2.1 圆锥曲线
[基础达标]
1．已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA－MB|＝4，则动点M的轨迹为________．
解析：动点M满足|MA－MB|＝4＝AB，结合图形思考判断动点M的轨迹为直线AB(不包括线段AB内部的点)上的两条射线．
答案：直线AB(不包括线段AB内部的点)上的两条射线
2．到两定点F1(0，－10)，F2(0,10)的距离之和为20的动点M的轨迹是________．
解析：MF1＋MF2＝20＝F1F2，故动点M为线段F1F2上任意一点，即动点M的轨迹是线段F1F2.
答案：线段F1F2
3．已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是________．
解析： －＝2，即动点P(x，y)到两定点(－2,0)，(2,0)的距离之差等于2，由双曲线定义知动点P的轨迹是双曲线的一支．
答案：双曲线的一支
4．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是________．
解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应是一条射线．
答案：一条射线
5．动点P到定点A(0，－2)的距离比到定直线l：y＝10的距离小8，则动点P的轨迹为________．
解析：将直线l：y＝10沿y轴向下平移8个单位，得到直线l′：y＝2，则动点P到A(0，－2)的距离等于到定直线l′：y＝2的距离，故点P的轨迹为抛物线．
答案：抛物线
6．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得PQ＝PF2，则动点Q的轨迹是________．
解析：由P是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF1＋PF2＝定值，而PQ＝PF2，则QF1＝PF1＋PQ＝PF1＋PF2＝定值，所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆．
答案：以F1为圆心的圆
7．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，试求动点P的轨迹．
解：当a＝6时，PF1＋PF2＝a＝F1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.
当a>6时，PF1＋PF2＝a>F1F2，所以点P的轨迹为椭圆．
当0
8．△ABC中，BC＝6，已知△ABC的周长为16，求动点A的轨迹．
解：∵AB＋AC＝16－6＝10>6＝BC，
∴动点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去A、B、C三点共线的两个点)．
[能力提升]
1．方程5·＝|3x－4y－6|表示的曲线为________．
解析：方程5·＝|3x－4y－6|，即为＝，即动点(x，y)到定点(2,2)的距离等于动点(x，y)到定直线3x－4y－6＝0的距离且定点不在定直线上，由抛物线的定义知表示的曲线为抛物线．
答案：抛物线
2．若点M到定点F和到定直线l的距离相等，则下列说法正确的是________．
①点M的轨迹是抛物线；
②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线；
③点M的轨迹是抛物线或一条直线．
解析：当点F不在直线l上时，点M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线；而当点F在直线l上时，点M的轨迹是一条过点F，且与l垂直的直线．
答案：③
3．求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹．
(1)与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2,0)；
(2)与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切；
(3)与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切．
解：设动圆M的半径为r.
(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，
∴MC＝r－.
∵MA＝r，∴MA－MC＝，
且<4.
∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的一支．
(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，
∴MC1＝r＋1，MC2＝r＋2.
∴MC2－MC1＝1，且1<2.
∴点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的一支．
(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切，
∴MC1＝r＋3，MC2＝r－1.
∵MC1－MC2＝4，且4<6，
∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的一支．
4．(创新题)已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N为l上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P的轨迹为抛物线．
证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB.
由题意知PB垂直平分AN，
且点B关于AN的对称点为P，
∴AN也垂直平分PB.
∴四边形PABN为菱形，
∴PA＝PN.
∵AB⊥l，∴PN⊥l.
故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线．
2.2.1 椭圆的标准方程
[基础达标]
1．椭圆的两个焦点是F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1与PF2的等差中项，则该椭圆方程是________．
解析：椭圆的两个焦点是F1(－1,0)，F2(1,0)，
∵P为椭圆上一点，F1F2是PF1与PF2的等差中项，
∴2a＝PF1＋PF2＝2F1F2＝4，a＝2，c＝1.
∴b2＝a2－c2＝3，故所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．设M(－5,0)，N(5,0)，△MNP的周长是36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为________．
解析：由于点P满足PM＋PN＝36－10＝26>10，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且2a＝26的椭圆(由于P与M、N不共线，故y≠0)，故a＝13，c＝5，∴b2＝144.
∴顶点P的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
3．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
解析：由已知得，
解得3答案：(3,4)∪(4,5)
4．已知椭圆的中点在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为________．
解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．
∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点的坐标符合椭圆方程，
则解得
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．椭圆＋＝1的左，右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为________．
解析：由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知AF1＋AF2＝2a＝8，BF1＋BF2＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.
答案：16
6．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且2b＝4的椭圆的标准方程是________．
解析：椭圆9x2＋4y2＝36化为标准方程＋＝1，则焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，
又因为2b＝4，则b2＝20，a2＝b2＋c2＝25，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．已知P是椭圆＋＝1上任意一点，F1，F2是两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积．
解：由＋＝1得a＝5，b＝4，
∴c＝3.
∴F1F2＝2c＝6，PF1＋PF2＝2a＝10.
