3.1.1 平均变化率
[基础达标]
1. 如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为________．
解析：∵A(1,3)，B(3,1)，
∴Δx＝3－1＝2，Δy＝1－3＝－2.∴平均变化率＝＝－1.
答案：－1
2．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为________；当Δt＝0.1时，相应的平均速度为________．
解析：∵Δs＝4－2(1＋Δt)2－(4－2×12)
＝－2[2Δt＋(Δt)2]，
∴平均速度为＝－2(2＋Δt)＝－4－2Δt.
当Δt＝0.1时，＝－4－2×0.1＝－4.2.
答案：－4－2Δt －4.2
3．函数f(x)＝5x＋4，①在区间[0,1]上的平均变化率是________；②在任一区间[a，b](a
解析：①Δx＝1－0＝1，Δy＝f(1)－f(0)＝9－4＝5.
∴＝5.
②Δx＝b－a，Δy＝f(b)－f(a)＝(5b＋4)－(5a＋4)＝5(b－a)，
∴＝＝5.
答案：5 5
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是________．
解析：①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77.故③的平均变化率最大．
答案：③
5．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.
解析：＝＝2，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
答案：5
6．甲、乙二人跑步路程与时间关系如图所示，________跑得快．
解析：乙跑得快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．
答案：乙
7．一正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at) cm，a为常数．试求在这一过程中铁板面积对温度的平均膨胀率．
解：铁板面积对温度的平均膨胀率即为铁板面积对温度的平均变化率．
铁板面积s的增量Δs＝[10(1＋at)]2－102＝100(a2t2＋2at)．
则当温度从0 ℃变化到t ℃这一过程中，铁板面积对温度的平均膨胀率为＝＝100a2t＋200a.
8．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，求m的值．
解：ΔV＝m3－×13＝(m3－1)，
∴＝＝.∴m2＋m＋1＝7.
∴m＝2或m＝－3(舍)．
[能力提升]
1．函数y＝3x2－2x－8在x1＝3处有增量Δx＝0.5，则f(x)在x1到x1＋Δx上的平均变化率是________．
解析：Δy＝3×(3＋0.5)2－2(3＋0.5)－8－(3×32－2×3－8)＝8.75.∴平均变化率为＝＝17.5.
答案：17.5
2．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是________．
解析：由图象可知W1(0)∴0>>，
从而||>||.
∴乙在[0，t0]上的平均变化率绝对值较大．
因此乙厂治污效果较好．
答案：乙
3．求函数y＝sin x在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小．
解：在0到之间的平均变化率为＝；
在到之间的平均变化率为
＝.
∵2－<1，∴>.
∴函数y＝sin x在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且在0到之间的平均变化率较大．
4．(创新拓展)假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
解：由题意，生产并售出x台机器所获得的利润是：
L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利润为：
＝＝＝87(元)．
3.2.1 常见函数的导数
[基础达标]
1．若函数f(x)＝10x，则f′(1)＝________.
解析：∵f′(x)＝(10x)′＝10xln 10，∴f′(1)＝10ln 10.
答案：10ln 10
2．给出下列结论：
①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′≠；
③若y＝，则y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.
其中正确的序号是________．
解析：①y′＝(x－3)′＝－3x－4＝－，正确．
②y′＝(x)′＝x－＝≠，不正确．
③y′＝(x－2)′＝－2x－3，正确．
④f′(x)＝(3x)′＝3，∴f′(1)＝3，正确．
答案：①③④
3．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．
解析：∵y′＝(x－1)′＝－＝－4，
∴x2＝，x＝±.
∴切点坐标为(，2)或(－，－2)．
答案：(，2)或(－，－2)
4．已知f(x)＝xa(a∈Z)，若f′(－1)＝－4，则a的值等于________．
解析：∵f′(x)＝axa－1∴f′(－1)＝a·(－1)a－1＝－4，
∴a＝4.
