图中的点P到圆心O的距离d与☉O的半径r分别有什么关系?
3.总结由这三点分别与圆的位置关系得到什么样的数量关系?
【师生活动】 学生观察图形,独立思考后小组讨论、总结判断点与圆的位置关系的方法,学生展示后教师点评.
结论:
设☉O的半径为 r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
点P在圆外?d>r;
点P在圆上?d=r;
点P在圆内?d4.以任意一点为圆心画一个半径为3 cm的圆,点P1,P2,P3到圆心的距离分别为2 cm,3 cm,5 cm,在图上标出这三点的位置.
5.观察这三点与圆的位置关系,总结由这三点到圆心的距离得到什么样的位置关系?
【师生活动】 学生动手操作后,小组内交流和探索结果,学生展示后教师点评.
结论:
设☉O的半径为 r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
d>r?点P在圆外;
d=r?点P在圆上;
d(课件展示)
设☉O的半径为r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
(1)点P在☉O外?d>r.
(2)点P在☉O上?d=r.
(3)点P在☉O内?d[设计意图] 通过观察、思考、讨论、归纳等数学活动,共同探究点与圆的位置关系、半径与点到圆心的距离之间的数量关系的互相转化,体会数形结合思想,培养学生分析问题及归纳总结能力.
例题讲解
(课件展示)
(教材第3页例)如图所示,在△ABC中,∠C = 90°,AB=5 cm,BC=4 cm,以点A为圆心、3 cm为半径画圆,并判断:
(1)点C与☉A的位置关系.
(2)点B与☉A的位置关系.
(3)AB的中点D与☉A的位置关系.
思路一
教师引导:
(1)如何判定点与圆的位置关系?
(先确定点与圆心的距离,再与半径的大小进行比较可得.)
(2)在直角三角形中已知两条直角边,如何求第三边的长?
(利用勾股定理求直角三角形的边长.)
(3)直角三角形斜边上的中线有什么性质?
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)
(4)点C,B,D与圆心A的距离分别是多少?与半径之间的大小关系如何?
(AC=3 cm=r,BC=4 cm>r,CD=AB= cm(5)根据点到圆心的距离与半径的大小之间的关系,你能分别判断点C,B,D与☉A的位置关系吗?
(点C在☉A上;点B在☉A外;点D在☉A内.)
【师生活动】 教师提出问题,学生思考回答,独立完成后板书解答过程,教师点评归纳.
(板书)
解:已知☉A的半径r=3 cm.
(1)因为AC===3(cm)= r,所以点C在☉A上.
(2)因为AB=5 cm>3 cm=r,所以点B在☉A外.
(3)因为DA=AB=2.5 cm<3 cm=r,所以点D在☉A内.
思路二
【师生活动】 学生独立思考后小组内合作交流,小组代表板书解答过程,教师点评.教师追加提问:判断点与圆的位置关系的步骤是什么?师生共同归纳总结.
(板书)
同思路一.
[设计意图] 通过例题,进一步体会判断点与圆的位置关系的一般方法,培养学生分析问题及归纳总结能力.
[知识拓展] 1.圆将平面分成三部分,圆内、圆上和圆外,因此点与圆有三种位置关系.
2.由点与圆的位置关系可以确定该点到圆心的距离和半径的关系.反过来,已知点到圆心的距离和半径之间的关系,可以确定该点与圆的位置关系.
1.点与圆的位置关系.
设☉O的半径为 r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
点P在圆外?d>r;
点P在圆上?d=r;
点P在圆内?d2.判断点与圆的位置关系的一般步骤.
1.☉O的半径为4 cm,点A到圆心O的距离为3 cm,则点A与☉O的位置关系是 ( )
A.点A在圆内
B.点A在圆上
C.点A在圆外
D.不能确定
解析:OA=3 cm<4 cm,则点A与☉O的位置关系是:点A在圆内.故选A.
2.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,点D是AB边的中点,以点C为圆心,4 cm长为半径作圆,则点A,B,C,D四点中在圆内的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:∵以点C为圆心,4为半径作圆,AC=BC=4,则A,B两点到圆心C的距离等于半径,∴点A,B在圆上.∵在直角三角形ABC中,D是AB的中点,AC=BC=4,∴AB==4,∴CD=AB=2,则2<4,∴点D在☉C内.那么在圆内只有C,D两个点.故选B.
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2 cm,BC=4 cm,CM是中线,以点C为圆心, cm为半径作圆,则A,B,M三点在圆外的有 ,在圆上的有 ,在圆内的有 .?
解析:∵∠ACB=90°,AC=2 cm,BC=4 cm,∴AB==2(cm).∵CM是中线,∴CM=AB= cm,∴点M在圆上.∵AC=2 cm< cm,∴点A在圆内.∵BC=4 cm> cm,∴点B在圆外.
答案:B M A
4.已知☉O的半径为5,O为原点,点P的坐标为(2,4),则点P与☉O的位置关系是 .?
解析:由勾股定理,得OP== <5,∴点P与☉O的位置关系是点P在☉O内.故填点P在☉O内.
29.1 点与圆的位置关系
观察与思考
共同探究
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第4页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第4页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.☉O的半径为3 cm,点O到点P的距离为 cm,则点P ( )
A.在☉O外 B. 在☉O内
C. 在☉O上 D. 不能确定
2.已知☉O的半径为5 cm,A为线段OP的中点,当点A在☉O的外部时,线段OP的长度可以是 ( )
A.6 cm B.10 cm C.14 cm D.8 cm
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=8 cm,CM为中线,以点C为圆心,以 cm为半径作圆,则点A,B,C,M四点在☉C外的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若☉A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为 ( )
A.在☉A内 B.在☉A上
C.在☉A外 D.不确定
5.☉O的半径r=5 cm,圆心到直线l的距离OM=4 cm,在直线l上有一点P,且PM=3 cm,则点P ( )
A.在☉O内
B.在☉O上
C.在☉O外
D.可能在☉O上或在☉O内
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作☉O,设线段CD的中点为P,则点P与☉O的位置关系是 .?
7.若点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心,以2为半径的圆内,则a的取值范围是 .?
8.已知☉O的半径为1,点P到圆心O的距离为d,且方程x2-2x+d=0没有实数根,则点P与☉O的位置关系是 .?
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,点D是BC的中点,现在以点D为圆心,DC为半径作☉D.
(1)当BC=8时,判断点A与☉D的位置关系;
(2)当BC=6时,判断点A与☉D的位置关系;
(3)当BC=5时,判断点A与☉D的位置关系.
【能力提升】
10.若☉O所在平面内一点P到☉O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的直径为 ( )
A. B.
C.或 D.a+b或a-b
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是 .?
(第11题图)
(第12题图)
12.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,CD⊥AB于D.
(1)以点C为圆心,6为半径作圆,试判断点A,D,B与圆C的位置关系;
(2)若点O是AB的中点,则☉C的半径为多少时,点O在☉C上?
【拓展探究】
13.爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9 cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120 m以外的安全区域,已知这个导火索的长度为18 cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5 m是否安全?
【答案与解析】
1.A(解析:∵OP= cm>3 cm,∴点P与☉O的位置关系是:点P在圆外.)
2.C(解析:当点A在☉O的外部时,OA>5 cm,所以OP>10 cm.故选项C符合.)
3.C(解析:∵∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=8 cm,∴AB==4(cm).∵CM是中线,∴CM=AB=2 cm,∴点M在圆外.∵AC=4 cm> cm,∴点A在圆外,∵BC=8>,∴点B在圆外.)
4.A(解析:∵点A的坐标为(3,4),点P的坐标是(5,8),∴AP==2.∵☉A的半径为5,且5>2,∴点P在☉A的内部.)
5.B(解析:∵☉O的半径r=5 cm,圆心到直线l的距离OM=4 cm,在直线l上有一点P且PM=3 cm,∴MP=3,OM=4,OM⊥PM,∴PO=5,∴点P在圆上.)
6.点P在☉O内(解析:∵AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,∴AD=5.∵点O是AC的中点,点P是CD的中点,∴OP是△CAD的中位线,OC=OA=3,∴OP=AD=2.5.∵OP7.-18.点P在☉O外(解析:由题意,得(-2)2-4d<0,解得d>1,所以点P在☉O外.)
9.解:∵AB=AC=5,D为BC的中点,∴AD⊥BC.(1)当BC=8时,DC=BD=4,∴AD==3BD,∴点A在☉D外. (3)当BC=5时,∴BD=,AD===BD,∴点A在☉D上.
10.D(解析:当点P在☉O内时,此圆的直径为点P到☉O上的点的最大距离与最小距离之和,即d=a+b;当点P在☉O外时,此圆的直径为点P到☉O上的点的最大距离与最小距离之差,即d=a-b.)
11.-1(解析:取BC的中点E,连接AE,交半圆于P2,在半圆上取P1,连接AP1,EP1,则AP1+EP1>AE,即AP2是AP的最小值.∵AE==,P2E=1,∴AP2=-1.)
12.解:(1)在△ACB中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,由勾股定理,得AC=6=r,所以点A在☉C上.由S△ABC=CD·AB=AC·BC,所以CD=4.8r,所以点B在☉C外. (2)在Rt△ACB中,O为斜边AB的中点,所以CO=AB=5,所以当☉C的半径为5时,点O在☉C上.
13.解:点导火索的人非常安全.理由如下:
导火索燃烧的时间为=20(s),此时人跑的路程为20×6.5=130(m),因为130 m>120 m,所以点导火索的人非常安全.
本节课由学生感兴趣的计算奥运射击的成绩和足球穿越中圈区导入新课,让学生直观地感受点与圆的位置关系,激发学生的学习兴趣,体会数学与生活的密切联系,然后通过建立数学模型,进一步探究点与圆的三种位置关系.学生通过观察图形、思考、归纳,先得到点与圆的三种位置关系和点到圆心的距离之间的关系,体会由形到数,然后再动手操作,由点到圆心的距离可以确定点与圆的位置关系,体会由数到形,感受数形结合思想在数学中的应用.在整节课的探究过程中,学生通过观察、独立思考,小组合作交流,共同归纳结论等数学活动探究点与圆的位置关系,学生思维活跃,积极参与思考和交流,课堂气氛活跃,每个学生都在享受学习带来的快乐.
本节课的重点是探究点与圆的位置关系,内容较为简单,在教学设计中以生活实际情景导入新课后,学生通过自主学习、小组合作交流共同归纳点与圆的位置关系,让学生在经历知识的形成过程中,体会数形结合思想在数学中的应用,在实际教学中,有的学生对由形到数、由数到形的探究过程思路混乱,数学学习就是掌握数学思想和方法的过程,在以后的教学中,注意在课堂上逐步渗透数学思想和数学方法的教学,提高学生的数学思维能力.
本节课经历从现实情景中抽象出点与圆的位置关系,精心创设情景,让学生初步感知点与圆的位置关系的同时,激发学生的学习兴趣和探究欲望.在探究过程中,以学生自主学习为主,通过学生之间的交流与合作,共同探究点与圆的位置关系及相应的数量关系,并由数量关系判断点与圆的位置关系,体会数形结合的思想.在教学设计中突出学生的主体地位,以学生活动为主,教师在教学活动中做到点评精讲,以培养学生的思考能动性,提高学生数学学习能力为主.
练习(教材第4页)
1.解:因为OA==2,且2<5,所以点A在☉O内.因为OB==5,所以点B在☉O上.因为OC==4,且4>5,所以点C在☉O外.因为OD==,且>5,所以点D在☉O外.
2.解:设BA与☉A交于点C,则BC=10-3=7(km),7÷10=0.7(h),即渔船从B处向点A处行驶0.7 h之内是安全的,超过0.7 h就进入了危险区域.
习题(教材第4页)
A组
1.解:由题可知OD⊥l,且OD=3,PD=4,∴OP=5,∵r=5,∴点P在☉O上.∵QD>4,∴OQ>r,∴点Q在☉O外.同理可知点R在☉O内部.
2.解:如图所示,连接AC,∵AB=3,AD=4,∴AC=5,∴点B到圆心A的距离最小,点C到圆心A的距离最大,∴3
(第2题图)
B组
1.解:如图所示.(1)当点A1在☉D上时,由于BC为直径,A1B=A1C,可知△A1BC为等腰直角三角形,故∠BA1C=90°. (2)当点A2在☉D内时,90°<∠BA2C<180°. (3)当点A3在☉D外时,0°<∠BA3C<90°.
(第1题图)
2.解:☉O上到弦AB所在直线的距离为2的点有4个.分别是:过O点作直线CD∥AB交☉O于C,D两点,且直线CD到直线AB之间的距离为2,则点C,D到直线AB的距离为2;在直线AB下方作直线EF∥AB交☉O于E,F两点,且直线EF与直线AB之间的距离为2,则点E,F到直线AB的距离为2,如图所示.
(第2题图)
重视数学思想和数学方法的培养
圆在初中平面几何中占有重要的地位,并且点与圆的位置关系的应用比较广泛,它是在前面学习了圆的有关性质的基础上进行的,为后面的直线和圆的位置关系做铺垫的一节课.本节课的重点是探究点与圆的位置关系,通过生活实际情景引入这节课的内容,通过点与圆的相对运动,揭示点与圆的位置关系,培养学生运动变化的辩证唯物主义观点.本节课的教学内容看似少而简单,但让学生真正理解如何由图形的位置关系得出数量关系,以及从数量关系联想到图形的位置关系,却并非简单.如果教师在教学过程中不重视知识的形成过程,只是让学生记忆结果,就无法体会到学习的本质,不能体会数学思想和方法在学习中的应用.数学思想方法是数学教学的重要内容,在知识的形成过程中,适时渗透数学思想方法,可以提高学生的数学学习能力.本节课中探究点与圆的位置关系,让学生通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,体会数形结合思想在数学中的应用,真正理解和掌握基本的数学知识、数学思想和数学方法,同时获得广泛的数学学习经验,从而提高学生的数学思维能力.
如图所示,已知矩形ABCD的边AB=3 cm,AD=4 cm.
(1)若以A点为圆心,4 cm为半径作☉A,判断点B,C,D与☉A的位置关系;
(2)若以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在☉A内,且至少有一点在☉A外,求☉A的半径r的取值范围.
解:(1)连接AC.
∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=4 cm,
由勾股定理,得AC==5(cm).
∵AB=3 cm<4 cm,AC=5 cm>4 cm,AD=4 cm,
∴点B在☉A内,点C在☉A外,点D在☉A上.
(2)以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则圆A的半径要大于AB的长,小于AC的长,所以3
29.2 直线与圆的位置关系
1.理解直线与圆之间有相交、相切和相离三种位置关系.
2.了解切线的概念,探索直线与圆的各种位置关系及相应的数量关系.
1.经历从现实情景中抽象出直线与圆的位置关系的过程,体会数学来源于生活.
2.在探索直线与圆的三种位置关系的过程中,体会数学分类讨论思想和数形结合思想.
3.通过探索直线与圆的位置关系与相关数量间的关系,培养学生的探索能力,进一步体会解决数学问题的策略.
1.在教学活动中,培养学生独立思考的学习习惯、合作交流的意识.
2.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和探索欲望.
【重点】
直线与圆的位置关系与相关数量间的关系.
【难点】
数形结合思想在直线与圆的位置关系中的应用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P5~6.
导入一:
动手操作:
如图所示,在纸上画一条直线l,把钥匙环(或硬币)看作一个圆.在纸上移动钥匙环(或硬币),你能发现在移动钥匙环(或硬币)的过程中,它与直线l的公共点个数的变化情况吗?
【师生活动】 学生动手操作,教师借助课件动画演示,师生共同观察运动过程中公共点的个数变化情况.
导入二:
(课件展示)
清晨,一轮红日从东方冉冉升起,太阳的轮廓就像一个运动的圆,从地平线下渐渐升到空中.在此过程中,太阳轮廓与地平线有几种不同的位置关系呢?
【师生活动】 教师播放太阳升起的动画图片,学生观察、思考、动手操作后小组内交流,共同归纳直线与圆的位置关系,学生回答各问题后,教师进行点评,导入新课.
[设计意图] 利用动手操作、动画演示形式导入新课,让学生在实际生活情景中直观地感受直线与圆的位置关系,调动学生的学习兴趣,同时感受数学来源于生活,又应用于生活中去.类比点与圆的位置关系,能轻松地归纳出直线与圆的位置关系.
[过渡语] 通过观察和操作,我们可以发现直线与圆的三种位置关系,如何用数量关系来描述直线与圆的位置关系呢?类比点与圆的位置关系,让我们一起去探究吧!
共同探究
思考:
1.一条直线与一个圆的公共点的个数可分为几种情况?
2.什么是直线与圆相交、相离、相切?什么叫做圆的切线?
3.直线与圆有几种位置关系?
【师生活动】 学生自主学习教材P5,小组内合作交流,共同归纳总结,小组代表展示,教师点评归纳.
(课件展示)
直线l与☉O相交、相切和相离的三种位置关系,如图所示.
相交:当直线与圆有两个公共点时,我们称直线与圆相交.
相切:当直线与圆有唯一一个公共点时,称直线与圆相切,此时这个公共点叫做切点,这条直线叫做圆的切线.
相离:当直线与圆没有公共点时,称直线与圆相离.
[设计意图] 学生在直观感受直线与圆的位置关系后,通过自主学习、合作交流等数学活动,经历知识的形成过程,体验数学学习的快乐,用几何图形刻画直线与圆的位置关系,并用数学语言进行描述,为进一步探究直线与圆的位置关系做好铺垫.
观察与思考
[过渡语] 类比点与圆的位置关系,我们可以用有关数量之间的关系刻画直线与圆的位置关系.
思路一
1.动手操作:画出直线l和☉O的三种位置关系,并作出圆心O到直线l的垂线段.
2.设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.
思考:
你能类比点与圆的位置关系与相关数量之间的关系,用圆心到直线的距离d和圆半径r之间的数量关系,来揭示直线与圆的三种位置关系吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,学生代表展示后,教师点评归纳.
(课件展示)
(1)直线l与☉O相交?d(2)直线l与☉O相切?d=r.
(3)直线l与☉O相离?d>r.
思路二
(课件展示)
如图所示,已知☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.
思考:
1.当直线l与☉O相交、相切或相离时,r与d分别具有怎样的数量关系?
2.当dr时,l与☉O分别具有怎样的位置关系?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示交流成果,教师点评归纳,课件展示.
(课件展示)
(1)直线l与☉O相交?d(2)直线l与☉O相切?d=r.
(3)直线l与☉O相离?d>r.
追加提问:
1.判断直线与圆的位置关系有几种方法?
(两种:直线与圆的公共点的个数;圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系.)
2.完成下列表格:
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数
圆心到直线的距离 d与圆的半径r的关系
公共点的名称
直线的名称
【师生活动】 学生在教师的引导下思考、回答,师生共同完成表格.
[设计意图] 学生经历动手操作、观察、思考、交流、归纳的探究过程,类比点与圆的位置关系探索出直线与圆的位置关系与相关数量之间关系的互相转化,体会数形结合思想在数学中的应用,通过追加提问,培养学生的归纳总结能力,使学生的数学思维得以提升.
例题讲解
(课件展示)
(教材第6页例)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.以点C为圆心,2 cm,2.4 cm,3 cm分别为半径画☉C,斜边AB分别与☉C有怎样的位置关系?为什么?
教师引导思考:
1.如何判断直线与圆的位置关系?
(计算圆心到直线的距离,与半径的大小比较可得.)
2.已知三角形的两条直角边的长,如何求斜边上的高?
(先根据勾股定理求出斜边长,再根据三角形的面积公式求斜边上的高.)
3.圆心C到直线AB的距离与2 cm,2.4 cm,3 cm之间的大小关系如何?
(三角形斜边上的高与2 cm,2.4 cm,3 cm比较大小.)
【师生活动】 教师引导学生思考、回答问题,学生独立完成后板书解答过程,教师点评归纳.
(板书)
解:如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△ABC中,
AB===5(cm).
由三角形的面积公式,并整理,得:
AC·BC=AB·CD.
从而CD===2.4(cm).
即圆心C到斜边AB的距离d=2.4 cm.
当r=2 cm时,d>r,斜边AB与☉C相离.
当r=2.4 cm时,d=r,斜边AB与☉C相切.
当r=3 cm时,d[设计意图] 通过例题,进一步体会通过相关数量之间的关系来判断直线与圆的位置关系的方法,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 1.直线与圆有三种位置关系:相交、相离、相切,由直线与圆的位置关系可以确定圆心到该直线的距离和半径的大小关系.反过来,已知圆心到直线的距离和半径的大小关系,可以确定该直线与圆的位置关系.