∵∠F1PF2＝30°，
∴在△F1PF2中，由余弦定理得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos 30°，
即62＝PF＋2PF1·PF2＋PF－2PF1·PF2－·PF1·PF2，
∴(2＋)PF1·PF2＝(PF1＋PF2)2－36＝100－36＝64，
即PF1·PF2＝＝64×(2－)，
∴S△PF1F2＝PF1·PF2·sin 30°＝×64×(2－)×＝16(2－)．
8．已知△ABC的三边a、b、c(a>b>c)成等差数列，A、C两点的坐标分别为(－1,0)、(1,0)．求顶点B的轨迹方程．
解：设点B的坐标为(x，y)，∵a、b、c成等差数列，
∴a＋c＝2b，即BC＋BA＝2AC＝4.
由椭圆的定义知，点B的轨迹方程为＋＝1；
又∵a>b>c，∴a>c，∴BC>BA，
∴(x－1)2＋y2>(x＋1)2＋y2，x<0；
又当x＝－2时，点B、A、C在同一条直线上，不能构成△ABC，∴x≠－2.
∴顶点B的轨迹方程为＋＝1(－2[能力提升]
1．已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个焦点为(0,2)，则m的值是________．
解析：方程变形为＋＝1，∵焦点在y轴上，
∴a2＝2m，b2＝6，又c＝2且a2－b2＝c2，
∴2m－6＝22，∴m＝5.
答案：5
2．已知椭圆的方程为＋y2＝1(m>0，m≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________．
解析：当0∴c2＝a2－b2＝1－m，
∴c＝，故所求方程的焦点坐标为(0，)，(0，－)；
当m>1时，此时焦点在x轴上，a2＝m，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝m－1，∴c＝，故所求方程的焦点坐标为(，0)，(－，0)．
答案：(0，)，(0，－)或(，0)，(－，0)
3．若B(－8,0)，C(8,0)为△ABC的两个顶点，AC、AB两边上的中线和是30，求△ABC重心G的轨迹方程．
解：如图，设CD、BE分别是AB、AC边上的中线，则CD＋BE＝30，又G是△ABC的重心，
∴BG＝BE，CG＝CD，
∴BG＋CG＝(BE＋CD)＝×30＝20.
又B(－8,0)，C(8,0)，∴BC＝16<20＝BG＋CG，
∴G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，
∴2a＝20,2c＝16，即a＝10，c＝8，
∴b2＝a2－c2＝102－82＝36，
∴G点的轨迹方程是＋＝1.
4. (创新题)如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(，1)，求椭圆C的方程．
解：∵直线l⊥x轴，M(，1)，∴F2的坐标为(，0)，由题意知椭圆的焦点在x轴上，标准方程为：＋＝1(a>b>0)可知，
∴解得，
∴所求椭圆C的方程为＋＝1.
2.2.2 椭圆的几何性质
[基础达标]
1．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．
解析：把椭圆的方程化为标准形式＋＝1，故a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1,2＝4，解得，m＝，符合题意．
答案：
2．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0解析：由e2＝＝＝，
得0<≤，
解得1故1答案：4
3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0，
∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0，
∴e＝或e＝－1(舍去)．
答案：
4．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．
解析：结合图形(图略)，转化为c答案：
5．设P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率是________．
解析：在Rt△PF1F2中，由正弦定理，
得＝＝＝2c，
∴＝2c.
由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a.
代入上式，有e＝＝＝.
答案：
6．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：由题意得，圆半径r＝，因为△ABC是锐角三角形，所以cos 0>cos＝>cos，即<<1，所以<<1，即<<1，解得e∈.
答案：
7．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2组成的三角形的周长为4＋2，且∠F1BF2＝，求椭圆的标准方程．
解：设长轴长为2a，焦距为2c，则在△F2OB中，由∠F2BO＝得：c＝a，所以△F2BF1的周长为2a＋2c＝2a＋a＝4＋2，∴a＝2，c＝，∴b2＝1；故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
8．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，
＝2，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝，
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
[能力提升]
1．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
解析：椭圆＋＝1的右焦点F2(1,0)，故直线AB的方程y＝2(x－1)，由，消去y，整理得3x2－5x＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1则x1，x2是方程3x2－5x＝0的两个实根，解得x1＝0，x2＝，故A(0，－2)，B，
故S△OAB＝S△OFA＋S△OFB＝××1＝.
答案：
2．设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．
解析：由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
∴∠PF2x＝60°.
∴PF2＝2×＝3a－2c.
∵F1F2＝2c，F1F2＝PF2，
∴3a－2c＝2c，∴e＝＝.
答案：
3．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围．
解：设点P的坐标为(x，y)，F1(－，0)，F2(，0)，
在三角形PF1F2中，
由余弦定理得：
cos ∠F1PF2＝，
因为PF1＋PF2＝6，F1F2＝2，
故cos ∠F1PF2＝＝－1≥－1＝－，
当且仅当PF1＝PF2时取等号，即
－≤cos ∠F1PF2≤1.