答案：4
5．设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．
解析：∵y′＝(sin x)′＝cos x∈[－1,1]，
∴在P点处的切线l的斜率k∈[－1,1]，
设其倾斜角为α，则－1≤tan α≤1，
∴0≤α≤或≤α<π.
答案：[0，]∪[，π)
6．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有________条．
解析：∵y′＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点(，)和点(－，－)处有斜率为1的切线．
答案：2
7．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝4x；(3)y＝log9x；
(4)y＝sin2x＋cos2x；(5)y＝sin(＋x)．
解：(1)y′＝(x)′＝x－.
(2)y′＝4xln 4＝2(ln 2)·4x.
(3)y′＝＝.
(4)∵y＝sin2x＋cos2x＝1，∴y′＝1′＝0.
(5)∵y＝sin(＋x)＝cos x，∴y′＝－sin x.
8．求曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积．
解：∵f′(x)＝(ex)′＝ex，∴f′(2)＝e2.
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．
令x＝0，则y＝－e2，
令y＝0，则x＝1，
∴切线与坐标轴交点坐标为(1,0)和(0，－e2)，
∴S＝×1×e2＝e2.
[能力提升]
1．曲线y＝x3在点(0,0)处的切线方程是________．
解析：∵y′＝(x3)′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0.
∴y＝x3在点(0,0)处的切线方程是y＝0.
答案：y＝0
2．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x)＝________.
解析：∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，
∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝(x2)′＝2x.
答案：2x
3．求函数y＝cos x在点x＝－处的切线方程．
解：∵y′＝(cos x)′＝－sin x，
∴y＝cos x在点x＝－处的切线斜率k＝－sin(－)＝，
又当x＝－时，y＝cos(－)＝.
∴切点坐标为(－，)，
由点斜式得切线方程为y－＝(x＋)，即x－y＋＋1＝0.
4．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率k＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为(，)，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝＝.
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
3.2.2 函数的和、差、积、商的导数
[基础达标]
1．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)＝________.
解析：f′(x)＝(x3)′＋(3x)′＋(ln 3)′＝3x2＋3xln 3＋0＝3x2＋3xln 3.
答案：3x2＋3xln 3
2．设y＝－2exsin x，则y′＝________.
解析：y′＝－2[(ex)′sin x＋ex(sin x)′]＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
答案：－2ex(sin x＋cos x)
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是________．
解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.
答案：
4.已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.,解析：∵f(x)＝(x2－4)(x－a),＝x3－ax2－4x＋4a，,∴f′(x)＝3x2－2ax－4.,又∵f′(－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝.
答案：
5.函数y＝的导数是________．
解析：y′＝′＝
＝.
答案：?
6.设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.
解析：∵y＝＝1＋，
∴y′＝－.
∴曲线在点(3,2)处的切线斜率k＝－.
∴－a＝2，即a＝－2.
答案：－2
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；
(2)y＝(－2)2；
(3)y＝x－sincos；
(4)y＝；
(5)y＝2xcos x－3xlog2 014x；
(6)y＝.
解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′
＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
法二：∵y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，
∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
(2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4，
∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4·x－＝1－2x－.
(3)∵y＝x－sincos＝x－sin x，
∴y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x.
(4)y′＝
＝
＝.
(5)y′＝(2x)′cos x＋(cos x)′2x－3[x′log2 014x＋(log2 014x)′x]
＝2xln 2·cos x－sin x·2x－3[log2 014x＋(log2 014e)x]
＝2xln 2·cos x－2xsin x－3log2 014x－3log2 104e.
(6)y＝＝cos x－sin x，
∴y′＝－sin x－cos x.
8．求过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程．
解：设P(x0，y0)为切点，
则切线的斜率为k＝f′(x0)＝3x－2，
故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，
即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，
又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，
得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，
解得x0＝1或x0＝－，
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y－＝－(x＋)，
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
[能力提升]
1．若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
解析：∵f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，
∴f′(x)＝x2－2f′(－1)·x＋1，
将x＝－1代入上式得f′(－1)＝1＋2f′(－1)＋1，
∴f′(－1)＝－2，再令x＝1，得f′(1)＝6.