2.判断直线与圆的位置关系有两个途径:一是通过直线与圆的交点的个数;二是通过圆心到直线的距离与半径的大小关系.
1.直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数 2 1 0
圆心到直线的距离 d与圆的半径r的关系 dr
公共点的名称 交点 切点 无
直线的名称 割线 切线 无
2.判断直线与圆的位置关系:
(1)直线l与☉O相交?d(2)直线l与☉O相切?d=r.
(3)直线l与☉O相离?d>r.
1.已知☉O的半径是6,点O到直线l的距离为5,则直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法判断
解析:因为圆心到直线的距离d=5,圆的半径r=6,满足d2.已知☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,当d=r时,直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上都不对
解析:根据直线与圆的位置关系可得:直线l与☉O相交?dr.故选B.
3.已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线a的距离为3 cm,则☉O与直线a的位置关系是 ,直线a与☉O的公共点个数是 .?
解析:圆心O到直线a的距离d答案:相交 两个
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4 cm,以点C为圆心,3 cm长为半径作圆,则☉C与直线AB的位置关系是 .?
解析:作CD⊥AB于D,则CD=BC=×4=2(cm),由3>2知☉C与直线AB相交.故填相交.
5.如图所示,已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm,AC=4 cm.
(1)以点C为圆心作圆,当AB与☉C相切时,求☉C的半径;
(2)以点C为圆心,分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆,这两个圆与直线AB有怎样的位置关系?
解:(1)过点C作CD⊥AB,交AB于点D,在Rt△ABC中,斜边AB=8 cm,AC=4 cm,根据勾股定理,得BC=4 cm.∵S△ABC=AB·CD=AC·BC,∴CD==2(cm),则当以点C为圆心的☉C与AB相切时,半径为2 cm.
(2)∵2<2<4,∴以点C为圆心,分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆,这两个圆与直线AB分别相离和相交.
29.2 直线与圆的位置关系
共同探究
观察与思考
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第7页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第7页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知☉O的半径为2 cm,圆心O到直线l的距离为 cm,则直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.位置不定
2.直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是 ( )
A.r<6 B.r=6 C.r>6 D.r≥6
3.在平面直角坐标系中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆 ( )
A.与x轴相交,与y轴相切
B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交
D.与x轴相切,与y轴相离
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为 ( )
A.2 cm B.2.4 cm
C.3 cm D.4 cm
5.如图所示,以点O为圆心的两个同心圆,半径分别为5和3,若大圆的弦AB与小圆相交,
则弦长AB的取值范围是 ( )
A.8≤AB≤10
B.AB≥8
C.8D.86.点P的坐标为(-2,5),以点P为圆心,半径为r的圆与x轴相离,与y轴相交,则r的取值范围是 .?
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.给出下列三个结论:①以点C为圆心,2.3 cm长为半径的圆与AB相离;②以点C为圆心,2.4 cm长为半径的圆与AB相切;③以点C为圆心,2.5 cm长为半径的圆与AB相交.则上述结论中正确的是 .(填序号)?
8.已知圆心到直线l的距离为d,☉O的半径为R,若d,R是方程x2-4x+m=0的两个实数根,且直线l与☉O相切,则m的值是 .?
9.如图所示,已知∠AOB=45°,M为OA上一点,且OM=10 cm,以点M为圆心,r为半径的圆与直线OB有何位置关系?
(1)r=4 cm;
(2)r=5 cm;
(3)r=6 cm.
10.如图所示,已知正方形ABCD的边长为a,AC,BD交于点E,过点E作FG∥AB,分别交AD,BC于点F,G,则以点B为圆心,a为半径的圆与直线AC,FG,DC分别有怎样的位置关系?并说明理由.
【能力提升】
11.已知☉O的圆心O到直线l的距离为d,☉O的半径为R,若d,R是方程x2-9x+20=0的两根,则直线l与☉O的位置关系是 .?
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,设☉C的半径为r,若☉C与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围为 .?
13.如图所示,在直角坐标系中,点M在第一象限内,MN⊥x轴于N,MN=1,☉M与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点.
(1)求☉M的半径;
(2)请判断☉M与直线x=7的位置关系,并说明理由.
【拓展探究】
14.如图所示,P为正比例函数y=x图像上的一个动点,☉P的半径为3,设点P的坐标为(x,y).
(1)当☉P与直线x=2相切时,求点P的坐标;
(2)请直接写出☉P与直线x=2相交、相离时x的取值范围.
【答案与解析】
1.A(解析:圆心到直线的距离d= cm,圆的半径r=2 cm,满足d2.C(解析:直线与圆相交,则圆心到直线的距离d<圆的半径r,所以r>6.故选C.)
3.C(解析:∵圆心到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,∴圆与x轴相切,与y轴相交.故选C.)
4.B(解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,由勾股定理,得AB2=32+42=25,∴AB=5 cm.过点C作CD⊥AB于D,又∵AB是☉C的切线,∴CD=r.∵=AC·BC=AB·r,即3×4=5r,∴r=2.4 cm.故选B.)
5.C(解析:当AB与小圆相切时,过点O作OC⊥AB于C,连接OA,则AB=2=8,当AB是大圆的直径时,AB=2×5=10.若大圆的弦AB与小圆相交,则弦长AB的取值范围是86.27.①②③(解析:过点C作CD⊥AB于D,根据勾股定理,得AB=5 cm,再根据直角三角形的面积公式,求得CD=2.4 cm.①d>r,直线和圆相离,正确;②d=r,直线和圆相切,正确;③d8.4(解析:由题意,知d=R,故b2-4ac=(-4)2-4m=0,解得m=4.)
9.解:如图所示.过点M作MN⊥OB,垂足为N.∵∠AOB=45°,∴ON=MN,∴2MN2=OM2=102,∴MN=5,即圆心M到直线OB的距离d=5 cm.(1)当r=4 cm时,d>r,直线OB与☉M相离;(2)当r=5 cm时,d=r,直线OB与☉M相切;(3)当r=6 cm时,d
10.解:∵正方形ABCD的边长为a,∴AC==a,∴BE=a.∴以点B为圆心,a为半径的圆与AC相切.∵BG=aa,∴以点B为圆心,a为半径的圆与DC相离.
11.相交或相离(解析:由d,R是x2-9x+20=0的解,得d=4,R=5或d=5,R=4.)
12.r=或5r即是斜边上的高,即r=;当圆和斜边相交,且只有一个交点在斜边上时,可以让圆的半径大于短直角边而小于或等于长直角边,则513.解:如图所示.(1)连接MA,∵MN⊥AB于N,∴AN=BN,∵A(2,0),B(6,0),∴AB=4,∴AN=2.在Rt△AMN中,MN=1,AN=2,∴AM=,即☉M的半径为. (2)直线x=7与☉M相离.理由:圆心M到直线x=7的距离为7-4=3,∵3>,∴直线x=7与☉M相离.
14.解:(1)过点P作直线x=2的垂线,垂足为A;当点P在直线x=2右侧时,AP=x-2=3,解得x=5.∴P;当点P在直线x=2左侧时,PA=2-x=3,解得x=-1,∴P.∴当☉P与直线x=2相切时,点P的坐标为或. (2)当-15时,☉P与直线x=2相离.
本节课由动手操作和太阳升起的动画图片的展示引出课题,激发学生的学习兴趣,结合问题情景,使学生充分感受生活中直线与圆的位置关系的现象,让学生直观感受直线与圆的位置关系.然后教师引导学生由点与圆的位置关系所对应的数量关系,启发学生用类比思想思考数学问题,学生通过自主学习、合作交流等数学活动,经历知识的探索过程,理解并掌握用几何图形刻画直线与圆的位置关系,并用数学语言进行描述,体会数形结合思想在数学中的应用,培养学生的归纳总结能力,使学生的数学思维得以提升.学生在课堂上大多数思维活跃,参与意识较强,能够体验成功的快乐.
本节课的重点是探究直线与圆的位置关系,内容比较简单,在这个教学环节中,虽然设计了学生类比点与圆的位置关系的探究方法得到结论,但是教师还是不敢大胆放手,对学生自己能解决的问题还是讲解太多,没有做到真正地让学生成为课堂的主人.在以后的教学中,对学生能通过自主学习、小组合作交流解决的问题,教师要少讲,让学生真正成为课堂的主人,发挥他们的主体作用.
本节课是让学生经历从现实情景中抽象出直线与圆的位置关系的过程,师生一起探究直线与圆的位置关系与相关数量之间的关系.教学设计中以学生感兴趣的生活实例为背景,让学生体会数学来源于生活,激发学生的学习兴趣,学生通过观察、测量、思考、小组合作交流等数学活动,类比点与圆的位置关系的探究方法,归纳总结出直线与圆的位置关系,在教学中,注重探究问题的设计,通过学生活动培养学生独立思考的学习习惯和探索精神.
练习(教材第6页)
1.解:当直线与圆心的距离为3时,因为3<5,所以这条直线与圆相交.当直线与圆心的距离为5时,因为5=5,所以这条直线与圆相切.当直线与圆心的距离为6时,因为6>5,所以这条直线与圆相离.
2.解:如图所示,作MC⊥OA于点C,在Rt△MOC中,∠MOC=30°,OM=6 cm,所以MC=OM·sin 30°=6×=3(cm),即圆心M到直线OA的距离d=3 cm.当r=2 cm时,因为d>r,所以☉M与直线OA相离;当r=3 cm时,因为d=r,所以☉M与直线OA相切;当r=4 cm时,因为d习题(教材第7页)
A组
1.d≤r.
2.解:由题意知AB==3,∴r=3.又∵2<3,5>3,∴☉A与x轴相交,与y轴相离.
B组
1.解:如图所示,作AD⊥BC于点D.又∵AB=AC=4,∠BAC=120°,∴∠B=30°.在Rt△BAD中,AD=AB=2,∴☉A与BC相切.
2.解:作OD⊥AC于点D,∵∠B=30°,OA=m,∴OD=m.(1)当AC与☉O相离时,OD>r,即m>,∴m>. (2)当AC与☉O相切时,OD=r,即m=,∴m=. (3)当AC与☉O相交时,0
体会数学思想和方法,提高数学思维
圆的教学在平面几何乃至整个中学教学中都占有重要的地位,而直线与圆的位置关系的应用又比较广泛,它是初中几何的综合运用,本节课由一轮红日从东方升起的照片(太阳与地平线相离、相切、相交)导入新课,激发学生的学习兴趣,充分感受生活中反映直线与圆的位置关系的现象,从现实生活中抽象出数学模型,体现了数学产生于生活的思想,通过让学生从生活中“找”数学,“想”数学,真正感受到生活之中处处有数学. 本节课是在学习了点与圆的位置关系的基础上进行的,主要采用了归纳、演绎、类比的思想方法,引导学生复习点与圆的位置关系的探究方法,启发学生用类比的思想方法思考数学问题,让学生通过动手操作、观察、思考、交流、归纳总结等数学活动,充分理解位置关系与数量关系的相互转化,通过探究活动,让学生体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生的数学思维能力,发挥学生的主观能动性,体现学生是学习的主体,使其真正成为学习的主人.
如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为1 cm的☉P的圆心在射线OA上,开始时,PO=6 cm,如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么当☉P的运动时间t(s)满足什么条件时,☉P与直线CD相交?
解:如图所示,当☉P运动到☉P'处时,☉P与CD相切,作P'E⊥CD于E.∵☉P的半径为1 cm,∴P'E=1 cm.又∵∠AOC=30°,P'E⊥CD,∴P'O=2 cm,∴t=4 s.当☉P的圆心与点O重合时,☉P与CD相交,∴t=6 s.综上可知,4
29.3 切线的性质和判定
1.了解切线的性质,能判断一条直线是不是圆的切线.
2.能应用切线的判定定理、性质定理解决有关问题.
1.经历探索切线与过切点的半径之间的关系,培养学生的探究意识.
2.在探究切线的性质和判定的过程中,培养学生观察、分析、归纳问题的能力,进一步提高学生的数学思考与表达能力.
3.在运用圆的切线的性质和判定解决数学问题的过程中,进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力.
1.通过探索圆的切线的性质和判定,让学生在数学活动中获得成功的体验,培养学生克服困难的意志,建立学习的自信心.
2.通过观察、思考、分析、交流等数学活动,培养学生的合作意识和创新精神.
3.通过运用切线的性质和判定解决有关问题,进一步感悟数形结合思想在数学中的应用,感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
【重点】
切线的性质定理、判定定理以及运用它们解决相关问题.
【难点】
综合运用切线的性质定理和判定定理解决问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P8~10.
导入一:
1.下雨天,当你转动雨伞,你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.仔细观察一下,水珠是顺着什么样的方向飞出的?这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况.
2.在我们的生活中,经常会遇到直线与圆相切的情形.如沿直线行驶的自行车车轮与车印,可以看成直线与圆相切的具体实例.
生活中有这么多直线与圆相切的例子,那么直线与圆相切有哪些性质,我们又如何判定直线与圆相切呢?这就是我们本节课要探究的切线的性质和判定.
导入二:
复习提问:
1.什么是圆的切线?由定义你能得到哪些性质与判定?
(和圆只有一个公共点的直线是圆的切线,圆的切线与圆只有一个公共点.)
2.如果直线与圆相切,那么圆心到直线的距离与半径之间有怎样的数量关系?如果圆心到直线的距离等于半径,那么直线与圆有怎样的位置关系?
(圆心到直线的距离等于半径,如果圆心到这条直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线.)
[设计意图] 通过生活中的实际问题导入新课,激发学生的学习兴趣,体会数学与生活之间的密切联系,通过复习切线的定义,为本节课探究切线的性质和判定做好铺垫.
[过渡语] 除了我们根据切线的定义得到圆的切线的性质和判定之外,圆的切线还有哪些性质和判定呢?我们一起去探究.
共同探究
(课件展示)
【思考1】
如图所示,直线l为☉O的一条切线,切点为T,OT为半径.在直线l上任取一点P,连接OP.观察OT和OP的数量关系,猜想OT与切线l具有怎样的位置关系.
【师生活动】 学生观察、思考,猜想:OT与切线l垂直,教师引导学生如何证明猜想正确.
教师引导思考:
假设猜想不成立,即假设 ,则过点O作OP⊥l,垂足为P.则OP OT(填“>”“<”或“=”),即圆心O到直线l的距离 圆的半径.则直线l与圆的位置关系为 .这与直线与☉O相切矛盾.?
【师生活动】 学生在教师的引导下思考,归纳证明方法及证明过程,教师用课件展示证明过程.
(课件展示)
如图所示,假设OT与l不垂直.过点O作OP⊥l,垂足为P.因为OP是垂线段,所以OP
【思考2】
1.如何用语言叙述上述结论?
2.如何用几何语言表示你得出的结论?
【师生活动】 学生独立思考后回答,教师点评、补充,板书切线的性质.
(板书)
性质:圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言:如图所示,∵直线l切☉O于T,
∴OT⊥l.
[设计意图] 通过引导学生观察、测量、推理等活动,归纳总结出圆的切线的性质,培养学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力,提高学生的符号感,进一步提高学生的数学思维与表达能力.
[过渡语] 我们一起探究了圆的切线的性质,那么如何判定一条直线是圆的切线呢?
观察与思考
(课件展示)
如图所示,OA为☉O的半径,直线l过点A,且l⊥OA.
(1)如果用r表示☉O的半径,d表示圆心O到直线l的距离,那么r与d 具有怎样的数量关系呢?
(2)直线l是☉O的切线吗?
思路一
教师引导:
1.圆心O到直线的距离是 ,满足圆心到直线的距离d与半径的大小关系是: ,所以直线l与☉O的位置关系是: .?
2.该命题的已知条件是: ,结论是: ,用文字语言叙述该命题为: .?
3.该命题用几何语言表示为: , .?
【师生活动】 学生在教师的引导下思考回答,小组内合作交流如何用语言叙述该命题,小组代表发言,教师引导归纳出切线的判定定理,并板书.
(板书)
判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何语言:如图所示,∵l⊥OA,点A在直线l上,∴直线l是☉O的切线.
思路二
1.动手操作:画一个半径为OA的☉O,过点A作直线l⊥OA.
2.观察所画图形,猜想直线l与☉O有怎样的位置关系?你能证明你的猜想吗?
3.根据操作过程与所得结论,得到的命题的条件和结论分别是什么?
4.如何用文字语言叙述这个命题?能用几何语言表示这个命题吗?
【师生活动】 学生动手操作后,小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生展示成果后教师点评归纳.
(板书)
判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何语言:如图所示,∵l⊥OA,点A在直线l上,∴直线l是☉O的切线.
追加思考:
1.你如何证明一条直线是圆的切线?
(直线与圆只有一个公共点;圆心到直线的距离等于半径;经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线.)
2.你能举出生活中直线与圆相切的实例吗?
【师生活动】 学生独立思考后小组内合作交流,小组代表展示,教师点评归纳证明圆的切线的三种方法.
[设计意图] 通过学生动手、动脑,在教师的引导下,发现结论、证明结论、应用结论.在探究过程中经历了知识的形成过程,培养探索精神,体验学习数学的乐趣.同时通过列举生活中的实例,让学生发现生活中处处有数学.
做一做
(课件展示)
如图所示,P为☉O上的一点,请你用三角尺画出这个圆经过点P的切线.
思考:
过点P的切线与半径OP有怎样的位置关系?
(过点P的切线与半径OP垂直.)
【师生活动】 学生独立思考后,完成画图,小组内交流答案,小组代表展示,教师点评归纳.
(课件展示)
先连接OP,再过点P作直线l⊥OP,直线l就是过点P的切线.
[知识拓展] 1.利用切线的判定定理需要满足两个条件:(1)经过半径的外端;(2)与半径垂直.两个条件缺一不可,否则不一定是切线.如下图所示,这里的直线l都不是☉O的切线.
2.判定一条直线是圆的切线的方法:(1)若直线与圆只有一个公共点,则该直线是圆的切线;(2)若圆心到直线的距离等于半径,则该直线是圆的切线;(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.利用切线的判定定理进行证明时,当直线和圆有公共点时,连接过公共点的半径,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”;当直线与圆的公共点不明确时,可过圆心作直线的垂线,再证明圆心到直线的距离等于圆的半径,简称“作垂直,证半径”.
1.切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的半径.
2.切线的判定:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.运用切线的性质和判定时常作的辅助线:
连接半径或过圆心作直线的垂线.
1.(2016·长春中考)如图所示,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则的长为 ( )
A.π B.π C.π D.π
解析:由切线的性质可得∠PBO=∠PAO=90°,又四边形的内角和为360°,所以∠AOB=120°,由弧长公式可得的长为=π.故选C.
2.如图所示,若☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,且☉O的半径为2,则CD的长为 ( )
A.2 B.4
C.2 D.4
解析:连接OC.∵CD是圆的切线,∴∠OCD=90°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°,∴∠COD=∠A+∠ACO=60°,∴∠D=30°.又OC=2,∴OD=2OC=4,∴CD==2.故选A.
3.如图所示,从☉O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC,若∠A=26°,则∠ACB= .?
解析:连接OB,易得OB⊥AB,由∠A=26°,得∠AOB=64°,从而求得∠ACB=32°.故填32°.
4.如图所示,线段AB经过圆心O,交☉O于A,C两点,∠BAD=∠B=30°,直线BD交☉O于点D.
(1)BD是☉O的切线吗?为什么?
(2)若AC=10,求线段BD的长度.
解:(1)BD是☉O的切线.
理由:∵∠BAD=∠B=30°,
∴∠ADB=180°-30°-30°=120°.
∵AO=DO,∴∠A=∠ADO=30°,
∴∠ODB=120°-30°=90°,
∴BD是☉O的切线.
(2)∵AC=10,∴CO=5,∴DO=5.
∵∠B=30°,由(1)知∠ODB=90°,∴BO=2DO=10.
在Rt△OBD中,BD===5.
29.3 切线的性质和判定
共同探究
观察与思考
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第10页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第10页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列结论中正确的有 ( )
A.圆的切线垂直于半径
B.垂直于切线的直线必过圆心
C.垂直于切线的直线必过切点
D.经过圆心和切点的直线必垂直于过这个切点的切线
2.如图所示,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为 ( )
(第2题图)
A.40° B.50° C.65° D.75°
3.如图所示,AB与☉O切于点C,OA=OB,若☉O的直径为8,AB=10,则OA的长是 ( )
(第3题图)
A. B.
C. D.
4.如图所示,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=25°,则∠C等于 ( )
A. 20° B.25°
C.40° D.50°
(第4题图)
(第5题图)
5.如图所示,☉O的半径为3,P是CB延长线上的一点,若PO=5,PA切☉O于点A,则PA= .?