所以当－≤cos ∠F1PF2<0时，∠F1PF2为钝角．
令·＝0，因为＝(－－x，－y)，
＝(－x，－y)，则x2－5＋y2＝0，
y2＝－x2＋5，代入椭圆方程得：
x2＝，x＝±，
所以点P的横坐标的取值范围是－4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)．已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.
(ⅰ)若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率；
(ⅱ)求证：PF1＋PF2是定值．
解：(1)由题设知a2＝b2＋c2，e＝.
由点(1，e)在椭圆上，得＋＝1，
解得b2＝1，于是c2＝a2－1.
又点在椭圆上，所以＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝2.
因此，所求椭圆的方程是＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0.
由得(m2＋2)y－2my1－1＝0，
解得y1＝，
故AF1＝＝＝.①
同理，BF2＝.②
(ⅰ)由①②得AF1－BF2＝，
解＝得m2＝2，注意到m>0，故m＝.
所以直线AF1的斜率为＝.
(ⅱ)证明：因为直线AF1与BF2平行，
所以＝，
于是＝，
故PF1＝BF1.
由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝2，
从而PF1＝(2－BF2)．
同理，PF2＝(2－AF1)．
因此PF1＋PF2＝(2－BF2)＋·＝2－.
由①②得，AF1＋BF2＝，
AF1·BF2＝，
∴PF1＋PF2＝2－＝，
∴PF1＋PF2是定值．
2.3.1 双曲线的标准方程
[基础达标]
1．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，那么k的值是________．
解析：焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程是－＝1，k<0，则 ＝3，解得k＝－1.
答案：－1
2．过双曲线－＝1左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2(F2为右焦点)的周长是________．
解析：据题意AF2－AF1＝2a，BF2－BF1＝2a，
故AF2＋BF2－(AF1＋BF1)＝(AF2＋BF2)－AB＝4a，
因此AF2＋BF2＝AB＋4a＝6＋16＝22，故三角形周长为22＋6＝28.
答案：28
3. 如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左，右焦点，且过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
由题意，得B(2,0)，C(2,3)．
∴，解得，
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
4．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若PF1∶PF2＝3∶2，则△PF1F2的面积为________．
解析：双曲线的a＝1，b＝2，c＝.
设PF1＝3r，PF2＝2r.∵PF1－PF2＝2a＝2，∴r＝2.
于是PF1＝6，PF2＝4.∵PF＋PF＝52＝F1F，故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2＝90°.
∴S△PF1F2＝PF1·PF2＝×6×4＝12.
答案：12
5．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则PF1＋PF2的值为________．
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1⊥PF2，所以(2)2＝PF＋PF，又因为PF1－PF2＝2，所以(PF1－PF2)2＝4，可得2PF1·PF2＝4，则(PF1＋PF2)2＝PF＋PF ＋2PF1·PF2＝12，所以PF1＋PF2＝2.
答案：2
6．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．
解析：设双曲线的右焦点为F1，
则由双曲线的定义可知PF＝2a＋PF1＝4＋PF1，
∴PF＋PA＝4＋PF1＋PA.
∴当PF＋PA最小时需满足PF1＋PA最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足PF1＋PA最小，易求得最小值为AF1＝5，故所求最小值为9.
答案：9
7．在△ABC中，已知AB＝4，且2sin A＋sin C＝2sin B，求顶点C的轨迹方程．
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，
由正弦定理得sin A＝，sin B＝，sin C＝(a′，b′，c′分别为A，B，C所对的边)，
∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2a′＋c′＝2b′，
即b′－a′＝，从而有CA－CB＝AB＝2由双曲线的定义知，顶点C的轨迹是双曲线的右支，
a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为－＝1(x>)．
8．已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：在△PF1F2中，F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos 60°，
即25＝PF＋PF－PF1·PF2，
由椭圆的定义得10＝PF1＋PF2，
即100＝PF＋PF＋2PF1·PF2，
所以PF1·PF2＝25，
所以S△F1PF2＝PF1·PF2·sin 60°＝.
[能力提升]
1．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1·PF2的值是________．
解析：PF1＋PF2＝2，|PF1－PF2|＝2a，
所以PF＋PF＋2PF1·PF2＝4m，PF－2PF1·PF2＋PF＝4a2，两式相减得：
4PF1·PF2＝4m－4a2，∴PF1·PF2＝m－a2.
答案：m－a2
2．已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，另一个焦点为F2，点N是PF1的中点，则ON的大小(O为坐标原点)为________．
解析：连结ON(图略)，ON是三角形PF1F2的中位线，所以ON＝PF2，因为|PF1－PF2|＝8，PF1＝10，所以PF2＝2或18，所以ON＝PF2＝1或9.
答案：1或9
3．已知在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan ∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程．
解：由Rt△MPN的周长为48，且tan ∠PMN＝，设PN＝3k，PM＝4k，则MN＝5k,3k＋4k＋5k＝48，得k＝4，则PN＝12，PM＝16，MN＝20.以MN所在直线为x轴，以线段MN的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
由PM－PN＝4＝2a，得a＝2，a2＝4，
由MN＝20得2c＝20，c＝10，则b2＝c2－a2＝96，
所以所求双曲线方程为－＝1.