答案：6
2．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
解析：依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，
f′(1)＝g′(1)＋2＝4.
答案：4
3．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1.
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，
得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得距离为.
4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解：(1)由7x－4y－12＝0得
y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①，②得
解之得.
故f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，
曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(1＋)(x－x0)，
即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．
令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－)．
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6.
3.3.1 单调性
[基础达标]
1．函数y＝x(x2－1)在区间________上是单调增函数．
解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，解得x>或x<－.因此，在区间(－∞，－)上，f′(x)>0，函数是增函数；在区间(，＋∞)上，f′(x)>0，函数也是增函数．
答案：(－∞，－)，(，＋∞)
2．函数f(x)＝xln x的单调减区间为________．
解析：函数f(x)定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ln x＋1.解f′(x)<0得x<，又x>0，
∴f(x)的减区间为(0，)．
答案：(0，)
3．函数y＝4x2＋的单调递增区间是________．
解析：y′＝8x－＝，令y′>0，解得x>，则函数的单调递增区间为.
答案：
4．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则实数a的取值范围为________．
解析：y′＝3ax2－1，函数在R上是减函数，即不等式3ax2－1≤0恒成立，解得a≤0.
答案：a≤0
5．函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增，那么实数a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝＝＝a＋≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即a≥－在区间(0，＋∞)上恒成立，故a≥0.
答案：a≥0
6．已知函数f(x)＝aln x＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝aln x＋x，∴f′(x)＝＋1.
又∵f(x)在[2,3]上单调递增，
∴＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，
∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．
答案：[－2，＋∞)
7．设函数f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)，求f(x)的单调区间．
解：①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其减区间为(－∞，0)，
增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，
∵f′(x)＝－ax2＋2x，
f′(x)>0?(－ax＋2)x>0?x>0?x>0或x<.f′(x)<0?故f(x)的递增区间为和(0，＋∞)，递减区间为.
综上：当a＝0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)，递减区间为(－∞，0)；
当a<0时，f(x)的递增区间为和(0，＋∞)，递减区间为.
8．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，且在点(1，f(1))处的切线方程是y＝x－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(0,1)，则c＝1，
f′(x)＝4ax3＋2bx，k＝f′(1)＝4a＋2b＝1，
切点为(1，－1)，则f(x)＝ax4＋bx2＋c的图象经过点(1，－1)，
得a＋b＋c＝－1，得a＝，b＝－，
∴f(x)＝x4－x2＋1.
(2)由f′(x)＝10x3－9x>0，得－，则函数f(x)的单调递增区间为
，.
[能力提升]
1．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
解析：∵f′(x)＝且函数f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，
∴f′(x)≤0在(－2，＋∞)上恒成立．
∴a≤.
当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去．
∴a<.
答案：a<
2．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为
f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a①f(x)g(b)>f(b)g(x)；②f(x)g(a)>f(a)g(x)；
③f(x)g(x)>f(b)g(b)；④f(x)g(x)>f(a)g(a)．
解析：令y＝f(x)·g(x)，
则y′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，
由于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，
所以y在R上单调递减，
又xf(b)g(b)．
答案：③
3．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在[0,2]内单调递减，求实数a的取值范围．
解：法一：f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)．
当a＝0时，f′(x)≥0(等号不恒成立)，故y＝f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，与y＝f(x)在[0,2]内单调递减不符，舍去．
当a<0时，由f′(x)≤0得a≤x≤0，即f(x)的减区间为，与y＝f(x)在[0,2]内单调递减不符，舍去．
当a>0时，由f′(x)≤0得0≤x≤a，即f(x)的减区间为.由y＝f(x)在[0,2]内单调递减得a≥2得a≥3.