6.如图所示,PA是☉O的切线,切点为A,若PA=2,∠APO=30°,则☉O的半径长为 .?
(第6题图)
(第7题图)
7.如图所示,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆的半径为10 cm,小圆的半径为6 cm,则弦AB的长为 cm.?
8.如图所示,已知AB是☉O的一条直径,延长AB至点C,使得AC=3BC,CD与☉O相切,切点为D.若CD=,则BC= .?
(第8题图)
9.如图所示,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,DC切☉O于点C.若∠A=25°,求∠D的度数.
(第9题图)
10.如图所示,AB是☉O的直径,点F,C是☉O上两点,且==,连接AC,AF,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,垂足为D.
(第10题图)
(1)求证CD是☉O的切线;
(2)若CD=2,求☉O的半径.
【能力提升】
11.如图所示,在平面直角坐标系中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为 ( )
A.1 B.1或5 C.3 D.5
(第11题图)
12.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O交AB于点D,连接CD.
(第12题图)
(1)求证∠A=∠BCD;
(2)若M为线段BC上一点,则当点M在什么位置时,直线DM与☉O相切?并说明理由.
【拓展探究】
13.如图所示,已知直线PA交☉O于A,B两点,AE是☉O的直径,C为☉O上一点,且AC平分∠PAE,过点C作CD⊥PA,垂足为D.
(1)求证CD为☉O的切线;
(2)若DC+DA=6,☉O的直径为10,求AB的长度.
【答案与解析】
1.D(解析:圆的切线垂直于过切点的半径,所以A错误;过切点垂直于切线的直线必过圆心,所以B错误;过圆心垂直于切线的直线必过切点,所以C错误;经过圆心和切点的直线必垂直于过这个切点的切线,所以D正确.)
2.C(解析:∵AB是☉O的切线,∴∠OBA=90°,∴∠O=90°-∠BAO=90°-40°=50°.又∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=×(180°-50°)=65°.故选C.)
3.A(解析:连接OC,∵OA=OB,∴AC=BC.∵AB为切线,∴OC⊥AB.又AB=10,∴AC=5.∵OC=4,由勾股定理,得OA=.故选A.)
4.C(解析:连接OA,∵AC是☉O的切线,∴∠OAC=90°,∵OA=OB,∴∠B=∠OAB=25°,∴∠AOC=50°,∴∠C=40°.故选C.)
5.4(解析:∵PA切☉O于点A,∴OA⊥PA,在Rt△OPA中,OP=5,OA=3,∴PA==4.故填4.)
6.2(解析:连接OA,∵PA是☉O的切线,切点为A,∴OA⊥PA.∵∠APO=30°,∴OP=2OA.设OA=x,则OP=2x,由勾股定理,得(2x)2=x2+(2)2,解得x=2,∴☉O的半径长为2.故填2.)
7.16(解析:设切点是C,连接OA,OC.由切线的性质可得OC⊥AB,在Rt△OAC中,AC==8(cm),由垂径定理可得AB=2AC=16(cm).故填16.)
8.1(解析:连接OD,则OD⊥DC.由AC=3BC知OD=OB=BC,由CD=,根据勾股定理解得OD=1.∴BC=1.故填1.)
9.解:连接OC,∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=25°,∴∠DOC=50°.∵DC切☉O于点C,∴∠OCD=90°,∴∠D=40°.
10.(1)证明:连接OC,∵=,∴∠FAC=∠BAC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠FAC=∠OCA,∴OC∥AF.∵CD⊥AF,∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线. (2)解:连接BC,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵==,∴∠BOC=×180°=60°,∴∠BAC=30°,∴∠DAC=30°.在Rt△ADC中,CD=2,∴AC=2CD=4.在Rt△ACB中,BC=AC=×4=4,∴AB=2BC=8,∴☉O的半径为4.
11.B(解析:当☉P位于y轴的左侧且与y轴相切时,平移的距离为1;当☉P位于y轴的右侧且与y轴相切时,平移的距离为5.故选B.)
12.(1)证明:∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠DCA=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,∴∠BCD=∠A. (2)解:当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与☉O相切.理由:如图所示,连接DO,∵DO=CO,∴∠1=∠2.∵DM=CM,∴∠4=∠3.∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°,即∠ODM=90°.∴直线DM与☉O相切.
(第12题图)
(第13题图)
13.(1)证明:如图所示,连接OC,∵点C在☉O上,OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°.∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO.∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.又∵点C在☉O上,OC为☉O的半径,∴CD为☉O的切线. (2)解:过点O作OF⊥AB于F,∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,∴四边形OCDF为矩形,∴OC=FD,OF=CD.设AD=x,则OF=CD=6-x.∵☉O的直径为10,∴DF=OC=5.∴AF=5-x.在Rt△AOF中,由勾股定理,得AF2+OF2=OA2,即(5-x)2+(6-x)2=25,化简,得x2-11x+18=0,解得x=2或x=9.由AD
本节课的重点是探究切线的性质和判定,以生活中的雨滴飞出雨伞及车轮与车印等生活现象导入新课,激发学生的学习兴趣,同时通过复习切线的概念,为本节课的学习做好铺垫.师生共同探究切线的性质和判定,学生经历了动手操作、观察思考、合作交流、归纳总结的探索过程,培养学生的探究意识,进一步发展学生的思考与归纳总结能力.课堂上,在教师设计的各个教学环节中,学生的思维处于活跃状态,积极思考问题,亲身经历知识的形成过程,真正成为课堂的主人,达到了人人有收获的教学效果,培养了学生动手、动脑的能力,从而使学生的数学思维能力得到提升.
在本节课的设计中,教师设计的各个环节以学生独立思考、合作交流为主,目的是突出学生的主体地位,让学生成为课堂的主人,但在课堂的实施过程中,师生的互动还不够充分,没有做到能让学生说的要让学生说,能让学生操作的要让学生操作,能让学生完成的要让学生完成.而是担心不能完成本节课的教学内容,讲得多,给学生交流和展示的机会少.在以后的教学中,尝试大胆放手,多给学生交流和展示的机会,让课堂真正地活起来.
本节课的重点是切线的性质和判定及应用,重点内容较多.以生活实例为情景导入新课,激发学生的学习兴趣,在设计探究切线的判定及性质时,针对各个环节的教学目标,通过操作、观察、思考、交流、归纳,让学生板演、小组展示、互相质疑等多种形式激发学生的积极参与性,体现学生的主体地位,让每个学生都有不同地收获,真正把数学课堂交给学生.同时通过教师设计的探究活动提高学生分析问题及解决问题的能力.
练习(教材第9页)
1.解:连接OA,则OA⊥AP.在Rt△AOP中,OA=OP·sin∠APO=2sin 30°=2×=1.
2.解:连接OB,则OB⊥AE.∴∠DBE=90°-∠DBO=90°-∠AOB=90°-(90°-∠A)=45°+∠A=59°.
3.解:直线AB与☉O相切.理由如下:连接OC,因为OC=OC,OA=OB,AC=BC,所以△AOC≌△BOC,所以∠OCA=∠OCB=90°,所以OC⊥AB,所以AB与☉O相切.
习题(教材第10页)
A组
1.解:C是AB的中点.理由如下:连接OA,OB,OC,∵OA=OB,AB是小圆的切线,∴OC⊥AB,∴C是AB的中点.
2.解:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠BDC=90°.∵AD=CD,BD=BD,∠CDB=∠ADB,∴△ADB≌△CDB,∴AB=BC.又∠ABC=90°,∴∠A=45°,∴∠ABD=45°.
3.解:由∠ABT=45°,AT=AB可得∠T=45°,∴∠BAT=90°,即BA⊥AT,而点A在☉O上,故AT与☉O相切.
B组
1.证明:连接OD,由题知OD=OA,∴∠ADO=∠DAO.∵AD∥OC,∴∠ADO =∠COD,∠DAO =∠COB,∴∠COD=∠COB.∵OD=OB,OC=OC,∴△COD≌△COB,∴∠COD=∠COB.∵CB与☉O相切于点B,∴∠CBO=90°.∴∠CDO=90°.∴CD是☉O的切线.
2.解:由题意可知AT是☉O的切线,则OT⊥AT.在Rt△AOT中,OT=6370 km,OA=6370.468 km,根据勾股定理,得AT==≈77.2(km),即它的信号覆盖半径大约可以达到77.2 km.
设计数学活动,突出学生的主体地位
1.本节课的重点是切线的性质和判定,它是在学生学习了直线与圆的三种位置关系后提出来的,是研究三角形的内切圆、切线长定理的基础.直线与圆相切的判定和性质的条件和结论容易混淆,所以这两个定理的教学是本节课的难点.在师生共同探究切线的性质和判定的教学设计中,多处设计动手操作、观察思考、小组合作交流、归纳总结等数学活动,让学生在数学活动中经历知识的形成过程,突出课堂上学生的主体作用和教师的主导作用,培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.本节课难点较多,使学生在课堂上真正动起来,让学生的思维处于活跃状态,积极思考问题,难点就会容易解决.课堂教学不是热闹场面,而是对问题的深入研究和思考,所以要设计好问题,针对不同意见和问题,引导学生讨论、交流,对学生理解有难度且能自己找到答案的问题,要设计好教师的引导,在教师的引导下,有目的的讨论、交流,让学生的思维在课堂上保持活跃.
(2017·梅州中考)如图所示,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=20°,则∠C的大小等于 ( )
A.20° B.25°
C.40° D.50°
解析:连接OA,∵AC是☉O的切线,∴∠OAC=90°.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB=20°,∴∠AOC=40°,∴∠C=50°.故选D.
(2018·嘉兴中考)如图所示,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 ( )
A.2.3 B.2.4
C.2.5 D.2.6
解析:在△ABC中,∵AB=5,BC=3,AC=4,∴AC2+BC2=32+42=52=AB2,∴∠ACB=90°.设切点为D,连接CD,∵AB是☉C的切线,∴CD⊥AB.∵S△ABC=AC·BC=AB·CD,∴AC·BC=AB·CD,即CD===2.4,∴☉C的半径为2.4.故选B.
(2015·龙岩中考)如图所示,已知AB是☉O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上,点D在☉O上,连接CD,且CD=OA,OC=2.求证CD是☉O的切线.
证明:连接OD,
由题意可知CD=OD=OA=AB=2.
∵OC=2,∴OD2+CD2=OC2,
∴△OCD为直角三角形,即OD⊥CD.
又∵点D在☉O上,∴CD是☉O的切线.
(2016·漳州中考)如图所示,AB为☉O的直径,点E在☉O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC,BC.
(1)试判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=2,AC=,求AB的长.
解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:
连接OC,
∵C为的中点,∴=,∴∠1=∠2.
∵∠3=2∠1,∴∠3=∠OAE,∴OC∥AD.
∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.
(2)Rt△ADC中,cos∠2=.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴cos∠1=.∵∠1=∠2,∴=,
∴AB===3.
29.4 切线长定理
1.知道过圆外一点可以作出圆的两条切线.
2.理解切线长定理,会利用圆的切线长定理解决一些简单问题.
3.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,会用尺规找出三角形的内心,能画出三角形的内切圆.
1.经历探索过圆外一点作圆的切线和画三角形的内切圆的过程,增强探究意识,培养学生动手操作的能力.
2.通过经历探索切线长定理的过程,体会并实践“试验——论证”的探究方法,提高解决实际问题的能力.
3.通过应用切线长定理解决有关问题,提高学生运用知识解题的能力,培养数形结合思想.
1.经历画图、度量、猜想、证明等数学活动,培养学生的逻辑思维能力.
2.通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,树立科学的学习观.
3.通过小组合作交流探究出切线长定理及应用,培养学生主动探究、合作交流的意识.
【重点】
理解切线长定理,掌握三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
【难点】
用切线长定理进行计算或证明,会画三角形的内心.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P11~13.
导入一:
(课件展示)
如图所示,小明同学测量一个光盘的直径,他将直尺、光盘和三角尺置于桌面上,如果量出AB的长度,就可以求此光盘的直径,你能说出怎样求出光盘的直径吗?
【导入语】 通过今天的学习,我们就可以知道是怎样求出光盘的直径的.
[设计意图] 由生活实例导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用到生活中去.激发学习新知的愿望.
导入二:
复习提问:
1.直线与圆的位置关系有几种?
2.切线的性质和判定是什么?
3.如何用尺规作一个角的平分线?
4.作△ABC的角平分线,并指出它的性质.
【师生活动】 学生思考回答,学生之间互相补充,教师点评.
[设计意图] 复习与本节课有关的知识,为本节课的学习做好铺垫.
[过渡语] 上节课我们学习了过圆上一点有且只有一条圆的切线,那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢?它们有什么性质呢?这就是我们今天要一起探究的内容.
一起探究
(课件展示)
如图所示,已知☉O及圆外一点P.如何过点P作出☉O的切线呢?
【师生活动】 教师课件展示小亮的画图步骤,学生思考回答小亮的作法是否正确.
(课件展示)
小亮是按下列步骤画图的:
①如图所示,连接OP,以OP为直径作圆,交☉O于A,B两点.
②连接PA,PB.
则PA,PB就是☉O的切线.
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,及时发现不同的作法,小组代表展示后,教师点评.
【思考1】
1.PA,PB是☉O的切线吗?若是,请说明理由.
2.过圆外一点P,可以作圆的几条切线?
3.猜想线段PA,PB具有怎样的数量关系?
4.完成下面的证明过程.
(课件展示)
已知:如图所示,P是☉O外一点,PA,PB分别与☉O相切于点A,B.
求证PA=PB.
【师生活动】 学生独立思考、测量作出猜想后,小组内合作交流,学生板书问题3的证明过程,教师帮助有困难的学生,对学生代表展示的证明过程点评.
(板书)
证明:如图所示,连接OA,OB,OP.
在Rt△OAP和Rt△OBP中,
∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴PA⊥OA,PB⊥OB.
∴∠OAP=∠OBP=90°.
又∵OA=OB,OP=OP,
∴Rt△OAP≌Rt△OBP.
∴PA=PB.
归纳概念:
(课件展示)
切线长:我们把线段PA,PB的长叫做点P到☉O的切线长.
【思考2】
切线与切线长有什么区别?
(切线是直线,无法度量;切线长是切线上一条线段的长,即圆外一点与切点之间的距离,可以度量.)
【师生活动】 学生思考后回答,教师点评补充.
【思考3】
1.你能用语言叙述上述结论吗?
2.在上图中还有其他的结论成立吗?若连接AB,你又能得到哪些结论?
【师生活动】 学生思考后小组内合作交流,学生代表展示后,教师点评归纳.
(课件展示)
切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.
上图中的结论还有:∠APO=∠BPO=∠APB,∠AOP=∠BOP=∠AOB,∠OAP=∠OBP=90°,∠BOA+∠APB=180°.若连接AB,则有PO垂直平分AB等结论.
[设计意图] 通过操作、观察、猜想、证明、归纳的过程得出切线长定理,学生经历知识的形成过程,培养学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力,体会数学的严谨性,使学习能力不断提高.同时加强几何基本图形的认识,为应用切线长定理解决问题做好铺垫.
例题讲解
(课件展示)
(教材第12页例1)已知:如图所示,过点P的两条直线分别与☉O相切于点A,B,Q为劣弧上异于点A,B的任意一点,过点Q的切线分别与切线PA,PB相交于点C,D.
求证△PCD的周长等于2PA.
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流解题思路,并书写解题过程,教师帮助有困难的学生,引导学生应用切线长定理找相等的线段,利用转化思想证明,小组代表板书解答,教师点评归纳.
(板书)
证明:∵PA,PB,CD都是☉O的切线,
∴PA=PB,CQ=CA,DQ=DB.
∴△PCD的周长=PC+PD+CD
=PC+PD+CQ+DQ
=PC+PD+CA+DB
=PA+PB=2PA.
[设计意图] 通过例题巩固切线长定理的应用,学生独立思考后小组内合作交流解题思路,培养学生的合作意识,体会转化思想在数学中的应用,感受数学的严谨性和规范性.
(课件展示)
(教材第12页例2)用尺规作圆,使其与已知三角形的三边都相切.
已知:如图所示,△ABC.
求作:☉I,使它与△ABC的三边都相切.
教师引导分析:
1.作圆的关键是什么?
(找圆心和半径)
2.如果☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I到三边的距离有什么等量关系?
(圆心I到三边的距离相等)
3.三角形三条角平分线的交点有什么性质?
(到三角形三边的距离相等)
4.圆心I与三角形三条角平分线的交点有什么关系?
(圆心I为三角形三条角平分线的交点)
5.找到圆心后,如何确定圆的半径?
(圆心到三边的距离相等,且为半径)
【学生活动】 根据教师的引导完成作图,小组内交流答案是否正确,教师点评.
(课件展示)
作法:如图所示.
(1)分别作∠B和∠C的平分线BM和CN.设BM与CN交于点I.
(2)过点I作ID⊥BC,垂足为D.
(3)以点I为圆心、ID的长为半径作☉I,☉I即为所求.
归纳概念:
(课件展示)
内切圆:与三角形的三边都相切的圆有且只有一个,我们称这个圆为三角形的内切圆.
内心:内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
[设计意图] 作三角形的内切圆是这节课的难点,把如何作三角形的内切圆分解成小问题的形式,在教师的引导下层层深入展开,学生易于理解掌握,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展]
1.在图中若连接AB,则不难得出∠AOB+∠APB=180°, ∠AOP=∠BOP=∠AOB,OP垂直平分AB,这些结论也可以直接运用.
2.切线长定理主要用于证明线段相等、角相等及垂直关系,应重点掌握.
3.一个三角形有且只有一个内切圆.
4.三角形的内心一定在三角形的内部,是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.
1.切线长定义:
过圆外一点的一条直线与圆相切,则连接圆外这点和切点的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理:
过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.
3.三角形的内切圆:
与三角形的三边都相切的圆有且只有一个,我们称这个圆为三角形的内切圆.称这个圆的圆心为三角形的内心.
1.如图所示,PA切☉O于点A,PB切☉O于点B,OP交☉O于点C,下列结论中错误的是 ( )
A.∠APO=∠BPO B.PA=PB
C.AB⊥OP D.C是PO的中点
解析:根据切线长定理可得∠APO=∠BPO,PA=PB,AB⊥OP都成立,只有D不正确.故选D.
(第1题图)
(第2题图)
2.如图所示,从圆外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若∠APB=60°,PA=10,则弦AB的长为 ( )
A.5 B. 5 C.10 D. 10
解析:∵PA,PB都是☉O的切线,∴PA=PB.∵∠APB=60°,∴△PAB是等边三角形.∵PA=10,∴AB=10.故选C.
3.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,并与☉O的切线分别相交于C,D两点,已知PA=7 cm,则△PCD的周长等于 .?
解析:设DC与☉O的切点为E,∵PA,PB分别是☉O的切线,且切点为A,B,∴PA=PB=7 cm.同理可得DE=DA,CE=CB,即△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14(cm).故填14 cm.
4.在△ABC中,∠A=50°,I是△ABC的内心,则∠BIC= .?
解析:∵IB,IC分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-50°)=65°,∴∠BIC=180°-65°=115°.故填115°.
5.如图所示,已知AB为☉O的直径,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°.
(1)求∠P的大小;
(2)若AB=2,求PA的长(结果保留根号).
解:(1)∵PA是☉O的切线,AB为☉O的直径,
∴PA⊥AB,∴∠BAP=90°.
∵∠BAC=30°,
∴∠CAP=90°-∠BAC=60°.
又∵PA,PC分别切☉O于点A,C,
∴PA=PC,∴△PAC为等边三角形,
∴∠P=60°.
(2)如图所示,连接BC,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△ACB中,AB=2,∠BAC=30°,
∴BC=AB=1,∴AC==.
∵△PAC为等边三角形,
∴PA=AC,∴PA=.
29.4 切线长定理
一起探究
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第14页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第15页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.PA,PB切☉O于点A,B,则下列结论中错误的是 ( )
A.PA=PB,∠APO=∠BPO
B.PO垂直平分AB
C.AB平分PO
D.∠APB+∠AOB=180°
2.如图所示,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC等于 ( )
A.130° B.100° C.50° D.65°
(第2题图)
3.一个钢管放在V形架内,如图所示的是其截面图,O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 cm,∠MPN=60°,则OP等于 ( )
(第3题图)
A.50 cm B.25 cm
C. cm D.50 cm
4.如图所示,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为 ( )
A.65° B.130° C.50° D.100°
5.如图所示,☉O是Rt△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,则四边形OECF的形状是 .?