4．在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点
沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．
解：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA，PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹．设M为界线上的任意一点，则有PA＋MA＝PB＋MB，即MA－MB＝PB－PA＝50(定值)．界线为以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．如图所示．
以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
设所求双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，
∵a＝25，
2c＝AB＝＝50，
∴c＝25，b2＝c2－a2＝3 750，
∴双曲线方程为－＝1，因为C的坐标为(25，60)，所以y的最大值为60，此时x＝35.因此界线的曲线方程为－＝1(25≤x≤35，y>0)．
2.3.2 双曲线的几何性质
[基础达标]
1．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________.
解析：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a，又c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.
答案：1 2
2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程是________．
解析：由题意得2a＋2b＝2c，即a＋b＝c，又因为a＝2，所以b＝c－2，所以c2＝a2＋b2＝4＋b2＝4＋(c－2)2，即c2－4c＋8＝0，所以c＝2，b＝2，所求的双曲线的标准方程是－＝1.
答案：－＝1
3．已知双曲线C经过点(1,1)，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线C的标准方程是________．
解析：设双曲线的方程为y2－3x2＝λ(λ≠0)，将点(1,1)代入可得λ＝－2，故双曲线C的标准方程是－＝1.
答案：－＝1
4．已知双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：由题意求出双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，则双曲线渐近线方程为y＝±x，不妨设直线BF斜率为，可求出直线BF的方程为4x－3y－20＝0①，将①式代入双曲线方程解得yB＝－，则S△AFB＝AF·|yB|＝(c－a)·＝.
答案：
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为________．
解析：双曲线的渐近线方程为bx＋ay＝0和bx－ay＝0，圆心为(3,0)，半径r＝2.由圆心到直线的距离为r＝＝2，所以4a2＝5b2，又双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以c＝3，即9＝a2＋b2，a2＝5，b2＝4.故所求双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
6．如图，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率e＝________；
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.
解析：(1)由题意可得a＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.
(2)设sin θ＝，cos θ＝，＝＝＝＝e2－＝.
答案：(1) (2)
7．已知F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF2是正三角形，试求该双曲线的离心率．
解：由△ABF2是正三角形，则在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1＝30°，∴AF1＝AF2，又AF2－AF1＝2a，
∴AF2＝4a，AF1＝2a，又F1F2＝2c，
又在Rt△AF1F2中有AF＋F1F＝AF，即4a2＋4c2＝16a2，∴e＝.
8．设双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过(a,0)、(0，b)两点，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
解：直线l过(a,0)、(0，b)两点，得到直线方程为bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离为d1＝，
同理得到点(－1,0)到直线l的距离为d2＝，由s≥c得到≥c①.将b2＝c2－a2代入①式的平方，整理得4c4－25a2c2＋25a4≤0，
两边同除以a4后令＝x，得到4x2－25x＋25≤0，
解得≤x≤5，
又e＝＝，故≤e≤ .
[能力提升]
1．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为________．
解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2＝，∴y＝±，故AB＝，
依题意＝4a，∴＝2，
∴＝e2－1＝2，∴e＝.
答案：
2．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2＝________.
解析：C2的一条渐近线为y＝2x，设渐近线与椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的交点分别为C(x1,2x1)，D(x2,2x2)，则OC2＝x＋4x＝2，即x＝，又由C(x1,2x1)在C1：＋＝1上，所以有＋＝1，①
又由椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点可得a2－b2＝5，②
由①②可得b2＝.
答案：
3．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1NF2的面积．
解：(1)∵e＝，故可设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
∵过点M(4，－)，∴16－10＝λ，∴λ＝6.
∴双曲线方程为－＝1.
(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，a＝b＝，∴c＝2.
∴F1(－2，0)，F2(2，0)．
∴＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．
∴·＝[(－2－3)·(2－3)]＋m2
＝－3＋m2.
∵点N(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，∴m2＝3.
∴·＝0.
(3)∵△F1NF2的底F1F2＝4，高h＝|m|＝，∴△F1NF2的面积S＝6.
4．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
解：(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.
由题意有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.
(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①
设＝(x3，y3)，＝λ＋，即
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有
(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.
化简得λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.②
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.
2.4.1 抛物线的标准方程
[基础达标]
1．已知抛物线的准线方程是x＝－7，则抛物线的标准方程是________．
解析：由题意，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，准线方程是x＝－，则－＝－7，解得p＝14，故所求抛物线的标准方程为y2＝28x.
答案：y2＝28x
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．
解析：抛物线的准线为x＝－，
将圆的方程化简得到(x－3)2＋y2＝16，准线与圆相切，则－＝－1?p＝2.
答案：2
3．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．
解析：∵双曲线的方程为－＝1，
∴右顶点为(4,0)．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，
则＝4，即p＝8，
∴抛物线的标准方程为y2＝16x.故填y2＝16x.