综上可知，a的取值范围是[3，＋∞)．
法二：f′(x)＝3x2－2ax.
由y＝f(x)在[0,2]内单调递减知3x2－2ax≤0在[0,2]内恒成立．
当x＝0时，由3x2－2ax≤0在[0,2]内恒成立得a∈R；
当x≠0时，由3x2－2ax≤0在[0,2]内恒成立．
即a≥x恒成立，
故只需a≥max，
又x在[0,2]上的最大值为3，故a≥3.
综上可知，a的取值范围是[3，＋∞)．
4．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)求得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.
∵f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，
∴f(1)＝－11，f′(1)＝－12，
即解得
(2)∵a＝1，b＝－3，
∴f′(x)＝3x2－6ax＋3b
＝3(x2－2x－3)
＝3(x＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f′(x)<0，解得－1∴当x∈(－∞，－1)和(3，＋∞)时，f(x)单调递增；
当x∈(－1,3)时，f(x)单调递减．
3.3.2 极大值与极小值
[基础达标]
1．函数f(x)＝x3－12x的极大值与极小值之和为________．
解析：函数的定义域为R，f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x1＝－2或x2＝2.列表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值16
↘
极小值－16
↗
∴当x＝－2时，函数有极大值f(－2)＝16.当x＝2时，函数有极小值f(2)＝－16.
∴极大值与极小值之和为f(2)＋f(－2)＝0.
答案：0
2．设函数f(x)＝＋ln x，则下列结论正确的是________．
①x＝为f(x)的极大值点；
②x＝为f(x)的极小值点；
③x＝2为f(x)的极大值点；
④x＝2为f(x)的极小值点．
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当x＝2时，f′(x)＝0时；当x>2时，f′(x)>0时，函数f(x)为增函数；当0答案：④
3．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝()′
＝
＝，
又∵函数f(x)在x＝1处取极值，
∴f′(1)＝0.
∴1＋2×1－a＝0，
∴a＝3.验证知a＝3符合题意．
答案：3
4．若函数f(x)＝x3＋mx2－m2x＋1(m为常数，且m>0)有极大值9，则m的值是________．
解析：由f′(x)＝3x2＋2mx－m2＝(x＋m)(3x－m)＝0，得x＝－m或x＝m，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－m)
－m
m
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值
↘?
极小值
?↗
从而可知，当x＝－m时，函数f(x)取得极大值9，
即f(－m)＝－m3＋m3＋m3＋1＝9，
∴m＝2.
答案：2
5．函数f(x)的定义域为(a，b)，其导函数y＝f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在区间(a，b)内极值点的个数是________．
解析：函数在x＝x0处取得极值必须满足两个条件：
①x0为f′(x)＝0的根；②导数值在x0左右异号．所以，有3个极值点．
答案：3
6．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f(x)在区间(－3，－)内单调递增；
②函数y＝f(x)在区间(－，3)内单调递减；
③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断正确的是________．(填序号)
解析：当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，
所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，
同理f(x)在(2,4)上为减函数，
在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，
所以可排除①和②，可选择③.
由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，
所以当x＝2时，函数有极大值；
而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数，
故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，
所以x＝－不是函数的极值点．
排除④和⑤.
答案：③
7．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝1和x＝－1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求实数a，b，c的值；
(2)试判断当x＝1时函数取得极大值还是极小值，并说明理由．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(1)＝0，f′(－1)＝0，f(1)＝－1解得a＝，b＝0，c＝－；
(2)f(x)＝x3－x，f′(x)＝x2－，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1所以，当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.
8．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
解：(1)f′(x)＝3x2－3a.
因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，
所以即解得
(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f(x)没有极值点．
当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.
当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
[能力提升]
1．(2014·苏州检测)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．
解析：由f′(x)＝3x2－6b＝0，得x＝±(b>0)，
∵f(x)在(0,1)内有极小值，
∴0<<1，∴0答案：02．设a∈R，若函数y＝eax＋3x(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3＋aeax，函数在x∈R上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根；
当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a<0，此时x＝ln；由x>0即ln>0结合a<0解得参数a的范围为a<－3.