(第5题图)
(第6题图)
6.如图所示,PA,PB分别切圆O于A,B两点,C为劣弧上一点,∠P=30°,则∠ACB= .?
7.如图所示,AB为半圆O的直径,C为半圆弧的一个三等分点,过B,C两点的切线交于点P,若AB的长为2a,则PA的长是 .?
(第7题图)
8.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,连接BC,AC,作OD∥BC与过点A的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.求证DE是☉O的切线.
(第8题图)
9.如图所示,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,BC为直径,求证:
(1)∠APB=2∠ABC;
(2)AC∥OP.
【能力提升】
10.(2018荆州中考)如图所示,过☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,OP交☉O于点C,点D是优弧上不与点A,点C重合的一个动点,连接AD,CD,若∠APB=80°,则∠ADC的度数是 ( )
A.15° B.20°
C. 25° D.30°
(第10题图)
(第11题图)
11.如图所示,PA,PB是☉O的切线,切点分别是A,B,若直径AC=12,∠P=60°,则AB= .?
12.如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.求证:
(1)BC=CD;
(2)∠ADE=∠ABD.
【拓展探究】
13.如图(1)所示,已知AB为☉O的直径,AD与☉O相切于点A,DE与☉O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.
(1)求证BC为☉O的切线;
(2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G,如图(2)所示.若AB=2,AD=2,求线段BC和EG的长.
(1)
(2)
【答案与解析】
1.C(解析:根据切线长定理,得PA=PB,∠APO=∠BPO,故A正确;∵PA=PB,OA=OB,∴点O,P在线段AB的垂直平分线上,故B正确;∵PA,PB是☉O的切线,∴∠OAP=∠OBP=90°,由四边形的内角和是360°可得∠APB+∠AOB=180°,故D正确;AB不一定平分PO,故C错误.)
2.A(解析:∵OB,OC分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-80°)=50°,∴∠BOC=180°-50°=130°.故选A.)
3.A(解析:∵☉O与V形架的两边相切,∴△ONP是直角三角形.在Rt△ONP中,∠OPN=∠MPN=30°,∴OP=2ON=50(cm).故选A.)
4.C(解析:由PA,PB分别是☉O的切线,得OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠OAP=∠OBP=90°.又∵∠AOB=2∠C=130°,则∠P=360°-(90°+90°+130°)=50°.故选C.)
5.正方形(解析:∵☉O是Rt△ABC的内切圆,∴OE⊥AC,OF⊥BC,∴四边形OECF是矩形.∵OE=OF,∴四边形OECF是正方形.故填正方形.)
6.105°(解析:连接OA,OB,∵PA,PB分别切圆O于A,B两点,∴∠PAO=∠PBO=90°,∴∠AOB=180°-∠P=150°.设E是优弧上一点,由圆周角定理知∠E=75°,由圆内接四边形的对角互补知∠ACB=180°-∠E=105°.故填105°.)
7.a(解析:连接OC,OP,则∠OCP=90°,根据切线长定理且C为半圆弧的一个三等分点,得∠COP=60°,OC=AB=a,所以PB=PC=a,所以PA==a.)
8.证明:连接OC,如图所示.∵AD是过点A的切线,AB是☉O的直径,∴AD⊥AB,则∠DAB=90°.∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCB,∠AOD=∠ABC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠ABC,∴∠COD=∠AOD,∴△COD≌△AOD(SAS),∴∠OCD=∠DAB=90°.∵OC是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.
9.证明:(1)∵PA,PB切☉O于点A,B,∴∠BPO=∠APB,PO⊥AB,∴∠ABP+∠BPO=90°.又∵PB是☉O的切线,∴OB⊥PB,∴∠ABP+∠ABC=90°.∴∠ABC=∠BPO=∠APB,即∠APB=2∠ABC. (2)∵BC是☉O的直径,∴AC⊥AB.又∵PO⊥AB,∴AC∥OP.
10.C(解析:由切线长定理,得∠APO=∠APB=40°,连接OA ,则OA⊥PA,∴∠OAP=90°,∴∠AOP=50°.由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠ADC=∠AOP=25°.故选C.)
11.6(解析:连接CB,∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB.又∵∠P=60°,∴∠PAB=60°.又∵PA是☉O的切线,AC是☉O的直径,∴CA⊥PA,∠CAP=90°,∴∠CAB=30°.∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵AC=12,∴CB=AC=6.由勾股定理,得AB=6.)
12.证明:(1)∵∠ABC=90°,∴OB⊥BC.∵OB是☉O的半径,∴CB为☉O的切线.又∵CD切☉O于点D,∴BC=CD. (2)∵BE是☉O的直径,∴∠BDE=90°,∴∠ADE+∠CDB=90°.又∵∠ABC=90°, ∴∠ABD+∠CBD=90°.由(1)得BC=CD,∴∠CDB=∠CBD,∴∠ADE=∠ABD.
13.(1)证明:连接OE,OC.如图(1)所示.∵CB=CE,
OB=OE,OC=OC,∴△OBC≌△OEC.∴∠OBC=∠OEC.又∵DE与☉O相切于点E,∴∠OEC=90°.∴∠OBC=90°.又∵AB是直径,∴BC为☉O的切线. (2)解:过点D作DF⊥BC于点F.如图(2)所示.∵AD,DC,BG分别切☉O于点A,E,B,∴DA=DE,CE=CB.设BC为x,则CF
=x-2,DC=x+2.在Rt△DFC中,(x+2)2-(x-2)2=(2)2,解得x=.由已知得AD∥BG,∴∠DAE=∠EGC.∵DA=DE,∴∠DAE=∠AED.∴∠EGC=∠AED.∵∠AED=∠CEG,∴∠EGC=∠CEG.∴CG=CE=CB=.∴BG=5.∴AG==3.连接BE.S△ABG=AB·BG=AG·BE,∴2×5=3·BE,∴BE=.在Rt△BEG中,EG==.
本节课的主要内容是切线长、切线长定理及三角形的内切圆,是切线性质和判定的延伸.以解决生活问题——测量光盘的半径及复习提问导入新课后,师生共同探究如何过圆外一点画圆的切线.学生动手操作画图,观察思考,从中感悟从圆外一点所作圆的两条切线的长相等,作出猜想并给出证明,最后语言归纳总结.学生在这个活动中,参与意识强,思维活跃,提高学生分析问题、归纳总结的能力,使得这节课的重点内容得以掌握.在教师设计的问题的引导下,师生共同完成例题的分析与解答后,很自然地引出三角形的内切圆的概念及性质,顺利地突破了本节课第二个重点内容的教学,增加了学生学习数学的信心.
本节课的教学内容较多,师生一起探究的教学设计中,采用动手操作——作出猜想——证明归纳的形式,给学生足够的时间和空间思考、交流,经历知识的形成过程,同时通过证明让学生体会数学的严谨性,学生在该环节思维活跃,参与性强,课堂气氛活跃,得到了良好的效果,但是耽误时间太长,造成对后边例题的探究过于仓促,尤其是画一个三角形的内切圆时,给学生思考时间较短,没有动手尝试,只是看老师演示画图过程,给人造成头重脚轻的感觉.
本节课的重点是探究切线长定理及三角形的内切圆,教学导入中不要牵强地创设生活实际情景,以复习切线的性质及角平分线的性质导入新课,为后边的探究活动做好铺垫.探究切线长定理,以动手操作、观察思考、猜想、证明为主要形式,让学生经历知识的形成过程,提高学生分析问题、解决问题的能力.例题的探究以学生独立思考、小组合作交流、教师点评归纳的形式为主,让学生人人参与数学课堂,人人学有价值的数学,培养学生的合作意识及创新精神.
练习(教材第13页)
1.解:(1)图中有三对相等的线段,即AD=AF,BD=BE,CE=CF. (2)△ABC的周长为:AB+BC+AC=2(AD+BE+CF)=2×(2+3+1)=12.
2.解:∵I点为△ABC的内心,∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=115°.
习题(教材第14页)
A组
1.这两条切线的夹角是60°,切线长是3.
2.解:设☉O的半径为r,连接OD,OE,OF,则OD⊥AC,OE⊥AB,OF⊥BC,∴OD=OE=OF=r.由题知AE=AD=1,BE=BF=2,CD=CF=3,∴AB=3,AC=4,BC=5,∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC为直角三角形,且∠A=90°.∴S△ABC=(AB+BC+AC)·r=(3+5+4)·r=6,解得r=1.
3.证明:根据切线长定理,得AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH,∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=(AH+DH)+(BF+CF)=AD+BC.
4.解:(1)OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP. (2)△OAC≌△OBC,△ACP≌△BCP,△OAP≌△OBP.
5.证明:连接OC,∵EB,EC都是☉O的切线,切点分别为B,C,∴BE=CE,即△BCE是等腰三角形,且DE是BC边上的高,∴BC⊥OE.∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC,∴AC∥OE.
B组
1.解:作OA'与☉M相切,切点为C,连接CM,则CM=2且CM⊥OA'.在Rt△OCM中,∵sin∠COM===,∴∠COM=30°,∴∠AOA'=∠AOB-∠COM=60°-30°=30°,即OA所旋转的角度是30°.根据切线长定理,知OA旋转90°也满足题意.综上所述,OA所旋转的角度是30°或90°.
2.证明:连接OP,则OP⊥PE.∵PE,BE都是☉O的切线,∴PE=BE.由题知∠A+∠C=90°,∠APO+∠CPE=90°,∠A=∠APO,∴∠C=∠CPE,∴PE=CE,∴BE=CE.
注重数学活动,经历知识的形成过程
本节课主要探究切线长定理及三角形的内切圆,是直线与圆的位置关系中的重点内容.在学习了切线的性质和判定的基础上继续对切线性质的探究,体现了对图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合.在教学设计中,以学生活动为主,教师点拨为辅,让学生经历知识的形成过程,提高学生的认知能力,激发学生的学习兴趣.在探究切线长定理的过程中,设计动手操作活动,教师提出操作要求,学生动手操作并思考回答问题,教师引导学生发现问题并作出猜想,然后让学生尝试独立完成猜想的证明,体会数学学习的严谨性.在整个探究过程中,让学生经历由模糊到具体,从直觉到逻辑的过程,体会数学发展的过程.在突破本节课的第二个重点内容——三角形的内切圆时,教师引导学生分析,思考回答问题后,独立完成动手画图的过程,小组内合作交流,自主学习三角形的内切圆的有关概念及性质,学生经历动手、动脑、动口等数学活动,突出学生的主体地位,让每个学生都学有价值的数学.提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力,使数学思维在课堂上得以提升.
数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程,真正的知识不全是从教材和教师讲授的途径中获取的,学生可以通过数学活动,经历知识的形成过程,突出学生课堂学习的主体地位,教师要把激发学生的学习热情和获得学习的能力放在教学首位,为学生提供展示自己聪明才智的机会,使课堂真正成为学生展示自我的舞台.充分利用合作交流的形式,能使教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区,以便指导今后的教学.
(2018·南州中考)如图所示,点P在☉O外,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,∠P=50°,则∠AOB等于 ( )
A.150° B.130°
C.155° D.135°
解析:根据切线的性质,得∠OAP=∠OBP=90°,根据四边形的内角和定理得∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°,则∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°.故选B.
(2015·南州中考)如图所示,点O在∠APB的平分线上,☉O与PA相切于点C.
(1)求证直线PB与☉O相切;
(2)PO的延长线与☉O交于点E,若☉O的半径为3,PC=4.求弦CE的长.
证明:(1)过点O作OD⊥PB于D,连接OC.
∵AP与☉O相切, ∴OC⊥AP.
又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC.
∴PB是☉O的切线.
解:(2)过点C作CF⊥PE于F.
在Rt△OCP中,OP==5.
∵S△OCP=OC·CP=OP·CF,
∴CF=.
在Rt△COF中,OF==.
∴FE=3+=.
在Rt△CFE中,CE==.
[解题策略] 此题考查了切线的判定、勾股定理及利用三角形的面积公式求线段的长,注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.
29.5 正多边形与圆
1.了解正多边形及其有关的概念.
2.了解正多边形和圆的关系,并会进行有关的计算.
3.会利用尺规作圆的内接正方形和圆的内接正六边形.
1.在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中,体会化归思想在解决问题中的重要性.
2.经历动手操作、探索、画图,体会用工具画图的优势及培养学生的动手能力.
3.通过解决实际问题,培养学生从实际问题中抽象出数学模型的抽象能力及应用数学的意识.
1.经历观察、发现、探究等数学活动,体会事物之间是相互联系、相互作用的.
2.通过尺规画圆内接正多边形等实践活动,使学生在数学活动中获得成功的体验,建立自信心.
3.通过画图解决与正多边形的计算有关的问题,培养学生分析问题、解决问题的能力.
【重点】
理解正多边形与圆的关系,会进行有关的计算,会画正多边形.
【难点】
探索正多边形与圆有关概念之间关系的过程、能用尺规画圆的内接正多边形.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P16~18.
导入一:
(课件展示)
欣赏图片:
1.观察下面的三幅图片,说说图片中各包含哪些多边形.
2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?
【师生活动】 教师借助课件展示图片,学生欣赏回答,并举出日常生活中常见的多边形形状的物体,教师鼓励学生大胆发言.
[设计意图] 通过欣赏图片,初步感知正多边形,体会多边形在生产生活中的广泛应用,激发学生的学习兴趣.
导入二:
复习提问:
1.什么是正三角形和正方形?它们的边、角之间有什么关系?
2.什么是三角形的内接圆和外切圆?正三角形的内心和外心有什么关系?
3.正方形的内心和外心有什么关系?
【导入语】 等边三角形、正方形的各边相等,各角也相等.现实中还有许多各边相等、各角也相等的多边形,这类多边形与圆有着密切的联系.这就是我们今天要探究的内容.
[设计意图] 通过复习正三角形、正方形的概念及性质,引出课题并为本节课的学习做好铺垫.
[过渡语] 类比正三角形和正方形的概念和性质,我们研究正多边形的有关概念及与圆的相关关系.
观察与思考
1.动手操作.
量一量下列图形的边和角,概括它们的共同特点.
【师生活动】 学生动手操作后,小组内合作交流答案,学生代表回答,教师点评归纳.
(课件展示)
正多边形:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
2.归纳有关概念.
思路一
自主学习教材第16页中正多边形的有关概念.
【师生活动】 学生自学教材概念,小组内交流对概念的理解,教师展示课件,对学生的质疑给予帮助.
(课件展示)
把一个圆n(n≥3)等分,顺次连接各等分点,就得到一个正n边形.我们把这个正n边形叫做圆的内接正n边形,这个圆叫做正n边形的外接圆,外接圆的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到边的距离叫做正多边形的边心距.
如图所示,正六边形ABCDEF为☉O的内接正六边形,☉O为正六边形ABCDEF的外接圆.点O为这个正六边形的中心,OA为半径,∠AOB为中心角,OH的长为边心距.
思路二
教师引导思考:
(1)正三角形的顶点是它的外接圆的几等分点?正方形呢?
(三等分点、四等分点)
(2)猜想:正n边形的顶点是它的外接圆的几等分点?
(n等分点)
(3)如果把一个圆n(n≥3)等分,顺次连接各等分点,得到的多边形是不是正n边形?类比三角形的外接圆的概念,你能给出正n边形的外接圆的概念吗?
【师生活动】 教师引导学生思考、归纳正多边形的有关概念,教师课件展示.
(课件展示)
同思路一.
3.拓展探究.
(1)在纸上画出正三角形、正方形、正五边形、正六边形,和同桌交流它们的中心、中心角、半径、边心距分别是什么?
(2)分别求出所画正多边形的中心角和外角,完成下表:
(课件展示)
正三 角形 正方形 正五 边形 正六 边形 … 正n 边形
中心角 …
外角 …
(3)通过上面的探究,你能得到哪些结论?
【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流计算结果及归纳的结论,小组代表展示结果,教师点评,师生共同归纳探究的结论.
结论:
(1)正n边形的中心角等于,外角等于,正多边形的中心角与外角相等.
(2)正多边形的半径、边心距、边长的一半构成直角三角形的三边.
(3)正n边形的半径和边心距,把正n边形分为2n个直角三角形.
[设计意图] 通过自主学习正多边形的有关概念,培养学生自主学习的能力,体会数学中由特殊到一般的思想方法,培养学生合作交流与归纳总结的能力.
大家谈谈
(课件展示)
(1)只要将圆n(n≥3)等分,就可以画出正n边形.如何将一个圆n等分呢?
(2)正五边形的中心角是多少度?如何将圆五等分,画正五边形呢?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师帮助有困难的学生,师生共同归纳画正多边形的方法.
归纳:
用量角器画出一个等于的圆心角,首先确定它在该圆上对着的一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧,最后顺次连接各弧的端点得到圆的内接正多边形.
[设计意图] 给学生足够的时间和空间进行交流,归纳画正多边形的方法,培养学生归纳总结及动手操作能力,提高学生的合作意识.
[过渡语] 通过等分圆心角,可以画正多边形.对于一些特殊情形,可以用尺规作圆的内接正多边形.
例题讲解
(课件展示)
(教材第17页例1)用尺规作圆的内接正方形.
已知:如图所示,☉O.
求作:正方形ABCD内接于☉O.
教师引导分析:
1.圆内接正方形的中心角是多少度?
2.作互相垂直的两条直径,能否得到圆的内接正方形?你能证明吗?
3.你能用尺规作圆的内接正八边形吗?
【师生活动】 学生在教师的引导下思考回
第二十九章 直线与圆的位置关系
1.了解点与圆、直线与圆的位置关系,并能用相应的数量关系说明它们的位置关系.
2.掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的位置关系,会过一点画圆的切线.
3.了解直线与圆相切的有关性质,能判断一条直线是否为圆的切线,知道三角形的内心的概念.
4.理解切线长的概念,探索并证明切线长定理,并能运用它解决有关问题.
5.了解正多边形及其有关的概念,了解正多边形与圆的关系.
6.会用尺规作三角形的内切圆、圆的内接正方形和圆的内切正六边形.
1.经历从现实生活中抽象出点与圆、直线与圆的位置关系,体会数学与生活的密切联系.
2.积极引导学生从事观察、测量、猜想、归纳、证明等活动,培养学生探究问题的能力及创新精神.
3.在探索点与圆、直线与圆的位置关系的过程中,体会数形结合思想在数学中的应用.
4.结合切线的判定和性质及切线长定理的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识的逻辑思维能力.
5.经历动手、探索、画图,了解正多边形和圆的关系,体会化归思想在解决问题中的重要性,培养学生的动手能力.
1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用等数学学习过程,使学生体会化归的数学思想,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识,分析问题、解决问题的能力.
4.进一步培养学生综合运用学过的知识解决问题的能力,同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育.
圆作为基本的平面图形,是人们生活中常见的图形,在上一章我们学习了圆的概念、性质、和圆有关的角等知识,积累了大量的有关圆的经验.本章在此基础上,进一步研究点与圆、直线与圆的位置关系,切线的性质和判定,切线长定理及正多边形与圆等相关的知识,是上一章圆的有关性质的延续和拓展,让学生在初中阶段比较系统、完整地学习圆的知识,为今后学习解析几何等知识打下基础.
本章从生活实际问题出发,抽象出点与圆、直线与圆的位置关系,让学生体会到学习的必要性和重要性,明确用数量关系揭示几何图形之间的位置关系,这是几何学习的深化与发展,充分体现数学中数形结合思想的应用.切线的性质和判定、切线长定理是本章内容的重点,学生通过合作学习,经历性质和判定的探究过程,进一步提高学生探究问题的能力,发展学生的逻辑思维能力.本章的学习,要用到前面许多知识和方法,比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力.本章知识的学习是前面知识综合应用的过程,在初中数学学习中占有重要地位,尤其是为逐步建立的数形结合、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.
【重点】
与圆有关的位置关系;切线的性质和判定、切线长定理的证明及应用;与正多边形有关的计算.
【难点】
切线的性质和判定、切线长定理的综合运用.
1.教材将数学与生活实际相联系,让学生从实际背景中感知数学知识,体会数学在生活中的应用.在教学中应重视创设生活情景,激发学生的学习兴趣及求知欲,从生活实例中抽象出与本章相关的图形,发现图形之间的位置关系.
2.数学知识的形成过程是一个数学思维的过程,在教学过程中设计学生动手操作及合作交流的数学活动,引导学生积极参与探究活动,经历知识的形成过程,逐步提高学生的数学思维水平.
3.在教学过程中教师要关注学生的探究过程,在学生独立思考的基础上,鼓励学生通过小组合作与交流的方式解决问题,让学生在与同伴合作、自主探究中探索、归纳出数学概念、性质及判定,培养学生自主探究的精神及合作意识.