答案：y2＝16x
4．抛物线x2＝4ay(a≠0)的准线方程为________．
解析：∵抛物线的焦点在y轴上，
∴准线方程为y＝－，即y＝－a.
答案：y＝－a
5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若AF＝3，则BF＝________.
解析：抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，焦点为F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由抛物线的定义可知AF＝x1＋1＝3，所以x1＝2，所以y1＝±2，由抛物线关于x轴对称，假设A(2,2)．由A，F，B三点共线可知直线AB的方程为y－0＝2(x－1)，代入抛物线方程消去y得2x2－5x＋2＝0，求得x＝2或，所以x2＝，故BF＝.
答案：
6．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：过A，B分别作准线l的垂线AD，BC，垂足分别为D，C，M是线段AB的中点，MN垂直准线l于N，由于MN是梯形ABCD的中位线．
所以MN＝.
由抛物线的定义知AD＋BC＝AF＋BF＝3，所以MN＝，又由于准线l的方程为x＝－，所以线段AB中点到y轴的距离为－＝，故填.
答案：
7．平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)，则有＝|x|＋1，两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝
故点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．
8．(1)抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，又知抛物线经过点P(4,2)，求抛物线的方程；
(2)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为，求p与m的值．
解：(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，
∴抛物线的方程为标准方程．
又∵点P(4,2)在第一象限，
∴抛物线的方程设为y2＝2px，x2＝2py(p>0)．
当抛物线为y2＝2px时，则有22＝2p×4，故2p＝1，y2＝x；
当抛物线为x2＝2py时，则有42＝2p×2，故2p＝8，x2＝8y.
综上，所求的抛物线的方程为y2＝x或x2＝8y.
(2)由抛物线方程得其准线方程y＝－，根据抛物线定义，点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即4＋＝，解得p＝；∴抛物线方程为：x2＝y，将A(m，4)代入抛物线方程，解得m＝±2.
[能力提升]
1．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
解析：直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为×1×2＝.
答案：
2．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．
解析：把双曲线－＝1化为标准形式－＝1，故c2＝3＋，c＝ ＝，左焦点，由题意知，抛物线的准线方程为x＝－，又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，所以－＝－，解得，p＝4或p＝－4(舍去)．故p＝4.
答案：4
3．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．
解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c.设抛物线方程为y2＝4cx，
∵抛物线过点，∴6＝4c·.∴c＝1，
故抛物线方程为y2＝4x.
又双曲线－＝1过点，
∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴－＝1.
∴a2＝或a2＝9(舍去)．
∴b2＝，故双曲线方程为：4x2－＝1.
4．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．
解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，BD＝2p，圆F的半径FA＝p.
由抛物线定义可知A到l的距离d＝FA＝p.
因为△ABD的面积为4，所以BD·d＝4，
即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)因为A、B、F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.
由抛物线定义知AD＝FA＝AB，
所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.
当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝
2py得x2－px－2pb＝0.
由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0，
解得b＝－.
因为m的截距b1＝，＝3，
所以坐标原点到m，n距离的比值为3.
当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m、n距离的比值为3.
综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.
2.4.2 抛物线的几何性质
[基础达标]
1．设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则抛物线的方程为________．
解析：当m>0时，准线方程为x＝－＝－2，
∴m＝8，此时抛物线方程为y2＝8x；
当m<0时，准线方程为x＝－＝4，
∴m＝－16，此时抛物线方程为y2＝－16x.
∴所求抛物线方程为y2＝8x或y2＝－16x.
答案：y2＝8x或y2＝－16x
2．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
解析：设抛物线方程为y2＝2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则?y－y＝2p(x1－x2)，
即·(y1＋y2)＝2p?2p＝1×4?p＝2.
故y2＝4x.
答案：y2＝4x
3．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||＝________.
解析：如图，过A作AD⊥x轴于D.
在Rt△AFD中，∠AFD＝60°.
令FD＝m，则FA＝2m.
AD＝m.
根据抛物线的定义可知．
p＋m＝2m.∴m＝p.
∴||＝＝ ＝p.
答案：p
4．若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为________．
解析：依题意，设点M(x，y)，其中x>0，则有，由此解得x＝1，又该抛物线的准线方程为x＝－，结合抛物线的定义，点M到该抛物线的焦点的距离等于1＋＝.
答案：
5．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析：直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，联立方程组得，消元得x2－10x＋9＝0，
解得，和，∴AP＝10，BQ＝2，PQ＝8，
∴梯形APQB的面积为48.
答案：48
6. 如图，圆形花坛水池中央有一喷泉，水管OP＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则为使水不落到池外，水池直径最小为________m.
解析：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则P(－1，－1)，代入抛物线方程得p＝，抛物线x2＝－y，代入点(x，－2)，得x＝，即水池半径最小为r＝(1＋)m，水池直径最小为2r＝(2＋2)m.
答案：2＋2
7．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，
焦点F，直线l：x＝，
∴A、B两点坐标为，，
∴AB＝2|p|.