答案：a<－3
3．设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)令f′(x)＝－3x2＋3＝0，
得x1＝－1，x2＝1.
又因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，f(x)的极大值为f(1)＝a＋2.
(2)因为f(x)在(－∞，－1)上单调递减，
且当x→－∞时，f(x)→＋∞；
又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，
且当x→＋∞时，f(x)→－∞；
而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，
所以当极大值等于0时，有极小值小于0，
此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，
即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，
所以a＋2＝0，a＝－2，如图(1)．当极小值等于0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2.如图(2)．
综上，当a＝2或a＝－2时方程恰好有两个实数根．
4．(创新题)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知
f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2.
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln 2)
ln 2
(ln 2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
↘
极小值
2(1－ln 2＋a)
单调递增
↗
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.
于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝
2(1－ln 2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
3.3.3 最大值与最小值
[基础达标]
1．函数f(x)＝x3－3x＋1在[－3,0]上的最大值，最小值分别为________．
解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1，f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(0)＝1.比较可得f(x)max＝f(－1)＝3，f(x)min＝f(－3)＝－17.
答案：3，－17
2．函数f(x)＝xln x在(0，＋∞)上的最小值为________．
解析：f′(x)＝(xln x)′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1.由f′(x)>0，得x>；由f′(x)<0，得x<.∴f(x)＝xln x在x＝处取得极小值f()＝－，∴－就是f(x)在(0，＋∞)上的最小值．
答案：－
3．函数y＝x＋2cos x在区间[0，]上的最大值是________．
解析：令y′＝1－2sin x＝0，得x＝，
比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.
答案：＋
4．若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝2ax＋4，由f(x)在[0,2]上有最大值f(2)，则要求f(x)在[0,2]上单调递增，则2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立．当a≥0时，2ax＋4≥0恒成立；当a<0时，要求4a＋4≥0恒成立，即a≥－1.∴a的取值范围是a≥－1.
答案：a≥－1
5．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，
所以f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
经检验知x＝3是函数的一个最小值点，
所以函数的最小值为f(3)＝3m－，
因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥.
答案：m≥
6．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.
解析：令f′(x)＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)＝0，
得x1＝0，x2＝，x3＝－.
又∵1≤x≤2，∴x＝.
又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，
f(2)＝16a－16a＋b＝b，
f()＝b－4a，
∵a>0，∴∴a＝2，b＝3.
答案：2 3
7．已知函数f(x)＝x3－3x.
(1)求函数f(x)在上的最大值和最小值；
(2)过点P(2，－6)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线的方程．
解：(1)f′(x)＝3(x＋1)(x－1)，当x∈[－3，－1)或x∈时，f′(x)>0，
∴[－3，－1)，为函数f(x)的单调增区间；
当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，∴[－1,1]为函数f(x)的单调减区间．
又因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，
f＝－，
所以当x＝－3时，f(x)min＝－18；
当x＝－1时，f(x)max＝2.
(2)设切点为Q(x0，x－3x0)，则所求切线方程为y－(x－3x0)＝3(x－1)(x－x0)，由于切线过点P(2，－6)，∴－6－(x－3x0)＝3(x－1)(2－x0)，
解得x0＝0或x0＝3；
所以切线方程为y＝－3x或y＋6＝24(x－2)，
即为3x＋y＝0或24x－y－54＝0.
8．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1＋∞)上是减函数，又f′()＝.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[0，m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由已知f′(0)＝f′(1)＝0，
即解得
∴f′(x)＝3ax2－3ax，
∴f′()＝－＝，
∴a＝－2，
∴f(x)＝－2x3＋3x2.
(2)令f(x)≤x，
即－2x3＋3x2－x≤0，
∴x(2x－1)(x－1)≥0，
∴0≤x≤或x≥1.