4.重视数学思想方法的渗透,数学思想与方法是数学学习的灵魂,本章涉及的数学思想和方法较多,如探究点与圆、直线与圆的位置关系时的分类讨论思想及数形结合思想;探究正多边形与圆时的转化思想.通过学习本章知识,使学生掌握化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.
5.探究直线与圆的位置关系具有一定的抽象性,需要有较高的空间想象能力和逻辑推理能力.在教学中应重视培养学生论证及推理能力.本章所研究的问题常需要综合运用多方面知识,这对培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力是相当有好处的,在教学中抓住此机会使学生解决问题的能力有较大的飞跃.
29.1点与圆的位置关系 1课时
29.2直线与圆的位置关系 1课时
29.3切线的性质和判定 1课时
29.4切线长定理 1课时
29.5正多边形与圆 1课时
回顾与反思 1课时
29.1 点与圆的位置关系
1.了解点与圆的三种位置关系.
2.理解并掌握点与圆的三种位置关系中相关数量间的关系.
3.能应用点与圆的位置关系解决简单问题.
1.经历从现实情景中抽象出点与圆的位置关系的过程,体会数学与实际生活的密切联系.
2.探索点与圆的三种位置关系的过程中,体会数学分类讨论思想和数形结合思想.
3.通过探索点与圆的位置关系中相关数量间的关系,培养学生的探索能力,进一步体会解决数学问题的策略.
1.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
2.在数学活动过程中,发展学生的合作交流意识和主动探索精神.
【重点】
点与圆的位置关系中相关数量间的关系.
【难点】
探索点与圆的位置关系的过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P2~3.
导入一:
(课件展示)
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为祖国赢得荣誉.如图所示的是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不等的圆)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?
【教师活动】 教师展示课件,引导学生观察,要解决这个问题就要研究点与圆的位置关系.
[设计意图] 由学生感兴趣的奥运射击比赛成绩的计算导入新课,激发学生的学习兴趣.
导入二:
(课件展示)
足球运动员踢出的足球在球场上滚动,在足球穿越中圈区(中间圆形区域)的过程中,可将足球看成一个点,这个点与圆具有怎样的位置关系?
【教师活动】 教师展示课件,提出问题,导出本节课的课题.
[设计意图] 足球与中圈区之间的位置关系,让学生初步感受点与圆的位置关系,体会数学与生活密切相关,降低本节课的学习难度.
导入三:
复习提问:
1.圆的两个定义是什么?确定一个圆的两个基本要素是什么?
2.点与直线有几种位置关系?
[设计意图] 通过复习和圆有关的概念及点与直线的位置关系,为用类比思想学习新知识打下铺垫.
[过渡语] 我们已经学习了圆的性质,而圆作为一种重要的几何图形,还有许多知识,这节课我们一起学习点与圆的位置关系.
观察与思考
【师生活动】 教师通过课件演示足球穿越中圈区的动画过程,并提出问题:把足球看作点,把中圈区看作圆,点与圆有几种位置关系?学生独立思考后小组合作交流,学生代表回答,教师板书并课件展示.
(课件展示)
在同一个平面内,点与圆有三种位置关系:点在圆外、点在圆上和点在圆内.点P与☉O的位置关系如图所示.
[设计意图] 通过动画演示,让学生直观感知点与圆的位置关系,并用几何图形进行刻画,用数学语言进行描述,为进一步探究点与圆的位置关系做好铺垫,同时通过创设与生活有关的情景问题,激发学生探究本节课知识的求知欲.
共同探究
思路一
(课件展示)
已知点P和☉O,☉O的半径为r,点P与圆心O之间的距离为d.
1.请根据下列图形中点P和☉O的位置,在表格中填写r与d之间的数量关系.
语言描述 图形表示 r与d之间的 数量关系
点P在☉O外
点P在☉O上
点P在☉O内
【师生活动】 教师展示课件,学生观察独立思考后,小组内合作交流,归纳总结由点与圆的位置关系得到的r与d之间的数量关系的规律,学生代表展示后,教师板书并点评.
(板书)
点P在圆外?d>r;
点P在圆上?d=r;
点P在圆内?d
(板书)
(1)点P在☉O 外?d>r.
(2)点P在☉O上?d=r.
(3)点P在☉O 内?d
思路二
思考:
1.观察下列各个图中点P与☉O的位置关系?
2.各图中的点P到圆心O的距离d与☉O的半径r分别有什么关系?
3.总结由这三点分别与圆的位置关系得到什么样的数量关系?
【师生活动】 学生观察图形,独立思考后小组讨论、总结判断点与圆的位置关系的方法,学生展示后教师点评.
结论:
设☉O的半径为 r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
点P在圆外?d>r;
点P在圆上?d=r;
点P在圆内?d
5.观察这三点与圆的位置关系,总结由这三点到圆心的距离得到什么样的位置关系?
【师生活动】 学生动手操作后,小组内交流和探索结果,学生展示后教师点评.
结论:
设☉O的半径为 r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
d>r?点P在圆外;
d=r?点P在圆上;
d
设☉O的半径为r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
(1)点P在☉O外?d>r.
(2)点P在☉O上?d=r.
(3)点P在☉O内?d
例题讲解
(课件展示)
(教材第3页例)如图所示,在△ABC中,∠C = 90°,AB=5 cm,BC=4 cm,以点A为圆心、3 cm为半径画圆,并判断:
(1)点C与☉A的位置关系.
(2)点B与☉A的位置关系.
(3)AB的中点D与☉A的位置关系.
思路一
教师引导:
(1)如何判定点与圆的位置关系?
(先确定点与圆心的距离,再与半径的大小进行比较可得.)
(2)在直角三角形中已知两条直角边,如何求第三边的长?
(利用勾股定理求直角三角形的边长.)
(3)直角三角形斜边上的中线有什么性质?
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)
(4)点C,B,D与圆心A的距离分别是多少?与半径之间的大小关系如何?
(AC=3 cm=r,BC=4 cm>r,CD=AB= cm
(点C在☉A上;点B在☉A外;点D在☉A内.)
【师生活动】 教师提出问题,学生思考回答,独立完成后板书解答过程,教师点评归纳.
(板书)
解:已知☉A的半径r=3 cm.
(1)因为AC===3(cm)= r,所以点C在☉A上.
(2)因为AB=5 cm>3 cm=r,所以点B在☉A外.
(3)因为DA=AB=2.5 cm<3 cm=r,所以点D在☉A内.
思路二
【师生活动】 学生独立思考后小组内合作交流,小组代表板书解答过程,教师点评.教师追加提问:判断点与圆的位置关系的步骤是什么?师生共同归纳总结.
(板书)
同思路一.
[设计意图] 通过例题,进一步体会判断点与圆的位置关系的一般方法,培养学生分析问题及归纳总结能力.
[知识拓展] 1.圆将平面分成三部分,圆内、圆上和圆外,因此点与圆有三种位置关系.
2.由点与圆的位置关系可以确定该点到圆心的距离和半径的关系.反过来,已知点到圆心的距离和半径之间的关系,可以确定该点与圆的位置关系.
1.点与圆的位置关系.
设☉O的半径为 r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
点P在圆外?d>r;
点P在圆上?d=r;
点P在圆内?d
1.☉O的半径为4 cm,点A到圆心O的距离为3 cm,则点A与☉O的位置关系是 ( )
A.点A在圆内
B.点A在圆上
C.点A在圆外
D.不能确定
解析:OA=3 cm<4 cm,则点A与☉O的位置关系是:点A在圆内.故选A.
2.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,点D是AB边的中点,以点C为圆心,4 cm长为半径作圆,则点A,B,C,D四点中在圆内的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:∵以点C为圆心,4为半径作圆,AC=BC=4,则A,B两点到圆心C的距离等于半径,∴点A,B在圆上.∵在直角三角形ABC中,D是AB的中点,AC=BC=4,∴AB==4,∴CD=AB=2,则2<4,∴点D在☉C内.那么在圆内只有C,D两个点.故选B.
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2 cm,BC=4 cm,CM是中线,以点C为圆心, cm为半径作圆,则A,B,M三点在圆外的有 ,在圆上的有 ,在圆内的有 .?
解析:∵∠ACB=90°,AC=2 cm,BC=4 cm,∴AB==2(cm).∵CM是中线,∴CM=AB= cm,∴点M在圆上.∵AC=2 cm< cm,∴点A在圆内.∵BC=4 cm> cm,∴点B在圆外.
答案:B M A
4.已知☉O的半径为5,O为原点,点P的坐标为(2,4),则点P与☉O的位置关系是 .?
解析:由勾股定理,得OP== <5,∴点P与☉O的位置关系是点P在☉O内.故填点P在☉O内.
29.1 点与圆的位置关系
观察与思考
共同探究
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第4页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第4页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.☉O的半径为3 cm,点O到点P的距离为 cm,则点P ( )
A.在☉O外 B. 在☉O内
C. 在☉O上 D. 不能确定
2.已知☉O的半径为5 cm,A为线段OP的中点,当点A在☉O的外部时,线段OP的长度可以是 ( )
A.6 cm B.10 cm C.14 cm D.8 cm
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=8 cm,CM为中线,以点C为圆心,以 cm为半径作圆,则点A,B,C,M四点在☉C外的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若☉A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为 ( )
A.在☉A内 B.在☉A上
C.在☉A外 D.不确定
5.☉O的半径r=5 cm,圆心到直线l的距离OM=4 cm,在直线l上有一点P,且PM=3 cm,则点P ( )
A.在☉O内
B.在☉O上
C.在☉O外
D.可能在☉O上或在☉O内
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作☉O,设线段CD的中点为P,则点P与☉O的位置关系是 .?
7.若点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心,以2为半径的圆内,则a的取值范围是 .?
8.已知☉O的半径为1,点P到圆心O的距离为d,且方程x2-2x+d=0没有实数根,则点P与☉O的位置关系是 .?
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,点D是BC的中点,现在以点D为圆心,DC为半径作☉D.
(1)当BC=8时,判断点A与☉D的位置关系;
(2)当BC=6时,判断点A与☉D的位置关系;
(3)当BC=5时,判断点A与☉D的位置关系.
【能力提升】
10.若☉O所在平面内一点P到☉O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的直径为 ( )
A. B.
C.或 D.a+b或a-b
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是 .?
(第11题图)
(第12题图)
12.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,CD⊥AB于D.
(1)以点C为圆心,6为半径作圆,试判断点A,D,B与圆C的位置关系;
(2)若点O是AB的中点,则☉C的半径为多少时,点O在☉C上?
【拓展探究】
13.爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9 cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120 m以外的安全区域,已知这个导火索的长度为18 cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5 m是否安全?
【答案与解析】
1.A(解析:∵OP= cm>3 cm,∴点P与☉O的位置关系是:点P在圆外.)
2.C(解析:当点A在☉O的外部时,OA>5 cm,所以OP>10 cm.故选项C符合.)
3.C(解析:∵∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=8 cm,∴AB==4(cm).∵CM是中线,∴CM=AB=2 cm,∴点M在圆外.∵AC=4 cm> cm,∴点A在圆外,∵BC=8>,∴点B在圆外.)
4.A(解析:∵点A的坐标为(3,4),点P的坐标是(5,8),∴AP==2.∵☉A的半径为5,且5>2,∴点P在☉A的内部.)
5.B(解析:∵☉O的半径r=5 cm,圆心到直线l的距离OM=4 cm,在直线l上有一点P且PM=3 cm,∴MP=3,OM=4,OM⊥PM,∴PO=5,∴点P在圆上.)
6.点P在☉O内(解析:∵AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,∴AD=5.∵点O是AC的中点,点P是CD的中点,∴OP是△CAD的中位线,OC=OA=3,∴OP=AD=2.5.∵OP
9.解:∵AB=AC=5,D为BC的中点,∴AD⊥BC.(1)当BC=8时,DC=BD=4,∴AD==3
10.D(解析:当点P在☉O内时,此圆的直径为点P到☉O上的点的最大距离与最小距离之和,即d=a+b;当点P在☉O外时,此圆的直径为点P到☉O上的点的最大距离与最小距离之差,即d=a-b.)
11.-1(解析:取BC的中点E,连接AE,交半圆于P2,在半圆上取P1,连接AP1,EP1,则AP1+EP1>AE,即AP2是AP的最小值.∵AE==,P2E=1,∴AP2=-1.)
12.解:(1)在△ACB中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,由勾股定理,得AC=6=r,所以点A在☉C上.由S△ABC=CD·AB=AC·BC,所以CD=4.8
13.解:点导火索的人非常安全.理由如下:
导火索燃烧的时间为=20(s),此时人跑的路程为20×6.5=130(m),因为130 m>120 m,所以点导火索的人非常安全.
本节课由学生感兴趣的计算奥运射击的成绩和足球穿越中圈区导入新课,让学生直观地感受点与圆的位置关系,激发学生的学习兴趣,体会数学与生活的密切联系,然后通过建立数学模型,进一步探究点与圆的三种位置关系.学生通过观察图形、思考、归纳,先得到点与圆的三种位置关系和点到圆心的距离之间的关系,体会由形到数,然后再动手操作,由点到圆心的距离可以确定点与圆的位置关系,体会由数到形,感受数形结合思想在数学中的应用.在整节课的探究过程中,学生通过观察、独立思考,小组合作交流,共同归纳结论等数学活动探究点与圆的位置关系,学生思维活跃,积极参与思考和交流,课堂气氛活跃,每个学生都在享受学习带来的快乐.
本节课的重点是探究点与圆的位置关系,内容较为简单,在教学设计中以生活实际情景导入新课后,学生通过自主学习、小组合作交流共同归纳点与圆的位置关系,让学生在经历知识的形成过程中,体会数形结合思想在数学中的应用,在实际教学中,有的学生对由形到数、由数到形的探究过程思路混乱,数学学习就是掌握数学思想和方法的过程,在以后的教学中,注意在课堂上逐步渗透数学思想和数学方法的教学,提高学生的数学思维能力.
本节课经历从现实情景中抽象出点与圆的位置关系,精心创设情景,让学生初步感知点与圆的位置关系的同时,激发学生的学习兴趣和探究欲望.在探究过程中,以学生自主学习为主,通过学生之间的交流与合作,共同探究点与圆的位置关系及相应的数量关系,并由数量关系判断点与圆的位置关系,体会数形结合的思想.在教学设计中突出学生的主体地位,以学生活动为主,教师在教学活动中做到点评精讲,以培养学生的思考能动性,提高学生数学学习能力为主.
练习(教材第4页)
1.解:因为OA==2,且2<5,所以点A在☉O内.因为OB==5,所以点B在☉O上.因为OC==4,且4>5,所以点C在☉O外.因为OD==,且>5,所以点D在☉O外.
2.解:设BA与☉A交于点C,则BC=10-3=7(km),7÷10=0.7(h),即渔船从B处向点A处行驶0.7 h之内是安全的,超过0.7 h就进入了危险区域.
习题(教材第4页)
A组
1.解:由题可知OD⊥l,且OD=3,PD=4,∴OP=5,∵r=5,∴点P在☉O上.∵QD>4,∴OQ>r,∴点Q在☉O外.同理可知点R在☉O内部.
2.解:如图所示,连接AC,∵AB=3,AD=4,∴AC=5,∴点B到圆心A的距离最小,点C到圆心A的距离最大,∴3
(第2题图)
B组
1.解:如图所示.(1)当点A1在☉D上时,由于BC为直径,A1B=A1C,可知△A1BC为等腰直角三角形,故∠BA1C=90°. (2)当点A2在☉D内时,90°<∠BA2C<180°. (3)当点A3在☉D外时,0°<∠BA3C<90°.
(第1题图)
2.解:☉O上到弦AB所在直线的距离为2的点有4个.分别是:过O点作直线CD∥AB交☉O于C,D两点,且直线CD到直线AB之间的距离为2,则点C,D到直线AB的距离为2;在直线AB下方作直线EF∥AB交☉O于E,F两点,且直线EF与直线AB之间的距离为2,则点E,F到直线AB的距离为2,如图所示.
(第2题图)
重视数学思想和数学方法的培养
圆在初中平面几何中占有重要的地位,并且点与圆的位置关系的应用比较广泛,它是在前面学习了圆的有关性质的基础上进行的,为后面的直线和圆的位置关系做铺垫的一节课.本节课的重点是探究点与圆的位置关系,通过生活实际情景引入这节课的内容,通过点与圆的相对运动,揭示点与圆的位置关系,培养学生运动变化的辩证唯物主义观点.本节课的教学内容看似少而简单,但让学生真正理解如何由图形的位置关系得出数量关系,以及从数量关系联想到图形的位置关系,却并非简单.如果教师在教学过程中不重视知识的形成过程,只是让学生记忆结果,就无法体会到学习的本质,不能体会数学思想和方法在学习中的应用.数学思想方法是数学教学的重要内容,在知识的形成过程中,适时渗透数学思想方法,可以提高学生的数学学习能力.本节课中探究点与圆的位置关系,让学生通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,体会数形结合思想在数学中的应用,真正理解和掌握基本的数学知识、数学思想和数学方法,同时获得广泛的数学学习经验,从而提高学生的数学思维能力.
如图所示,已知矩形ABCD的边AB=3 cm,AD=4 cm.
(1)若以A点为圆心,4 cm为半径作☉A,判断点B,C,D与☉A的位置关系;
(2)若以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在☉A内,且至少有一点在☉A外,求☉A的半径r的取值范围.
解:(1)连接AC.
∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=4 cm,
由勾股定理,得AC==5(cm).
∵AB=3 cm<4 cm,AC=5 cm>4 cm,AD=4 cm,
∴点B在☉A内,点C在☉A外,点D在☉A上.
(2)以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则圆A的半径要大于AB的长,小于AC的长,所以3
29.2 直线与圆的位置关系
1.理解直线与圆之间有相交、相切和相离三种位置关系.
2.了解切线的概念,探索直线与圆的各种位置关系及相应的数量关系.
1.经历从现实情景中抽象出直线与圆的位置关系的过程,体会数学来源于生活.
2.在探索直线与圆的三种位置关系的过程中,体会数学分类讨论思想和数形结合思想.
3.通过探索直线与圆的位置关系与相关数量间的关系,培养学生的探索能力,进一步体会解决数学问题的策略.
1.在教学活动中,培养学生独立思考的学习习惯、合作交流的意识.
2.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和探索欲望.
【重点】
直线与圆的位置关系与相关数量间的关系.
【难点】
数形结合思想在直线与圆的位置关系中的应用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P5~6.
导入一:
动手操作:
如图所示,在纸上画一条直线l,把钥匙环(或硬币)看作一个圆.在纸上移动钥匙环(或硬币),你能发现在移动钥匙环(或硬币)的过程中,它与直线l的公共点个数的变化情况吗?
【师生活动】 学生动手操作,教师借助课件动画演示,师生共同观察运动过程中公共点的个数变化情况.
导入二:
(课件展示)
清晨,一轮红日从东方冉冉升起,太阳的轮廓就像一个运动的圆,从地平线下渐渐升到空中.在此过程中,太阳轮廓与地平线有几种不同的位置关系呢?
【师生活动】 教师播放太阳升起的动画图片,学生观察、思考、动手操作后小组内交流,共同归纳直线与圆的位置关系,学生回答各问题后,教师进行点评,导入新课.
[设计意图] 利用动手操作、动画演示形式导入新课,让学生在实际生活情景中直观地感受直线与圆的位置关系,调动学生的学习兴趣,同时感受数学来源于生活,又应用于生活中去.类比点与圆的位置关系,能轻松地归纳出直线与圆的位置关系.
[过渡语] 通过观察和操作,我们可以发现直线与圆的三种位置关系,如何用数量关系来描述直线与圆的位置关系呢?类比点与圆的位置关系,让我们一起去探究吧!
共同探究
思考:
1.一条直线与一个圆的公共点的个数可分为几种情况?
2.什么是直线与圆相交、相离、相切?什么叫做圆的切线?
3.直线与圆有几种位置关系?
【师生活动】 学生自主学习教材P5,小组内合作交流,共同归纳总结,小组代表展示,教师点评归纳.
(课件展示)
直线l与☉O相交、相切和相离的三种位置关系,如图所示.
相交:当直线与圆有两个公共点时,我们称直线与圆相交.
相切:当直线与圆有唯一一个公共点时,称直线与圆相切,此时这个公共点叫做切点,这条直线叫做圆的切线.
相离:当直线与圆没有公共点时,称直线与圆相离.