∵△OAB的面积为4，
∴··2|p|＝4，∴p＝±2.
∴抛物线的标准方程为y2＝±4x.
8. 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
证明：设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝，即xB＝，
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝
＝
＝＝＝－，
∴直线BC的斜率为定值．
[能力提升]
1．等腰直角三角形OAB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O是抛物线的顶点，OA⊥OB，则△OAB的面积为________．
解析：设等腰直角三角形OAB的顶点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2，
由OA＝OB，则x＋y＝x＋y，
∴x－x＋2px1－2px2＝0，即(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0，
∵x1>0，x2>0,2p>0，
∴x1＝x2，即A、B关于x轴对称．
故直线OA的方程为：y＝xtan 45°，即y＝x.
由，解得，(舍)或，故AB＝4p，
等腰三角形OAB的面积为×2p×4p＝4p2.
答案：4p2
2．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中能得出抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．
解析：在①②两个条件中，应选择②，则由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)；对于③，由焦半径公式r＝1＋＝6，∴p＝10，此时y2＝20x，不符合条件；
对于④，2p＝5，此时y2＝5x，不符合题意；
对于⑤，设焦点为，则由题意，满足·＝－1.
解得p＝5，此时y2＝10x，所以②⑤能使抛物线方程为y2＝10x.
答案：②⑤
3．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距顶5 m时，水面宽为8 m，一木船宽4 m高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？
解：如图所示建立直角坐标系xOy，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，过点(4，－5)，
∴16＝－2p(－5)，∴2p＝，
∴抛物线方程为x2＝－y，x＝2时，y＝－，
∴相距为＋＝2时不能通行．
4．(创新题)A，B为抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为原点，若OA⊥OB，求证：直线AB过定点．
证明：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，
则yy＝2px1·2px2＝4p2x1x2＝－4p2y1y2，
所以y1y2＝－4p2.
因为y－y＝(y2＋y1)(y2－y1)＝2p(x2－x1)，
若x1≠x2，则＝，
所以直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)．
因为y＝2px1，所以y－y1＝，
所以y＝－＋y1
＝＋＝(x－2p)，
所以直线AB过定点(2p,0)．
若x1＝x2≠0，则y1＝－y2.
因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，
故直线x－y＝0，即x－2px1＝0，所以x1＝2p.
故直线AB过定点(2p,0)，
所以存在定点(2p,0)，使得命题成立．
2.5 圆锥曲线的共同性质
[基础达标]
1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由圆锥曲线的共同性质得＝e＝＝2，d为点M到右准线x＝1的距离，则d＝2，所以MF＝4.
答案：4
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F,右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2,若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．
解析：依题意，d2＝－c＝.又BF＝＝a，所以d1＝.由已知可得＝·，所以c2＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝＝.
答案：
3．已知椭圆＋＝1上一点P到右准线的距离为10，则点P到它的左焦点的距离为________．
解析：设F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离为d2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，＝＝，解得PF2＝6，又PF1＋PF2＝2a＝10，解得PF1＝4，故P到它的左焦点距离为4.
答案：4
4．如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．
解析：由双曲线方程可知a＝2，b＝，c＝，e＝，设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，设P点坐标为(x，y)，由已知条件知P点在右支上，且PF2＝ex－a＝2，解得x＝.
答案：
5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且它的一条准线与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线方程为________．
解析：由题意得＝，＝1，得a＝，c＝3，则b2＝6，所以此双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1
6．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，P是其右准线上纵坐标为c(c为半焦距)的点，且F1F2＝F2P，则椭圆的离心率是________．
解析：如图有P(，c)，设右准线交x轴于H点，
∵F2P＝F1F2＝2c，且PH＝c，
故∠PF2H＝60°，
∴F2H＝c，OH＝＝2c?e2＝?e＝或－(舍)．
答案：
7．设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过点F的弦，试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．
解：设M为弦AB的中点(即以AB为直径的圆的圆心)，A1，B1，M1分别是A、M、B在准线l上的射影(如图)．由圆锥曲线的统一定义得AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)＝2eMM1.
∵0∴以AB为直径的圆与椭圆的左准线相离．
8．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到左焦点F1的距离是它到右焦点F2距离的2倍，试求点P的坐标．
解：由题意可设P点坐标为(x0，y0)，
由椭圆的方程＋＝1，
可得a＝5，b＝3，c＝4，离心率e＝.
所以PF1＝a＋ex0＝5＋x0，PF2＝a－ex0＝5－x0.又PF1＝2PF2，解得x0＝，代入椭圆方程得
y0＝±，故点P的坐标为.
[能力提升]
1．已知椭圆＋＝1外一点A(5,6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则PA＋d的最小值为________．
解析：如图，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(－3,0)，根据圆锥曲线的统一定义有：
＝e＝，即PF＝d，
所以PA＋d＝PA＋PF，
可知当P，F，A三点共线且P在线段AF上时，PA＋PF最小，最小值AF＝10.
故PA＋d的最小值为10.