又f(x)≤x在区间[0，m]上恒成立，
∴0故m的取值范围是(0，]．
[能力提升]
1．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间[1，＋∞)上一定有________(填最大或最小值)．
解析：由函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，可得a的取值范围为a<1.
g(x)＝＝x＋－2a，则g′(x)＝1－.
易知在x∈[1，＋∞)上g′(x)>0，
∴g(x)为增函数，故g(x)在区间[1，＋∞)上一定有最小值．
答案：最小值
2．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝.
所以，g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减．
因此，g(x)max＝g()＝4，从而a≥4；
当x<0，即x∈[－1,0)时，
f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤－，
g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.
所以a＝4.
答案：4
3．设函数f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b,0(1)求函数f(x)的单调区间、极值；
(2)若x∈[0,3a]，试求函数f(x)的最值．
解：(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2.令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝3a，列表：
x
(－∞，a)
a
(a,3a)
3a
(3a，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
递减
－a3＋b
递增
b
递减
由表可知：当x∈(－∞，a)时，函数f(x)为减函数；当x∈(3a，＋∞)时，函数f(x)也为减函数；当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数．
∴函数f(x)的单调减区间为(－∞，a)，(3a，＋∞)，单调增区间为(a,3a)．当x＝a时，f(x)的极小值为－a3＋b；当x＝3a时，f(x)的极大值为b.
(2)x∈[0,3a]，列表如下：
x
0
(0，a)
a
(a,3a)
3a
f′(x)
－
0
＋
0
f(x)
b
递减
－a3＋b
递增
b
由表知：当x∈(0，a)时，函数f(x)为减函数；当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数．
∴当x＝a时，f(x)的最小值为－a3＋b；当x＝0或x＝3a时，f(x)的最大值为b.
4．已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
解：(1)由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.
(2)由(1)得f′(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)，
令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.
又ex>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(3)证明：因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)，
所以g(x)＝(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．
因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－xln x<(1＋e－2)．
由(2)知h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)，
因此当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2，
故1－x－xln x≤1＋e－2.
设φ(x)＝ex－(x＋1)．
因为φ′(x)＝ex－1＝ex－e0，
所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，
φ(x)>φ(0)＝0，
故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，
即>1.
所以1－x－xln x≤1＋e－2<(1＋e－2)．
因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.
第三章 导数及其应用
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．如果质点按规律s(t)＝t2－t(距离单位：m，时间单位：s)运动，则质点在3 s时的瞬时速度为________．
解析：质点在3 s时的瞬时速度即s′(3)＝5 m/s.
答案：5 m/s
2．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.
解析：∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，
∴由f′(x0)＝2得ln x0＋1＝2，∴x0＝e.
答案：e
3．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不单调，则实数k的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝2x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－，由f′(x)＝0得x＝.
由题意知，解得1≤k<.
答案：1≤k<
4.函数f(x)＝(x－1)2(x－2)2的极大值是________．,解析：∵f(x)＝(x－1)2(x－2)2，,∴f′(x)＝2(x－1)(2x－3)(x－2)；,令f′(x)＝0，得可能的极值点x1＝1，x2＝，x3＝2.列表如下：
x
(－∞，1)
1
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
极大值
?
极小值
?
∴f＝是函数的极大值．
答案：?
5.若直线y＝kx－3与曲线y＝2ln x相切，则实数k＝________.,解析：依题意，设切点为(x0，y0)，则有,，由此得2－3＝2ln x0，∴x0＝e－.
∴k＝＝＝2.
答案：2
6．已知x∈R，奇函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞)上单调递增，则a，b，c应满足的条件是________．
解析：由f(x)是奇函数，得a＝c＝0.
∴f′(x)＝3x2－b，
又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故b≤3x2，
在[1，＋∞)上恒成立，即b≤3.