[设计意图] 学生在直观感受直线与圆的位置关系后,通过自主学习、合作交流等数学活动,经历知识的形成过程,体验数学学习的快乐,用几何图形刻画直线与圆的位置关系,并用数学语言进行描述,为进一步探究直线与圆的位置关系做好铺垫.
观察与思考
[过渡语] 类比点与圆的位置关系,我们可以用有关数量之间的关系刻画直线与圆的位置关系.
思路一
1.动手操作:画出直线l和☉O的三种位置关系,并作出圆心O到直线l的垂线段.
2.设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.
思考:
你能类比点与圆的位置关系与相关数量之间的关系,用圆心到直线的距离d和圆半径r之间的数量关系,来揭示直线与圆的三种位置关系吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,学生代表展示后,教师点评归纳.
(课件展示)
(1)直线l与☉O相交?d
(3)直线l与☉O相离?d>r.
思路二
(课件展示)
如图所示,已知☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.
思考:
1.当直线l与☉O相交、相切或相离时,r与d分别具有怎样的数量关系?
2.当d
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示交流成果,教师点评归纳,课件展示.
(课件展示)
(1)直线l与☉O相交?d
(3)直线l与☉O相离?d>r.
追加提问:
1.判断直线与圆的位置关系有几种方法?
(两种:直线与圆的公共点的个数;圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系.)
2.完成下列表格:
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数
圆心到直线的距离 d与圆的半径r的关系
公共点的名称
直线的名称
【师生活动】 学生在教师的引导下思考、回答,师生共同完成表格.
[设计意图] 学生经历动手操作、观察、思考、交流、归纳的探究过程,类比点与圆的位置关系探索出直线与圆的位置关系与相关数量之间关系的互相转化,体会数形结合思想在数学中的应用,通过追加提问,培养学生的归纳总结能力,使学生的数学思维得以提升.
例题讲解
(课件展示)
(教材第6页例)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.以点C为圆心,2 cm,2.4 cm,3 cm分别为半径画☉C,斜边AB分别与☉C有怎样的位置关系?为什么?
教师引导思考:
1.如何判断直线与圆的位置关系?
(计算圆心到直线的距离,与半径的大小比较可得.)
2.已知三角形的两条直角边的长,如何求斜边上的高?
(先根据勾股定理求出斜边长,再根据三角形的面积公式求斜边上的高.)
3.圆心C到直线AB的距离与2 cm,2.4 cm,3 cm之间的大小关系如何?
(三角形斜边上的高与2 cm,2.4 cm,3 cm比较大小.)
【师生活动】 教师引导学生思考、回答问题,学生独立完成后板书解答过程,教师点评归纳.
(板书)
解:如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△ABC中,
AB===5(cm).
由三角形的面积公式,并整理,得:
AC·BC=AB·CD.
从而CD===2.4(cm).
即圆心C到斜边AB的距离d=2.4 cm.
当r=2 cm时,d>r,斜边AB与☉C相离.
当r=2.4 cm时,d=r,斜边AB与☉C相切.
当r=3 cm时,d
[知识拓展] 1.直线与圆有三种位置关系:相交、相离、相切,由直线与圆的位置关系可以确定圆心到该直线的距离和半径的大小关系.反过来,已知圆心到直线的距离和半径的大小关系,可以确定该直线与圆的位置关系.
2.判断直线与圆的位置关系有两个途径:一是通过直线与圆的交点的个数;二是通过圆心到直线的距离与半径的大小关系.
1.直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数 2 1 0
圆心到直线的距离 d与圆的半径r的关系 d
公共点的名称 交点 切点 无
直线的名称 割线 切线 无
2.判断直线与圆的位置关系:
(1)直线l与☉O相交?d
(3)直线l与☉O相离?d>r.
1.已知☉O的半径是6,点O到直线l的距离为5,则直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法判断
解析:因为圆心到直线的距离d=5,圆的半径r=6,满足d
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上都不对
解析:根据直线与圆的位置关系可得:直线l与☉O相交?d
3.已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线a的距离为3 cm,则☉O与直线a的位置关系是 ,直线a与☉O的公共点个数是 .?
解析:圆心O到直线a的距离d
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4 cm,以点C为圆心,3 cm长为半径作圆,则☉C与直线AB的位置关系是 .?
解析:作CD⊥AB于D,则CD=BC=×4=2(cm),由3>2知☉C与直线AB相交.故填相交.
5.如图所示,已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm,AC=4 cm.
(1)以点C为圆心作圆,当AB与☉C相切时,求☉C的半径;
(2)以点C为圆心,分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆,这两个圆与直线AB有怎样的位置关系?
解:(1)过点C作CD⊥AB,交AB于点D,在Rt△ABC中,斜边AB=8 cm,AC=4 cm,根据勾股定理,得BC=4 cm.∵S△ABC=AB·CD=AC·BC,∴CD==2(cm),则当以点C为圆心的☉C与AB相切时,半径为2 cm.
(2)∵2<2<4,∴以点C为圆心,分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆,这两个圆与直线AB分别相离和相交.
29.2 直线与圆的位置关系
共同探究
观察与思考
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第7页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第7页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知☉O的半径为2 cm,圆心O到直线l的距离为 cm,则直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.位置不定
2.直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是 ( )
A.r<6 B.r=6 C.r>6 D.r≥6
3.在平面直角坐标系中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆 ( )
A.与x轴相交,与y轴相切
B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交
D.与x轴相切,与y轴相离
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为 ( )
A.2 cm B.2.4 cm
C.3 cm D.4 cm
5.如图所示,以点O为圆心的两个同心圆,半径分别为5和3,若大圆的弦AB与小圆相交,
则弦长AB的取值范围是 ( )
A.8≤AB≤10
B.AB≥8
C.8
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.给出下列三个结论:①以点C为圆心,2.3 cm长为半径的圆与AB相离;②以点C为圆心,2.4 cm长为半径的圆与AB相切;③以点C为圆心,2.5 cm长为半径的圆与AB相交.则上述结论中正确的是 .(填序号)?
8.已知圆心到直线l的距离为d,☉O的半径为R,若d,R是方程x2-4x+m=0的两个实数根,且直线l与☉O相切,则m的值是 .?
9.如图所示,已知∠AOB=45°,M为OA上一点,且OM=10 cm,以点M为圆心,r为半径的圆与直线OB有何位置关系?
(1)r=4 cm;
(2)r=5 cm;
(3)r=6 cm.
10.如图所示,已知正方形ABCD的边长为a,AC,BD交于点E,过点E作FG∥AB,分别交AD,BC于点F,G,则以点B为圆心,a为半径的圆与直线AC,FG,DC分别有怎样的位置关系?并说明理由.
【能力提升】
11.已知☉O的圆心O到直线l的距离为d,☉O的半径为R,若d,R是方程x2-9x+20=0的两根,则直线l与☉O的位置关系是 .?
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,设☉C的半径为r,若☉C与斜边AB只有一个公共点,则r的取值范围为 .?
13.如图所示,在直角坐标系中,点M在第一象限内,MN⊥x轴于N,MN=1,☉M与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点.
(1)求☉M的半径;
(2)请判断☉M与直线x=7的位置关系,并说明理由.
【拓展探究】
14.如图所示,P为正比例函数y=x图像上的一个动点,☉P的半径为3,设点P的坐标为(x,y).
(1)当☉P与直线x=2相切时,求点P的坐标;
(2)请直接写出☉P与直线x=2相交、相离时x的取值范围.
【答案与解析】
1.A(解析:圆心到直线的距离d= cm,圆的半径r=2 cm,满足d
3.C(解析:∵圆心到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,∴圆与x轴相切,与y轴相交.故选C.)
4.B(解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,由勾股定理,得AB2=32+42=25,∴AB=5 cm.过点C作CD⊥AB于D,又∵AB是☉C的切线,∴CD=r.∵=AC·BC=AB·r,即3×4=5r,∴r=2.4 cm.故选B.)
5.C(解析:当AB与小圆相切时,过点O作OC⊥AB于C,连接OA,则AB=2=8,当AB是大圆的直径时,AB=2×5=10.若大圆的弦AB与小圆相交,则弦长AB的取值范围是8
9.解:如图所示.过点M作MN⊥OB,垂足为N.∵∠AOB=45°,∴ON=MN,∴2MN2=OM2=102,∴MN=5,即圆心M到直线OB的距离d=5 cm.(1)当r=4 cm时,d>r,直线OB与☉M相离;(2)当r=5 cm时,d=r,直线OB与☉M相切;(3)当r=6 cm时,d
10.解:∵正方形ABCD的边长为a,∴AC==a,∴BE=a.∴以点B为圆心,a为半径的圆与AC相切.∵BG=a
11.相交或相离(解析:由d,R是x2-9x+20=0的解,得d=4,R=5或d=5,R=4.)
12.r=或5
14.解:(1)过点P作直线x=2的垂线,垂足为A;当点P在直线x=2右侧时,AP=x-2=3,解得x=5.∴P;当点P在直线x=2左侧时,PA=2-x=3,解得x=-1,∴P.∴当☉P与直线x=2相切时,点P的坐标为或. (2)当-1
本节课由动手操作和太阳升起的动画图片的展示引出课题,激发学生的学习兴趣,结合问题情景,使学生充分感受生活中直线与圆的位置关系的现象,让学生直观感受直线与圆的位置关系.然后教师引导学生由点与圆的位置关系所对应的数量关系,启发学生用类比思想思考数学问题,学生通过自主学习、合作交流等数学活动,经历知识的探索过程,理解并掌握用几何图形刻画直线与圆的位置关系,并用数学语言进行描述,体会数形结合思想在数学中的应用,培养学生的归纳总结能力,使学生的数学思维得以提升.学生在课堂上大多数思维活跃,参与意识较强,能够体验成功的快乐.
本节课的重点是探究直线与圆的位置关系,内容比较简单,在这个教学环节中,虽然设计了学生类比点与圆的位置关系的探究方法得到结论,但是教师还是不敢大胆放手,对学生自己能解决的问题还是讲解太多,没有做到真正地让学生成为课堂的主人.在以后的教学中,对学生能通过自主学习、小组合作交流解决的问题,教师要少讲,让学生真正成为课堂的主人,发挥他们的主体作用.
本节课是让学生经历从现实情景中抽象出直线与圆的位置关系的过程,师生一起探究直线与圆的位置关系与相关数量之间的关系.教学设计中以学生感兴趣的生活实例为背景,让学生体会数学来源于生活,激发学生的学习兴趣,学生通过观察、测量、思考、小组合作交流等数学活动,类比点与圆的位置关系的探究方法,归纳总结出直线与圆的位置关系,在教学中,注重探究问题的设计,通过学生活动培养学生独立思考的学习习惯和探索精神.
练习(教材第6页)
1.解:当直线与圆心的距离为3时,因为3<5,所以这条直线与圆相交.当直线与圆心的距离为5时,因为5=5,所以这条直线与圆相切.当直线与圆心的距离为6时,因为6>5,所以这条直线与圆相离.
2.解:如图所示,作MC⊥OA于点C,在Rt△MOC中,∠MOC=30°,OM=6 cm,所以MC=OM·sin 30°=6×=3(cm),即圆心M到直线OA的距离d=3 cm.当r=2 cm时,因为d>r,所以☉M与直线OA相离;当r=3 cm时,因为d=r,所以☉M与直线OA相切;当r=4 cm时,因为d
A组
1.d≤r.
2.解:由题意知AB==3,∴r=3.又∵2<3,5>3,∴☉A与x轴相交,与y轴相离.
B组
1.解:如图所示,作AD⊥BC于点D.又∵AB=AC=4,∠BAC=120°,∴∠B=30°.在Rt△BAD中,AD=AB=2,∴☉A与BC相切.
2.解:作OD⊥AC于点D,∵∠B=30°,OA=m,∴OD=m.(1)当AC与☉O相离时,OD>r,即m>,∴m>. (2)当AC与☉O相切时,OD=r,即m=,∴m=. (3)当AC与☉O相交时,0
体会数学思想和方法,提高数学思维
圆的教学在平面几何乃至整个中学教学中都占有重要的地位,而直线与圆的位置关系的应用又比较广泛,它是初中几何的综合运用,本节课由一轮红日从东方升起的照片(太阳与地平线相离、相切、相交)导入新课,激发学生的学习兴趣,充分感受生活中反映直线与圆的位置关系的现象,从现实生活中抽象出数学模型,体现了数学产生于生活的思想,通过让学生从生活中“找”数学,“想”数学,真正感受到生活之中处处有数学. 本节课是在学习了点与圆的位置关系的基础上进行的,主要采用了归纳、演绎、类比的思想方法,引导学生复习点与圆的位置关系的探究方法,启发学生用类比的思想方法思考数学问题,让学生通过动手操作、观察、思考、交流、归纳总结等数学活动,充分理解位置关系与数量关系的相互转化,通过探究活动,让学生体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生的数学思维能力,发挥学生的主观能动性,体现学生是学习的主体,使其真正成为学习的主人.
如图所示,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为1 cm的☉P的圆心在射线OA上,开始时,PO=6 cm,如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么当☉P的运动时间t(s)满足什么条件时,☉P与直线CD相交?
解:如图所示,当☉P运动到☉P'处时,☉P与CD相切,作P'E⊥CD于E.∵☉P的半径为1 cm,∴P'E=1 cm.又∵∠AOC=30°,P'E⊥CD,∴P'O=2 cm,∴t=4 s.当☉P的圆心与点O重合时,☉P与CD相交,∴t=6 s.综上可知,4
29.3 切线的性质和判定
1.了解切线的性质,能判断一条直线是不是圆的切线.
2.能应用切线的判定定理、性质定理解决有关问题.
1.经历探索切线与过切点的半径之间的关系,培养学生的探究意识.
2.在探究切线的性质和判定的过程中,培养学生观察、分析、归纳问题的能力,进一步提高学生的数学思考与表达能力.
3.在运用圆的切线的性质和判定解决数学问题的过程中,进一步培养学生运用已有知识综合解决问题的能力.
1.通过探索圆的切线的性质和判定,让学生在数学活动中获得成功的体验,培养学生克服困难的意志,建立学习的自信心.
2.通过观察、思考、分析、交流等数学活动,培养学生的合作意识和创新精神.
3.通过运用切线的性质和判定解决有关问题,进一步感悟数形结合思想在数学中的应用,感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
【重点】
切线的性质定理、判定定理以及运用它们解决相关问题.
【难点】
综合运用切线的性质定理和判定定理解决问题.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P8~10.
导入一:
1.下雨天,当你转动雨伞,你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出.仔细观察一下,水珠是顺着什么样的方向飞出的?这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况.
2.在我们的生活中,经常会遇到直线与圆相切的情形.如沿直线行驶的自行车车轮与车印,可以看成直线与圆相切的具体实例.
生活中有这么多直线与圆相切的例子,那么直线与圆相切有哪些性质,我们又如何判定直线与圆相切呢?这就是我们本节课要探究的切线的性质和判定.
导入二:
复习提问:
1.什么是圆的切线?由定义你能得到哪些性质与判定?
(和圆只有一个公共点的直线是圆的切线,圆的切线与圆只有一个公共点.)
2.如果直线与圆相切,那么圆心到直线的距离与半径之间有怎样的数量关系?如果圆心到直线的距离等于半径,那么直线与圆有怎样的位置关系?
(圆心到直线的距离等于半径,如果圆心到这条直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线.)
[设计意图] 通过生活中的实际问题导入新课,激发学生的学习兴趣,体会数学与生活之间的密切联系,通过复习切线的定义,为本节课探究切线的性质和判定做好铺垫.
[过渡语] 除了我们根据切线的定义得到圆的切线的性质和判定之外,圆的切线还有哪些性质和判定呢?我们一起去探究.
共同探究
(课件展示)
【思考1】
如图所示,直线l为☉O的一条切线,切点为T,OT为半径.在直线l上任取一点P,连接OP.观察OT和OP的数量关系,猜想OT与切线l具有怎样的位置关系.
【师生活动】 学生观察、思考,猜想:OT与切线l垂直,教师引导学生如何证明猜想正确.
教师引导思考:
假设猜想不成立,即假设 ,则过点O作OP⊥l,垂足为P.则OP OT(填“>”“<”或“=”),即圆心O到直线l的距离 圆的半径.则直线l与圆的位置关系为 .这与直线与☉O相切矛盾.?
【师生活动】 学生在教师的引导下思考,归纳证明方法及证明过程,教师用课件展示证明过程.
(课件展示)
如图所示,假设OT与l不垂直.过点O作OP⊥l,垂足为P.因为OP是垂线段,所以OP
【思考2】
1.如何用语言叙述上述结论?
2.如何用几何语言表示你得出的结论?
【师生活动】 学生独立思考后回答,教师点评、补充,板书切线的性质.
(板书)
性质:圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言:如图所示,∵直线l切☉O于T,
∴OT⊥l.
[设计意图] 通过引导学生观察、测量、推理等活动,归纳总结出圆的切线的性质,培养学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力,提高学生的符号感,进一步提高学生的数学思维与表达能力.
[过渡语] 我们一起探究了圆的切线的性质,那么如何判定一条直线是圆的切线呢?
观察与思考
(课件展示)
如图所示,OA为☉O的半径,直线l过点A,且l⊥OA.
(1)如果用r表示☉O的半径,d表示圆心O到直线l的距离,那么r与d 具有怎样的数量关系呢?
(2)直线l是☉O的切线吗?
思路一
教师引导:
1.圆心O到直线的距离是 ,满足圆心到直线的距离d与半径的大小关系是: ,所以直线l与☉O的位置关系是: .?
2.该命题的已知条件是: ,结论是: ,用文字语言叙述该命题为: .?
3.该命题用几何语言表示为: , .?
【师生活动】 学生在教师的引导下思考回答,小组内合作交流如何用语言叙述该命题,小组代表发言,教师引导归纳出切线的判定定理,并板书.
(板书)
判定:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何语言:如图所示,∵l⊥OA,点A在直线l上,∴直线l是☉O的切线.
思路二
1.动手操作:画一个半径为OA的☉O,过点A作直线l⊥OA.
2.观察所画图形,猜想直线l与☉O有怎样的位置关系?你能证明你的猜想吗?
3.根据操作过程与所得结论,得到的命题的条件和结论分别是什么?
4.如何用文字语言叙述这个命题?能用几何语言表示这个命题吗?
【师生活动】 学生动手操作后,小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,学生展示成果后教师点评归纳.
(板书)
判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何语言:如图所示,∵l⊥OA,点A在直线l上,∴直线l是☉O的切线.
追加思考:
1.你如何证明一条直线是圆的切线?
(直线与圆只有一个公共点;圆心到直线的距离等于半径;经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线.)
2.你能举出生活中直线与圆相切的实例吗?
【师生活动】 学生独立思考后小组内合作交流,小组代表展示,教师点评归纳证明圆的切线的三种方法.
[设计意图] 通过学生动手、动脑,在教师的引导下,发现结论、证明结论、应用结论.在探究过程中经历了知识的形成过程,培养探索精神,体验学习数学的乐趣.同时通过列举生活中的实例,让学生发现生活中处处有数学.
做一做
(课件展示)
如图所示,P为☉O上的一点,请你用三角尺画出这个圆经过点P的切线.
思考:
过点P的切线与半径OP有怎样的位置关系?
(过点P的切线与半径OP垂直.)
【师生活动】 学生独立思考后,完成画图,小组内交流答案,小组代表展示,教师点评归纳.
(课件展示)
先连接OP,再过点P作直线l⊥OP,直线l就是过点P的切线.
[知识拓展] 1.利用切线的判定定理需要满足两个条件:(1)经过半径的外端;(2)与半径垂直.两个条件缺一不可,否则不一定是切线.如下图所示,这里的直线l都不是☉O的切线.
2.判定一条直线是圆的切线的方法:(1)若直线与圆只有一个公共点,则该直线是圆的切线;(2)若圆心到直线的距离等于半径,则该直线是圆的切线;(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.利用切线的判定定理进行证明时,当直线和圆有公共点时,连接过公共点的半径,然后证明直线垂直于这条半径,简称“作半径,证垂直”;当直线与圆的公共点不明确时,可过圆心作直线的垂线,再证明圆心到直线的距离等于圆的半径,简称“作垂直,证半径”.
1.切线的性质:
圆的切线垂直于过切点的半径.
2.切线的判定:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
3.运用切线的性质和判定时常作的辅助线:
连接半径或过圆心作直线的垂线.
1.(2016·长春中考)如图所示,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则的长为 ( )
A.π B.π C.π D.π
解析:由切线的性质可得∠PBO=∠PAO=90°,又四边形的内角和为360°,所以∠AOB=120°,由弧长公式可得的长为=π.故选C.