答案：10
2．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则C的离心率为________．
解析：如图，BF＝＝a，作DD1⊥y轴于点D1，则由＝2，得＝＝，
所以DD1＝OF＝c，即xD＝，由圆锥曲线的统一定义得FD＝e(－)＝a－；
又由BF＝2FD，得a＝2a－，整理得3c2＝a2.
解得e＝－(舍去)或e＝.
答案：
3．已知A，B为椭圆＋＝1上的两点，F2是椭圆右焦点，若AF2＋BF2＝a，AB的中点M到椭圆的左准线的距离为，试确定椭圆的方程．
解：由椭圆的方程可得b＝a，则c＝a，e＝，两准线间的距离为a，设A，B两点到右准线的距离分别是dA，dB，则＝＝，∴AF2＋BF2＝(dA＋dB)＝a，
∴dA＋dB＝2a，则AB的中点M到椭圆右准线的距离为a，于是M到左准线的距离为a－a＝，解得a＝1，故椭圆方程为x2＋＝1.
4．(创新题)已知椭圆＋＝1上不同的三点A(x1，y1)，B，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列．
(1)求证：x1＋x2＝8；
(2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T，求直线BT的斜率．
解：(1)证明：由已知得a＝5，b＝3，c＝4，e＝.
因为AF＝a－ex1＝5－x1，CF＝a－ex2＝5－x2，BF＝5－×4＝，且AF＋CF＝2BF，
所以＋＝，即x1＋x2＝8.
(2)因为A(x1，y1)，C(x2，y2)在椭圆上，所以
＋＝1，①
＋＝1.②
由①－②得y－y＝－(x1＋x2)(x1－x2)
＝－(x1－x2)．
又因为线段AC的中点为，
所以线段AC的垂直平分线的方程为
y－＝－(x－4)．③
又因为点T在x轴上，则设点T的坐标为(x0,0)，
代入③得x0－4＝，
所以x0－4＝－.
所以直线BT的斜率k＝＝.
故直线BT的斜率为.
第二章 圆锥曲线与方程
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)
1．椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．
解析：由已知2c＝6，∴c＝3，而c2＝9，∴20－k＝9或k－20＝9，∴k＝11或k＝29.
答案：11或29
2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
解析：由题意知，m<0，双曲线mx2＋y2＝1化为标准形式y2－＝1，故a2＝1，b2＝－，所以a＝1，b＝，则由2＝2×2，解得m＝－.
答案：－
3．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．
解析：不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则有，即
①÷②得e＝.
答案：
4．与x2－4y2＝1有相同的渐近线，且过M(4，)的双曲线方程为________．
解析：设方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)，将M(4，)代入方程得λ＝4，所以方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
5．已知双曲线3x2－y2＝9，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于________．
解析：即求离心率，双曲线化为标准方程－＝1，
可知a＝，c＝＝＝2，e＝＝＝2.
答案：2
6．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
解析：椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，而抛物线y2＝2px的焦点为(，0)，则＝2，故p＝4.
答案：4
7．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
解析：由题意得F(1,0)，设A(，y0)，则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，由·＝－4，解得y0＝±2，此时点A的横坐标为＝1，故点A的坐标是(1，±2)．
答案：(1，±2)
8．设P是椭圆＋＝1上的任意一点，又点Q的坐标为(0，－4)，则PQ的最大值为________．
解析：设P的坐标(x，y)，则PQ2＝x2＋(y＋4)2＝25(1－)＋(y＋4)2＝－(y－)2＋(－4≤y≤4)，
当y＝4时，PQ2最大，
此时PQ最大，且PQ的最大值为
＝8.
答案：8
9．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．
解析：由题意知圆心坐标应为(5,0)．又因为点(5,0)到渐近线y＝±x的距离为4，
所以圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0.
答案：x2＋y2－10x＋9＝0
10．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆方程为________．
解析：由题意知，解得，
椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1
11．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________．
解析：设P(x，y)，M(－2,0)，N(2,0)，则＝(4,0)，||＝4，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)；
由||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
化简整理得y2＝－8x.
答案：y2＝－8x
12．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2且·＝1，则点P的轨迹方程是________．
解析：设P(x，y)，则Q(－x，y)，又设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0.
于是＝(x，y－b)，＝(a－x，－y)，由＝2可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0.
又＝(－a，b)＝(－x,3y)，
由·＝1可得x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．
答案：x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
13．抛物线y2＝x上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，则m的取值范围是____________．
解析：法一：设两对称点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)
且AB所在直线的方程可设为：y＝－x＋b，
代入y2＝x，得y2＋my－mb＝0，
∴y1＋y2＝－m，
且Δ＝m2＋4mb＞0.①
设A、B的中点为(x0，y0)，则y0＝＝－，
又A、B的中点在直线y＝m(x－3)上，所以x0＝，
又(x0，y0)在直线y＝－x＋b上．
∴b＝y0＋x0＝－＋，
代入①并整理得：m2＜10，
∴－＜m＜，
∴m的取值范围是(－，)．
法二：设两对称点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A、B的中点为(x0，y0)，依题意，则有：
①－②得：(y1＋y2)(y1－y2)＝x1－x2，
将③④代入上式得：y0＝－，⑧
将⑧代入⑥得：x0＝，⑨
将⑧⑨代入⑦得2＜，
∴m2＜10，∴－＜m＜.