答案：a＝c＝0，b≤3
7．已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f′(x)＝
＝，
又f(x)在[1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a≥1－ln x在[1，＋∞)上恒成立，
故ln a应大于等于φ(x)＝1－ln x的最大值，
∵φ(x)max＝1，故ln a≥1，
∴a≥e.
答案：[e，＋∞)
8．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对于任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为________．
解析：设h(x)＝f(x)－(2x＋4)，则h′(x)＝f′(x)－2>0，
故h(x)在R上为增函数，又∵h(－1)＝f(－1)－2＝0，
∴当x>－1时，h(x)>0，即f(x)>2x＋4.
答案：(－1，＋∞)
9．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由已知，f′(x)＝0应该有两个不等的实数根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.
答案：a>6或a<－3
10．函数y＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为________．
解析：∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.
又x∈(0,1)，∴0答案：011．设f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－2,2]时，f(x)－m<0恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：f′(x)＝3x2－x－2，由f′(x)>0得3x2－x－2>0，即x<－或x>1；
由f′(x)<0得3x2－x－2<0，即－所以函数的单调增区间是，(1，＋∞)；
函数的单调减区间是；
∵f(x)∵当x∈时，f(x)为增函数，
所以f(x)max＝f＝；
当x∈时，f(x)为减函数，
所以f(x)max＝f＝；
当x∈[1,2]时，f(x)为增函数，所以f(x)max＝f(2)＝7；
因为7>，∴f(x)在x∈[－2,2]上的最大值为7；
∴m的取值范围为m>7.
答案：m>7
12．方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是________．
解析：设f(x)＝x3－6x2＋9x－10，则f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，故函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1,3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数；而f(1)＝－6，f(3)＝－10；故函数f(x)的图象与x轴有且只有1个交点，即方程x3－6x2＋9x－10＝0的实根个数是1个．
答案：1
13．一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元；火车行驶的其它费用为每小时200元，则火车行驶的速度为________(千米/小时)时，火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为a千米，且火车最高速度为每小时100千米)．
解析：设火车速度为x千米/小时，每小时消耗的煤的费用为p元，依题意有p＝kx3(k为比例系数)，由x＝20时，p＝40，解得k＝，故总费用y＝·＝a(0由于y′＝a，令y′＝0，解得x＝10，
又当0当100，
∴当x＝10时，y取最小值，即要使费用最省，火车速度应为10千米/小时．
答案：10
14．设a>0，b>0，e是自然对数的底数．则下列结论正确的是________．
①若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b；
②若ea＋2a＝eb＋3b，则a③若ea－2a＝eb－3b，则a>b；
④若ea－2a＝eb－3b，则a解析：∵a>0，b>0，
∴ea＋2a＝eb＋3b＝eb＋2b＋b>eb＋2b.
对于函数y＝ex＋2x(x>0)，∵y′＝ex＋2>0，
∴y＝ex＋2x在(0，＋∞)上单调递增，因而a>b成立．
答案：①
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分) 设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象如图所示，且与y＝0在原点相切，若函数的极小值为－4，
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数的递减区间．
解：(1)函数的图象经过(0,0)点，
∴c＝0，又图象与x轴相切于(0,0)点，y′＝3x2＋2ax＋b，
∴0＝3×02＋2a×0＋b，得b＝0，
∴y＝x3＋ax2，y′＝3x2＋2ax；
令y′＝0得：x＝0或x＝－a，
结合f(x)图象知：－a>0，
当0－a时，y′>0；
∴当x＝－a时，函数有极小值－4；
∴3＋a2＝－4，得a＝－3.
∴a＝－3，b＝0，c＝0.
(2)由(1)可得f(x)＝x3－3x2，∴f′(x)＝3x2－6x<0，解得0∴递减区间是(0,2)．
16．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，
即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b，
解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当a＝3，b＝－9时，
h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
h′(x)＝3x2＋6x－9.
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：
x
(－∞，－3)
－3
(－3,1)
1
(1,2)
2
h′(x)
＋
0
－
0
＋
h(x)
?