2.如图所示,若☉O的直径AB与弦AC的夹角为30°,切线CD与AB的延长线交于点D,且☉O的半径为2,则CD的长为 ( )
A.2 B.4
C.2 D.4
解析:连接OC.∵CD是圆的切线,∴∠OCD=90°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°,∴∠COD=∠A+∠ACO=60°,∴∠D=30°.又OC=2,∴OD=2OC=4,∴CD==2.故选A.
3.如图所示,从☉O外一点A引圆的切线AB,切点为B,连接AO并延长交圆于点C,连接BC,若∠A=26°,则∠ACB= .?
解析:连接OB,易得OB⊥AB,由∠A=26°,得∠AOB=64°,从而求得∠ACB=32°.故填32°.
4.如图所示,线段AB经过圆心O,交☉O于A,C两点,∠BAD=∠B=30°,直线BD交☉O于点D.
(1)BD是☉O的切线吗?为什么?
(2)若AC=10,求线段BD的长度.
解:(1)BD是☉O的切线.
理由:∵∠BAD=∠B=30°,
∴∠ADB=180°-30°-30°=120°.
∵AO=DO,∴∠A=∠ADO=30°,
∴∠ODB=120°-30°=90°,
∴BD是☉O的切线.
(2)∵AC=10,∴CO=5,∴DO=5.
∵∠B=30°,由(1)知∠ODB=90°,∴BO=2DO=10.
在Rt△OBD中,BD===5.
29.3 切线的性质和判定
共同探究
观察与思考
做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第10页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第10页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列结论中正确的有 ( )
A.圆的切线垂直于半径
B.垂直于切线的直线必过圆心
C.垂直于切线的直线必过切点
D.经过圆心和切点的直线必垂直于过这个切点的切线
2.如图所示,AB是☉O的切线,B为切点,AO与☉O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为 ( )
(第2题图)
A.40° B.50° C.65° D.75°
3.如图所示,AB与☉O切于点C,OA=OB,若☉O的直径为8,AB=10,则OA的长是 ( )
(第3题图)
A. B.
C. D.
4.如图所示,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=25°,则∠C等于 ( )
A. 20° B.25°
C.40° D.50°
(第4题图)
(第5题图)
5.如图所示,☉O的半径为3,P是CB延长线上的一点,若PO=5,PA切☉O于点A,则PA= .?
6.如图所示,PA是☉O的切线,切点为A,若PA=2,∠APO=30°,则☉O的半径长为 .?
(第6题图)
(第7题图)
7.如图所示,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆的半径为10 cm,小圆的半径为6 cm,则弦AB的长为 cm.?
8.如图所示,已知AB是☉O的一条直径,延长AB至点C,使得AC=3BC,CD与☉O相切,切点为D.若CD=,则BC= .?
(第8题图)
9.如图所示,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,DC切☉O于点C.若∠A=25°,求∠D的度数.
(第9题图)
10.如图所示,AB是☉O的直径,点F,C是☉O上两点,且==,连接AC,AF,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,垂足为D.
(第10题图)
(1)求证CD是☉O的切线;
(2)若CD=2,求☉O的半径.
【能力提升】
11.如图所示,在平面直角坐标系中,半径为2的☉P的圆心P的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为 ( )
A.1 B.1或5 C.3 D.5
(第11题图)
12.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O交AB于点D,连接CD.
(第12题图)
(1)求证∠A=∠BCD;
(2)若M为线段BC上一点,则当点M在什么位置时,直线DM与☉O相切?并说明理由.
【拓展探究】
13.如图所示,已知直线PA交☉O于A,B两点,AE是☉O的直径,C为☉O上一点,且AC平分∠PAE,过点C作CD⊥PA,垂足为D.
(1)求证CD为☉O的切线;
(2)若DC+DA=6,☉O的直径为10,求AB的长度.
【答案与解析】
1.D(解析:圆的切线垂直于过切点的半径,所以A错误;过切点垂直于切线的直线必过圆心,所以B错误;过圆心垂直于切线的直线必过切点,所以C错误;经过圆心和切点的直线必垂直于过这个切点的切线,所以D正确.)
2.C(解析:∵AB是☉O的切线,∴∠OBA=90°,∴∠O=90°-∠BAO=90°-40°=50°.又∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=×(180°-50°)=65°.故选C.)
3.A(解析:连接OC,∵OA=OB,∴AC=BC.∵AB为切线,∴OC⊥AB.又AB=10,∴AC=5.∵OC=4,由勾股定理,得OA=.故选A.)
4.C(解析:连接OA,∵AC是☉O的切线,∴∠OAC=90°,∵OA=OB,∴∠B=∠OAB=25°,∴∠AOC=50°,∴∠C=40°.故选C.)
5.4(解析:∵PA切☉O于点A,∴OA⊥PA,在Rt△OPA中,OP=5,OA=3,∴PA==4.故填4.)
6.2(解析:连接OA,∵PA是☉O的切线,切点为A,∴OA⊥PA.∵∠APO=30°,∴OP=2OA.设OA=x,则OP=2x,由勾股定理,得(2x)2=x2+(2)2,解得x=2,∴☉O的半径长为2.故填2.)
7.16(解析:设切点是C,连接OA,OC.由切线的性质可得OC⊥AB,在Rt△OAC中,AC==8(cm),由垂径定理可得AB=2AC=16(cm).故填16.)
8.1(解析:连接OD,则OD⊥DC.由AC=3BC知OD=OB=BC,由CD=,根据勾股定理解得OD=1.∴BC=1.故填1.)
9.解:连接OC,∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=25°,∴∠DOC=50°.∵DC切☉O于点C,∴∠OCD=90°,∴∠D=40°.
10.(1)证明:连接OC,∵=,∴∠FAC=∠BAC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠FAC=∠OCA,∴OC∥AF.∵CD⊥AF,∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线. (2)解:连接BC,∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵==,∴∠BOC=×180°=60°,∴∠BAC=30°,∴∠DAC=30°.在Rt△ADC中,CD=2,∴AC=2CD=4.在Rt△ACB中,BC=AC=×4=4,∴AB=2BC=8,∴☉O的半径为4.
11.B(解析:当☉P位于y轴的左侧且与y轴相切时,平移的距离为1;当☉P位于y轴的右侧且与y轴相切时,平移的距离为5.故选B.)
12.(1)证明:∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠DCA=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,∴∠BCD=∠A. (2)解:当MC=MD(或点M是BC的中点)时,直线DM与☉O相切.理由:如图所示,连接DO,∵DO=CO,∴∠1=∠2.∵DM=CM,∴∠4=∠3.∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°,即∠ODM=90°.∴直线DM与☉O相切.
(第12题图)
(第13题图)
13.(1)证明:如图所示,连接OC,∵点C在☉O上,OA=OC,∴∠OCA=∠OAC.∵CD⊥PA,∴∠CDA=90°.∴∠CAD+∠DCA=90°.∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠CAO.∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°.又∵点C在☉O上,OC为☉O的半径,∴CD为☉O的切线. (2)解:过点O作OF⊥AB于F,∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°,∴四边形OCDF为矩形,∴OC=FD,OF=CD.设AD=x,则OF=CD=6-x.∵☉O的直径为10,∴DF=OC=5.∴AF=5-x.在Rt△AOF中,由勾股定理,得AF2+OF2=OA2,即(5-x)2+(6-x)2=25,化简,得x2-11x+18=0,解得x=2或x=9.由AD
本节课的重点是探究切线的性质和判定,以生活中的雨滴飞出雨伞及车轮与车印等生活现象导入新课,激发学生的学习兴趣,同时通过复习切线的概念,为本节课的学习做好铺垫.师生共同探究切线的性质和判定,学生经历了动手操作、观察思考、合作交流、归纳总结的探索过程,培养学生的探究意识,进一步发展学生的思考与归纳总结能力.课堂上,在教师设计的各个教学环节中,学生的思维处于活跃状态,积极思考问题,亲身经历知识的形成过程,真正成为课堂的主人,达到了人人有收获的教学效果,培养了学生动手、动脑的能力,从而使学生的数学思维能力得到提升.
在本节课的设计中,教师设计的各个环节以学生独立思考、合作交流为主,目的是突出学生的主体地位,让学生成为课堂的主人,但在课堂的实施过程中,师生的互动还不够充分,没有做到能让学生说的要让学生说,能让学生操作的要让学生操作,能让学生完成的要让学生完成.而是担心不能完成本节课的教学内容,讲得多,给学生交流和展示的机会少.在以后的教学中,尝试大胆放手,多给学生交流和展示的机会,让课堂真正地活起来.
本节课的重点是切线的性质和判定及应用,重点内容较多.以生活实例为情景导入新课,激发学生的学习兴趣,在设计探究切线的判定及性质时,针对各个环节的教学目标,通过操作、观察、思考、交流、归纳,让学生板演、小组展示、互相质疑等多种形式激发学生的积极参与性,体现学生的主体地位,让每个学生都有不同地收获,真正把数学课堂交给学生.同时通过教师设计的探究活动提高学生分析问题及解决问题的能力.
练习(教材第9页)
1.解:连接OA,则OA⊥AP.在Rt△AOP中,OA=OP·sin∠APO=2sin 30°=2×=1.
2.解:连接OB,则OB⊥AE.∴∠DBE=90°-∠DBO=90°-∠AOB=90°-(90°-∠A)=45°+∠A=59°.
3.解:直线AB与☉O相切.理由如下:连接OC,因为OC=OC,OA=OB,AC=BC,所以△AOC≌△BOC,所以∠OCA=∠OCB=90°,所以OC⊥AB,所以AB与☉O相切.
习题(教材第10页)
A组
1.解:C是AB的中点.理由如下:连接OA,OB,OC,∵OA=OB,AB是小圆的切线,∴OC⊥AB,∴C是AB的中点.
2.解:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∴∠BDC=90°.∵AD=CD,BD=BD,∠CDB=∠ADB,∴△ADB≌△CDB,∴AB=BC.又∠ABC=90°,∴∠A=45°,∴∠ABD=45°.
3.解:由∠ABT=45°,AT=AB可得∠T=45°,∴∠BAT=90°,即BA⊥AT,而点A在☉O上,故AT与☉O相切.
B组
1.证明:连接OD,由题知OD=OA,∴∠ADO=∠DAO.∵AD∥OC,∴∠ADO =∠COD,∠DAO =∠COB,∴∠COD=∠COB.∵OD=OB,OC=OC,∴△COD≌△COB,∴∠COD=∠COB.∵CB与☉O相切于点B,∴∠CBO=90°.∴∠CDO=90°.∴CD是☉O的切线.
2.解:由题意可知AT是☉O的切线,则OT⊥AT.在Rt△AOT中,OT=6370 km,OA=6370.468 km,根据勾股定理,得AT==≈77.2(km),即它的信号覆盖半径大约可以达到77.2 km.
设计数学活动,突出学生的主体地位
1.本节课的重点是切线的性质和判定,它是在学生学习了直线与圆的三种位置关系后提出来的,是研究三角形的内切圆、切线长定理的基础.直线与圆相切的判定和性质的条件和结论容易混淆,所以这两个定理的教学是本节课的难点.在师生共同探究切线的性质和判定的教学设计中,多处设计动手操作、观察思考、小组合作交流、归纳总结等数学活动,让学生在数学活动中经历知识的形成过程,突出课堂上学生的主体作用和教师的主导作用,培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.本节课难点较多,使学生在课堂上真正动起来,让学生的思维处于活跃状态,积极思考问题,难点就会容易解决.课堂教学不是热闹场面,而是对问题的深入研究和思考,所以要设计好问题,针对不同意见和问题,引导学生讨论、交流,对学生理解有难度且能自己找到答案的问题,要设计好教师的引导,在教师的引导下,有目的的讨论、交流,让学生的思维在课堂上保持活跃.
(2017·梅州中考)如图所示,AB是☉O的弦,AC是☉O的切线,A为切点,BC经过圆心.若∠B=20°,则∠C的大小等于 ( )
A.20° B.25°
C.40° D.50°
解析:连接OA,∵AC是☉O的切线,∴∠OAC=90°.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB=20°,∴∠AOC=40°,∴∠C=50°.故选D.
(2018·嘉兴中考)如图所示,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 ( )
A.2.3 B.2.4
C.2.5 D.2.6
解析:在△ABC中,∵AB=5,BC=3,AC=4,∴AC2+BC2=32+42=52=AB2,∴∠ACB=90°.设切点为D,连接CD,∵AB是☉C的切线,∴CD⊥AB.∵S△ABC=AC·BC=AB·CD,∴AC·BC=AB·CD,即CD===2.4,∴☉C的半径为2.4.故选B.
(2015·龙岩中考)如图所示,已知AB是☉O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上,点D在☉O上,连接CD,且CD=OA,OC=2.求证CD是☉O的切线.
证明:连接OD,
由题意可知CD=OD=OA=AB=2.
∵OC=2,∴OD2+CD2=OC2,
∴△OCD为直角三角形,即OD⊥CD.
又∵点D在☉O上,∴CD是☉O的切线.
(2016·漳州中考)如图所示,AB为☉O的直径,点E在☉O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC,BC.
(1)试判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=2,AC=,求AB的长.
解:(1)直线CD与☉O相切.理由如下:
连接OC,
∵C为的中点,∴=,∴∠1=∠2.
∵∠3=2∠1,∴∠3=∠OAE,∴OC∥AD.
∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.
(2)Rt△ADC中,cos∠2=.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴cos∠1=.∵∠1=∠2,∴=,
∴AB===3.
29.4 切线长定理
1.知道过圆外一点可以作出圆的两条切线.
2.理解切线长定理,会利用圆的切线长定理解决一些简单问题.
3.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,会用尺规找出三角形的内心,能画出三角形的内切圆.
1.经历探索过圆外一点作圆的切线和画三角形的内切圆的过程,增强探究意识,培养学生动手操作的能力.
2.通过经历探索切线长定理的过程,体会并实践“试验——论证”的探究方法,提高解决实际问题的能力.
3.通过应用切线长定理解决有关问题,提高学生运用知识解题的能力,培养数形结合思想.
1.经历画图、度量、猜想、证明等数学活动,培养学生的逻辑思维能力.
2.通过对定理的猜想和证明,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习积极性,树立科学的学习观.
3.通过小组合作交流探究出切线长定理及应用,培养学生主动探究、合作交流的意识.
【重点】
理解切线长定理,掌握三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
【难点】
用切线长定理进行计算或证明,会画三角形的内心.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P11~13.
导入一:
(课件展示)
如图所示,小明同学测量一个光盘的直径,他将直尺、光盘和三角尺置于桌面上,如果量出AB的长度,就可以求此光盘的直径,你能说出怎样求出光盘的直径吗?
【导入语】 通过今天的学习,我们就可以知道是怎样求出光盘的直径的.
[设计意图] 由生活实例导入新课,让学生体会数学来源于生活,又应用到生活中去.激发学习新知的愿望.
导入二:
复习提问:
1.直线与圆的位置关系有几种?
2.切线的性质和判定是什么?
3.如何用尺规作一个角的平分线?
4.作△ABC的角平分线,并指出它的性质.
【师生活动】 学生思考回答,学生之间互相补充,教师点评.
[设计意图] 复习与本节课有关的知识,为本节课的学习做好铺垫.
[过渡语] 上节课我们学习了过圆上一点有且只有一条圆的切线,那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢?它们有什么性质呢?这就是我们今天要一起探究的内容.
一起探究
(课件展示)
如图所示,已知☉O及圆外一点P.如何过点P作出☉O的切线呢?
【师生活动】 教师课件展示小亮的画图步骤,学生思考回答小亮的作法是否正确.
(课件展示)
小亮是按下列步骤画图的:
①如图所示,连接OP,以OP为直径作圆,交☉O于A,B两点.
②连接PA,PB.
则PA,PB就是☉O的切线.
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,及时发现不同的作法,小组代表展示后,教师点评.
【思考1】
1.PA,PB是☉O的切线吗?若是,请说明理由.
2.过圆外一点P,可以作圆的几条切线?
3.猜想线段PA,PB具有怎样的数量关系?
4.完成下面的证明过程.
(课件展示)
已知:如图所示,P是☉O外一点,PA,PB分别与☉O相切于点A,B.
求证PA=PB.
【师生活动】 学生独立思考、测量作出猜想后,小组内合作交流,学生板书问题3的证明过程,教师帮助有困难的学生,对学生代表展示的证明过程点评.
(板书)
证明:如图所示,连接OA,OB,OP.
在Rt△OAP和Rt△OBP中,
∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴PA⊥OA,PB⊥OB.
∴∠OAP=∠OBP=90°.
又∵OA=OB,OP=OP,
∴Rt△OAP≌Rt△OBP.
∴PA=PB.
归纳概念:
(课件展示)
切线长:我们把线段PA,PB的长叫做点P到☉O的切线长.
【思考2】
切线与切线长有什么区别?
(切线是直线,无法度量;切线长是切线上一条线段的长,即圆外一点与切点之间的距离,可以度量.)
【师生活动】 学生思考后回答,教师点评补充.
【思考3】
1.你能用语言叙述上述结论吗?
2.在上图中还有其他的结论成立吗?若连接AB,你又能得到哪些结论?
【师生活动】 学生思考后小组内合作交流,学生代表展示后,教师点评归纳.
(课件展示)
切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.
上图中的结论还有:∠APO=∠BPO=∠APB,∠AOP=∠BOP=∠AOB,∠OAP=∠OBP=90°,∠BOA+∠APB=180°.若连接AB,则有PO垂直平分AB等结论.
[设计意图] 通过操作、观察、猜想、证明、归纳的过程得出切线长定理,学生经历知识的形成过程,培养学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力,体会数学的严谨性,使学习能力不断提高.同时加强几何基本图形的认识,为应用切线长定理解决问题做好铺垫.
例题讲解
(课件展示)
(教材第12页例1)已知:如图所示,过点P的两条直线分别与☉O相切于点A,B,Q为劣弧上异于点A,B的任意一点,过点Q的切线分别与切线PA,PB相交于点C,D.
求证△PCD的周长等于2PA.
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流解题思路,并书写解题过程,教师帮助有困难的学生,引导学生应用切线长定理找相等的线段,利用转化思想证明,小组代表板书解答,教师点评归纳.
(板书)
证明:∵PA,PB,CD都是☉O的切线,
∴PA=PB,CQ=CA,DQ=DB.
∴△PCD的周长=PC+PD+CD
=PC+PD+CQ+DQ
=PC+PD+CA+DB
=PA+PB=2PA.
[设计意图] 通过例题巩固切线长定理的应用,学生独立思考后小组内合作交流解题思路,培养学生的合作意识,体会转化思想在数学中的应用,感受数学的严谨性和规范性.
(课件展示)
(教材第12页例2)用尺规作圆,使其与已知三角形的三边都相切.
已知:如图所示,△ABC.
求作:☉I,使它与△ABC的三边都相切.
教师引导分析:
1.作圆的关键是什么?
(找圆心和半径)
2.如果☉I与△ABC的三边都相切,那么圆心I到三边的距离有什么等量关系?
(圆心I到三边的距离相等)
3.三角形三条角平分线的交点有什么性质?
(到三角形三边的距离相等)
4.圆心I与三角形三条角平分线的交点有什么关系?
(圆心I为三角形三条角平分线的交点)
5.找到圆心后,如何确定圆的半径?
(圆心到三边的距离相等,且为半径)
【学生活动】 根据教师的引导完成作图,小组内交流答案是否正确,教师点评.
(课件展示)
作法:如图所示.
(1)分别作∠B和∠C的平分线BM和CN.设BM与CN交于点I.
(2)过点I作ID⊥BC,垂足为D.
(3)以点I为圆心、ID的长为半径作☉I,☉I即为所求.
归纳概念:
(课件展示)
内切圆:与三角形的三边都相切的圆有且只有一个,我们称这个圆为三角形的内切圆.
内心:内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
[设计意图] 作三角形的内切圆是这节课的难点,把如何作三角形的内切圆分解成小问题的形式,在教师的引导下层层深入展开,学生易于理解掌握,同时提高学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展]
1.在图中若连接AB,则不难得出∠AOB+∠APB=180°, ∠AOP=∠BOP=∠AOB,OP垂直平分AB,这些结论也可以直接运用.
2.切线长定理主要用于证明线段相等、角相等及垂直关系,应重点掌握.
3.一个三角形有且只有一个内切圆.
4.三角形的内心一定在三角形的内部,是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.
1.切线长定义:
过圆外一点的一条直线与圆相切,则连接圆外这点和切点的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
2.切线长定理:
过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.
3.三角形的内切圆:
与三角形的三边都相切的圆有且只有一个,我们称这个圆为三角形的内切圆.称这个圆的圆心为三角形的内心.