∴m的范围是(－，)．
答案：(－，)
14．已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题：
①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上；
②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上；
③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上；
④△PF1F2的内切圆必通过点(a,0)．
其中真命题有________(写出所有真命题的代号)．
解析：设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则PA＝PB，F1A＝F1M，F2B＝F2M，又点P在双曲线右支上，所以PF1－PF2＝2a，故F1M－F2M＝2a，而F1M＋F2M＝2c，设M点坐标为(x,0)，则由F1M－F2M＝2a可得(x＋c)－(c－x)＝2a解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①④正确．
答案：①④
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m 时，水面宽8 m.
(1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程；
(2)若水面上升1 m，求水面宽度．
解：(1)如图，以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．
由已知条件可知，点B的坐标是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p×(－4)，即p＝2.
所以，所求抛物线标准方程是x2＝－4y.
(2)若水面上升1 m，则y＝－3，代入x2＝－4y，
得x2＝－4×(－3)＝12，x＝±2，所以这时水面宽为4 m.
16．(本小题满分14分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．
解：(1)把椭圆方程化为标准形式为＋＝1，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)．
故设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则，解得，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x＝，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则有＝，故p＝.
所以抛物线的标准方程为y2＝－x.
17．(本小题满分14分)已知双曲线－＝1与点M(5,3)，F为右焦点，试在双曲线上求一点P，使PM＋PF最小，并求出这个最小值．
解：双曲线的右焦点F(6,0)，离心率e＝2，右准线为l：x＝.作MN⊥l于N，交双曲线右支于P，连结FP，则PF＝ePN＝2PN?PN＝PF.此时PM＋PF＝PM＋PN＝MN＝5－＝为最小值．
在－＝1中，令y＝3，x2＝12?x＝±2；
又∵x>0，∴取x＝2.
即当所求P点的坐标为(2，3)时，PM＋PF取最小值.
18．(本小题满分16分)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点N(－，1)在椭圆上，线段NF2与y轴的交点M满足＋＝0.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解：(1)由已知，点N(－，1)在椭圆上，
∴有＋＝1，①
又∵＋＝0，M在y轴上，∴M为NF2的中点，
∴－＋c＝0，c＝.∴有a2－b2＝2，②
由①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4，故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设PF1＝m，PF2＝n，
则S△F1PF2＝mnsin＝ mn.
由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，即m＋n＝4.①
又由余弦定理得PF＋PF－2PF1·PF2cos＝F1F，即m2＋n2－mn＝(2)2.②
由①2－②，得mn＝，∴S△F1PF2＝.
19．(本小题满分16分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
(3)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)，
又∵F(1,0)，∴kFA＝；MN⊥FA，∴kMN＝－，
则FA的方程为y＝(x－1)，
MN的方程为y－2＝－x.
解方程组，得，
∴点N的坐标为(，)．
(3)由题意得，圆M的圆心是点(0,2)，半径为2.
当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时，直线AK与圆M相离，
当m≠4时，直线AK的方程为y＝(x－m)，
即为4x－(4－m)y－4m＝0，
圆心M(0,2)到直线AK的距离d＝，
令d>2，解得m>1.
∴当m>1时，直线AK与圆M相离；
当m＝1时，直线AK与圆M相切；
当m<1时，直线AK与圆M相交．
20. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1的左、右顶点为A、B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0.
(1)设动点P满足PF2－PB2＝4，求点P的轨迹；
(2)设x1＝2，x2＝，求点T的坐标；
(3)设t＝9，求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．
解：由题设得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)．
(1)如图，设点P(x，y)，则PF2＝(x－2)2＋y2，
PB2＝(x－3)2＋y2.
由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，
化简得x＝.
故所求点P的轨迹为直线x＝.
(2)如图，由x1＝2，＋＝1及y1＞0，得y1＝，则点M，从而直线AM的方程为y＝x＋1；
由x2＝，＋＝1及y2＜0，得y2＝－，
则点N，
从而直线BN的方程为y＝x－.
由解得
所以点T的坐标为.
(3)证明：如图，由题设知，直线AT的方程为y＝(x＋3)，直线BT的方程为y＝(x－3)．
点M(x1，y1)满足得
＝－·.
因为x1≠－3，则
＝－·，解得x1＝，
从而得y1＝.
点N(x2，y2)满足
解得x2＝，y2＝.
若x1＝x2，则由＝及m＞0，得m＝2，此时直线MN的方程为x＝1，过点D(1,0)．
若x1≠x2，则m≠2，直线MD的斜率
kMD＝＝，
直线ND的斜率kND＝＝，
得kMD＝kND，所以直线MN过定点D.
因此直线MN必过x轴上的定点(1,0)．