28
?
－4
?
3
由此可知：
当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为
h(－3)＝28；当－317．(本小题满分14分) 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋4x的极小值为－8，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(－2,0)，如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)－k在区间[－3,2]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋4，且y＝f′(x)的图象过点(－2,0)，所以－2为3ax2＋2bx＋4＝0的根，代入得：3a－b＋1＝0，①
由图象可知，f(x)在x＝－2时取得极小值，
即f(－2)＝－8，得b＝2a.②
由①②解得a＝－1，b＝－2，∴f(x)＝－x3－2x2＋4x.
(2)由题意，方程f(x)＝k在区间[－3,2]上有两个不等实根，
即方程－x3－2x2＋4x＝k在区间[－3,2]上有两个不等实根．
f′(x)＝－3x2－4x＋4，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝，可列表：
x
－3
(－3，－2)
－2
(－2，)
2
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
－3
?
极小值－8
?
极大值
?
－8
由表可知，当k＝－8或－318．(本小题满分16分)烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染．已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有A，B两座烟囱相距20 km，其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低．
解：不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1，则B烟囱喷出的烟尘量为8，
设AC＝x(0依题意得点C处的烟尘浓度y＝＋(k为比例系数)．
∴y′＝－＋
＝.
令y′＝0，得(3x－20)·(3x2＋400)＝0，又0∴x＝.
∵当x∈时，y′<0；当x∈时，y′>0；
∴在区间(0,20)上，当x＝时，y取最小值．
故当点C位于距A点 km处时，该点的烟尘浓度最低．
19．(本小题满分16分) 如图，四边形ABCD是一块边长为4 km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)的一部分．新世纪公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．
解：以M为原点，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则D(4，2)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．由点D在抛物线上，得22＝8p，解得p＝.
∴抛物线方程为y2＝x(0≤x≤4，y≥0)．
设P(y2，y)(0≤y≤2)是曲线MD上任一点，
则PQ＝2＋y，PN＝4－y2，
∴矩形游乐园面积S＝PQ·PN＝(2＋y)·(4－y2)＝8－y3－2y2＋4y.
∴S′＝－3y2－4y＋4，令S′＝0，
解得y＝或y＝－2(舍去)．
∵当y∈时，S′>0，S为增函数；
当y∈时，S′<0，S为减函数．
∴当y＝时，S有极大值，
此时PQ＝2＋y＝2＋＝，
PN＝4－y2＝4－2＝，S＝×＝(km2)．
又当y＝0时，S＝8；当y＝2时，S＝0.
∴当y＝，x＝时，游乐园面积最大，
最大面积为 km2.
故当点P到x轴距离为、到y轴距离为时，游乐园面积最大，最大面积为 km2.
20．(本小题满分16分)设f(x)＝x3－kx(k>0)．
(1)若f′(2)＝0，求f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若函数f(x)＝x3－kx(k>0)在[1，＋∞)上是单调函数，设x0≥1，f(x0)≥1，且满足f(f(x0))＝x0，已知0解：(1)由f(x)＝x3－kx得f′(x)＝3x2－k，∵f′(2)＝0，∴3×22－k＝0，即k＝12；
∴f(x)＝x3－12x，故f(2)＝23－12×2＝－16，
∴f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－f(2)＝f′(2)·(x－2)，即为y＋16＝0.
(2)证明：设f(x0)＝m，则由f(f(x0))＝x0得f(m)＝x0；又f(x)＝x3－kx(k>0)，
∴，
两式相减得(x－m3)－k(x0－m)＝m－x0，
即(x0－m)(x＋m2＋x0m＋1－k)＝0.
∵x0≥1，f(x0)≥1即m≥1，
∴x＋m2＋x0m＋1－k≥4－k，而0∴x＋m2＋x0m＋1－k≥1>0，从而只有x0－m＝0，
即m＝x0，∴f(x0)＝x0.