1.如图所示,PA切☉O于点A,PB切☉O于点B,OP交☉O于点C,下列结论中错误的是 ( )
A.∠APO=∠BPO B.PA=PB
C.AB⊥OP D.C是PO的中点
解析:根据切线长定理可得∠APO=∠BPO,PA=PB,AB⊥OP都成立,只有D不正确.故选D.
(第1题图)
(第2题图)
2.如图所示,从圆外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若∠APB=60°,PA=10,则弦AB的长为 ( )
A.5 B. 5 C.10 D. 10
解析:∵PA,PB都是☉O的切线,∴PA=PB.∵∠APB=60°,∴△PAB是等边三角形.∵PA=10,∴AB=10.故选C.
3.如图所示,PA,PB分别切☉O于A,B两点,并与☉O的切线分别相交于C,D两点,已知PA=7 cm,则△PCD的周长等于 .?
解析:设DC与☉O的切点为E,∵PA,PB分别是☉O的切线,且切点为A,B,∴PA=PB=7 cm.同理可得DE=DA,CE=CB,即△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14(cm).故填14 cm.
4.在△ABC中,∠A=50°,I是△ABC的内心,则∠BIC= .?
解析:∵IB,IC分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-50°)=65°,∴∠BIC=180°-65°=115°.故填115°.
5.如图所示,已知AB为☉O的直径,PA,PC是☉O的切线,A,C为切点,∠BAC=30°.
(1)求∠P的大小;
(2)若AB=2,求PA的长(结果保留根号).
解:(1)∵PA是☉O的切线,AB为☉O的直径,
∴PA⊥AB,∴∠BAP=90°.
∵∠BAC=30°,
∴∠CAP=90°-∠BAC=60°.
又∵PA,PC分别切☉O于点A,C,
∴PA=PC,∴△PAC为等边三角形,
∴∠P=60°.
(2)如图所示,连接BC,
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△ACB中,AB=2,∠BAC=30°,
∴BC=AB=1,∴AC==.
∵△PAC为等边三角形,
∴PA=AC,∴PA=.
29.4 切线长定理
一起探究
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第14页习题A组的1,2,3题.
【选做题】
教材第15页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.PA,PB切☉O于点A,B,则下列结论中错误的是 ( )
A.PA=PB,∠APO=∠BPO
B.PO垂直平分AB
C.AB平分PO
D.∠APB+∠AOB=180°
2.如图所示,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC等于 ( )
A.130° B.100° C.50° D.65°
(第2题图)
3.一个钢管放在V形架内,如图所示的是其截面图,O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25 cm,∠MPN=60°,则OP等于 ( )
(第3题图)
A.50 cm B.25 cm
C. cm D.50 cm
4.如图所示,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,若∠C=65°,则∠P的度数为 ( )
A.65° B.130° C.50° D.100°
5.如图所示,☉O是Rt△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,则四边形OECF的形状是 .?
(第5题图)
(第6题图)
6.如图所示,PA,PB分别切圆O于A,B两点,C为劣弧上一点,∠P=30°,则∠ACB= .?
7.如图所示,AB为半圆O的直径,C为半圆弧的一个三等分点,过B,C两点的切线交于点P,若AB的长为2a,则PA的长是 .?
(第7题图)
8.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,连接BC,AC,作OD∥BC与过点A的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.求证DE是☉O的切线.
(第8题图)
9.如图所示,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,BC为直径,求证:
(1)∠APB=2∠ABC;
(2)AC∥OP.
【能力提升】
10.(2018荆州中考)如图所示,过☉O外一点P引☉O的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,OP交☉O于点C,点D是优弧上不与点A,点C重合的一个动点,连接AD,CD,若∠APB=80°,则∠ADC的度数是 ( )
A.15° B.20°
C. 25° D.30°
(第10题图)
(第11题图)
11.如图所示,PA,PB是☉O的切线,切点分别是A,B,若直径AC=12,∠P=60°,则AB= .?
12.如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB上的点O为圆心,OB的长为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D.求证:
(1)BC=CD;
(2)∠ADE=∠ABD.
【拓展探究】
13.如图(1)所示,已知AB为☉O的直径,AD与☉O相切于点A,DE与☉O相切于点E,点C为DE延长线上一点,且CE=CB.
(1)求证BC为☉O的切线;
(2)连接AE,AE的延长线与BC的延长线交于点G,如图(2)所示.若AB=2,AD=2,求线段BC和EG的长.
(1)
(2)
【答案与解析】
1.C(解析:根据切线长定理,得PA=PB,∠APO=∠BPO,故A正确;∵PA=PB,OA=OB,∴点O,P在线段AB的垂直平分线上,故B正确;∵PA,PB是☉O的切线,∴∠OAP=∠OBP=90°,由四边形的内角和是360°可得∠APB+∠AOB=180°,故D正确;AB不一定平分PO,故C错误.)
2.A(解析:∵OB,OC分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-80°)=50°,∴∠BOC=180°-50°=130°.故选A.)
3.A(解析:∵☉O与V形架的两边相切,∴△ONP是直角三角形.在Rt△ONP中,∠OPN=∠MPN=30°,∴OP=2ON=50(cm).故选A.)
4.C(解析:由PA,PB分别是☉O的切线,得OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠OAP=∠OBP=90°.又∵∠AOB=2∠C=130°,则∠P=360°-(90°+90°+130°)=50°.故选C.)
5.正方形(解析:∵☉O是Rt△ABC的内切圆,∴OE⊥AC,OF⊥BC,∴四边形OECF是矩形.∵OE=OF,∴四边形OECF是正方形.故填正方形.)
6.105°(解析:连接OA,OB,∵PA,PB分别切圆O于A,B两点,∴∠PAO=∠PBO=90°,∴∠AOB=180°-∠P=150°.设E是优弧上一点,由圆周角定理知∠E=75°,由圆内接四边形的对角互补知∠ACB=180°-∠E=105°.故填105°.)
7.a(解析:连接OC,OP,则∠OCP=90°,根据切线长定理且C为半圆弧的一个三等分点,得∠COP=60°,OC=AB=a,所以PB=PC=a,所以PA==a.)
8.证明:连接OC,如图所示.∵AD是过点A的切线,AB是☉O的直径,∴AD⊥AB,则∠DAB=90°.∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCB,∠AOD=∠ABC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠ABC,∴∠COD=∠AOD,∴△COD≌△AOD(SAS),∴∠OCD=∠DAB=90°.∵OC是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.
9.证明:(1)∵PA,PB切☉O于点A,B,∴∠BPO=∠APB,PO⊥AB,∴∠ABP+∠BPO=90°.又∵PB是☉O的切线,∴OB⊥PB,∴∠ABP+∠ABC=90°.∴∠ABC=∠BPO=∠APB,即∠APB=2∠ABC. (2)∵BC是☉O的直径,∴AC⊥AB.又∵PO⊥AB,∴AC∥OP.
10.C(解析:由切线长定理,得∠APO=∠APB=40°,连接OA ,则OA⊥PA,∴∠OAP=90°,∴∠AOP=50°.由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠ADC=∠AOP=25°.故选C.)
11.6(解析:连接CB,∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB.又∵∠P=60°,∴∠PAB=60°.又∵PA是☉O的切线,AC是☉O的直径,∴CA⊥PA,∠CAP=90°,∴∠CAB=30°.∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵AC=12,∴CB=AC=6.由勾股定理,得AB=6.)
12.证明:(1)∵∠ABC=90°,∴OB⊥BC.∵OB是☉O的半径,∴CB为☉O的切线.又∵CD切☉O于点D,∴BC=CD. (2)∵BE是☉O的直径,∴∠BDE=90°,∴∠ADE+∠CDB=90°.又∵∠ABC=90°, ∴∠ABD+∠CBD=90°.由(1)得BC=CD,∴∠CDB=∠CBD,∴∠ADE=∠ABD.
13.(1)证明:连接OE,OC.如图(1)所示.∵CB=CE,
OB=OE,OC=OC,∴△OBC≌△OEC.∴∠OBC=∠OEC.又∵DE与☉O相切于点E,∴∠OEC=90°.∴∠OBC=90°.又∵AB是直径,∴BC为☉O的切线. (2)解:过点D作DF⊥BC于点F.如图(2)所示.∵AD,DC,BG分别切☉O于点A,E,B,∴DA=DE,CE=CB.设BC为x,则CF
=x-2,DC=x+2.在Rt△DFC中,(x+2)2-(x-2)2=(2)2,解得x=.由已知得AD∥BG,∴∠DAE=∠EGC.∵DA=DE,∴∠DAE=∠AED.∴∠EGC=∠AED.∵∠AED=∠CEG,∴∠EGC=∠CEG.∴CG=CE=CB=.∴BG=5.∴AG==3.连接BE.S△ABG=AB·BG=AG·BE,∴2×5=3·BE,∴BE=.在Rt△BEG中,EG==.
本节课的主要内容是切线长、切线长定理及三角形的内切圆,是切线性质和判定的延伸.以解决生活问题——测量光盘的半径及复习提问导入新课后,师生共同探究如何过圆外一点画圆的切线.学生动手操作画图,观察思考,从中感悟从圆外一点所作圆的两条切线的长相等,作出猜想并给出证明,最后语言归纳总结.学生在这个活动中,参与意识强,思维活跃,提高学生分析问题、归纳总结的能力,使得这节课的重点内容得以掌握.在教师设计的问题的引导下,师生共同完成例题的分析与解答后,很自然地引出三角形的内切圆的概念及性质,顺利地突破了本节课第二个重点内容的教学,增加了学生学习数学的信心.
本节课的教学内容较多,师生一起探究的教学设计中,采用动手操作——作出猜想——证明归纳的形式,给学生足够的时间和空间思考、交流,经历知识的形成过程,同时通过证明让学生体会数学的严谨性,学生在该环节思维活跃,参与性强,课堂气氛活跃,得到了良好的效果,但是耽误时间太长,造成对后边例题的探究过于仓促,尤其是画一个三角形的内切圆时,给学生思考时间较短,没有动手尝试,只是看老师演示画图过程,给人造成头重脚轻的感觉.
本节课的重点是探究切线长定理及三角形的内切圆,教学导入中不要牵强地创设生活实际情景,以复习切线的性质及角平分线的性质导入新课,为后边的探究活动做好铺垫.探究切线长定理,以动手操作、观察思考、猜想、证明为主要形式,让学生经历知识的形成过程,提高学生分析问题、解决问题的能力.例题的探究以学生独立思考、小组合作交流、教师点评归纳的形式为主,让学生人人参与数学课堂,人人学有价值的数学,培养学生的合作意识及创新精神.
练习(教材第13页)
1.解:(1)图中有三对相等的线段,即AD=AF,BD=BE,CE=CF. (2)△ABC的周长为:AB+BC+AC=2(AD+BE+CF)=2×(2+3+1)=12.
2.解:∵I点为△ABC的内心,∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=115°.
习题(教材第14页)
A组
1.这两条切线的夹角是60°,切线长是3.
2.解:设☉O的半径为r,连接OD,OE,OF,则OD⊥AC,OE⊥AB,OF⊥BC,∴OD=OE=OF=r.由题知AE=AD=1,BE=BF=2,CD=CF=3,∴AB=3,AC=4,BC=5,∵AB2+AC2=BC2,∴△ABC为直角三角形,且∠A=90°.∴S△ABC=(AB+BC+AC)·r=(3+5+4)·r=6,解得r=1.
3.证明:根据切线长定理,得AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH,∴AB+CD=AE+BE+CG+DG=(AH+DH)+(BF+CF)=AD+BC.
4.解:(1)OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP. (2)△OAC≌△OBC,△ACP≌△BCP,△OAP≌△OBP.
5.证明:连接OC,∵EB,EC都是☉O的切线,切点分别为B,C,∴BE=CE,即△BCE是等腰三角形,且DE是BC边上的高,∴BC⊥OE.∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC,∴AC∥OE.
B组
1.解:作OA'与☉M相切,切点为C,连接CM,则CM=2且CM⊥OA'.在Rt△OCM中,∵sin∠COM===,∴∠COM=30°,∴∠AOA'=∠AOB-∠COM=60°-30°=30°,即OA所旋转的角度是30°.根据切线长定理,知OA旋转90°也满足题意.综上所述,OA所旋转的角度是30°或90°.
2.证明:连接OP,则OP⊥PE.∵PE,BE都是☉O的切线,∴PE=BE.由题知∠A+∠C=90°,∠APO+∠CPE=90°,∠A=∠APO,∴∠C=∠CPE,∴PE=CE,∴BE=CE.
注重数学活动,经历知识的形成过程
本节课主要探究切线长定理及三角形的内切圆,是直线与圆的位置关系中的重点内容.在学习了切线的性质和判定的基础上继续对切线性质的探究,体现了对图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合.在教学设计中,以学生活动为主,教师点拨为辅,让学生经历知识的形成过程,提高学生的认知能力,激发学生的学习兴趣.在探究切线长定理的过程中,设计动手操作活动,教师提出操作要求,学生动手操作并思考回答问题,教师引导学生发现问题并作出猜想,然后让学生尝试独立完成猜想的证明,体会数学学习的严谨性.在整个探究过程中,让学生经历由模糊到具体,从直觉到逻辑的过程,体会数学发展的过程.在突破本节课的第二个重点内容——三角形的内切圆时,教师引导学生分析,思考回答问题后,独立完成动手画图的过程,小组内合作交流,自主学习三角形的内切圆的有关概念及性质,学生经历动手、动脑、动口等数学活动,突出学生的主体地位,让每个学生都学有价值的数学.提高学生分析问题、解决问题及归纳总结的能力,使数学思维在课堂上得以提升.
数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程,真正的知识不全是从教材和教师讲授的途径中获取的,学生可以通过数学活动,经历知识的形成过程,突出学生课堂学习的主体地位,教师要把激发学生的学习热情和获得学习的能力放在教学首位,为学生提供展示自己聪明才智的机会,使课堂真正成为学生展示自我的舞台.充分利用合作交流的形式,能使教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区,以便指导今后的教学.
(2018·南州中考)如图所示,点P在☉O外,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,∠P=50°,则∠AOB等于 ( )
A.150° B.130°
C.155° D.135°
解析:根据切线的性质,得∠OAP=∠OBP=90°,根据四边形的内角和定理得∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP=360°,则∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°.故选B.
(2015·南州中考)如图所示,点O在∠APB的平分线上,☉O与PA相切于点C.
(1)求证直线PB与☉O相切;
(2)PO的延长线与☉O交于点E,若☉O的半径为3,PC=4.求弦CE的长.
证明:(1)过点O作OD⊥PB于D,连接OC.
∵AP与☉O相切, ∴OC⊥AP.
又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC.
∴PB是☉O的切线.
解:(2)过点C作CF⊥PE于F.
在Rt△OCP中,OP==5.
∵S△OCP=OC·CP=OP·CF,
∴CF=.
在Rt△COF中,OF==.
∴FE=3+=.
在Rt△CFE中,CE==.
[解题策略] 此题考查了切线的判定、勾股定理及利用三角形的面积公式求线段的长,注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.
29.5 正多边形与圆
1.了解正多边形及其有关的概念.
2.了解正多边形和圆的关系,并会进行有关的计算.
3.会利用尺规作圆的内接正方形和圆的内接正六边形.
1.在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中,体会化归思想在解决问题中的重要性.
2.经历动手操作、探索、画图,体会用工具画图的优势及培养学生的动手能力.
3.通过解决实际问题,培养学生从实际问题中抽象出数学模型的抽象能力及应用数学的意识.
1.经历观察、发现、探究等数学活动,体会事物之间是相互联系、相互作用的.
2.通过尺规画圆内接正多边形等实践活动,使学生在数学活动中获得成功的体验,建立自信心.
3.通过画图解决与正多边形的计算有关的问题,培养学生分析问题、解决问题的能力.
【重点】
理解正多边形与圆的关系,会进行有关的计算,会画正多边形.
【难点】
探索正多边形与圆有关概念之间关系的过程、能用尺规画圆的内接正多边形.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P16~18.
导入一:
(课件展示)
欣赏图片:
1.观察下面的三幅图片,说说图片中各包含哪些多边形.
2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?
【师生活动】 教师借助课件展示图片,学生欣赏回答,并举出日常生活中常见的多边形形状的物体,教师鼓励学生大胆发言.
[设计意图] 通过欣赏图片,初步感知正多边形,体会多边形在生产生活中的广泛应用,激发学生的学习兴趣.
导入二:
复习提问:
1.什么是正三角形和正方形?它们的边、角之间有什么关系?
2.什么是三角形的内接圆和外切圆?正三角形的内心和外心有什么关系?
3.正方形的内心和外心有什么关系?
【导入语】 等边三角形、正方形的各边相等,各角也相等.现实中还有许多各边相等、各角也相等的多边形,这类多边形与圆有着密切的联系.这就是我们今天要探究的内容.
[设计意图] 通过复习正三角形、正方形的概念及性质,引出课题并为本节课的学习做好铺垫.
[过渡语] 类比正三角形和正方形的概念和性质,我们研究正多边形的有关概念及与圆的相关关系.
观察与思考
1.动手操作.
量一量下列图形的边和角,概括它们的共同特点.
【师生活动】 学生动手操作后,小组内合作交流答案,学生代表回答,教师点评归纳.
(课件展示)
正多边形:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
2.归纳有关概念.
思路一
自主学习教材第16页中正多边形的有关概念.
【师生活动】 学生自学教材概念,小组内交流对概念的理解,教师展示课件,对学生的质疑给予帮助.
(课件展示)
把一个圆n(n≥3)等分,顺次连接各等分点,就得到一个正n边形.我们把这个正n边形叫做圆的内接正n边形,这个圆叫做正n边形的外接圆,外接圆的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到边的距离叫做正多边形的边心距.
如图所示,正六边形ABCDEF为☉O的内接正六边形,☉O为正六边形ABCDEF的外接圆.点O为这个正六边形的中心,OA为半径,∠AOB为中心角,OH的长为边心距.
思路二
教师引导思考:
(1)正三角形的顶点是它的外接圆的几等分点?正方形呢?
(三等分点、四等分点)
(2)猜想:正n边形的顶点是它的外接圆的几等分点?
(n等分点)
(3)如果把一个圆n(n≥3)等分,顺次连接各等分点,得到的多边形是不是正n边形?类比三角形的外接圆的概念,你能给出正n边形的外接圆的概念吗?
【师生活动】 教师引导学生思考、归纳正多边形的有关概念,教师课件展示.
(课件展示)
同思路一.
3.拓展探究.
(1)在纸上画出正三角形、正方形、正五边形、正六边形,和同桌交流它们的中心、中心角、半径、边心距分别是什么?
(2)分别求出所画正多边形的中心角和外角,完成下表:
(课件展示)
正三 角形 正方形 正五 边形 正六 边形 … 正n 边形
中心角 …
外角 …
(3)通过上面的探究,你能得到哪些结论?
【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流计算结果及归纳的结论,小组代表展示结果,教师点评,师生共同归纳探究的结论.
结论:
(1)正n边形的中心角等于,外角等于,正多边形的中心角与外角相等.
(2)正多边形的半径、边心距、边长的一半构成直角三角形的三边.
(3)正n边形的半径和边心距,把正n边形分为2n个直角三角形.
[设计意图] 通过自主学习正多边形的有关概念,培养学生自主学习的能力,体会数学中由特殊到一般的思想方法,培养学生合作交流与归纳总结的能力.
大家谈谈
(课件展示)
(1)只要将圆n(n≥3)等分,就可以画出正n边形.如何将一个圆n等分呢?
(2)正五边形的中心角是多少度?如何将圆五等分,画正五边形呢?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师帮助有困难的学生,师生共同归纳画正多边形的方法.
归纳:
用量角器画出一个等于的圆心角,首先确定它在该圆上对着的一段弧,然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧,最后顺次连接各弧的端点得到圆的内接正多边形.
[设计意图] 给学生足够的时间和空间进行交流,归纳画正多边形的方法,培养学生归纳总结及动手操作能力,提高学生的合作意识.
[过渡语] 通过等分圆心角,可以画正多边形.对于一些特殊情形,可以用尺规作圆的内接正多边形.
例题讲解
(课件展示)
(教材第17页例1)用尺规作圆的内接正方形.
已知:如图所示,☉O.
求作:正方形ABCD内接于☉O.
教师引导分析:
1.圆内接正方形的中心角是多少度?
2.作互相垂直的两条直径,能否得到圆的内接正方形?你能证明吗?
3.你能用尺规作圆的内接正八边形吗?
【师生活动】 学生在教师的引导下思考回